DRGANIA I FALE
Ruch okresowy  Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu.
Przykłady:
" Ruch masy zawieszonej na sprężynie w polu grawitacyjnym,
" Drgania powierzchni cieczy,
" Wahadło fizyczne,
" Ruch zapadki na kole zębatym.
Ruch harmoniczny  Szczególny przypadek ruchu okresowego, w którym położenie obiek
tu zmienia się jak funkcja sinus lub cosinus. W takim ruchu obiekt
wykonuje drgania harmoniczne.
Drgania harmoniczne mogą dotyczyć nie tylko położenia, ale również szeregu innych wielko
ści fizycznych, takich jak:
" Natężenie pola elektrycznego lub magnetycznego fali elektromagnetycznej,
" Natężenie światła po przejściu przez modulator,
" Ciśnienie powietrza w obecności fal dz
więkowych,
" Natężenie prądu w elektrycznym obwodzie drgającym.
Drgania i fale 1
Ruch harmoniczny
Własnościami ruchu harmonicznego zajmiemy się na przykładzie oscylatora harmonicznego,
którego stan może być opisany za pomocą jednej współrzędnej x. Może to być pewna masa
m wykonująca drgania pod wpływem siły sprężystości na idealnie gładkim stole.
x0  położenie równowagi masy m
.
Siła sprężystości (siła harmoniczna)
F = -k (x - x0)
k  współczynnik sprężystości
( związek z prawem Hooke a
"l 1
= F )
l E S
Drgania i fale 2
Ruch harmoniczny, cd.
Siła kwazisprężysta  Dowolna siła typu F = -k (x - x0). Jest charakterystyczna dla małych
wychyleń układu z położenia równowagi.
Ruch harmoniczny  Ruch, w którym poza siłą harmoniczną nie występują żadne inne siły
prosty (np. tarcia, lub inne siły zewnętrzne zależne od położenia lub pręd
kości danego obiektu.
Równanie ruchu harmonicznego prostego


dp d2x F
= F =
, lub dla ruchu jednowymiarowego
dt dt2 m
d2x k
=- (x - x0)
dt2 m
k d2x
= �2 +�2x = �2x0

m dt2
Jest to równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu, niejednorodne.
Drgania i fale 3
Równanie ruchu harmonicznego prostego, cd.
d2x
+�2x = �2x0
dt2
Ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego jest równe sumie ogólnego rozwiązania od
powiedniego równania jednorodnego i dowolnego rozwiązania szczególnego równania nie
jednorodnego.
Szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego: x(t) = x0
Ogólne rozwiązanie równania jednorodnego: x(t) = A1 cos(�t) + A2 sin(�t)
Ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego: x(t) = x0 + A1 cos(�t) + A2 sin(�t)
Warunki początkowe (dla t = 0):
x(t = 0) = xp xp = x0 + A1 A1 = xp - x0
dx(t)
�(t) == -A1� sin(�t) + A2 � cos(�t)
dt
�p
A2 =
�(t = 0) = �p �p = A2 �
�
Drgania i fale 4
Równanie ruchu harmonicznego prostego, cd.
Otrzymaliśmy:
�p
A2 =
x(t) = x0 + A1 cos(�t) + A2 sin(�t) , A1 = xp - x0 ,
�
Równanie ruchu oscylatora harmonicznego prostego:
�p
x(t) = x0 + (xp - x0)cos(�t) + sin(�t)
�
�p
=-Asin�
Zastosujmy przekształcenia: xp - x0 = Acos� ,
�
x(t) = x0 + A cos(�t)cos� - sin(�t)sin� = x0 + Acos(�t + � )
[]
Amplitudę drgań A można znalez
ć z równania A = A2 cos2 � + A2 sin2 �
2
�p
A = (xp - x0)2 + Przyjmuje się, że amplituda A jest zawsze dodatnia.
�2
Drgania i fale 5
Równanie ruchu harmonicznego prostego, cd.
�p
sin�
Przesunięcie fazowe � można znalez
ć z równania tg� == -
cos� � (xp - x0)
Należy tu jednak zwrócić uwagę, że w dowolnym przedziale o szerokości 2Ą równanie na
tg� jest spełnione dla dwóch wartości � . Jako właściwą należy wziąć tę wartość � , która
zapewnia takie znaki dla cos� i sin� , które przy A dodatnim spełniają równania
xp - x0 = Acos� i �p � =-Asin� .
x(t) = x0 + Acos(�t +� )
Inna postać równania ruchu oscylatora harmonicznego
prostego
x0 położenie równowagi,
A amplituda,
�t +� faza,
� częstość kołowa; � = 2Ą f ,  częstość,
f
� faza początkowa, przesunięcie fazowe.
Drgania i fale 6
SKA
ADANIE (DODAWANIE) DRGAC
HARMONICZNYCH
Ruchy harmoniczne są często ruchami złożonymi z kilku lub nawet znacznej liczby ruchów
harmonicznych. Ograniczymy się do analizy złożeń dwóch drgań.
Składanie drgań równoległych
Mamy dwa drgania składowe:
x1 = A1 cos(�1t + �1) = A1 cos�1
x2 = A2 cos(�2t + �2) = A2 cos�2
Założymy, że A1 > 0 i A2 > 0. Jeśli tak nie jest, to znak można uwzględnić w fazach �1 i
 -
2 2
., gdzie � = � + Ą .
�2 , np. -Acos(�t +� ) = Acos(�t +� )
Drganie wypadkowe dane jest równaniem
x(t) = x1(t) + x2(t) = A1 cos�1 + A2 cos�2 = A(t)cos �(t)
[ ]
Złożenie dwóch drgań równoległych o dowolnych amplitudach można analizować używając
metody wektorowej lub metody wskazów.
Drgania i fale 7
Składanie drgań równoległych, cd.
Diagram wektorowy.
Zakładamy tu, że drgania x1(t) = A1 cos�1 i x2(t) = A2 cos�2

