Dr inż. Jacek Blicharski
Wydział Wiertnictwa, Nafty i Gazu
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
EKSPLOATACJA I INŻYNIERIA ZA
ÓŻ GAZU
1. Własności PVT gazu ziemnego
Gaz ziemny  krzywa równowagi fazowej układu węglowodorowego
Gaz ziemny jest to mieszanina gazowa wydobywana ze złoża, składająca się z
węglowodorów nasyconych o wzorze ogólnym CnH2n+2, jak też innych domieszek gazowych
t.j.: CO2, H2S, N2, H2O (w postaci pary). Głównym składnikiem gazu ziemnego jest metan.
Węglowodory w złożu mogą występować w różnych stanach skupienia w zależności od
składu i warunków ciśnienia i temperatury jako ciecz, gaz lub mieszanina dwufazowa cieczy i
gazu. Na rysunku 1.1 przedstawiono wykres równowagi fazowej w układzie p - T.
Rys. 1.1. Diagram fazowy ropy i gazu.
1
Każdy układ węglowodorowy wieloskładnikowy posiada charakterystyczną dla siebie krzywą
równowagi fazowej będącą faktycznie złożeniem dwóch krzywych I i II schodzących się w
jednym punkcie krytycznym. Punkt krytyczny a właściwie obszar krytyczny to obszar w
którym zanika różnica między faza ciekłą a gazową (zanik menisku). Krzywa I zwana krzywą
punktu pęcherzyków oddziela obszar cieczy (nad krzywą) od obszaru dwufazowego (pod
krzywą). Krzywa II  zwana krzywą punktu rosy oddziela obszar gazu od (nad krzywą) od
obszaru dwufazowego (pod krzywą) Obszar cieczy od obszaru gazu oddzielony jest izotermą
krytyczną. Analizując obszar gazu nad krzywą równowagi można wyróżnić dwa
charakterystyczne podobszary:
1 - zawarty nad krzywą między izotermą krytyczną a izotermą cricodentermu,
2  na prawo od izotermy cricodentermu.
Pierwszy z tych podobszarów charakteryzuje się tym, że układ węglowodorów może
początkowo znajdować się w fazie gazowej ale przy spadku ciśnienia  wchodzi w układ
dwufazowy  część gazu wykrapla się w postaci kondensatu  jest to obszar złóż gazowo-
kondensatowych. W obszarze na prawo od izotermy cricodentermu układ węglowodorowy
przez cały czas eksploatacji złoża znajduje się w fazie gazowej  jest to obszar złóż czysto-
gazowych.
Równanie stanu gazu
Zachowanie się mieszanin gazów może być opisane równaniem stanu gazu rzeczywistego
(równanie Clapeyrona) w postaci:
p �" V = z �" n �" MR �" T (1.1)
gdzie:
p  ciśnienie,
V  objętość,
z - stosunek ściśliwości gazu jest miarą odstępstwa zachowania się gazu
rzeczywistego od gazu doskonałego,
n  liczba moli gazu,
MR  uniwersalna stała gazowa (MR = 8314 J/kmol K),
T  temperatura.
Korzystając z zależności:
m
n = (1.2)
M
gdzie:
m  masa gazu,
2
 M  masa molekularna gazu
równanie stanu gazu rzeczywistego można wtedy zapisać:
p �" V = z �" m �" R �" T (1.3)
gdzie: R  indywidualna stała gazowa (R = MR/M)
Korzystając z równania definicyjnego gęstości � = m / V równanie stanu można zapisać jako:
p
� = (1.4)
z �" R �" T
Stosunek ściśliwości  z
Występujący w równaniu stosunek ściśliwości  z można wyznaczyć z wykresu Standing a 
Katz a (rys. 1.2) w oparciu o wyznaczone wcześniej parametry zredukowane ciśnienia i
temperatury wg następujących zależności:
p T
ppr = Tpr =
ppc Tpc
(1.5)
gdzie:
ppc  ciśnienie pseudokrytyczne mieszaniny gazów,
Tpc  temperatura pseudokrytyczna mieszaniny gazów.
Parametry psuedokrytyczne mieszanin gazów określane są dla znanego składu gazu wg
zależności:
ppc = �" pci Tpc = �" Tci (1.6)
"yi "yi
i i
gdzie:
y  udział składnika gazu w mieszaninie gazów,
pci, Tci  parametry krytyczne ciśnienia i temperatury poszczególnych
składników mieszaniny gazów.
3
Rys. 1.2. Wykres Standing a- Katz a dla wyznaczani stosunku ściśliwości  z .
Współczynnik objętościowy gazu  Bg
Współczynnik objętościowy gazu wyraża stosunek objętości tej samej ilości gazu w danych
warunkach p, T do objętości w warunkach normalnych:
Vp,T
Bg = (1.7)
Vn
4
na podstawie równania stanu gazu rzeczywistego można zatem napisać:
z �" n �" MR �" T / p
Bg = (1.8)
zn �" n �" MR �" Tn / pn
dla tej samej ilości gazu n�"MR się upraszcza oraz przyjmując zn H" 1otrzymuje się:
pn �" z �" T
Bg = (1.9)
p �" Tn
Klasyfikacja płynów złożowych
Płyny złożowe ze względu na ich ściśliwość można podzielić na:
" nieściśliwe,
" słabościśliwe (ciecze)
" ściśliwe (gazy)
Płyny ściśliwe dzielą się na płyny słabościśliwe (ciecze) i silnie ściśliwe (gazy).
Ściśliwość płynów charakteryzowana jest współczynnikiem ściśliwości izotermicznej  c ,
wyrażona zależnością:
1 "V
c = -
V "p
(1.10)
Współczynnik ten można zapisać za pomocą gęstości płynu jako:
1 "�
c =
� "p
(1.11)
Płyn nieściśliwy definiowany jest jako płyn nie zmieniający swej objętości lub gęstości z
ciśnieniem "V / "p = 0 lub "� / "p = 0 . W rzeczywistości płyny takie nie występują jednakże
mogą być używane w celu uproszczenia rozwiązań równań różniczkowych przepływu.
Płyn słabościśliwy, to płyn charakteryzujący się małą zmianą objętości czy też gęstości z
ciśnieniem.
W przypadku gazów (płyn ściśliwy) istnieje silna zależność współczynnika ściśliwości  c od
ciśnienia. Współczynnik ściśliwości gazu  cg opisywany jest zależnością:
Z równania stanu dla gazów rzeczywistych można napisać:
z �" n �" MR �" T
V = (1.12)
p
Różniczkując powyższe równanie względem ciśnienia  p przy stałej temperaturze T
uzyskuje się:
5
Ą#1 "z z ń#
�# ś# �# ś#
"V
ś# ź# = n �" MR �" T �" �"ś# ź# - (1.13)
ó#p ś# "p ź# p2 Ą#
ś# ź#
"p
�# #T �# #
Ł# Ś#
Wstawiając do równania definicyjnego na współczynnik ściśliwości gazu  cg uzyskuje się
zależność:
�# ś#
1 1 "z
cg = - �" ś# ź# (1.14)
ś# ź#
p z "p
�# #T
Dla gazu doskonałego, z = 1 oraz ("z / "p) = 0, zatem:
T
1
cg = (1.15)
p
2. Charakterystyka podstawowych parametrów złożowych
Złoże węglowodorów traktowane jest jako warstwa skalna charakteryzująca się
wieloma parametrami, z których główne znaczenie dla opisu przepływu i potrzeb eksploatacji
płynu złożowego mają:
1. Przepuszczalność
2. Porowatość
3. Miąższość złoża
4. Nasycenie wodą
Przepuszczalność jest to zdolność skały do przepuszczania przez siebie płynów pod wpływem
różnicy ciśnień. Wyróżniamy trzy rodzaje przepuszczalności:
a) absolutną (k)  przepuszczalność dla danej fazy przy nasyceniu ośrodka porowatego tą
fazą. Warunkiem jest to aby płyn był płynem jednorodnym oraz skała była jednorodna k jest
funkcją rodzaju skały
b) efektywną (fazową  kf) jest to przepuszczalność dla danej fazy, jeżeli skała jest nasycona
co najmniej dwoma fazami. kf jest funkcją rodzaju skały oraz nasycenia skały daną fazą (Sf)
kf
c) względną kr definiowana zależnością kr = = f(Sf ) (rys. 2.1)
k
Przepuszczalność fazowa wzrasta ze wzrostem nasycenia ośrodka daną fazą. W przypadku
gdy nasycenie wodą Sw jest równe nasyceniu wodą związaną Swc wówczas nie ma przepływu
wody, zatem przepuszczalność fazowa dla wody jest wówczas równa zeru. Podobnie, gdy
nasycenie ropą jest równe nasyceniu residualnemu Sor (szczątkowemu) wówczas nie ma
przepływu ropy i przepuszczalność efektywna dla ropy jest równa zeru.
