1. PODSTAWY OGÓLNEJ TEORII WZGL
DNOÅšCI
Sformułowana w 1905 r. przez A. Einsteina Szczególna Teoria Względności (STW), wyróżnia
pewną klasę układów odniesienia  układy inercjalne. Zgodnie z zasadą względności, wszystkie
inercjalne układy odniesienia (IUO) są równoprawne, a podstawowe równania fizyki są niezmiennicze
względem transformacji z jednego układu inercjalnego do drugiego  czyli względem transformacji
Lorentza. Przyjmuje się tu także globalność każdego układu inercjalnego  tzn. że układ taki może
być zadany w całej czasoprzestrzeni. Wiemy, że praktycznie trudno jest wprowadzić taki globalnie
inercjalny układ odniesienia. Ziemia wykonuje ruch obrotowy wokół swej osi oraz ruch obiegowy
wokół Słońca, więc związany z nią układ nie będzie spełniał wymaganego kryterium. Słońce także
wykonuje ruch obiegowy wokół środka Galaktyki, ta zaś ruch obiegowy wokół środka masy lokalnej
gromady galaktyk. Praktycznie można więc wyznaczyć ( zbudować ) układ odniesienia, który z
lepszym lub gorszym przybliżeniem będzie spełniał kryteria układu inercjalnego  będzie układem
lokalnie inercjalnym. Najbliższy ideału mógłby być układ odniesienia związany ze średnim rozkładem
mas we wszechświecie (tzw.  substratem ) albo układ, w którym kosmologiczne promieniowanie
reliktowe jest izotropowe.
Szczególna teoria względności nie zawierała w sobie sposobu opisu grawitacji. Einstein dążył więc
do takiego opisu zjawisk fizycznych, w którym wszystkie układy odniesienia byłyby równoprawne
oraz w którym mieściłby się także opis grawitacji.
Jak wiadomo, w nieinercjalnych układach odniesienia (NUO) pojawiają się tzw. siły
bezwładnościowe, siła odśrodkowa, czy siła Coriolisa. Z ich powodu równania mechaniki
newtonowskiej nie są niezmiennicze przy przejściu z jednego do drugiego układu nieinercjalnego. Na
wstępie należało więc przeanalizować problem względności przyspieszenia. STW poucza nas, że nie
istnieje absolutna prędkość  o prędkości można mówić jedynie względem jakiegoś układu
odniesienia. A jak jest z przyspieszeniem? Dlaczego w układach nieinercjalnych odczuwane są siły
bezwładnościowe i względem czego dany układ nieinercjalny jest przyspieszany? Cały ten kompleks
pytań  zwany problemem Macha  nurtował także Einsteina.
Rozważmy następujący przykład z wirującym wiadrem napełnionym wodą. Wiadomo, że w takim
wirującym wiadrze powierzchnia wody stanie się wklęsła na skutek działania siły odśrodkowej. A
względem czego  względem jakiego układu odniesienia wiruje to wiadro? Odpowiedz
Macha brzmi
 względem średniego rozkładu mas reszty wszechświata. Można więc zapytać  czy, gdyby zamiast
wiadrem, kręcić wokół niego  resztą wszechświata , to też menisk wody w wiadrze zrobiłby się
wklęsły? Einstein, idąc za myślą Ernsta Macha postuluje (gdyż trudno to zweryfikować empirycznie)
odpowiedz
twierdzącą! Tak więc jego zdaniem ruchy przyspieszone (postępowe lub obrotowe) mają
sens właśnie względem rozkładu innych mas we wszechświecie. Gdyby więc w całej przestrzeni
wszechświata istniała tylko jedna cząstka, to nie można by mówić o jej ruchu, ani czy jest on
jednostajny ani czy jest przyspieszony. To obecność innych mas we wszechświecie powoduje, że
można odróżniać układy inercjalne od nieinercjalnych, poprzez występowanie w tych ostatnich sił
bezwładnościowych. Było to bardzo nowatorskie spojrzenie. Dotychczas w klasycznym ujęciu
mechaniki, związek pomiędzy ruchem jakiejś cząstki, a istnieniem innych mas we wszechświecie był
całkowicie ignorowany. Teraz, tylko gdy pracujemy w szczególnych układach  inercjalnych
układach odniesienia  możemy ignorować resztę świata, w ogólnym przypadku zaś nie. Tym właśnie
różnią się IUO od NUO. Uogólnienie opisu praw fizyki na układy nieinercjalne wymagało także
uogólnienia podstawowej zasady względności do następującego sformułowania:
wszystkie układy odniesienia są równoprawne, a podstawowe równania fizyki są
niezmiennicze względem transformacji z jednego układu do drugiego.
