Autor opracowania: Marek Walesiak
3. SPECYFIKACJA POSTACI ANALITYCZNEJ
MODELU REGRESJI LINIOWEJ
Z JEDN
ZMIENN
OBJAŚNIAJ
C

3.1. Metody wyboru postaci analitycznej modelu
ekonometrycznego
A. Na podstawie apriorycznej wiedzy o związku łączącym
zmienną objaśnianą i zmienną objaśniającą
B. Heurystyczna (metoda eksperymentów obliczeniowych)
C. Oceny wzrokowej wykresów rozrzutu
D. Badania przyrostów (dla modelu tendencji rozwojowej)
3.2. Ustalenie z
ródeł danych statystycznych oraz zebranie mate-
riału statystycznego o zmiennej objaśnianej i zmiennej obja-
śniającej
3.3. Transformacja liniowa
1
Autor opracowania: Marek Walesiak
3.1 METODY WYBORU POSTACI ANALITYCZNEJ
MODELU EKONOMETRYCZNEGO
A. Na podstawie apriorycznej wiedzy o związku łączącym
zmienną objaśnianą i zmienną objaśniającą
y
ródła wiedzy apriorycznej:
1. Teoria ekonomii
Przykład 1.1
Z teorii kosztów wiadomo, że postać analityczna kosztów cał-
kowitych Y w zależności od wielkości produkcji X powinna być
wielomianem stopnia trzeciego:
2 3
v
= b0 + b1X + b2 X + b3 X
Y
Punkt przegięcia
X
X*
2
Autor opracowania: Marek Walesiak
Przykład 1.2.
Jeśli badamy popyt na pewne dobro Pa w zależności od ceny
tego dobra Ca wiedząc z teorii ekonomii, że elastyczność punkto-
wa cenowa jest stała, to model popytu przyjmuje postać funkcji
potęgowej:
b1
Ć
Pa = b0Ca
2. Własności matematyczne funkcji
Przykład 2.1.
Jeżeli wiemy, że względny przyrost pewnego zjawiska ekono-
Yt+1 - Yt
micznego oscyluje wokół pewnego stałego procentu to
Yt
model ekonometryczny zależności zmiennej Y od czasu t powi-
nien mieć postać funkcji wykładniczej:
t
Yt = b0b1 ,
ponieważ iloraz
t t t t
Yt+1 - Yt b0b1+1 - b0b1 b1b0b1 - b0b1
�"100% = �"100% = �"100%
t t
Yt b0b1 b0b1
t
b0b1 (b1 -1)
= �"100% = (b1 -1) �"100%
t
b0b1
gdzie (b1 -1) �"100% jest stałym % przyrostu zmiennej Y.
3
Autor opracowania: Marek Walesiak
Przykład 2.2
Jeżeli związek między logarytmami zmiennej Y i t ma charak-
ter liniowy, to do opisu trendu wykorzystuje się funkcję potęgową:
1
v
t = b0tb
Przykład 2.3.
Jeżeli wartości zmiennej X kształtują się według postępu aryt-
metycznego, a pierwsze różnice odpowiednich wartości zmiennej
Y są stałe, to funkcja ma charakter liniowy (np. przy akordzie
prostym, gdy badamy zależność funduszu płac pracowników bez-
pośrednio produkcyjnych od wielkości produkcji).
3. Wiedza własna badacza (intuicja badacza)
4. Wiedza płynąca z dotychczasowych badań
4
Autor opracowania: Marek Walesiak
B. Metoda heurystyczna (metoda eksperymentów
obliczeniowych)
Jest to metoda polegająca na zastosowaniu różnych postaci
analitycznych do opisu danego fragmentu rzeczywistości ekono-
micznej, a następnie wyborze tej postaci, dla której dopasowanie
modelu do danych empirycznych jest najlepsze z punktu widzenia
wybranego miernika  dobroci dopasowania.
Przykład. Spośród poniższych funkcji po zebraniu danych sta-
tystycznych i oszacowaniu parametrów należy wybrać tę, która
ma np. najwyższą wartość współczynnika determinacji:
Y = b0 + b1X + u (f. liniowa)
Y = b0 + b1 ln X + u (f. semilogarytmiczna)
lnY = b0 + b1X + u (f. semilogarytmiczna)
Y = b0b1X eu (f. wykładnicza)
b1
Y = b0 X eu (f. potęgowa)
5
Autor opracowania: Marek Walesiak
Wady tej metody
1. Teoretycznie istnieje nieskończenie wiele funkcji opisują-
cych dane zjawisko ekonomiczne. Staramy się zaproponować
możliwie proste postaci analityczne (łatwiej je estymować, inter-
pretować i zastosować, np. w prognozowaniu).
