II. STATYCZNA PRÓBA SKR
CANIA METALI
1. CELE ĆWICZENIA
1) Zaznajomienie się z próba statycznego skręcania i maszynami skręcającymi.
2) Pokazanie zachowania się materiału podczas próby.
3) Wyznaczenie pewnych wielkości charakteryzujących własności materiału (w naszym przy-
padku w zakresie odkształceń sprężystych).
4) Sprawdzenie liniowej zależnoÅ›ci kÄ…ta skrÄ™cenia Õ od momentu skrÄ™cajÄ…cego MS .
5) Wyznaczenie modułu sprężystości poprzecznej G.
6) Statystyczne opracowanie wyników.
2. WPROWADZENIE DO ĆWICZENIA
Próbę skręcania przeprowadza się zwykle na prętach o stałym przekroju kołowym, dla
Rys. 2.1. Próbki stosowane do prób skręcania
- 1 -
których proste jest określenie stanu naprężenia. Próbki o innym niż kołowy przekroju stoso-
wane są w szczególnych przypadkach.
Wymiary próbek zwykle wynoszą:
d = 10÷30 mm;
Lo = (5÷20)d, (najczęściej Lo = 10d);
W przypadku prętów cienkich i drutów można je mocować bezpośrednio w
odpowiednich uchwytach. Typowe próbki mają głowy o przekroju kołowym, kwadratowym, n
- kotnym i innych, mogą również posiadać nacięcia. Jednakże bez względu na kształt, muszą
one spełniać wymóg osiowego ustawienia próbki i uniemożliwić obrót głowy wewnątrz
uchwytów. Najczęściej w związku z tym stosuje się próbki z głowami o przekroju
kwadratowym.
3. PODSTAWY TEORETYCZNE
3.1. Jednostki i wielkości fizyczne
Ms - moment skręcający; [Nm]
Õ
- kąt skręcenia (odkształcenia postaciowego);
Ä - naprężenie styczne; [MPa]
Ämax - najwiÄ™ksze naprężenie styczne (na konturze przekroju); [MPa]
Ä ' - naprężenia odpowiadajÄ…ce granicy plastycznoÅ›ci przy czystym Å›cinaniu; [MPa]
I0
W0 = - wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie; [m3]
r
I0 - biegunowy moment bezwładności przekroju próbki; [m4]
G - moduł sprężystości poprzecznej; [MPa]
GI0 - sztywność na skręcanie; [Nm2]
Mprs - moment skręcający przy granicy proporcjonalności; [Nm]
Msps - moment skręcający przy granicy sprężystości; [Nm]
Mes - moment skręcający przy granicy plastyczności; [Nm]
Mms - moment skręcający przy wytrzymałości na skręcanie; [Nm]
Rpr - umowna granica proporcjonalności; [MPa]
Rsp - umowna granica sprężystości; [MPa]
Re - umowna granica plastyczności; [MPa]
- 2 -
M0.075 - moment przy granicy sprężystości; [Nm]
M0.3 - moment przy granicy plastyczności; [Nm]
l0 - długość pomiarowa próbki; [m]
lt - długość próbki; [m]
m - ilość pomiarów;
n - ilość parametrów (w tym przypadku n=2);
r - promień przekroju poprzecznego próbki; [m]
d0 - początkowa średnica próbki; [m]
ł - kąt odkształcenia postaciowego (posunięcie).
3.2. Teoria skręcania prętów o przekroju okrągłym
Jeśli pręt jak na rys.3.2. obciążymy w płaszczyz
nie prostopadłej do jego osi parą sił o
momencie K, to siły wewnętrzne zredukują się do momentu MS , którego kierunek jest zgodny
z osią pręta.
Ä
Rys. 3.2. Odkształcenie (ł) i rozkład naprężeń ( ) w pręcie skręcanym
Moment ten powoduje w poszczególnych przekrojach poprzecznych próbki płaski stan naprę-
żenia i odpowiadający mu stan odkształcenia, który dla prętów o przekrojach kołowych w za-
kresie odkształceń sprężystych określają wzory:
MS 16 MS
Ämax = = , (1)
3
W0 Ä„d0
- 3 -
MSl0 32 MSl0
Õ = =4 , (2)
GI0 GÄ„d0
Ämax d0
Å‚ = = Õ , (3)
G 2l0
Õ
Wykres próby skręcania (zależność kąta skręcenia od momentu skręcającego MS
przedstawiony jest na rys.3.3.