Jest to pierwszy postulat Ogólnej Teorii Względności  tzw. postulat ogólnej kowariantności.
W matematyce od dawna były już znane takie obiekty matematyczne, które dobrze transformują się
od jednych współrzędnych do drugich, a zbudowane z nich równania zachowują przy takich
transformacjach swoją postać. Są to tzw. tensory, a równania z nich zbudowane to równania
tensorowe. Tak więc w OTW podstawowe wielkości fizyczne muszą być tensorami, a zapis
podstawowych równań musi też mieć postać tensorową.
Przyjrzyjmy się dalej siłom bezwładnościowym powstającym w NUO. Mają one (te siły) tę
własność, że wszystkim ciałom  bez względu na ich masę  nadają jednakowe przyspieszenie
równe co do wartości przyspieszeniu NUO. Zauważmy, że identyczną własność mają siły
grawitacyjne. Wiemy, że np. przyspieszenie ziemskie, g, jest jednakowe dla wszystkich ciał na Ziemi.
To spostrzeżenie pozwoliło Einsteinowi sformułować drugi postulat OTW  zasadę równoważności.
Brzmi ona:
nieinercjalny układ odniesienia o przyspieszeniu 'a' będący poza polem
grawitacyjnym jest lokalnie równoważny (nieodróżnialny) układowi inercjalnemu w
polu grawitacyjnym o przyspieszeniu g a .
Inaczej mówiąc   sztuczna grawitacja powstająca w NUO jest (lokalnie) nieodróżnialna od
grawitacji  prawdziwej powstającej wokół mas. Ilustruje to poniższy rysunek 1:
(a)
(b)
(c)
Mamy tu trzy sytuacje. W części (a) obserwator znajduje się w rakiecie kosmicznej, która jest
układem inercjalnym (silniki odrzutowe nie pracują) i znajduje się z dala od wszelkich mas będących
z
ródłem grawitacji. Odczuwa on stan nieważkości, a przelatujący promień świetlny biegnie po linii
prostej. Obserwator stwierdza więc, że w tym przypadku geometria w jego otoczeniu jest euklidesowa.
W sytuacji (b) włączono silniki odrzutowe, rakieta leci z przyspieszeniem, obserwator odczuwa w niej
przyspieszenie ku podłodze, a jednocześnie zauważy, że promień świetlny przebiegający w poprzek
rakiety ulegnie ugięciu ku dołowi. Stwierdzi więc, że gdy zaczął odczuwać przyciąganie, to
jednocześnie geometria w jego otoczeniu stała się nieeuklidesowa, gdyż najkrótsza droga pomiędzy
końcami promienia świetlnego nie jest już euklidesową linią prostą. Na mocy postulatu
równoważności identyczny efekt powinien wystąpić, gdy rakieta stanie na jakiejś planecie o
przyspieszeniu grawitacyjnym g a. Promień świetlny w polu grawitacyjnym powinien także ulegać
ugięciu (rys (c)) .