można traktować jako rzuty wektorów A1 i A2 na oś x , a
drganie wypadkowe x(t) = x1(t) + x2(t) = A(t)cos �(t)  ja
[ ]

ko rzut na tę oś wektora A będącego sumą wektorów A1 i

A2.
Z twierdzenia kosinusów
2 2
A = A12 + A2 - 2 A1 A2 cosą = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos(�2 -�1)
A1 sin�1 + A2 sin�2
Amax = A1 + A2, Amin = A1 - A2 , ponadto tg� =
A1 cos�1 + A2 cos�2
Jeśli �1 i/lub �2 są funkcjami czasu to zarówno amplituda A jak i faza � są funkcjami czasu.
Występuje modulacja amplitudy i fazy (bądz
częstości).
Drgania i fale 8
Dodawanie drgań prostopadłych
Wez
my pod uwagę drganie punktu materialnego będące wynikiem nałożenia się dwóch
drgań harmonicznych odpowiednio wzdłuż osi x i y .
x = Ax cos(�x t +�x)
�#
 równanie toru w postaci parametrycznej
y = Ay cos(�y t +�y)Ź#
�#

Położenie tego punktu może być opisane wektorem r (t) = x(t)ex + y(t)ey
Niektóre szczególne przypadki dodawania drgań, gdy �x = �y = �, �x = 0, �y = �
x = Ax cos(�t)
y = Ay cos(�t + � )
1a) � = n 2Ą , n = 0, ą1, ą 2, ...
Ay
y = x równanie prostej
Ax
Drgania i fale 9
Niektóre szczególne przypadki dodawania drgań, gdy �x = �y = �, �x = 0, �y = � , cd.
x = Ax cos(�t)
y = Ay cos(�t + � )
1b) � = (2n +1)Ą , n = 0, ą1, ą 2, ...
Ay
y = - x równanie prostej
Ax
Ą
2a) � = (2n +1) , n = 0, ą1, ą 2, ... Ax = Ay = A
2
x2 + y2 = A2 równanie okręgu
Ą
2b) � = (2n +1) , n = 0, ą1, ą 2, ... Ax `" Ay
2
x2 y2
+ =1 równanie elipsy
2 2
Ax Ay
Drgania i fale 10
Przypadek ogólny: krzywe Lissajous

