ZAKA
AD ANALIZY I TEORII OSOBLIWOÅšCI
PRZEKSZTAA
CENIE L
WZÓR CAA
KOWY FOURIERA
+"
L[ f (t)]df 0 e-st f (t)dt ( = f (s)) ; f  oryginał
=
+" +"
ozn
f (t) = (CAA
KA FOURIERA)
+"[a(É)cosÉt + b(É)sinÉt]dÉ
0
f (t) f (t)
f (s) f (s)
+" +"
1 1
a(É) = f (Ä )cosÉÄdÄ b(É) = f (Ä )sinÉÄdÄ
1 É
+" +"
1(t)
Ä„ Ä„ sinÉt, É " R
-" -" 2
s s2 + É
n! s
n
PRZEKSZTAA
CENIE F cosÉt, É " R
t , n " N
2
sn+1 s2 + É
É
+" 1
e-Ä…t Å" sinÉt ,
e-Ä…t , Ä… " C
2
F [ f (t)]df - jÉt f (t)dt ( = F( jÉ))
=
Ä… "C, É " R
(s +Ä…)2 + É
s +Ä…
+"e
ozn
-"
² s
sh²t, ² " R ch²t, ² " R
2 2
s2 - ² s2 - ²
"
1
jÉt
F-1 [F( jÉ)] = (
+"e F( jÉ)dÉ = f (t))
ozn
2Ä„
n
-"
(n) n-k (k -1)
L[ f (t)] = sn Å" f (s) -
"s Å" f (0+)
j¸ (É ) k =1
F( jÉ) = F( jÉ) e , - Ä„ d" ¸ (É) d" +Ä„
L[ f '(t)] = s f (s) - f (0+) , L[ f ''(t)] = s2 f (s) - sf (0+) - f '(0+)
1 s
ëÅ‚ öÅ‚
F( jÉ) = Ä„[a(É) - jb(É)]
L( f (at)) = Å" f , gdy a > 0
ìÅ‚ ÷Å‚
a a
íÅ‚ Å‚Å‚
WIDMO AMPLITUDOWE
0
L[ f (t - t0 )] = e-st Å" f (s), t0 e" 0
F( jÉ) = Ä„ a2 (É) + b2 (É) ( funkcja parzysta )
L[e-Ä…t Å" f (t)]= f (s +Ä…), Ä… " C
n
WIDMO FAZOWE
t
f (s) d f (s)
n
Å‚Å‚
LîÅ‚ f (Ä )dÄ = , L[t f (t)] = (-1)n , n " N
a(É) - b(É)
+"
ïÅ‚ 0 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
s dsn
cos¸ (É) = , sin¸ (É) =
T
a2 (É) + b2 (É) a2 (É) + b2 (É)
f (t) Å" e-stdt
+"
0
Dla oryginału okresowego f : f (s) = (T  okres)
Jeżeli cos¸ (É) = -1 i sin¸ (É) = 0 , to ¸ (É) = Ä„ sgnÉ dla É `" 0
1- e-sT
L(s)
Dla f (s) = (funkcja wymierna) : f (t) = [ f (s) Å" est ]
"ressi
¸ - funkcja nieparzysta na D¸ lub D¸ -{0}
M (s)
i
SPLOT ORYGINAA
ÓW: F(t) = f1(t) " f2 (t)
t
öÅ‚
F(t) =ëÅ‚ f1(Ä ) f2 (t -Ä )dÄ Å"1(t) , L[F(t)] = f1(s) Å" f2 (s)
ìÅ‚ ÷Å‚
+"
df 0
íÅ‚ Å‚Å‚
PRZEKSZTAA
CENIE Z sin 2Ä… = 2sinÄ… cosÄ…
2
cos 2a = 2cos2 Ä… -1 = cos2 Ä… - sin Ä… = 1- 2sin2 Ä…
"
xn
Z[(xn )]df ( = X (z)) ; (xn ) = (x0 , x1,...)
=
"
sin(Ä… Ä… ² ) = sinÄ… Å" cos ² Ä… cosÄ… Å" sin ²
zn ozn
n=0
cos(Ä… Ä… ² ) = cosÄ… Å" cos ² m sinÄ… Å" sin ²
xn X (z) xn X (z)
1
z z
sinÄ… Å" sin ² = [cos(Ä… - ² ) - cos(Ä… + ² )]
1 eÄ…n , Ä… " C
2
z -1 z - eÄ…
1
z sinÉ cosÄ… Å" cos ² = [cos(Ä… - ² ) + cos(Ä… + ² )]
z
2
sinÉn, É " C
n
z2 - 2z cosÉ +1
(z -1)2
1
sinÄ… Å" cos ² = [sin(Ä… - ² ) + sin(Ä… + ² )]
2
z(z - cosÉ)
z(z +1)
cosÉn, É " C
n2
z2 - 2z cosÉ +1
(z -1)3
z 1 1
an , a " C -{0}
z
e
z - a n!
Z[(xn-k )] = z-k Å" X (z) , k " N
k -1
îÅ‚ x½ Å‚Å‚
Z[(xn+k )] = zk Å" (z) -
"
ïÅ‚X
z½ śł
ðÅ‚ ½ =0 ûÅ‚
dX (z)
Z[(nxn )] = -z
dz
L(z)
Dla X (z) = (funkcja wymierna) : xn = [X (z) Å" zn-1]
"reszi
M (z)
i
SPLOT CI
GÓW: (un ) = (xn ) " (yn )
n
un = Å" yn-½ , n = 0,1,2,... ; Z[(un )] = X (z) Å"Y (z)
"x½
½ =0