Jednostką współczynnika przepuszczalności używaną szeroko w praktyce przemysłowej jest
1 Darcy (10-12 m2).
6
Rys. 2.1. Przepuszczalności względne w układzie ropa-woda w funkcji nasycenia wodą.
Porowatość skały jest to obecność wolnych przestrzeni w skale (porów). Porowatość skały
charakteryzowana jest współczynnikiem porowatości Ć. Współczynnik porowatości jest to
stosunek objętości porów Vp do objętości całej skały Vb.
Vp
Ć =
Vb
(2.1)
Tak zdefiniowana porowatość jest porowatością całkowitą. Porowatość całkowitą należy
odróżnić od porowatości efektywnej definiowanej jako stosunek objętości porów łączących
się ze sobą, którymi może przepływać płyn do całkowitej objętości skały. W inżynierii
złożowej używając pojęcia porowatości rozumie się porowatość efektywną ośrodka.
Porowatość określana jest metodami geofizycznymi lub w oparciu o badania laboratoryjne na
rdzeniach wiertniczych. Wartość porowatości uśrednia się dla całego złoża lub też złoże
można podzielić na bloki o wyraz
nie różniących się porowatościach.
Miąższość złoża jest to odległość pomiędzy stropem a spągiem złoża mierzona prostopadle do
upadu warstw. Do obliczeń przyjmuje się tzw. miąższość efektywną tj. sumę miąższości
wkładek przepuszczalnych w warstwie złożowej. W przypadku złóż z wodą podścielającą
miąższość średnią dla całego złoża można wyznaczyć na podstawie mapy strukturalnej z
7
naniesionym aktualnym położeniem konturu woda-gaz jako tzw. średnią miąższość ważoną
względem powierzchni wg zależności:
�" hi
"Ai
i
hsr =
"Ai
i
(2.2)
gdzie:
Ai  powierzchnie pomiędzy poszczególnymi poziomicami,
hi  średnie miąższości w poszczególnych interwałach.
Nasycenie wodą. Strefa zajęta przez gaz w różnym stopniu jest nasycona pewną ilością wody.
Część tej wody jest wodą związaną siłami adhezji na powierzchni skały, pozostała część jest
wodą ruchomą biorącą udział w przepływie. Ze wzrostem nasycenia ośrodka porowatego
wodą wzrasta przepuszczalność względna dla wody. Nasycenie wodą określane jest metodami
geofizyki w odwiercie niezarurowanym. Problemem jest śledzenie zmian nasycenia wodą po
zarurowaniu odwiertu.
3. Określenie zasobów gazu ziemnego w złożu
W inżynierii złożowej istnieje kilka metod obliczania zasobów złoża gazu ziemnego z
których dwie główne to:
metoda objętościowa,
metoda bilansu masowego,
Wybór odpowiedniej metody uzależniony jest znajomości parametrów wchodzących do
wzorów obliczeniowych. Metodę objętościową stosuje się zazwyczaj po rozpoznaniu budowy
geologicznej złoża i określeniu podstawowych parametrów złożowych takich: powierzchnia
złoża, miąższość, porowatość, nasycenie wodą jak również skład płynów złożowych i
parametrów PVT ciśnienia i temperatury.
Pozostałe dwie metody znajdują zastosowanie po pewnym okresie eksploatacji złoża w
oparciu o dane z przebiegu eksploatacji.
Metoda objętościowa  metoda ta polega na wyznaczeniu objętości porowej dostępnej dla
węglowodorów w złożu. Zasoby gazu wyznacza się wówczas na podstawie określonej
objętości porowej dostępnej dla węglowodorów, składu gazu oraz warunków ciśnienia i
temperatury w złożu.
Obliczenie objętości przestrzeni porowej dostępnej dla węglowodorów (VpHC).
8
VpHC = A �" h �" Ć �"(1 - Sw ) (3.1)
A  powierzchnia złoża,
h  miąższość,
Ć  współczynnik porowatości,
Sw  współczynnik nasycenia wodą.
Powierzchnię złoża wyznacza się w oparciu o mapę strukturalną stropu złoża z
uwzględnieniem upadu warstwy i granic złoża. Granicami złoża mogą być: kontur woda 
gaz, uskok, wyklinowanie litologiczne.
Mapa strukturalna jest odwzorowaniem powierzchni złoża wraz z jego granicą na poziomą
płaszczyznę. Na tej mapie naniesione są linie o stałej wysokości (poziomice) wyznaczone
względem poziomu morza, jak również naniesiony jest kontur gaz-woda.
Na rys. 3.1. pokazano mapę strukturalną złoża gazu z wodą podścielającą.
Rys. 3.1 Mapa strukturalna stropu przykładowego złoża.
Wyznaczenie zasobów gazu w złożu metodą objętościową
Na podstawie równania stanu gazu rzeczywistego można zapisać:
9
pVpHC = m �" z �" R �" T
ż#
(3.2)
�#
�" G = m �" zn �" R �" Tn
�#pn
stąd
pn �" G zn �" Tn
=
p �" VpHC z �" T
zn H" 1, zatem
p �" Tn
G = VpHC (3.3)
pn �" z �" T
Podstawiając zależność (3.1) do równania (3.3) uzyskuje się równanie pozwalające
wyznaczyć zasoby gazu w złożu metodą objętościową.
G = A �" hśr. �" Ćśr. �"(1- Sw )pp �" Tn (3.4)
�" z �" T
n
Parametrem zasadniczo wpływającym na wielkość zasobów gazu w złożu jest ciśnienie
złożowe. Brak jest bezpośredniej metody pomiaru ciśnienia złożowego. W praktyce jako
miarę ciśnienia złożowego przyjmuje się cieśninie denne statyczne w odwiercie (zmierzone
po pewnym okresie stabilizacji). Jeżeli wartości ciśnień dennych są zbliżone do siebie
wówczas możemy zastosować średnią arytmetyczną. W przypadku większych różnic
ciśnienie średnie wyznacza się licząc średnią ważoną, względem powierzchni lub średnią
ważoną względem objętości w strefach oddziaływania poszczególnych odwiertów (rys. 3.2),
wg następujących zależności:
średnia ważona względem powierzchni:
�" Ai
"pi
i
pA = (3.5)
"Ai
i
średnia ważona względem objętości:
�" Vi
"pi
i
pV = (3.6)
"Vi
i
10
Rys. 3.2. Metoda wyznaczania średniego ciśnienia złożowego po objętości.
Drugim parametrem termodynamicznym wpływającym na zasoby gazu w złożu jest
temperatura. Jej wartość wyznacza się z pomiarów na dnie odwiertu lub też określa w oparciu
o stopień geotermiczny. Na ogół przyjmuje się, że temperatura jest jednakowa w całym złożu
a sam proces eksploatacji przebiega izotermicznie.
Metoda bilansu masowego
Metoda bilansu masy jest jednym z podstawowych narzędzi inżynierii złożowej
pozwalającym analizować i prognozować charakter przebiegu eksploatacji złóż ropy i gazu.
Technika ta pozwala na oszacowanie m.in.: zasobów początkowych gazu w złożu, ciśnienia
początkowego, zasobów gazu w złożu w dowolnym okresie jego eksploatacji, aktualnego
średniego ciśnienia złożowego. Istotą metody jest zastosowanie zasady zachowania masy w
odniesieniu do złoża traktowanego jako zbiornik o jednorodnym ciśnieniu i temperaturze.