Należy tu jednak wyraz
nie podkreślić lokalność opisanej powyżej równoważności. Spójrzmy na
poniższy rysunek 2. Po lewej stronie mamy układ odniesienia (np. pojazd kosmiczny) poruszający się
daleko od wszelkich mas ruchem przyspieszonym (pracują silniki rakietowe) ze stałym
przyspieszeniem 'a'. Obserwator wewnątrz będzie odczuwał sztuczne ciążenie ku podłodze, zaś
upuszczone dwie kulki będą spadały po liniach równoległych do siebie z przyspieszeniem a. Po
prawej stronie mamy ten sam układ posadowiony na masywnym obiekcie kulistym mającym na
powierzchni przyspieszenie grawitacyjne g a. Tu także obserwator wewnątrz pojazdu będzie
odczuwał przyciąganie ku podłodze. Jednak jeśli rozmiary pojazdu i masywnego obiektu są podobne
jak na rysunku, to sytuacje po lewej i po prawej stronie rysunku będą rozróżnialne. Pojawi się efekt
zbliżania się spadających kulek do siebie, a także zmiana siły ciężkości z wysokością (czyli z
odległością od środka). Jedynie lokalnie, w bardzo małym obszarze czasoprzestrzeni obie sytuacje
będą praktycznie nieodróżnialne. Tak jest np. w skali laboratoryjnej, gdzie z dobrym przybliżeniem
możemy ziemskie pole grawitacyjne traktować jako pole jednorodne i gdy w przybliżeniu możemy
zaniedbać wszelkie ruchy obrotowe i obiegowe Ziemi.
U podstaw opisywanej powyżej równoważności leży jeszcze jeden ważny fakt  potwierdzany
wielokrotnie doświadczalnie  mianowicie równoważność (czy wręcz równość) tzw. masy
bezwładnej oraz masy grawitacyjnej. Wiemy z drugiej zasady dynamiki Newtona, że aby zmienić ruch
jakiegoś ciała należy zadziałać na nie siłą. Zapisujemy to znanym wzorem F = MA. Masa ciała, M
tzw. masa bezwładna, jest właśnie ilościową miarą jego bezwładności. Wiemy bowiem (także z
codziennego doświadczenia, że przy tej samej wartości działającej siły, ciała o różnych masach
doznają różnych przyspieszeń. Z drugiej strony, już od czasów doświadczeń Galileusza wiadomo, że
np. w ziemskim polu grawitacyjnym wszystkie ciała spadają z jednakowym przyspieszeniem
(pomijając opór powietrza i przy spadku z wysokości małych w porównaniu z promieniem ziemskim).
Siła grawitacji, F = MG jest więc różna dla różnych ciał, stałe zaś jest przyspieszenie grawitacyjne.
Pojawiająca się tu wielkość to tzw. masa grawitacyjna ciała. Jeśli więc efekty grawitacyjne mają
być lokalnie nierozróżnialne od efektów związanych z przyspieszonym ruchem układu poruszającego
się pod wpływem jakiejś innej siły F to musi zachodzić równość
I tę właśnie równość
potwierdziÅ‚y m.in. doÅ›wiadczenia Eötvösa, Dickiego i in.
Rozważmy teraz, w kontekście opisanej wyżej równoważności, słynne doświadczenie Einsteina ze
spadającą swobodnie windą w jednorodnym polu grawitacyjnym. Spadająca winda jest układem
nieinercjalnym, jednak nie jest to układ  tak jak to formułowaliśmy wyżej  z dala od pól
grawitacyjnych, a wręcz przeciwnie  znajduje się on w polu o wartości przyspieszenia
grawitacyjnego G i z takim przyspieszeniem spada winda. Spadek swobodny  kompensuje niejako
(choć tylko lokalnie) efekty związane z istnieniem pola grawitacyjnego. Obserwator zamknięty w
takiej windzie będzie więc przekonany (wszystkie jego doświadczenia będą na to wskazywały), że
znajduje się w inercjalnym układzie odniesienia. Fizyka w jego swobodnie spadającym układzie
odniesienia będzie fizyką szczególnej teorii względności. Swobodny spadek w polu grawitacyjnym
z przyspieszeniem G jest więc (lokalnie) równoważny swobodnemu, jednostajnemu
(inercjalnemu) ruchowi z dala od pól grawitacyjnych. To także jest zasada równoważności tylko
innymi słowami wyrażona.
