Analiza matematyczna i równania różniczkowe 2 lato 2003-2004
Z8
2
1. Zbadać krotność punktu zerowego z = 0 dla funkcji :a) f ( z ) = z2( ez -1),
b) f (z) = 6sin z3 + z3(z6 - 6)
2. Wykazać, że jeżeli funkcje f (z) , h(z) są holomorficzne w punkcie z0 , h(z0 ) = 0 ,
f (z) f (z0 )
f (z0 ) `" 0, to resz = .
0
h(z) h'(z0 )
3.Obliczyć residua funkcji w jej punktach osobliwych:
1+ cos z ez z 1
a) f (z) = ; b) f (z) = ; c) f (z) = , z = 0 ; d) f (z) = z3 cos( ) ;
z - Ą z2 +1 sin2 z z
sin z
e) f (z) =
z2
4. Obliczyć całki:
1
ez +1
2 z- j
a) dz b) z e dz
+" +"
ez -1
K K
gdzie K jest dodatnio skierowanym okręgiem K(0 ;10).
j
e e- j
Odp.3a) resĄ f (z) = 0 b) res f (z) = , res- j f (z) = , c) res0 f ( z ) = 1
j
2 j - 2 j
143 5
d) res2 f (z) = - , e) res0 f (z) = 1. 4a) 12Ąj ; b) - (2 + j)Ą .
24 3