Analiza matematyczna i równania różniczkowe 2 lato 2003-2004
Z10
1. Znalez
ć całki szczególne spełniające podane warunki początkowe
a) y''+4y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 2
b) y''-5y'+ 4y = 0, y(0) = 5, y'(0) = 8
2. Znalez
ć całkę szczególną równania spełniającą podane warunki
a) y''+ y = cos x, y(0) = 0, y'(0) = -1
b) y''-4y'= 8x, y(0) = 1, y'(0) = -1
x
2
c) y''-2y'+ y = 4sin , y(0) = 2, y'(0) = 1
2
3. Rozwiązać równania
ex
a) y''+ y = tgx , b) y''-2y'+ y = ,
x2 +1
4. Rozwiązać równania
a) x2 y''-4xy'+6y = x ; b) (1 + x)2 y''-3(1+ x)y'+4y = (1 + x)3
x
Odp.1.a) y = sin 2x ; b) y = 4ex + e4x ; 2.a) y = sin x - sin x ;
2
9 1 1
b) y = ex - e4x - x2 - x ; c) y = 2 + sin x ;
8 8 2
Ä„ x
3.a) y = cos x ln | tg( - ) + C1 cos x + C2 sin x ;
4 2
1
b) y = (C1 + C2 x)ex + xarctgx Å" ex - ln(x2 +1) Å" ex ;
2
1
4.a) y = C1x2 + C2x3 + x ; b) y = (x +1)2 (C1 + C2 ln(x +1)) + (x +1)3
2