Powróćmy raz jeszcze do rysunku 1. Wynikało z niego, że stojąc w polu grawitacyjnym
powinniśmy zaobserwować efekty świadczące o nieeuklidesowości czasoprzestrzeni wokół nas (np.
ugięcie trajektorii promienia świetlnego). Doświadczenie potwierdziło w pełni słuszność tego
przewidywania. Znany jest choćby efekt ugięcia promieni świetlnych gwiazd w polu grawitacyjnym
Słońca (obserwowany podczas zaćmienia). W tym więc sensie OTW sprowadziła pole grawitacyjne
do nieeuklidesowości czasoprzestrzeni. Innymi słowy  rozkład masy (energii) w
czasoprzestrzeni determinuje jej geometrię, ta zaś określa ruch mas w czasoprzestrzeni. Ważne
jest tutaj to wzajemne  sprzężenie pomiędzy rozkładem masy  energii, a geometrią. Jedno wpływa
na drugie i odwrotnie. To jest istotna różnica pomiędzy podejściem OTW, a klasycznym podejściem
newtonowskim. W fizyce newtonowskiej absolutna przestrzeń była jakby sceną, na której rozgrywały
się zjawiska fizyczne. W przestrzeni poruszały się ciała, działać mogły różne siły, lecz sama przestrzeń
w tym spektaklu czynnie nie uczestniczyła. Jej udział był bierny, ona tylko była, lecz nic się z nią nie
działo.
W OTW sama czasoprzestrzeń uczestniczy w tym co się w niej dzieje. Jej geometria zmienia się
wraz z zachodzącymi zdarzeniami, to zaś wpływa zwrotnie na przebieg zdarzeń. Mając to na uwadze
można się spodziewać, że podstawowe równania pola grawitacyjnego w OTW będą dość uwikłane i
mocno nieliniowe. I tak też jest faktycznie.
W teorii względności podstawowym obiektem matematycznym charakteryzującym geometryczne
własności czasoprzestrzeni, jest tzw. interwał czasoprzestrzenny opisujący różniczkową odległość
pomiędzy dwoma punktami (zdarzeniami) w czasoprzestrzeni. W STW, gdzie obowiązuje geometria
(pseudo)euklidesowa i we współrzędnych kartezjańskich, ma on znaną prostą postać:
DS = (DX ) - (DX ) - (DX ) - (DX ) (1)
gdzie Ogólniej interwał można zapisać w postaci sumy:
DS = G DX DX (2)

Dla wzoru (1) współczynniki układają się w macierz:
1 0 0 0


0 -1 0 0

G = (3)
0 0 -1 0


0 0 0 -1

Gdy (czaso)przestrzeń jest euklidesowa, lecz wybierzemy w niej współrzędne krzywoliniowe (np.
sferyczne), to macierz współczynników może mieć bardziej złożone wyrazy na przekątnej, jednak
zawsze da się ją przetransformować do postaci (3), wracając do współrzędnych kartezjańskich.
Gdy czasoprzestrzeń staje się nieeuklidesowa, to macierz [G ] będzie zawierała na ogół jakieś
złożone wyrażenia (również pozadiagonalne) będące funkcjami współrzędnych czasoprzestrzennych i
nie da się jej doprowadzić do postaci (3) żadną transformacją. Tak więc współczynniki zwane
tensorem metrycznym zawierają podstawową informację o własnościach geometrycznych
(czaso)przestrzeni. Własności te na mocy zasady równoważności zależą od rozkładu masy (energii).