Zasada bilansu masowego w inżynierii złożowej nosi nazwę modelu zerowymiarowego.
Metoda ta opiera się na założeniu: ilość gazu pierwotnie znajdującego się w złożu G jest sumą
ilości gazu wydobytego ze złoża Gp oraz ilości gazu pozostałego w złożu Gz. Jest to
podstawowa zasada bilansu masowego.
G = Gz + Gp (3.7)
Mimo oczywistości tego równania w praktyce występują problemy ze spełnieniem tej
zależności. Wynikają one z faktu, że w równaniu tym dokładnie znana jest jedynie ilość
11
wydobytego gazu. Nie są znane dokładnie ani pierwotne zasoby ani ilość gazu pozostałego w
złożu. Dodatkowym problemem jest możliwa zmiana objętości przestrzeni porowej, bądz

wskutek dopływu wody, bądz
wskutek zaciskania się por skał.
Równanie bilansu złożowego dla złoża z uwzględnieniem dopływu wody, wydobycia wody
wraz z gazem, ściśliwości wody w strefie gazu oraz ściśliwości matrycy skalnej przyjmuje
postać:
G �" Bgi
G �"(Bg - Bgi)+ (Sw �" Cw + Cf )�" "p = Gp �" Bg + Bw �"(Wp - We) (3.8)
1- Sw
lub
Gp �" Bg + (Wp - We)�" Bw
G = (3.9)
Bgi
Bg - Bgi + �"(Cw �"Sw + Cf )�" "p
1- Sw
gdzie:
Bg  współczynnik objętościowy gazu odniesiony do ciśnienia bieżącego,
Bgi  współczynnik objętościowy gazu odniesiony do ciśnienia początkowego,
Cw  współczynnik ściśliwości wody,
Cf  współczynnik ściśliwości przestrzeni porowej skały,
"p  spadek ciśnienia wywołany wydobyciem gazu w ilości Gp,
Wp  ilość wydobytej wody wraz z gazem,
We  ilość wody dopływającej z zewnątrz do strefy gazowej.
Lewą stronę równania (3.8) stanowią człony zmian objętości płynów złożowych i złoża.
Człony prawej strona równania (3.8) wyrażają objętości wydobytego gazu i wody oraz
dopływu wody do złoża spoza konturu.
Równanie (3.9) może być wykorzystywane do obliczeń zasobów gazu jednakże w przypadku
złóż z aktywną wodą złożową (podścielającą czy też okalającą) problemem jest określenie
ilości wody dopływającej do złoża We, w wyniku powstałej różnicy ciśnień, między
ciśnieniem złożowym a ciśnieniem w strefie wodonośnej (aquiferze). Dopływająca do złoża
woda powoduje podtrzymanie ciśnienia złożowego. Intensywność dopływu wody zależy od
wzajemnej wielkości złoża gazu i strefy wodonośnej (aquifera) oraz tempa odbioru gazu.
Zazwyczaj ściśliwość skały i wody związanej w porównaniu ze ściśliwością gazu jest
niewielka i w rezultacie zaniedbywana, wówczas równanie (3.9) po przekształceniach
przyjmuje postać:
�#
Gp Bgi (We - Wp )Bw ś#
ś#1- ź#
= 1- (3.10)
G Bg ś# G �" Bgi ź#
�# #
12
Wykorzystując zależności na współczynniki objętościowe gazu przy ciśnieniu początkowym
oraz aktualnym ciśnieniu złożowym, odpowiednio:
pnz T
p ziT
n
Bgi = , Bg =
piTn p Tn
oraz zakładając izotermiczny charakter procesu eksploatacji (T = const) równanie (3.10)
upraszcza się do postaci:
Gp
�# ś#
ś# ź#
ź#
p pi ś#1- G
�# #
= (3.11)
z zi (We - Wp )Bw
1-
G �" Bgi
Człon (We Wp)Bw/(G�"Bgi) oznacza część przestrzeni porowej zajętej przez dopływającą do
złoża wodę. W rezultacie, im więcej wody dopływa do złoża, tym mniejszy spadek ciśnienia
obserwuje się dla określonego strumienia odbieranego gazu. W przypadku braku dopływu
wody, gdy złoże jest typu wolumetrycznego, równanie (3.11) upraszcza się do postaci:
�# ś#
p pi ś#1- Gp ź#
=
ź#
z zi ś# G
�# #
(3.12)
Jest to liniowa zależność p/z vs Gp, co przedstawia rys. 3.3.
W przypadku dopływu wody do złoża, wykres p/z vs Gp będzie przebiegać nieliniowo. Im
większa aktywność  aquifera , tym większe odchylenie krzywej ku górze.
Rys. 3.3. Graficzna postać równania bilansu masowego dla złóż gazu ziemnego o charakterze
wolumetrycznym i wodnonaporowym.
13
Technika interpretacji  p/z wydaje się być prostą metodą, ale główne niebezpieczeństwo
leży w interpretacji wykresu p/z vs Gp i rozstrzygnięciu o jego liniowym lub nieliniowym
charakterze. Często dla złóż gazu z ruchomą wodą wykres p/z wydaje się być pozornie linią
prostą, gdy w rzeczywistości nią nie jest (dotyczy to szczególnie złóż w początkowym
stadium eksploatacji, gdzie zaczyna się ujawniać oddziaływanie aquifera). Popełnia się
wówczas podwójny błąd: interpretuje się złoże jako wolumetryczne, wyniki ekstrapolacji dają
zawyżone wartości początkowych zasobów złożowych (rys. 3.4). W wielu przypadkach
można uniknąć tego błędu powiększając skalę wykresu. Na podstawie wykresów p/z vs Gp
można szacować początkowe zasoby złożowe ekstrapolując tylko początkową część wykresu
jeszcze przed rozpoczęciem ruchu wody złożowej, gdyż dopływ wody zaczyna mieć
zasadniczy wpływ na przebieg eksploatacji dopiero po pewnym okresie czasu. Zatem przez
pewien czas złoże zachowuje się tak jakby tego dopływu nie było.
Rys. 3.4. Błędne szacowanie zasobów gazu dla złoża z aktywną wodą złożową.
Metodyka Havlena-Odeh interpretacji bilansu masowego
Równanie bilansu masowego opisane zależnością (3.8) używając adnotacji Havlena-Odeh
można zapisać w następującej formie:
F = G �"(Eg + Efw )+ We �" Bw (3.13)
gdzie:
F = G �" Bg + Wp �" Bw  całkowite wydobycie gazu i wody,
p
14
Eg = Bg - Bgi  współczynnik ekspansji gazu,
Bgi
Efw = �"(Sw �" Cw + Cf )�" "p  współczynnik ekspansji wody i skały.
1- Sw
W praktyce w większości przypadków ekspansja wody i skały jest dużo mniejsza od ekspansji
gazu (Efw << Eg), zatem może być pominięta. Równanie (3.13) upraszcza się wtedy do
postaci:
F = G �" Eg + We �" Bw (3.14)
Dzieląc obie strony równania przez współczynnik ekspansji gazu uzyskuje się:
F We �" Bw
= G + (3.15)
Eg Eg
Równanie (3.15) stanowi podstawę do określenia mechanizmu pracy złoża w oparciu o dane z
przebiegu eksploatacji tj. wydobycia płynów złożowych, ciśnień złożowych oraz własności
PVT płynów złożowych. Naniesienie na wykres wartości ilorazu F/Eg w funkcji ilości
wydobytego gazu Gp pozwala zaobserwować zmiany tego ilorazu w trakcie eksploatacji
złoża, a tym samym określić charakter jego pracy.
Na rys. 3.5. przedstawiono wykres diagnostyczny pozwalający określić charakter pracy złoża
gazu oraz wyznaczyć początkowe zasoby gazu w złożu.
Rys. 3.5. Wykres diagnostyczny bilansu masowego dla oceny mechanizmu pracy złoża.
