11. Drgania,fale
WahadÅ‚o sprężynowe; siÅ‚a sprężysta F = -kx k = mÉo 2
2
d x
2
Równanie ruchu harmonicznego + Éo x = 0
2
dt
RozwiÄ…zanie x = Asin(Éot + Õo )
PrÄ™dkość v = AÉ cos(Éot + Õo )
2
Przyspieszenie a = -Éo x
2Ä„
Õo - faza poczÄ…tkowa Éo = 2Ä„fo =
To
fo  częstotliwość, To - okres
m
Okres wahań wahadła sprężynowego To = 2Ą
k
l
Okres wahań wahadła matematycznego T = 2Ą
g
l- długość wahadła, g  przyspieszenie ziemskie
Io
Okres wahań wahadła fizycznego T = 2Ą
mgr
Io  moment bezwładności względem osi wahań, m  masa wahadła, r  odległość środka
masy do osi wahań
1 1
2
Energia drgań E = Ek(t) + Ep(t) = const E = mvmax = kA2
2 2
1 1
Ek (t) = mv2 (t) E (t) = kx2 (t)
p
2 2
Drgania tłumione, siły: F = ma = -kx  bv
2
d x dx b
2
Równanie ruchu + 2² + É x = 0 ² =
2
dt dt 2m
2 2 2
RozwiÄ…zanie x = Aoe-²t sin(Ét + Õ) É = Éo - ²
Amplituda A = Aoe-²t
An
Logarytmiczny dekrement tÅ‚umienia › = ln = ²T
An+1
Opracował Jerzy Stasz
Drgania wymuszone, siły: F = ma = -kx - bv + Fo cos &!t
2
d x dx Fo
2
Równanie ruchu + 2² + Éo x = cos&!t
2
dt dt m
RozwiÄ…zanie x = Asin(&!t - Õ)
Fo
Amplituda A =
2 2
m (Éo - &!2 ) + 4² &!2
2²&!
PrzesuniÄ™cie fazowe tgÕ =
2
Éo - &!2
2 2
CzÄ™stość rezonansowa &!r = Éo - 2² A = maximum
Równanie fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku +x
2Ä„
y = Asin(Ét - kx) É = 2Ä„ Å" f =
T
2Ä„
Liczba falowa k =

É
Prędkość fazowa fali v =
k
E(1- µ)
Prędkość fali podłużnej w ciele stałym v = E  moduł Younga
Á(1+ µ)(1- 2µ)
Á  gÄ™stość ciaÅ‚a, µ  współczynnik Poissona
E
Prędkość fali podłużnej w pręcie v =
Á
G
Prędkość fali poprzecznej w ciele stałym v = G- moduł sprężystości postaciowej
Á
Prędkość fali poprzecznej w strunie o przekroju poprzecznym S, F  siła naciągu
F
v =
ÁS
1
PrÄ™dkość fali podÅ‚użnej w cieczy v = ²  współczynnik Å›ciÅ›liwoÅ›ci
²Á
cieczy
ºp
PrÄ™dkość fali podÅ‚użnej w gazie v = º  wykÅ‚adnik adiabaty,
Á
p  ciśnienie
Natężenie fali (ilość energii "W przepływającą w czasie "t przez powierzchnię "S)
Opracował Jerzy Stasz
"W J 1
îÅ‚ Å‚Å‚
2
I = = ÁvÉ A2
2
ïÅ‚m śł
"S"t s 2
ðÅ‚ ûÅ‚
Amplituda ciÅ›nienia fali "pm = ÁvÉA
Opór akustyczny Z = Áv
Współczynnik odbicia przy przejściu prostopadłym fali z ośrodka  1 do  2 :
2
ëÅ‚ - Z2 öÅ‚
Z1
ìÅ‚ ÷Å‚
R =
ìÅ‚
Z1 + Z2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Współczynnik transmisji przy przejściu prostopadłym fali z ośrodka  1 do  2 :
T = 1  R (pomijamy straty na absorpcjÄ™)
Natężenie fali akustycznej kulistej w odległości r od z
ródła punktowego o mocy P:
P
I =
2
4Ä„ Å" r
Tłumienie (absorpcja) płaskiej fali akustycznej w zależności od odległości x
I = Ioe-ąx ą  współczynnik absorpcji
ëÅ‚ öÅ‚
I
ìÅ‚ ÷Å‚
GÅ‚oÅ›ność L = 10logìÅ‚ ÷Å‚ [dB]
Io
íÅ‚ Å‚Å‚
Io = 10-12 W/m2  próg słyszalności dla f = 1000 Hz
Częstotliwość dudnień fd = f1 - f2 f1 , f2 - częstotliwości
nakładających się dz
więków
v2
1+
Efekt Dopplera, zbliżanie f = fo v fo  częstotliwość drgań z
ródła
v1
1-
v
v2
1-
Efekt Dopplera, oddalanie f = fo v f  obserwowana częstotliwość
v1
1+
v
v  prędkość dz
więku, v1  prędkość z
ródła, v2  prędkość obserwatora
Opracował Jerzy Stasz
1. Oscylator ma postać klocka o masie m = 0.5 kg umocowanego na sprężynie. Po
wprawieniu w drgania o amplitudzie A = 35 cm oscylator powtarza swój ruch co 0.5 s.