2. Musimy zdecydować się na konkretny miernik jakości do-
broci dopasowania.
6
Autor opracowania: Marek Walesiak
C. Metoda oceny wzrokowej wykresów rozrzutu
" Po zebraniu danych statystycznych odnośnie zmiennej obja-
śnianej Y i zmiennej objaśniającej X konstruuje się wykres ko-
relacyjny, w którym na osi rzędnych nanosimy zmienną obja-
śnianą, a na osi odciętych zmienną objaśniającą
" Na podstawie kształtu i położenia smugi punktów na wykresie
korelacyjnym oraz znajomości przebiegu podstawowych funk-
cji matematycznych dobiera się odpowiednią postać analitycz-
ną (zob. rys. 1 3)
" W przypadku, gdy rozrzut punktów jest ciągły, ale ocena
wzrokowa nie pozwala na jednoznaczne ustalenie postaci anali-
tycznej stosuje się kombinację dwóch metod: oceny wzrokowej
i metody heurystycznej (zob. rys. 4 6)
" Jeśli postać zarysowanej smugi punktów jest powikłana lub
rozrzut punktów jest nieciągły, to do wyboru postaci analitycz-
nej stosuje się metodę aproksymacji segmentowej (zob. rys. 7-
9)
7
Autor opracowania: Marek Walesiak
Y Y
X X
2
Rys. 1. v
= b0 + b1X Rys. 2. v
= b0 + b1X + b2 X
Y
X
2 3
Rys. 3. v
= a0 + a1X + a2 X + a3 X
8
Autor opracowania: Marek Walesiak
Y
b1
v
= b0 X (0 < b1 < 1)
v
= b0 + b1 log X
b1X
v
=
b0 + X
X
Rys. 4.
Y Y
X X
Rys. 5. Rys. 6.
X
v
= b0b1X
v
=
b1
b0 + b1X
v
= b0 X (b1 > 1)
-b1
2
v
= b0 X
v
= b0 + b1X + b2 X
1
v
=
b0 + b1X
9
Autor opracowania: Marek Walesiak
Aproksymacja segmentowa
Metoda aproksymacji segmentowej polega na podzieleniu wy-
kresu rozrzutu punktów na części, zwane segmentami, w taki spo-
sób, aby w każdej części łatwo było przyjąć postać analityczną
funkcji.
Linie podziału na segmenty biegną poziomo, podziału dokonu-
jemy więc ze względu na wartości zmiennej objaśniającej.
Y
X1 X
X2
Rys. 7. Wykres rozrzutu punktów jest ciągły, ale powikłany ze
względu na postać analityczną
10
Autor opracowania: Marek Walesiak
Y
X1 X2 X
Rys. 8. Wykres rozrzutu punktów jest nieciągły
(w segmencie I stosujemy posiłkowo, przy wyborze postaci
analitycznej, metodę heurystyczną)
Y
X1 X2 X
Rys. 9. Wykres rozrzutu punktów jest nieciągły, ale nie wymaga
stosowania dodatkowo metody heurystycznej przy wyborze po-
staci analitycznej
11
Autor opracowania: Marek Walesiak
3.2. USTALENIE y
RÓDEA
DANYCH STATYSTYCZ-
NYCH ORAZ ZEBRANIE MATERIAA
U STATY-
STYCZNEGO O ZMIENNEJ OBJAŚNIANEJ I OBJA-
ŚNIAJ
CEJ
Liniowy model regresji jednej zmiennej objaśniającej:
Yt = b0 + b1X + �t
t
gdzie: Y  zmienna objaśniana (regresant),
X  zmienne regresyjna (objaśniająca, regresor),
b0,b1  parametry strukturalne,
�  składnik losowy,
t = 1,K,T  numer obserwacji.
12
Autor opracowania: Marek Walesiak
W zapisie macierzowym liniowy model regresji jednej zmien-
nej objaśniającej przyjmuje postać:
y = Xb + �,
gdzie:
Y1
Ą# ń#
ó# Ą#
y = M  wektor obserwacji na zmiennej objaśnianej,
ó# Ą#
ó# Ą#T�1
Ł#YT Ś#
1 X1
Ą# ń#
ó#1 X Ą#
 macierz obserwacji na zmiennych objaśnia-
2
ó# Ą#
X =
ó#M M Ą#
jących
ó#1 XT Ą#
Ł# Ś#T�2
b0
Ą# ń#
b =  wektor parametrów strukturalnych,
ó#b Ą#
Ł# Ś#2�1
1
�1
Ą# ń#
ó# Ą#
� = M  wektor składników losowych.