Rys. 3.3. Wykres skręcania materiału sprężysto - plastycznego.
Wartości momentów Mprs, Msps, M i Mms zaznaczone na wykresie mogą posłużyć
es
do wyznaczenia wartości granicznych naprężeń (podobnie jak przy rozciąganiu), tj.
odpowiednio: granicy proporcjonalności, sprężystości, plastyczności oraz wytrzymałości przy
skręcaniu.
Zaznaczyć tu należy, że próba skręcania lepiej obrazuje własności plastyczne materiału
niż próba rozciągania. Wynika to z niezmienności (w zasadzie) wymiarów przekroju i
długości próbki podczas skręcania aż do jej zniszczenia, co pozwala na określenie naprężeń
w przekroju poprzecznym próbki nawet przy znacznych odkształceniach. W próbie
rozciągania było to niemożliwe ze względu na tworzenie się tzw. szyjki.
- 4 -
Z kolei ujemną stroną próby skręcania jest nierównomierność rozkładu naprężeń w przekroju
poprzecznym próbki, co znacznie komplikuje ujęcie zjawiska powyżej granicy sprężystości w
formę matematyczną (nierównomierności rozkładu naprężeń w przekroju poprzecznym próbki
można uniknąć stosując pręty cienkościenne).
Możemy go wyznaczyć z równania:
32 MSl0
G = , (4)
4
Ä„d0 Õ
32l0
lub, podstawiajÄ…c: C = ,
4
Ä„d0
z równania:
MS
G = C , (4.a)
Õ
Do równania powyższego należy wstawiać odpowiednie przyrosty (" MS ) stopniowanego ob-
Õ
ciążenia i odpowiadające im przyrosty kąta skręcenia ( " ).
Tak więc wzór (4.a) przyjmie postać:
"MS
G = C , (4.b)
"Õ
a więc:
"Gi
Gsr = , (5)
n
W celu dokładniejszego określenia wartości G należy do obliczeń zastosować jedną z metod
statystycznych, np. metodę najmniejszych kwadratów (metoda ta została omówiona w roz-
dziale 8).
3.3.2. Określenie i sposób wyznaczania Rpr, Rsp i Re przy skręcaniu
Przyjmuje się, że umowna granica sprężystości Rprs jest to naprężenie, przy którym
stosunek naprężenia do odpowiadającego mu odkształcenia stanowi 2/3 modułu sprężystości
poprzecznej.
Zakres sprężysty w praktyce ogranicza się od góry umowną granicą sprężystości (pkt B na
rys.3.3).:
Msps
Rsps = , (6)
W0
- 5 -
Natomiast za podstawę do określenia umownej granicy sprężystości Rprs i plastyczności Res
przyjmuje się umowną wartość trwałego odkształcenia postaciowego ł dla włókien skrajnych.
W celu wyznaczenia wyżej wymienionych wielkości porównywalnych z podobnymi
wielkościami wyznaczanymi w próbie rozciągania, umowną wartość ł wylicza się z odpo-
wiednich zależności między odkształceniem postaciowym a wydłużeniem jednostkowym.
Dla małych odkształceń w przypadku rozciągania zachodzi zależność:
Å‚ = 1.5µ1 (7)
max
Wartość µ1 dla wyznaczania umownej granicy sprężystoÅ›ci wynosi 0.05%, zaÅ› dla
umownej granicy plastyczności 0.2% długości pomiarowej.
Tak więc (przy pewnym uproszczeniu) przyjmuje się:
- dla umownej granicy sprężystości przy skręcaniu:
Å‚ = 15µ1 = 1.5*0.05 = 0.075%, (8a)
.
- dla umownej granicy plastyczności:
Å‚ = 15µ1 = 1.5*0.2 = 0.3%, (8b)
.