Sporządzony wykres może mieć jeden z trzech przebiegów. Jeżeli złoże jest typu
wolumetrycznego (We = 0), wówczas wartości ilorazu F/Eg vs Gp układają się wzdłuż linii
prostej równoległej do osi odciętych. Z kolei, gdy następuje dopływ wody do złoża, wtedy
wykres przyjmuje kształt łuku wypukłego ku górze. Jego charakter zależy od wielkości i
15
aktywności aquifera jak również od wielkości wydajności odbioru gazu ze złoża. Im
aktywniejszy aquifer, tym krzywa szybciej narasta ku górze.
Główną zaletą metody Havlena-Odeh jest to, że jest ona znacznie bardziej czuła na
intensywność ruchu wody w złożu w stosunku do innych metod i dzięki temu jest
powszechnie stosowana do oceny warunków energetycznych złoża.
4. Model matematyczny filtracji płynu w ośrodku porowatym
Model matematyczny filtracji płynu w ośrodku porowatym stanowią następujące równania:
1. Równanie ciągłości.
2. Równanie filtracji.
3. Równanie stanu.
Równanie ciągłości przepływu
Równanie ciągłości zwane także równaniem zachowania masy można zapisać jako:
" " " "�
(�u ) + (�u ) + (�uz ) = -Ć
x y
"x "y "z "t
(4.1)
równanie to można zapisać w krótszej postaci:
r
"�
div(�u) = -Ć
"t
(4.2)
Lewa strona tego równania to zmiany substancjonalne (tego co wpłynęło z tym co
wypłynęło), prawa to zmiany lokalne (wynikającymi ze zmiany gęstości płynu).
"�
Dla płynu nieściśliwego = 0, zatem równanie ciągłości ma postać:
"t
r
div(�u) = 0
(4.3)
Równanie filtracji
Podstawowym równaniem opisującym przepływ płynu w ośrodku porowatym jest
równanie Darcy. Darcy na podstawie badań przepływu wody (lub) przez piasek wprowadził
pojęcie prędkości filtracji, która wyraża stosunek wydatku  q do pola przekroju całkowitego
skały  A .
Prędkość filtracji
def .
q
u =
A
(4.4)
k
u = - grad p
�
(4.5)
16
gdzie:
�  lepkość płynu,
u  prędkość filtracji.
Z zależności tej wynika, że prędkość filtracji jest proporcjonalna do gradientu
ciśnienia, a współczynnikiem proporcjonalności jest iloraz przepuszczalności skały  k i
lepkości  � .
Równanie stanu  podaje zależności własności płynu od ciśnienia i temperatury.
Dla płynu słabościśliwego wychodząc z definicji współczynnika ściśliwości równanie stanu
przyjmuje postać:
0
� = �0ec(p-p )
(4.6)
gdzie:
�  gęstość płynu przy ciśnieniu odniesienia p,
�0  gęstość płynu przy ciśnieniu p0,
c  współczynnik ściśliwości płynu.
Funkcja ekspotencjalna może być rozwinięta w szereg w postaci:
x2 x3 xn
ex = 1+ x + + + ... +
2! 3! n!
(4.7)
ponieważ wykładnik funkcji ekspotencjalnej  x reprezentujący człon c(p - p0 )jest bardzo
mały zatem funkcja ta może być aproksymowana zależnością:
ex = 1+ x
(4.8)
zatem równanie stanu płynu słabościśliwego przyjmie ostatecznie postać:
� = �0[1+ c(p - p0)]
(4.9)
Równanie przepływu płynu w ośrodku porowatym
Na podstawie trzech równań ciągłości, filtracji i stanu, po ich przekształceniu
otrzymuje się równanie różniczkowe rzędu drugiego będące matematycznym opisem
przepływu płynu słabościśliwego w ośrodku porowatym. Równanie to ma postać:
1 " "p "2p 1 "p �c "p
�#r ś#
= + =
ś# ź#
r "r "r "r2 r "r k "t
�# #
(4.10)
Równania przepływu płynu zapisane są w geometrii radialnej. W geometrii tej
zmienną jest promień  r będący odległością od odwiertu oraz czas  t . W geometrii radialnej
zakłada się, że głównym kierunkiem przepływu jest kierunek poziomy, a własności skały
wokół odwiertu są uśrednione i stałe.
17
Rozwiązania równania przepływu płynu w ośrodku porowatym
Równanie (4.10) jest równaniem, w których niewiadomą jest funkcja rozkładu ciśnienia.
Równanie różniczkowe rozwiązuje się poprzez kolejne całkowania. Aby obliczyć wartości
stałych całkowania należy zadać tzw. warunki brzegowo-początkowe, tzn. zadać wartości
funkcji lub wartość pochodnej funkcji w chwili t = 0 oraz na brzegach obszaru.
Rozwiązanie dla stałej wydajności w odwiercie
Warunek początkowy:
dla t = 0 p = pi = const (stałe ciśnienie w całym obszarze).
Warunki brzegowe:
dla r = rw i t > 0 q = const (stała wydajność w odwiercie)
dla r = " i t > 0 p = pi = const
Dla tak zdefiniowanych warunkach brzegowo-początkowych równanie dopływu płynu do
odwiertu dla płynu słabościśliwego będące rozwiązaniem równania różniczkowego (4.10) ma
postać:
q�
"p = �" PD (t ) (4.11)
D
2Ąkh
gdzie:
"p  różnica ciśnień między ciśnieniem w obszarze, którego odbywa się
wypływ płynu, a ciśnieniem w obszarze, do którego odbywa się dopływ płynu,
q  wydatek założenia stały dla r = rw,
�  lepkość dynamiczna,
k  współczynnik przepuszczalności,
h  miąższość złoża,
PD(td)  bezwymiarowa funkcja ciśnienia, której argumentem jest
k �" t
bezwymiarowy czas (tD) wyrażony równaniem t = , gdzie t  czas
D
�cr2
bezwzględny.
Bezwymiarowa funkcja ciśnienia wyraża fizykę zmian ciśnienia funkcji promienia i
czasu. Sposób jej wyznaczania zależy od stanu hydrodynamicznego w jakim znajduje się
złoże.
Rozwiązanie dla stałej różnicy ciśnień
Warunek początkowy:
18
� dla t = 0 p = pi = const.
dla r = rw i t > 0 "p = const
dla r = " i t > 0 p = pi = const.
Dla tak zadanych warunków brzegowo-początkowych rozwiązanie równania
różniczkowego (4.10) ma postać:
Q = 2Ąr02 �" h �" Ć �" c �" f �" "p �" QD (tD)
(4.12)
gdzie:
Q  wydatek kumulacyjny płynu (sumaryczny) jaki dopłynął do wybranego
promienia r0 w tym przypadku promienia odwiertu,
f  współczynnik niepełnej geometrii radialnej. Jeżeli dopływ odbywa się z
pełnej geometrii radialnej f = 1. Jeżeli strefę dopływów można przybliżyć
wycinkiem o kącie ą to f = ą / 360o ,
QD(tD)  bezwymiarowa funkcja wydatku wyrażająca charakter zmian wydatku
funkcji promienia i czasu.
Z punktu widzenia teorii i poprawności rozwiązania, oba rozwiązania (wzory) mogą
być użyte do opisu rzeczywistego dopływu płynu do odwiertu. Z uwagi jednak na fakt, że
eksploatację odwiertu łatwiej jest technicznie prowadzić przy założeniu stałego wydatku,
dlatego też rozwiązanie (4.10) znalazło szersze zastosowanie.
Stany hydrodynamiczne złoża
Złoże w trakcie eksploatacji może znajdować się w różnych stanach fizycznych tzw.
stanach hydrodynamicznych. Wyróżnia się trzy stany hydrodynamiczne:
1. Stan nieustalony.
2. Stan semiustalony.
3. Stan ustalony.
Stan nieustalony
Jest to stan charakteryzujący początkowy okres eksploatacji złoża. Stan nieustalony panuje
w złożu przez pewien czas od momentu rozpoczęcia eksploatacji ze stałym wydatkiem
q = const. przy ciśnieniu początkowym złoża p = pi do momentu wyraz
nego spadku ciśnienia,
czyli do przepływu ze stałej objętości. Fizycznie czas ten odpowiada czasowi dojścia impulsu
ciśnienia do granicy złoża. Przyjmuje się, że złoże jest nieograniczone. Stan przepływu
nieustalonego utrzymuje się przez czas zwany czasem stabilizacji.