Ilościowo opisują to właśnie einsteinowskie równania pola, które symbolicznie zapisuje się:
G = T I J = 0 1 2 3 (4)
Lewa strona tych równań, G to dość skomplikowane funkcje składowych oraz ich pierwszych
i drugich pochodnych. Prawa strona zaś, T to wielkości opisujące rozkład mas (energii i pędu)
będących z
ródłem grawitacji. Lewa i prawa strona tych równań muszą być oczywiście tensorami na
mocy postulatu ogólnej kowariantności. Tak więc rozwiązywanie problemów w OTW sprowadza się
do tego, że zadajemy jakiś rozkład masy w przestrzeni (prawą stronę układu równań Einsteina) i
poszukujemy pola grawitacyjnego  czyli geometrii czasoprzestrzeni (składowych G ) będącej
skutkiem tego rozkÅ‚adu mas. Ponieważ macierz [G ] (4 × 4) jest symetryczna (G = G ) mamy wiÄ™c
10 niezależnych składowych. Równania Einsteina to w najogólniejszym przypadku układ 10 równań
różniczkowych (cząstkowych) drugiego rzędu, który rozwiązywać trzeba ze względu na niewiadome
składniki Jest to bardzo skomplikowany układ równań, więc jego analityczne rozwiązania udało
siÄ™ znalez
ć jedynie dla kilku najprostszych sytuacji. Jedną z nich jest opis statycznego pola
grawitacyjnego wokół masy kulistej (tzw. rozwiązanie Schwarzschilda). W tym przypadku ze względu
na symetrię sferyczną problemu, istotna jest tylko zależność geometrii od współrzędnej radialnej R
zaś z całego układu równań istotne pozostają tylko dwa z nich. Rozwiązanie to przewiduje m.in.
istnienie czarnych dziur (zobacz Dodatek poniżej).
Drugim przypadkiem rozwiązanym analitycznie jest sytuacja, gdy cała przestrzeń jest jednorodnie
wypeÅ‚niona materiÄ… o równej gÄ™stoÅ›ci Á. Tu również ze wzglÄ™du na dużą prostotÄ™ zagadnienia, istotne
pozostają dwa równania z całego układu. Są to podstawowe równania kosmologiczne opisujące
geometrię czasoprzestrzeni wszechświata i jej ewolucję w czasie.
DODATEK. Czarne dziury
Obiekty wytwarzające wokół siebie tak silne pole grawitacyjne, że nawet światło nie jest w stanie
odlecieć z ich powierzchni, rozważał już w 1799 roku francuski matematyk i astronom Laplace.
Bazując na newtonowskiej teorii grawitacji i korpuskularnej teorii światła, mógł on prosto policzyć
warunek jaki musi spełniać obiekt o masie M i promieniu R przy którym tzw. prędkość ucieczki V
równa się prędkości światła C . Ze szkolnego wzoru:
2GM
V =
R
łatwo otrzymać (przyrównując V = C) graniczny promień R = R obiektu o masie M:
2GM
R = . (1)
C
Laplace nie używał jeszcze nazwy czarne dziury, nie wiedział też nic o granicznej prędkości
światła, którą wprowadziła póz
niej Teoria Względności. Dopiero równania Ogólnej Teorii
Względności (OTW) dały zadowalający opis własności pola grawitacyjnego wokół masy kulistej. Opis
ten w przypadku słabych pól grawitacyjnych, daje rezultaty zbliżone do przewidywanych przez teorię
Newtona. Istotne różnice pojawiają się dla silnych pól grawitacyjnych.
Jak już wspominano w rozdziale o podstawach OTW  podstawową informację o geometrycznych
własnościach czasoprzestrzeni zawiera interwał czasoprzestrzenny, a w szczególności współczynniki
tworzące tzw. tensor metryczny i wyliczane z rozwiązań równań Einsteina. Pole kulisto-
symetryczne jest jednym z nielicznych przypadków, dla których równania te udało się w miarę prosto
rozwiązać (tzw. rozwiązanie Schwarzschilda). Ze względu na kulistą symetrię problemu, warto przejść
od współrzędnych kartezjańskich (X Y Z := X X X ) do współrzędnych sferycznych (R ) według
znanych formuł:
X = R SIN SIN
X = R SIN COS (2)
X = R COS
Proste różniczkowanie pozwala przepisać euklidesowy interwał przestrzenny w tych
współrzędnych:
DL = (DX ) + (DX ) + (DX ) = DR + R D + R SIN ·D (3)
zaś interwał czasoprzestrzenny:
DS = C DT -DR -R D -R SIN ·D . (3a)
Składowe tensora są więc w przypadku euklidesowym następujące:
G = 1 G =-1 G =-R G =-R SIN .
