Analiza matematyczna i równania różniczkowe 2 lato 2003/2004
Z1
1. Zbadać zbieżność punktową oraz jednostajną ciągów funkcyjnych w podanych zbiorach
Ä„
a) fn (x) = (sin x)n ,< 0 ; >
2
xn 1
b) fn (x) = , < 0 ; )
2 + xn 2
c) fn (x) = n2 x Å" exp(-nx) , < 0 ; 1 >
1 1
Czy zachodzi równość: fn (x))dx = lim fn (x)dx ?
+"(lim +"
n"
n"
0 0
nx
d) fn (x) = , R
1+ n2 x2
Czy zachodzi równość: (lim fn (x))'= lim fn '(x) ?
n"
n"
2. Wykazać zbieżność jednostajną szeregów funkcyjnych
" "
exp(-nx2 ) ln(1+ nx)
a) w R b) w (0 ; + ")
" "
1+ n2 (n2 + x2 )2
n=1 n=1
3. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregów potęgowych
n2
" " "
(6 - 2x)n 4n
n2
a) , b) (x -1)2n+2 , c) Å"(x
ìÅ‚ ÷Å‚
" " "ëÅ‚1- 1 öÅ‚ +1)
3n + 2n n n
íÅ‚ Å‚Å‚
n=0 n=1 n=1