19
Założenia matematyczne dla stanu nieustalonego są następujące:
dla t = 0, p = pi = const.,
dp
= f(r,t)
dt
q = const.
Przyjmując, że warstwa o miąższości  h nasycona jest płynem o ciśnieniu
początkowym  pi jednakowym we wszystkich punktach. Rozpoczynając eksploatację
ustalany wydatek q na ścianie odwiertu. W wyniku otwarcia odwiertu ciśnienie na dnie
odwiertu obniża się poniżej ciśnienia początkowego płynu w złożu. W wyniku różnicy ciśnień
między ciśnieniem początkowym  pi , a ciśnieniem w odwiercie  pw następuje rozprężenie
się płynu i jego dopływ do odwiertu z wydajnością q. Proces rozprężania się płynu ze
względu na obecność ośrodka porowatego nie obejmuje całego złoża, lecz stopniowo coraz
większe strefy. W każdej ze stref przebieg ciśnienia można przedstawić krzywą. Każda z tych
krzywych posiada inne nachylenie. Początkowe są bardziej strome, w miarę upływu czasu
stają się coraz bardziej płaskie. Powiększeniu się stref rozprężenia się płynu towarzyszy
niewielka obniżka ciśnienia na dnie odwiertu (rys. 4.1.).
Rys. 4.1. Wykres zmian ciśnienia w funkcji odległości od odwiertu dla stanu nieustalonego
Fala zaburzonego ciśnienia będąca falą typu akustycznego teoretycznie będzie
przemieszcza się w kierunku złoża, aż do osiągnięcia jego naturalnych granic. W praktyce
przemysłowej okazuje się jednak, że rozszerzanie się stref zaburzonego ciśnienia w miarę
upływu czasu staje się coraz bardziej wolniejsze lub zanika. Uzasadnianiem tego jest prawie
20
poziomy przebieg krzywej rozkładu ciśnienia w dalekiej odległości od odwiertu. W takim
przypadku można przyjąć, że w pewnej odległości od odwiertu gradient ciśnienia staje się
bliski zera, co świadczy, że płyn znajdujący się poza tą strefą  nie jest osiągalny przez
odwiert. Tak zdefiniowana strefa zerowego gradientu nosi nazwę strefy oddziaływania
odwiertu i jest charakteryzowana nie tylko dla złoża, lecz i dla każdego odwiertu.
Stan hydrodynamiczny w jakim znajduje się złoże od momentu rozpoczęcia
eksploatacji do momentu osiągnięcia przez fale zaburzonego ciśnienia strefy oddziaływania
odwiertu to stan nieustalony. Czas trwania tego stanu nosi nazwę czasu stabilizacji i wyraża
się zależnością:
�cre 2
ts =
4k
(4.13)
Wielkość strefy oddziaływania odwiertu nie zależy od wydatku z jakim prowadzona jest
eksploatacja.
Stan semiustalony
Z chwilą osiągnięcia przez fale zaburzonego ciśnienia strefy oddziaływania odwiertu
dalsza eksploatacja trwająca nieprzerwanie odbywa się ze skończonej objętości złoża.
Zaburzenie ciśnienia objęło całą strefę oddziaływania, zatem można założyć, że w
jednakowych odstępach czasu następuje jednakowa obniżka ciśnienia zarówno przy odwiercie
jaki i przy strefie oddziaływania odwiertu i dlatego też można założyć, że krzywe przebiegu
ciśnienia zaczną układać się do siebie równolegle (rys. 4.2). Stan hydrauliczny, w którym
znajduje się złoże od chwili zakończenia stanu nieustalonego to stan semiustalony. Stan ten
trwa tak długo, jak długo jest możliwa eksploatacja z założonym wydatkiem na dnie odwiertu.
Zatem stan semiustalony jest głównym stanem hydrodynamicznym, w jakim znajduje się
złoże w trakcie swojej eksploatacji.
Założenia matematyczne dla tego stanu są następujące:
dla t > ts,
q = const
dp
= const
dt
dp
=0|r=re
dr
21
Rys. 4.2. Przebieg zmian ciśnienia w stanie semiustalonym
Stan ustalony
Stan ustalony dotyczy przypadku przepływu płynu ze stałym wydatkiem przez cały
element ośrodka porowatego o z góry określonych wymiarach. Aby taki przepływ był
możliwy do realizacji na końcach elementu porowatego przyłożona jest różnica ciśnień, która
przez cały czas jest stała. Graficzne przepływ w stanie ustalonym przedstawia rys. 4.3.
Rys. 4.3. Przebieg zmian ciśnienia dla stanu ustalonego
Założenia stanu ustalonego:
q = const dla wszystkich r i t,
re = const,
dp
= 0
dt
22
Porównując założenia stanu ustalonego ze stanem nieustalonym i stanem
semiustalonym widać zasadniczą różnicę, która polega na założeniu stałego wydatku w całym
obszarze przepływu. W stanie nieustalonym i semiustalonym stały wydatek był założony
tylko na ściance odwiertu, w samym ośrodku porowatym wydatek ulegał zmianie.
W stanie ustalonym w ośrodku porowatym odbywa się  czysty przepływ płynu bez
rozprężania. Biorąc pod uwagę tak zdefiniowane założenie stanu ustalonego można
stwierdzić, że w rzeczywistym złożu węglowodorów nigdy w praktyce nie ma całkowicie
spełnionych warunków tego stanu. Przyjmuje się, że zachodzą trzy przypadki, które są zbliżone
do stanu ustalonego złoża, jednak nie spełniają one wszystkich założeń stanu ustalonego. Stan
taki ma miejsce w przypadku przepływów:
w warunkach intensywnego naporu wód złożowych,
przy stosowaniu wtórnych metod eksploatacji,
w bezpośredniej strefie przyodwiertowej.
Uszkodzenie strefy przyodwiertowej - hydrodynamiczna niedoskonałość odwiertu.
W dotychczasowych rozważaniach dotyczących analizy dopływu płynu ze złoża do
odwiertu przyjmowane było, że kontakt odwiertu ze złożem odbywa się na całej pobocznicy
walca. W praktyce przemysłowej takie wykonanie odwiertu jest praktycznie niemożliwe,
gdyż w trakcie wiercenia i udostępniania złoża a także póz
niej w trakcie jego eksploatacji
następuje uszkodzenie strefy przyodwiertowej.
Uszkodzenie strefy przyodwiertowej powodowane jest przez szereg czynników takich jak:
naruszenie złoża procesem wiercenia,
kolmatacja płuczki (infiltracja płuczki w skałę złożową i osadzanie się cząstek stałych
w skale),
rurowanie odwiertu i jego perforowanie,
cementowanie odwiertu,
piaszczenie złoża (migracja cząstek stałych wraz z wydobywanym płynem w kierunku
odwiertu).
Wszystkie powyższe czynniki powodują, że kontakt rzeczywistego odwiertu ze złożem jest
silnie zaburzony.
Analizowanie uszkodzeń w strefie przyodwiertowej w teorii przepływu można
rozważyć wprowadzając pojęcie: odwiertu hydrodynamicznie doskonałego i niedoskonałego.
23
Odwiert hydrodynamicznie doskonały to taki odwiert, który przewierca całą miąższość złoża,
nie jest zarurowany na wysokości złoża (kontakt ze złożem odbywa się na całej pobocznicy
walca). Schemat odwiertu hydrodynamicznie doskonałego pokazano na rys. 4.4.
Rys. 4.4. Schemat odwiertu hydrodynamicznie doskonałego.