Tak więc odpowiednikami R0.05 i R0.2 przy rozciąganiu będą M0.075 i M0.3 przy skręcaniu.
KÄ…towi skrÄ™cenia Õ (rys. 2) odpowiada kÄ…t Å‚Á taki ,że:
ÁÄ…
tgł = , (9)
Á
L0
stÄ…d:
ÁÄ…
Å‚ = arc tg , (9a)
Á
L0
OczywiÅ›cie na powierzchni próbki (gdy Á = r, Å‚Á =Å‚):
rÄ…
Å‚ = arc tg , (9b)
Á
L0
Dla niewielkich kątów skręcenia wzór (9b) można przybliżyć zależnością:
rÄ…
Å‚ = , (9c)
L0
Ostatecznie otrzymujemy wyrażenie na dopuszczalny kąt skręcenia w postaci:
L0 15µ1L0
.
Õ = Å‚ = , (10)
r r
Jest to wartość kąta skręcenia odpowiadającego umownej granicy wartości ł, którą możemy
zaznaczyć na wykresie (rys. 3.4).
- 6 -
Rys.3.4. Wykreślny sposób określania M0.3
Odczytując z wykresu M0.075 i M0.3 wylicza się Rsps i Res ze wzorów:
M0.075
Rsp 0.075 = , (11a)
W0
M0.3
Re 0.3 = , (11b)
W0
3.3.3. Rozkład naprężeń po przekroczeniu granicy proporcjonalności Rpr
Wzory (1)-(3) są prawdziwe jedynie w zakresie własności sprężystych materiału, czyli do
takiej wartości MS , przy którym na konturze
przekroju wystÄ…piÄ… naprężenia Ä' odpowiadajÄ…ce
granicy plastyczności przy czystym ścinaniu.
Dla materiałów sprężysto - plastycznych przy
ścinaniu (stan naprężenia w przypadku skręcania jest
ścinaniem) pomiędzy odkształceniem a naprężeniem
zachodzi zwiÄ…zek jak na rys. 3.5.
Wzrostowi MS odpowiada wzrost posunięcia ł
Rys. 3.5. Zależność między
(a więc zgodnie z prawem Hooke'a wzrost naprężeń).
odkształceniem i naprężeniem przy
Po osiÄ…gniÄ™ciu wartoÅ›ci naprężeÅ„ Ä' dalsze skrÄ™canie
ścinaniu dla materiałów idealnie
i zwiększanie się przemieszczeń następuje przy stałej
sprężysto - plastycznych (bez
wzmocnienia) wartoÅ›ci naprężeÅ„ Ä'.
- 7 -
Na rys. 3.6. przedstawiono rozkłady naprężeń stycznych w przekroju poprzecznym pręta
dla wzrastającej wielkości MS .
Rys. 3.6. Rozkład naprężeń stycznych w obszarze: (a)-sprężystym, (b)-sprężysto
plastycznym, (c)-plastycznym
Wykres naprężeń (a) odpowiada skręcaniu wyłącznie sprężystemu. Wykres naprężeń (b)
odpowiada skręcaniu w przypadku, gdy w części przekroju (tj. w zewnętrznej warstwie
przekroju) zostaje przekroczona granica plastyczności.
Przy dalszym wzroście MS rozkład naprężeń coraz bardziej zbliża się do rozkładu przedsta-
wionego na wykresie (c), tj. do stanu, jaki wytworzy się przy skręcaniu idealnie plastycznym,
w którym naprężenia w caÅ‚ym przekroju osiÄ…gnęłyby staÅ‚Ä… wartość równÄ… Ä'.
3.3.4. Stanowisko do próby skręcania
Rys. 3.7. przedstawia schemat skręcarki firmy Amsler o zakresie MS do 1500Nm. Ma
ona możliwość nastawienia na cztery zakresy: 300, 500, 1000 i 1500Nm.
Maszyna składa się z dwóch poziomych prowadnic 1 tworzących ramę,
zamocowanych na obu końcach w stojakach 2.Badaną próbkę mocuje się w głowicach 3 i 4.
