Analiza matematyczna i równania różniczkowe 2 lato 2003/2004
Z7
1 ezdz
1. Obliczyć całkę , jeśli C jest dodatnio skierowaną krzywą Jordana
+"
2Ä„j z2 (1- z)3
C
kawałkami gładką oraz
a) punkt 0 leży wewnątrz, a punkt 1 na zewnątrz krzywej C ;
b) punkt 1 leży wewnątrz, a punkt 0 na zewnątrz krzywej C ;
c) punkty 0 i 1 leżą wewnątrz krzywej C .
2. Rozwinąć funkcję f(z) w szereg Taylora wokół punktu z0 = 1
z z z2
f ( z ) = , f (z) = , f (z) = , f (z) = z Å" ez .
z + 2 z2 - 2z + 5 (z + 1)2
Podać promienie zbieżności otrzymanych szeregów
3. Rozwinąć funkcję f ( z ) w podanym pierścieniu P(z0 ; r, R) w szereg Laurenta
oraz podać współczynniki a-1,a0, a1 tego rozwinięcia.
1
a) f ( z ) = z Å" sin P( 0; 0, " )
z
2z
b) f ( z ) = P( j; 0, 2 )
z2 +1
2( z + j )
c) f ( z ) = P(1+ j; 1, 5 )
z2 -1
z2 - 2z + 5
d) f ( z ) = P( j; 2, 5 )
( z - 2 )( z2 +1)
" "
(-1)n+1 1 (-1)n
Odp.2. 1+ 2 Å" (z - 1)n ; Å" (z - 1)2n + (z - 1)2n+1 ;
()
" "
3n+1 4 4n
n=0 n=0
" "
1 (-1)n 1
+ (n - 3) Å" (z - 1)n ; e Å" 3.
" " [(z - 1)n + (z - 1)n+1]
4 2n+2 n!
n=1 n=0
1 1
a) a-1 = a1 = 0 , a0 = 1 ; b) a-1 = 1 ,a0 = , a1 = ;
2 j 4
1- j j - 1
c) a-1 = 1+ j , a0 = , a1 =
2 + j (2 + j)2