Odwiert hydrodynamicznie niedoskonały to odwiert rzeczywisty. Taki odwiert albo nie
przewierca całej miąższości złoża, albo kontakt odwiertu ze złożem odbywa się przez
perforację w kolumnie rur, dopływ płynu nie jest regularny, strefa przyodwiertowa jest
blokowana cząstkami skały niesionymi przez dopływający płyn lub cząstkami iłu wskutek
kolmatacji płuczki (rys. 4.5).
Rys. 4.5 Schemat odwiertu hydrodynamicznie niedoskonałego.
24
Przebieg ciśnienia wokół odwiertu hydrodynamicznie doskonałego i niedoskonałego
pokazano na rys. 4.6.
p
k
"pskin
ks
r
r1
teoretyczna krzywa rozkładu ciśnienia w złożu (przepuszczalność w całym złożu jest
stała, jej współczynnik wynosi k)
rzeczywista krzywa rozkładu ciśnienia w strefie przyodwiertowej (przepuszczalność
strefy przyodwiertowej jest mniejsza od przepuszczalności złoża, ks< k)
Rys. 4.6 Rozkład ciśnienia w strefie przyodwiertowej.
pi  ciśnienie początkowe w złożu,
k  współczynnik przepuszczalności skały zbiornikowej,
ks- współczynnik przepuszczalności skały zbiornikowej w strefie przyodwiertowej,
"pskin  dodatkowy spadek ciśnienia, wynikający ze zmniejszenia przepuszczalności,
r1  zasięg strefy przyodwiertowej.
W odwiercie rzeczywistym w pewnej strefie blisko niego leżącej pojawia się
dodatkowy spadek ciśnienia oznaczony symbolem "pskin, który może być co do znaku dodatni
lub ujemny. Dodatni  gdy przepuszczalność w strefie blisko odwiertu ks jest mniejsza od
przepuszczalności calizny, ujemny  kiedy ks jest większy od przepuszczalności calizny.
Dodatkowy spadek ciśnienia "pskin wywołany zmiennością własności strefy
przyodwiertowej w stosunku do calizny złoża jest definiowany następującą zależnością:
q�B
"pskin = �"S
2Ąkh
( 4.14)
Wielkość S występująca po prawej stronie równania nosi nazwę współczynnika
efektów brzegowych (skin efekt). Współczynnik S może być dodatni S > 0 i odpowiada
sytuacji ks < k. S jest współczynnikiem bezwymiarowym.
S = 0 gdy ks = k
25
S < 0 gdy ks > k
Korzystając z równania definicyjnego  skin efektu równanie dopływu do
odwiertu hydrodynamicznie niedoskonałego przyjmuje postać:
q�B
"p = (PD (t ) + S)
D
2Ąkh
(4.15)
Wartość  skin efektu określamy na podstawie testów hydrodynamicznych. Brak jest
wiarygodnych zależności matematycznych pozwalających obliczyć ten współczynnik.
Analizując opory przepływu w ośrodku porowatym można wyróżnić dwa jego
składniki. Są to: opory mechaniczne wywołane samą strukturą ośrodka porowatego, jego
niejednorodnością, zmianą własności itp. Drugim składnikiem są opory wywołane turbulencją
przepływu , która zależy w pewnym stopniu od struktury przestrzeni porowej, zaś zasadniczo
od własności płynu. Mniejsza turbulencja jest dla cieczy, większa dla gazów.
Całkowity skin efekt dla danego odwiertu można zatem wyrazić jako sumę skin efektu
mechanicznego Sm oraz skin efektu turbulencyjnego wyrażonego iloczynem współczynnika
turbulencji Dt oraz wydatku q.
S = Sm + Dt �" q ( 4.16)
Równanie dopływu gazu do odwiertu
Równaniem wyjściowym równania dopływu gazu do odwiertu jest równanie dopływu płynu
słabościśliwego (4.10). W przypadku dopływu gazu ze złoża do odwiertu ze względu na jego
dużą ściśliwość należy uwzględnić zmianę objętości gazu. Na podstawie równania stanu gazu
można napisać:
o
p �" q = m�" z �" R �" T (4.17)
gdzie:
def .
p1 + p2
p  ciśnienie zdefiniowane zależnością p H"
2
p1, p2  ciśnienia graniczne,
o
m  strumień masowy gazu.
Odnosząc strumień masowy gazu do warunków normalnych można napisać:
o
pn �" qn = m�" zn �" R �" Tn (4.18)
Dzieląc stronami równania (4.17) i (4.18) oraz przyjmując, że zn jest bliskie 1 wówczas
wydajność w danych warunkach ciśnienia i temperatury można wyrazić jako:
26
p �" q z �" T qn �" z �" pn �" T
= �! q = (4.19)
pn �" qn Tn p �" Tn
Wstawiając wyrażenie (4.19) oraz zależność na ciśnienie średnie p do równania dopływu
płynu słabościśliwego (4.10) otrzymuje się:
qn �" � �" z �" pn �" T
"p = �" PD (tD ) (4.20)
(p1 + p2 )�" Ą �" k �" h �" Tn
qn �"� �" z �" pn �" T
"p2 = �" PD (tD ) (4.21)
Ą �" k �" h �" Tn
"p2 = p12 - p22 (4.22)
Równanie (4.21) umożliwia odliczanie dopływu gazu do odwiertu w przypadku
odwiertu hydrodynamicznie doskonałego.
W przypadku odwiertu hydrodynamicznego niedoskonałego dodatkowy spadek ciśnienia
wywołany skin efektem definiowany jest zależnością:
def .
qn �" � �" z �" pn �" T
2
"pskin = �"(Sm + Dt �" qn ) (4.23)
Ą �" k �" h �" Tn
Zatem pełne równanie dopływu gazu ze złoża do odwiertu hydrodynamicznego
niedoskonałego na podstawie równań (4.21) i (4.23) przyjmuje postać:
qn �"� �" z �" pn �" T
"p2 = �"[PD (tD ) + Sm + Dt �" qn ] (4.24)
Ą �" k �" h �" Tn
� �" �n �" k
Dt =
2 �" Ą �" h �"�w �" rw
gdzie:
�  współczynnik odstępstwa od przepływu Darcy,
�n  gęstość gazu w warunkach normalnych,
�w  współczynnik lepkości gazu w warunkach panujących na dnie odwiertu.
W przepływach mających miejsce w eksploatacji złóż gazu najczęstszym stanem
hydrodynamicznym jest stan semiustalony, który trwa przez większość czasu eksploatacji
złoża. Wartość bezwymiarowej funkcji ciśnienia w stanie semiustalonym przy znanej różnicy
ciśnień między ciśnieniem średnim w złożu a ciśnieniem dennym w odwiercie
"p = pz - pw wyraża równanie:
re 3
PD (tD ) = ln - (4.25)
rw 4
Wstawiając zależność (4.25) do równania (4.24), uzyskuje się:
27
�# ś#
qn �" � �" z �" pn �" T re 3
ś# ź#
"p2 = pz 2 - pw 2 = �" - + Sm + Dt �" qź# (4.26)
Ą �" k �" h �" Tn ś#ln rw 4
�# #
pz  średnie ciśnienie złożowe.
Uzyskane równanie (4.26) pozwala obliczyć dopływ gazu ze złoża do odwiertu, przy czym w
równaniu tym dokonano uśrednień własności gazu takich t.j: �, z dla zdefiniowanego
wcześniej ciśnienia średniego reprezentującego średnie warunki w strefie dopływu gazu do
odwiertu. W praktyce znane jest zazwyczaj ciśnienie złożowe dla którego wyznacza się te
własności gazu.
Równanie (4.26) można zapisać w prostszej postaci, poprzez wprowadzenie współczynników
 a i  b .
�# ś#
� �" z �" pn �" T re 3
ś# ź#
a = �"ś#ln - + Sm ź# (4.27)
Ą �" k �" h �" Tn �# rw 4
#
� �" z �" pn �" T
b = �" Dt (4.28)
Ą �" k �" h �" Tn
Równanie (4.26) można wówczas zapisać jako:
"p2 = a �" qn + b �" qn 2 (4.29)
Otrzymane równanie (4.29) nosi nazwę formuły dwuczłonowej. Pomimo, że
współczynniki  a i  b tej formuły posiadają efektywne wzory, ich wartości określamy na
podstawie testów hydrodynamicznych wykonywanych okresowo na każdym odwiercie.