Głowica 4 (na rysunku z prawej strony) wraz z wahadłem 5, oraz urządzeniem pomiarowym i
rejestrującym 12 może być przesuwana wzdłuż prowadnic 1. Położenie to ustala się w
zależności od długości próbek.
Może ona służyć do skręcania próbek płaskich i okrągłych, jak również do skręcania
gotowych części konstrukcyjnych (wały, sprzęgła, itp.).
- 8 -
Rys. 3.7. Schemat skręcarki firmy Amsler
Głowica 3 (lewa) jest osadzona w nieprzesuwnym łożysku 7. Skręcanie próbki następuje
przez obrót głowicy 3 za pośrednictwem przekładni ślimakowej 8 za pomocą silnika lub
ręcznie.
Prawy koniec próbki po sztywnym jej zamocowaniu w uchwycie głowicy 4 stanowi całość z
tą głowicą i z wahadłem 5 i może się wraz z nimi obracać w łożysku 9.
Przyłożony do próbki w uchwycie głowicy lewej moment skręcający jest równoważony mo-
mentem w uchwycie głowicy prawej poprzez wychylenie wahadła.
W momencie zniszczenia próbki łagodny powrót wahadła jest zapewniany przez hamulec li-
nowy 11.
Wychylenie wahadła, będące miarą momentu, przenoszone jest za pomocą układu
dz
wigni na wskazówkę tarczy 10. Tarcza ta jest wyskalowana tak, że odczytujemy z niej bez-
pośrednio wartość MS . Wskazówka może wykonać dwa obroty, dlatego też tarcza ma dwie
skale, przy czym skala zewnętrzna odnosi się do drugiego obrotu. Zakres maszyny ustala się
poprzez wydłużenie lub skrócenie ramienia wahadła 5. Odczytujemy go na pręcie 13.
Na prowadnicach 1 umieszczone jest urządzenie do pomiaru kąta skręcenia. Składa się
ono z dwóch przesuwnych układów pierścieni 6. Jeden z pierścieni układu jest sztywno połą-
czony z obudową, drugi zaś (za pomocą śrub dociskowych zakończonych ostrzem) jest
osiowo przytwierdzony do próbki. Oba pierścienie posiadają podziałkę umożliwiającą odczyt
kąta skręcenia próbki (jako zmianę położenia jednego pierścienia względem drugiego).
- 9 -
 W przypadku przeprowadzania próby niszczącej obrotu głowicy 3 dokonuje się przy
pomocy silnika. Jednocześnie układ rejestrujący samoczynnie kreśli wykres skręcania.
Gdy próba jest prowadzona w zakresie odkształceń sprężystych zwykle głowicę 3 obraca się
ręcznie i co określoną wartość MS dokonuje się odczytu kąta skręcenia.
4. PRZEBIEG ĆWICZENIA
4.1. Wykonanie pomiarów
1. Pomiar średnicy próbki z dokładnością do 0.1 mm.
2. OkreÅ›lenie rodzaju materiaÅ‚u i przypuszczalnego Ämax - nastawienie zakresu maszyny.
3. Zamocowanie próbki.
4. Pomiar długości pomiarowej próbki z dokładnością do 1 mm.
5. Ustawienie wskazówki na tarczy oraz kątów skręcenia na pierścieniach układów 6 na "0"
6. Przyjęcie obciążenia wstępnego MS 0.
7. Zwiększanie obciążenia co 20 kGm w zakresie sprężystym i odczyt odpowiadającego ob-
ciążeniu kąta skręcenia.
8. Odciążenie próbki.
4.2. Tabele pomiarowe
"Õ "Õ
Lp. MS MS Õ2 Õ1 Gi
[rad]
[kGm] [Nm] [°] [MPa]
[°] [°]
1
2
. . .
n
Gsr
- 10 -
5. OPRACOWANIE WYNIKÓW
5.1. Wytyczne do wykonania sprawozdania
Sprawozdanie powinno zawierać:
a) wstęp teoretyczny;
b) uzupełnioną tabelę;
c) wykres w ukÅ‚adzie MS -Õ ;
d) wyznaczenie modułu sprężystości poprzecznej metodą statystyczną;
e) wnioski z ćwiczenia.