Krzywymi Lissajous nazywane są krzywe określone równaniem r (t) = x(t)ex + y(t)ey, gdzie
x(t) = Ax cos(�x t), y(t) = Ay cos(�y t + � ). Na rysunku przedstawiono niektóre z tych krzy
wych dla Ax = Ay oraz dla wybranych wartości stosunku częstości �x :�y i niektórych prze
sunięć fazowych � . Krzywa Lissajous jest krzywą zamkniętą, jeśli stosunek �x :�y jest liczbą
wymierną.
Drgania i fale 11
FALE SPR
ŻYSTE (MECHANICZNE)
Fala  Przenoszenie się zaburzenia w ośrodku, proces rozchodzenia się drgań w
ośrodku.
Fale sprężyste  Fale rozchodzące się w ośrodkach sprężystych. Powstają w wyniku chwi
lowego wychylenia (zaburzenia) jakiegoś elementu ośrodka z położenia
równowagi, co następnie powoduje jego drgania. Zaburzenie to wymu
sza drgania sąsiednich elementów ośrodka.
Fale mechaniczne przenoszą energię  w postaci energii potencjalnej (energia odkształcenia
ośrodka) i energii kinetycznej (energia ruchu materii).
Klasyfikacja fal (możliwa na wiele sposobów)
a) Ze względu na kierunek ruchu cząstek ośrodka
Poprzeczne  Kierunek odkształcenia jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali.
Podłużne  Kierunek odkształcenia jest równoległy do kierunku rozchodzenia się fali.
Drgania i fale 12
Klasyfikacja fal, cd
b) Ze względu na rodzaj zaburzenia
Impuls  Powstaje, gdy z
ródłem fali jest jednorazowe zaburzenie.
falowy
Fala  Jest wytwarzana przez z
ródło wykonujące drgania harmoniczne. W fali
harmoniczna harmonicznej wszystkie punkty ośrodka wykonują drgania harmoniczne z
różnymi fazami.
c) Ze względu na kształt czoła fali (powierzchni jednakowej fazy)
Fale płaskie  Powierzchnie jednakowej fazy są płaszczyznami.
Fale koliste  Miejsce geometryczne jednakowej fazy jest kołem lub powierzchnią o
(cylindryczne) kształcie cylindrycznym.
Fale kuliste  Powierzchnie jednakowej fazy są sferami.
Drgania i fale 13
Podstawowa własność rozchodzenia się zaburzenia falowego
Załóżmy, że dla x = 0 zachodzi s(x = 0,t) = f (t)
s(x,t)  wychylenie w chwili t cząstki o współrzędnej x z położenia równowagi,
f (t)  pewna funkcja czasu.
Dla uproszczenia zajmijmy się najpierw ruchem
zaburzenia falowego tylko w dodatnim kierunku
osi x .
Dla x = x1 zaburzenie jest opóz
nione o x1 /� i odpowiada zaburzeniu w punkcie x = 0 w
chwili wcześniejszej o x1 /� , czyli
x1
�#t ś#
s(x1,t) = f - Równanie fali płaskiej. Wszystkie punkty ośrodka w płasz
ś#ź#
�
�# #
czyznach x = const są w tej samej fazie ruchu.
Drgania i fale 14
Równanie fali
Równanie fali  Wyrażenie przedstawiające wychylenie drgającej cząstki w funkcji jej
współrzędnych x, y, z i czasu t .
x
�#t ś#
Ogólna postać równania fali w jednym wymiarze: s(x,t) = f -
ś#ź#
�
�# #
W przypadku fali harmonicznej
Ą#ń#
x
�#t ś#
f (t) = s0 cos(�t + �) s(x,t) = s0 cos + � = s0 cosŚ
ś#
ó#� �# - ź#
Ą#
�
#
Ł#Ś#
x
�#t ś#
Ś= � - +� faza fali.
ś#ź#
�
�# #
Prędkość fazowa fali
Prędkość fazowa  Prędkość, z jaką poruszają się miejsca o tej samej fazie.
xc dxc
Ś(xc,t) = const t - = const xc = � (t - const) � = = �
f
� dt
Drgania i fale 15
Równanie fali płaskiej
Fala płaska  Fala, która może być opisana tylko jedną składową wektora prędkości,
np. �x = � i jedną współrzędną przestrzenną, np. x. Powierzchnia
f
stałej fazy fali płaskiej jest płaszczyzną.
�#ś#
Ą#ń# �x
x
�#t ś#
s(x,t) = s0 cos
ś#ź#
ó#� �# - +�Ą# = s0 cosś#�t - +� ź#
ś#ź#
��
#
Ł#Ś#
f
�# #
Długość fali  Najmniejsza odległość punktów, dla których następstwo ruchów
ośrodka jest identyczne.
�#ś#
�x1 �(x - x1)
s(x,t) = s0 cosś#�t - -+�
ś#ź#
��fź#
f
�# #
�(x - x1)
Jeśli x - x1 =  , to = 2Ą
�f
� 
= 2Ą �! =1 �!  =�f T �! �f =  f
�f T�f
Drgania i fale 16
Wektor falowy
Jest to wektor określony wyrażeniem

2Ą
k = n , n  wektor jednostkowy zgodny z kierunkiem rozchodzenia się fali.

� � 2Ą
= 2Ą �!= = k k  moduł wektora falowego (liczba falowa).
�f �f 
Użycie wektora falowego upraszcza wyrażenie opisujące falę
�#ś#
�x 2Ą
ś#
s(x,t) = s0 cosś#�t - +� = s0 cos�#�t - x +� = s0 cos(�t - kx +�)
ś#ź#
ś#ź# 
ź#
�f
�# #
�# #
Równanie fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku wyznaczonym przez kierunek wektora fa



lowego k można zapisać jako s(r,t) = s0 cos(�t - kr +�)
W szczególnym przypadku, dla fal poruszających się


 w dodatnim kierunku osi x : k r = kxx = k x, s(x,t) = s0 cos(�t - kx +�)


 w ujemnym kierunku osi x : k r = kxx =-k x, s(x,t) = s0 cos(�t + kx +�)
Drgania i fale 17