ó# Ą#
ó# Ą#T�1
Ł#�T Ś#
13
Autor opracowania: Marek Walesiak
Charakter (typ) danych statystycznych
a) modele oparte na szeregach czasowych (time series data)
Szeregi czasowe dotyczą obserwacji na zmiennych (objaśnia-
nej i objaśniającej) rejestrujących zjawisko w kolejnych i jedna-
kowo odległych jednostkach czasu (np. latach, kwartałach, mie-
siącach, dekadach, dniach).
Np. konsumpcja indywidualna i dochody będące w dyspozycji
ludności w Polsce w latach 1990-2004 (15 obserwacji).
b) modele oparte na szeregach przekrojowych
(cross-sectional data)
Szeregi przekrojowe dotyczą obserwacji na zmiennych (obja-
śnianej i objaśniającej) rejestrujących zjawisko w tym samym
momencie dla wielu obiektów badania (np. przedsiębiorstw, jed-
nostek administracyjnych, gospodarstw domowych, konsumen-
tów, itd.).
Np. wydatki na żywność 100 gospodarstw domowych w roku
2004 w Polsce (100 obserwacji).
c) modele oparte na szeregach przekrojowo-czasowych
(panel data, longitudinal data)
Szeregi przekrojowo-czasowe stanowią połączenie dwóch po-
przednich szeregów.
Np. wydatki na żywność 100 gospodarstw domowych w kolej-
nych miesiącach 2004 roku w Polsce (100�12 =1200 obserwacji).
14
Autor opracowania: Marek Walesiak
3.3. TRANSFORMACJA LINIOWA
Podstawowym założeniem klasycznego modelu regresji linio-
wej jest liniowa postać modelu ekonometrycznego. Przed rozpo-
częciem estymacji niezbędne jest sprowadzenie modelu nielinio-
wego do postaci liniowej.
Modele ze względu na postać analityczną dzielą się na:
1) modele liniowe
Yt = b0 + b1X + �t
t
2) modele nieliniowe
a) sprowadzalne do postaci liniowej:
 liniowe względem parametrów, ale nieliniowe względem
zmiennej objaśniającej,
 nieliniowe względem zmiennej objaśniającej i parametrów;
b) niesprowadzalne do postaci liniowej (specjalne metody estyma-
cji parametrów: najszybszego spadku, Newtona-Raphsona,
Gaussa-Newtona, Marquardta-Levenberga).
15
Autor opracowania: Marek Walesiak
Transformacja liniowa polega na sprowadzeniu nieliniowego
modelu ekonometrycznego do postaci liniowej względem parame-
trów i zmiennych za pomocą następujących metod:
 podstawianie,
 logarytmowanie,
 odwracanie stronami.
Metodę podstawiania stosujemy dla modeli addytywnych,
które są liniowe względem parametrów, ale są nieliniowe wzglę-
dem zmiennych objaśniających.
Przykład
Model liniowy względem parametrów, a nieliniowy względem
2
zmiennej objaśniającej: v
= b0 + b1X
2
Podstawianie: Z = X ;
Model liniowy: v
= b0 + b1Z
16
Autor opracowania: Marek Walesiak
Metodę logarytmowania stosujemy dla modeli ekonome-
trycznych o postaci iloczynowej. Po zlogarytmowaniu obu stron
równania modelu należy zastosować metodę podstawiania.
Przykład
b1
Pa = b0Ca eu
Logarytmowanie:
b1
ln Pa = lnb0 + lnCa + ln eu
ln Pa = lnb0 + b1 lnCa + u ln e (lne =1)
Podstawianie: ln Pa = Y ; lnb0 = c; lnCa = K ;
Model liniowy: Y = c + b1K + u
17
Autor opracowania: Marek Walesiak
Metodę odwracania stronami stosujemy dla modeli ilorazo-
wych. Po zastosowaniu metody odwracania stronami równania
modelu należy zastosować metodę podstawiania.
Przykład
b1X
v
=
b0 + X
Odwracanie stronami:
1 b0 + X b0 1 1
= = +
b1X b1 X b1
v

Podstawianie:
1 b0 1 1
� = ; = a1; = V ; = a0
b1 X b1
v

Model liniowy: � = a1V + a0
18