5.2. Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ta jest jedną z częściej stosowanych metod statystycznych do analizy wyników
doświadczalnych. Jej ideą jest wyznaczenie takiej funkcji y = f(x),która przy założeniu mini-
mum błędu aproksymacji określa zależność pomiędzy otrzymanymi wynikami badań.
W naszym przypadku poszukujemy funkcji
^ ^
y = a x + b, (12)
^
I0
gdzie: y = MS , x = Õ , a = G .
l0
^ ^
a i b należy tak dobrać, by suma kwadratów różnic pomiędzy wartościami doświadczalnymi
^ ^ ^ ^
yi a wartością oczekiwaną ax + b, tzn. należy dobrać a i b minimalizujące sumę
n
^ ^
V = - a xi - b )2, (13)
"(yi
i=1
Jest to równoważne układowi równań:
n
^ ^
"V
=-2 - a xi - b)xi = 0,
"(yi
" â
i=1
n
^ ^
"V
=-2 - a xi - b ) = 0, (14)
"(yi
^
i=1
" b
wprowadzajÄ…c oznaczenia:
n n
_ _
1 1
x = , y = ,
"xi "yi
n n
i=1 i=1
otrzymujemy rozwiązanie układu równań (14) w postaci:
- 11 -
n
_ _
- x )(yi - y)
"(xi
^
i=1
a = , (15)
n
_
- x )2
"(xi
i=1
_ _
^ ^
b = y- a x. (16)
Dla oceny dokładności pomiarów wyznaczamy wartość odchylenia standardowego:
2
n
_
1
S = (17)
"ëÅ‚ yi - yi öÅ‚ ,
ìÅ‚ ÷Å‚
m - n
íÅ‚ Å‚Å‚
i=1
6. PYTANIA KONTROLNE
1) podać podstawowe założenia i zależności teorii skręcania prętów kołowych;
2) narysować i omówić wykres skręcania;
3) jak wyznaczamy umowną granicę sprężystości i plastyczności? Przedstawić na wykresie;
4) narysować i omówić rozkład naprężeń stycznych w kołowym pręcie skręcanym w obszarze
sprężystym, sprężysto - plastycznym i plastycznym;
5) podać sposób wyznaczania modułu sprężystości poprzecznej G. Omówić dwie metody
opracowania wyników.
7. LITERATURA
1. A. Jakubowicz, Z. Orłoś: Wytrzymałość materiałów, WNT, Warszawa 1978.
2. Ćwiczenia z wytrzymałości materiałów. Laboratorium. Praca zbior. pod red. T. Lambera,
Skrypty uczelniane Pol. Åšl., nr 1527, Gliwice 1990.
3. M. Fisz: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa
1969.
4. J.R. Benjamin, C.A. Cornel: Rachunek prawdopodobieństwa statystyka matematyczna i
teoria decyzji dla inżynierów, WNT, Warszawa 1977.
- 12 -
Politechnika ÅšlÄ…ska
w Gliwicach
Wydział Mechaniczny Technologiczny
Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych
Mechaniki
Laboratorium Wytrzymałości Materiałów
Protokół z ćwiczenia Nr 2
Temat: STATYCZNA PRÓBA SKR
CANIA METALI
Rok akademicki: . . . . . . . . . . ., Data wyk. ćwicz.: . . . . . . . . . ., Grupa: . . . . . . .
ProwadzÄ…cy: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , podpis . . . . . . . . . . . . . . . .
Studenci:
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,
- 13 -
1. Cel ćwiczenia i opis przebiegu ćwiczenia:
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
2. Rysunek badanej próbki
- 14 -
3. Opracowanie wyników
3.1 Wyniki pomiarów
"Õ "Õ
Lp. MS MS Õ2 Õ1 Gi
[rad]
[kGm] [Nm] [°] [MPa]
[°] [°]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Gsr
4. Uwagi i wnioski:
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
5. Załączniki
1. Wykres w ukÅ‚adzie MS -Õ .
2. Wyznaczyć odchylenie standartowe i zaznaczyć na wykresie.
- 15 -