Przy kulistej symetrii pola grawitacyjnego, jedyne zmiany jego natężenia (w języku OTW są to
zmiany geometrii) zachodzą z odległością R nie ma zaś zmian w kierunkach kątowych. Oznacza to, że
wraz z uwzględnieniem pola grawitacyjnego w naszym interwale (3a), zmieni się wyraz G stojący
przy oraz ewentualnie wyraz G stojÄ…cy przy Otrzymany przez Schwarzschilda rezultat 
rozwiązania równań Einsteina dla pustej przestrzeni wokół statycznej, nierotującej masy M 
dał interwał czasoprzestrzenny w postaci:
R
DR

DS = - (4)
1 C DT -

R - R (D - SIN ·D )


R
1 -
R
gdzie R = 2GM C  tzw. promień grawitacyjny  jest identyczny ze wzorem (1).
Widzimy więc, że interwał (4) ma pewną osobliwość na odległości R = R  jest to tzw. horyzont
grawitacyjny Schwarzschilda. Poniżej tej wielkości zawodzi opis przy pomocy interwału (4). Obszar
dla R < R jest wnętrzem czarnej dziury. A więc, gdy całą masę M sciśniemy do rozmiarów
R d" R to utworzymy czarną dziurę. Przykładowo dla Ziemi R = 0.9 cm, dla Słońca R = 3km.
Porównując wielkości G z formuł (3a) i (4) widzimy, że upływ czasu w polu grawitacyjnym D
jest wolniejszy, niż bez pola grawitacyjnego (w czasoprzestrzeni euklidesowej) DT. Związek jest tu
następujący:

R
D = - (5)
1 DT .


R
Na samej powierzchni R = R spowolnienie to staje się nieskończone. Oznacza to, że odległy
obserwator znajdujący się z dala od pola grawitacyjnego i porównujący swoje odstępy czasowe DT z
impulsami D zegara zbliżającego się do  powierzchni czarnej dziury, w końcu stwierdzi jakby
 zatrzymanie siÄ™ czasu tego zegara na powierzchni R = R .
Także sam proces spadania na czarną dziurę będzie się odległemu obserwatorowi wydawał coraz
wolniejszy, wręcz asymptotyczny, i nieskończenie długotrwały. Natomiast obserwator współspadający
z tym zegarem, doleci do powierzchni horyzontu grawitacyjnego po skończonym czasie własnym i
wpadnie nieodwracalnie do czarnej dziury. Zaś odległy obserwator  dowie się o tym (odbierze ostatni
sygnał ginącego zegara), po nieskończenie długim czasie T.
Czasoprzestrzeń wokół czarnej dziury ma wiele osobliwych własności. Jedną z nich jest tzw.
kołowa orbita fotonu. Okazuje się, że w odległości R = 1.5R foton wypuszczony stycznie do okręgu
wokół czarnej dziury będzie ją obiegał po tym okręgu (dla orbit o promieniu R < 1.5R foton
wpadnie już do czarnej dziury). Ponieważ, jak wiemy, światło biegnie zawsze po drodze najkrótszej,
widzimy więc, że geometria czasoprzestrzeni wokół czarnej dziury jest taka, że najkrótszą drogą nie
jest euklidesowa prosta, lecz linia krzywa  w szczególności np. okrąg.
Najprawdopodobniej bardzo masywne gwiazdy o masach ponad dziesięciokrotnie większych od
masy Słońca, kończą swą ewolucję zapadając się do czarnych dziur. Astronomowie znają kilka
przypadków obserwacyjnych mocno podejrzanych o istnienie takich właśnie obiektów. Również w
jądrach galaktyk oraz kwazarów spodziewane są tzw. supermasywne czarne dziury o masach rzędu
do mas Słońca.
prof. Jerzy Sikorski