Wyznaczenie współczynnika  a i  b z testów hydrodynamicznych wynika z faktu, że złoże
zmienia w sposób znaczący swoje własności fizyczne w czasie całego okresu eksploatacji, co
powoduje to, że wzory teoretyczne nie w pełni opisują zmienną rzeczywistość.
Drugą formułą opisującą dopływ płynu do odwiertu jest formuła jednoczłonowa, która
dla przepływu gazu przyjmuje postać:
n
q = J �"("p2) (4.30)
gdzie:
J  indeks wydajności odwiertu,
n  wykładnik wyrażający odchyłkę od przepływu Darcy.
Jeżeli n = 1 wówczas przepływ jest zgodny z prawem Darcy.
Równanie (4.26) jest równaniem empirycznym uzyskanym na podstawie interpretacji
wyników kilkuset testów hydrodynamicznych.
Wartości współczynników formuły jednoczłonowej  J i  n oraz  a i  b formuły
dwuczłonowej określane są na podstawie wyników testów hydrodynamicznych.
28
Krzywa wydajności złoża  wydajność potencjalna odwiertu
Wydajność z jaką gaz dopływa do odwiertu jest funkcją różnicy ciśnień pomiędzy
ciśnieniem złożowym a ciśnieniem na dnie odwiertu i zależy zarówno od własności
eksploatowanego gazu jak również od własności ośrodka w którym ma miejsce przepływ.
Krzywą IPR wyznacza się w oparciu o równanie dopływu gazu do odwiertu, które na
podstawie formuły dwuczłonowej przyjmuje postać:
pw = pz 2 - a �" q - b �" q2 (4.31)
W oparciu o równanie (4.31) wyznacza się krzywą dopływu gazu do odwiertu (IPR) jako
zależność między ciśnieniem dennym a wydajnością. Przebieg tej krzywej przedstawiony jest
na rys.4.7. Z wykresu przedstawionego na rys. 4.7 wynika, że dla wydatku zerowego ciśnienie
denne równe jest średniemu ciśnieniu złożowemu. W miarę obniżania ciśnienia dennego w
odwiercie następuje wzrost wydajności aż do wartości maksymalnej (wydajność potencjalna
odwiertu  AOF ) przy minimalnym ciśnieniu dennym równym ciśnieniu atmosferycznemu.
Wydajność potencjalną odwiertu na podstawie równania formuły dwuczłonowej wyznacza się
wg zależności:
2
- a + a + 4 �" b �"(pz 2 - patm2)
qpot = (4.32)
2 �" b
Jak wynika z zależności opisującej krzywą IPR, nachylenie jej jest odwrotnie proporcjonalne
do iloczynu miąższości i przepuszczalności złoża. Dla większych wartości iloczynu kh
krzywa IPR jest bardziej płaska, zatem przy danej różnicy ciśnień wydajność dopływu gazu
do odwiertu jest większa.
29
Rys. 4.7. Krzywe dopływu płynu do odwiertu (IPR)
5. Przepływ gazu w odwiercie - równanie przepustowości odwiertu
Przepływ gazu w odwiercie można rozpatrywać jako przepływ gazu w pionowym
rurociągu pomiędzy ciśnieniami dennym a ciśnieniem głowicowym. Z przepływem gazu w
odwiercie wiąże się strata ciśnienia na wskutek oporów przepływu, zależna od konfiguracji
odwiertu, własności transportowanego płynu oraz warunków ciśnienia i temperatury w
odwiercie. Rozpatrując jednofazowy przepływ gazu w odwiercie pionowym o stałych:
przekroju poprzecznym rur wydobywczych, temperaturze, stosunku ściśliwości  z i
współczynniku oporów przepływu   równanie przepustowości odwiertu przyjmuje postać:
2�"g�"H 2�"g�"H
�# ś#
8�" qn 2 �" pn 2 �" z2 �" T2 �" 
ś#e z�"R�"T -1ź#
z�"R�"T
pw 2 = pg 2 �" e + �" (5.1)
ś# ź#
Ą2 �" D5 �" Tn 2 �" g
�# #
Równanie (5.1) umożliwia obliczenie ciśnienia dennego dynamicznego przy znanym
ciśnieniu głowicowym lub odwrotnie. Prawa strona tego równania stanowi sumę dwóch
ciśnień: ciśnienia statycznego (ciśnienie słupa gazu) oraz ciśnienia potrzebnego na pokonanie
oporów przepływów (II człon).
Przy braku przepływu w odwiercie (qn = 0) równanie przepustowości upraszcza się do
zależności pomiędzy ciśnieniem głowicowym a dennym w warunkach statycznych:
g�"H
z�"R�"T
pw = pg �" e (5.2)
30
Krzywa przepustowości odwiertu
Krzywą VLP jako zależność między ciśnieniem na dnie odwiertu a wydajnością
konstruuje się w oparciu o równanie przepustowości odwiertu (5.1) zapisane w postaci:
2�"g�"H
�# ś#
ś#e z�"R�"T -1ź# qn 2
8�"  �" pn 2 �" z2 �" T2 �" �"
2�"g�"H ś# ź#
�# #
z�"R�"T
pw = pg 2 �" e + (5.3)
Ą2 �" Tn 2 �" D5 �" g
Na rys. 5.1 przedstawiono krzywe przepływu płynu w odwiercie VLP dla różnych średnic rur
wydobywczych (D2 > D1) przy założonym ciśnieniu głowicowym. Ze wzrostem wydajności
odwiertu następuje odchylenie krzywych ku górze, co jest związane ze wzrostem oporów
przepływu. W przypadku rur o mniejszej średnicy opory przepływu są wyższe, zatem dla
uzyskania tej samej wydajności przepływu ciśnienie głowicowe musi być odpowiednio
niższe. Przecięcie krzywej VLP z osią pionową ma miejsce przy braku przepływu, zatem
ciśnienie na dnie odwiertu jest ciśnieniem statycznym.
Rys. 5.1. Krzywe przepływu płynu w odwiercie (VLP)
31
6. Testy hydrodynamiczne
Testy hydrodynamiczne są to pomiary wydatku i ciśnienia przy zamkniętej lub otwartej
głowicy odwiertu w funkcji czasu. Ze względu na cel wykonywanych testów dzieli się je na:
1. Testy odwiertowe.
2. Testy złożowe.
Celem testów odwiertowych jest uzyskanie informacji o zdolnościach wydobywczych
odwiertów. W praktyce oznacza to określenie wartości współczynników formuły jedno i
dwuczłonowej.
Celem testów złożowych jest wyznaczenie parametrów charakteryzujących ośrodek
porowaty t.j.: współczynnik przepuszczalności, skin effect, współczynnik turbulencji
przepływu w strefie przyodwiertowej.
Testy odwiertowe
Wśród testów odwiertowych wyróżnia się trzy testy, są to:
1. Klasyczny test wielocyklowy.
2. Klasyczny test izochoralny.
3. Zmodyfikowany test izochoralny.
Klasyczny test wielocyklowy
Test ten polega na wykonaniu próbnej eksploatacji z kilkoma wydatkami przez okres
czasu zapewniający stabilizację ciśnienia w odwiercie (rys. 6.1). Moment stabilizacji
ciśnienia na końcu każdego okresu eksploatacji oznacza pojawienie się wokół odwiertu
warunków stanu semiustalonego. Czas pojawienia się stabilizacji jest tym krótszy im złoże
ma lepsze własności filtracyjne. W złożach słabo-przepuszczalnych, trudno jest uzyskać taką
stabilizację w odpowiednio krótkim czasie. Test ten poprzedza okres zamknięcia odwiertu
celem ustabilizowania się ciśnienia złożowego.
32
Rys. 6.1. Klasyczny test wielocyklowy
Wynikiem klasycznego testu wielocyklowego są wydajności oraz ciśnienia denne zmierzone
pod koniec każdego cyklu próbnej eksploatacji.