Wyznacz: a) okres - T, b) czÄ™stość - f, c) czÄ™stość koÅ‚owÄ… - É, d) staÅ‚Ä… sprężystoÅ›ci -k,
e) maksymalną prędkość- vm, f) wartość maksymalnej siły Fm, jaką sprężyna
wywiera na klocek
2. Ciało drga ruchem harmonicznym opisanym wzorem (w jednostkach SI)
x = 6,5cos(3Ąt + Ą ) . Dla czasu t = 2 s wyznacz: a) przemieszczenie, b) prędkość, c)
przyspieszenie, d) fazę, e) częstość, f) okres drgań
3. W drgającym układzie klocek  sprężyna energia mechaniczna wynosi 1 J., amplituda
10 cm, maksymalna prędkość 1,2 m/s. Wyznacz: a) stałą sprężystości, b) masę klocka,
c) częstość drgań
4. Jaka jest długość wahadła  sekundowego , które wykonuje pełne wahnięcie z lewa na
prawo i z powrotem w ciągu 2 s? (zastosuj wzór dla wahadła matematycznego)
5. Oscylator tłumiony ma następujące parametry: m = 250 g, k = 85 N/m, b = 70 g/s.
Wyznacz: a) okres drgań tego oscylatora, b) czas, po którym amplituda drgań
tłumionych zmaleje do połowy swojej wartości początkowej?
6. Napisz wzór przedstawiający falę sinusoidalną , mającą amplitudę 0,01 m, częstość
550 Hz, prędkość 330 m/s. biegnącą a) w ujemnym kierunku wzdłuż osi x, b) w
kierunku dodatnim .
7. Oblicz prędkość fal poprzecznych v w sznurze o długości l =2 m i masie m = 60 g
poddanym naprężeniu F = 500 N.
8. Lina, po której może biec fala, ma długość l =2,7 m i masę m = 260 g. Naprężenie
liny wynosi N =36 N. Jaka musi być częstość fali biegnącej o amplitudzie A = 7,7
2
1
mm, aby jej Å›rednia moc byÅ‚a równa 85 W? ( Psr = µvÉ A2 ), µ = m/l
2
9. W przypadku normalnego słuchu zakres częstości słyszalnych rozciąga się od około
20 Hz do 20 kHz. Jakie długości fal dz
więkowych w powietrzu odpowiadają tym
częstościom? Prędkość dz
więku w powietrzu v = 340 m/s.
10. y
ródło emituje izotropowo fale dz
więkowe. Natężenie fal w odległości 2,5 m od
z
ródła wynosi 1,91" 10-4 W/m2.
a) wyznacz poziom głośności dz
więku w [decybelach].
b) wyznacz moc z
ródła.
11. Poziom głośności pewnego z
ródła dz
więku wzrósł o 30 dB. O jaki czynnik wrosły
jego a) natężenie ,b) amplituda zmian ciśnienia
Opracował Jerzy Stasz