Interpretację testu przeprowadza się za pomocą formuł jedno lub dwuczłonowej.
Opracowanie wyników z użyciem formuły dwuczłonowej wykonuje się nanosząc punkty
"p2
pomiarowe na wykres w układzie vs q (rys. 6.2), a następnie wyznaczenie nachylenia
q
prostej  b i rzędnej  a .
"p2 = aq + bq2 / : q (6.1)
"p2
= a + bq (6.2)
q
Rys. 6.2. Opracowanie wyników testu wielocyklowego za pomocą formuły dwuczłonowej.
33
Opracowanie wyników za pomocą formuły jednoczłonowej polega na naniesieniu punktów
pomiarowych na wykres w układzie log (q) vs log ("p2) (rys. 6.3) i wyznaczeniu indeksu
wydajności odwiertu  J (rzędna) i wykładnika  n (nachylenie) wyrażającego odchyłkę od
przepływu Darcy.
nachylenie = n
rzędna = J
Pomiar
Dopasowanie
log ("p2)
Rys. 6.3. Opracowanie wyników testu wielocyklowego za pomocą formuły jednoczłonowej.
n
q = J �"("p2) (6.3)
logq = log J + n �" log "p2 (6.4)
Ze względu na długi czas wykonywania klasycznego testu wielocyklowego w chwili obecnej
nie jest on przeprowadzany. Analizując klasyczny test wielocyklowy należy zwrócić uwagę ,
że popełnia się w nim błąd ze względu na fakt, że kolejny wydatek nie rozpoczyna się od tego
samego ciśnienia złożowego.
W celu zmniejszenia strat gazu oraz kosztów prowadzenia testu wprowadzono znacznie
krótsze testy izochronalne. Wśród testów izochoralnych (stałoczasowych) wyróżnia się:
klasyczny test izochoralny i zmodyfikowany test izochoralny.
Klasyczny test izochoralny
Test ten polega na wykonaniu próbnej eksploatacji odwiertu z kilkoma różnymi
wydatkami trwającymi ten sam krótki okres czasu, bez względu na to czy zostały uzyskane
warunki stanu semiustalonego. Po każdym okresie eksploatacji następuje zamknięcie
odwiertu celem odbudowy ciśnienia do wartości początkowej. Test kończony jest
eksploatacją o przedłużonym okresie trwania aż do uzyskania stabilizacji ciśnienia w
odwiercie (rys. 6.4). Przyjęcie krótkiego czasu eksploatacji dla poszczególnych wydatków
powoduje, że testem objęta jest jedynie pewna ograniczona strefa wokół odwiertu (przepływ
34
log (q)
w stanie nieustalonym). Końcowa eksploatacja pozwala natomiast na rozszerzenie
uzyskanych wyników do pełnej strefy oddziaływania odwiertu, co odpowiada warunkom
przepływu semiustalonego.
Wyniki testu uzyskane dla krótkich czasów eksploatacji pozwalają określić charakter
dopływu płynu do odwiertu i na ich podstawie określany jest parametr  b t.j nachylenie
"p2
prostej pomocniczej na wykresie w układzie vs q (rys.6.5). Końcowa eksploatacja aż do
q
uzyskania stabilizacji ciśnienia w odwiercie pozwala scharakteryzować pełną strefę
oddziaływania odwiertu i na jej podstawie wyznaczany jest parametr  a (rzędna na wykresie
"p2
w układzie vs q).
q
pwf1
pwf2
pwf3
pwf4
pw5
Rys. 6.4. Test izochronalny
Interpretację wyników klasycznego testu izochronalnego przeprowadza się nanosząc
"p2
uzyskane wyniki pomiarowe na wykres w układzie vs q.
q
Dla każdego wydatku q określa się różnicę kwadratów ciśnień, początkowego i dennego w
odwiercie pod koniec każdego okresu eksploatacji.
q1 "p12 = pi2 - p2
wf1
q2 "p22 = pi 2 - p2 2
wf
35
q3 "p32 = pi 2 - p2 3
wf
q4 "p42 = pi 2 - p2 4
wf
qst "pst 2 = pi 2 - p2 5
wf
Dla krótkich okresów eksploatacji wyznacza się prostą pomocniczą na podstawie której
określa się nachylenie (współczynnik  b ). Następnie wykorzystując wyniki z końcowej
eksploatacji wyznacza się tzw.  punkt stabilizacji przez który przeprowadza się prostą
równoległą do prostej pomocniczej. W oparciu o tak wyznaczoną prostą określa się
współczynnik  a (rys. 6.5).
"p2/q
nachylenie = b
rzędna = a
q
Rys. 6.5. Opracowanie wyników testu izochronalnego za pomocą formuły dwuczłonowej.
Zmodyfikowany test izochoralny
Mimo, że klasyczny test izochoralny wyraz
nie skrócił czas prowadzenia pomiarów, to
jednak okresy odbudowy ciśnienia często są zbyt długie i trudne do jednoznacznego
określenia. Celem dalszego skrócenia czasu trwania pomiarów dokonano modyfikacji testu
izochronalnego polegającej na wprowadzeniu tych samych okresów czasu dla okresów
eksploatacji jak i odbudowy ciśnienia. Uzasadnieniem tej modyfikacji jest to, że zaburzenia
ciśnienia wywołane eksploatacją obejmują niewielką część złoża, zatem nie ma konieczności
(nie popełnia się zbyt dużego błędu) odbudowy ciśnienia od wartości ciśnienia początkowego,
bowiem w zasadniczej części złoża panuje ciągle ciśnienie początkowe. Podobnie jak w
klasycznym teście izochoralnym po okresach stałoczasowej eksploatacji prowadzi się ostatnią
eksploatację przez dłuższy okres czasu aż do uzyskania stabilizacji ciśnienia w odwiercie.
36
Przebieg zmodyfikowanego testu izochronalnego przedstawiono na rys. 6.6.
Interpretację wyników zmodyfikowanego testu izochronalnego przeprowadza się podobnie
jak w przypadku klasycznego testu izochronalnego w oparciu o dane pomiarowe t.j.
wydajności oraz ciśnienia na początku i końcu każdego okresu eksploatacji. Różnica polega
jednak na tym, że w przypadku zmodyfikowanego testu izochronalnego ciśnienie na początku
każdego okresu eksploatacji jest niższe od ciśnienia początkowego, gdyż po okresach
eksploatacji nie następuje odbudowa ciśnienia do wartości początkowej.
Dla każdego wydatku q określa się zatem różnicę kwadratów ciśnień, na początku i końcu
każdego okresu eksploatacji jako:
q "p2 = p12 - p2
2
Rys. 6.6. Zmodyfikowany test izochronalny.
37
Literatura
1. Rybicki C.: Niepublikowane materiały z wykładów:  Mechanika i hydromechanika
złóż ropy i gazu ,  Inżynieria złożowa ,  Eksploatacja złóż gazu .
2. Dake L. P.:  Fundamentals of Reservoir Engineering . Elsevier, New York  London
 Amsterdam  Tokyo 1978.
3. Dake L. P.:  The Practice of Reservoir Engineering (Revised Edition) . Elsevier,
Amsterdam  London  New York  Oxford  Paris  Shannon  Tokyo, 2001.
4. Hagoort J.,  Fundamentals of Gas Reservoir Engineering . Elsevier-Amsterdam-
Oxford, 1988.
5. Ikoku Chi U .,  Natural Gas Production Engineering . John Willey & Sons, New
York  Chichester  Brisbane  Toronto  Singapore, 1984.
6. Ikoku Chi. U.:  Natural Gas Reservoir Engineering . John Willey & Sons, New York
 Chichester  Brisbane  Toronto  Singapore, 1984.
7. Slider H.C.:  Worldwide Practical Petroleum Reservoir Engineering Methods .
PennWell Publishing Company, Tulsa, Oklahoma, 1983.
8. Tarek Ahmed:  Reservoir Engineering Handbook , Gulf Professional Publishing,
Houston, Texas, 2000.
9. Economides M.J., Hill A.D.:  Petroleum Production Systems , Prentice-Hall PTR,
New Jersey 1994.
38