WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW C15 sem. III WILIŚ
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW C15 sem. III WILIŚ
Kolokwium nr 1 24 listopada 2005 godz. 18.30
Kolokwium nr 1 24 listopada 2005 godz. 18.30
- propozycje zadań z rozwiązaniami -
- propozycje zadań z rozwiązaniami -
Zadanie 1. W płaskim stanie naprężenia dane są naprężenia główne: �1 = 100 [MPa]
i �2 = 20 [MPa]
Obliczyć naprężenia normalne �Ć i styczne �Ć w przekroju o normalnej nachylonej pod
kątem Ć = 45 [�] do osi głównej (1) (rys. 1). Narysować koło Mohra dla naprężeń,
zinterpretować powyższy stan naprężenia jako punkt (M) na rysunku koła Mohra,
Obliczyć odkształcenia główne. Narysować koło Mohra dla odkształceń (w płaszczyz
nie
wyznaczonej przez osie 1 i 2).
Dane są stałe materiałowe: E = 100 [GPa], � = 0.2.
2
�2
�Ć �1
1
�Ć
Rys. 1.
Rozwiązanie:
�
�1 +� �1 -� 100 + 20
2 2
�� =+cos 2� = = 60[MPa]
60
22 2
�
�1 -�2 100 - 20
�� =- sin 2� =- =-40[MPa]
22
20 100
-40
M
0.5ł
11
�1 = �1 -�� = 100 - 0.2�" 20 = 9.6�"10-4[-]
() ()
2
E 105
11
�
�2 = �2 -��1 = 20 - 0.2�"100 = 0
() ()
E 105
�1 = 0.00096
v 0.2
�3 =- ()
�1 +� =- ()
100 + 20 =-2.4�"10-4[-]
2
E 105
�2 = 0
Zadanie 2. Obliczyć siły w prętach i reakcje podporowe w układzie złożonym z
nieskończonej sztywnej belki i prętów kratowych (rys. 2)
A
l
1
2A
l
2 P
1.5l
A
Rys. 2
2l 2l
Rozwiązanie:
Stan przemieszczeń układu określony jest przez kąt obrotu belki Ć (rys.)
S1 �"l S1 �"l 4
ż#S = EA�
4 p.
"l1 = � �" 2l = +
1
�#
4 p.
�#
EA 2EA 3
�!
�#
S2 �"1,5l
�#S2 =- 8 EA�
"l2 = � �" 4l = -
2 p.
�#
EA �# 3
3 p.
"M = 0 �! S1 �" 2l - S2 �" 4l - P �" 2l = 0
A
"l2 Ć
4 16 3P
"l1
EAĆ + EAĆ = P �! Ć =
33 20EA
8 p.
stąd
S1 = 0.2P, S2 = -0.4P
S1
A
0.2P
S2
P
P
4 p.
0.4P
0.4P
Zadanie 3. Sporządzić wykres ekstremalnych naprężeń normalnych w belce poddanej
kN
działaniu obciążenia q =1 (rys. 3). Ile wynosi maksymalna wartość bezwymiarowego
m
mnożnika obciążenia m, przy której nie zostaną przekroczone naprężenia dopuszczalne
�dop a" Kg = 200 MPa ?
4 4 4
kN
4
1
m
24
4
4 m 8 m
8 4 8 [cm]
Rys. 3
8 kN
Rozwiązanie:
2.667 kN 5.333 kN
5.333 m
+
M = Mmax = 0.5�"5.333�"5.333 =
x
-
= 14.222 kNm =1422.22 kNcm
x
A = 4 12 + 24 + 20 = 224cm2
( )
16
Sx' = 4�"12�" 2 + 4�" 24�"16 + 4�" 20�"30 = 4032cm3
18
yC = 18cm
2
12
12�" 43 4�" 243
Ix = +12�" 4�"162 + + 4�" 24�" 22 +
12 12
x
y = y
20�" 43
+ + 20�" 4�"122 = 28970.667 cm4
12
M 1422.22 kN
Ą# ń#
x
� x, y = y = y = 0.04909y= 0.4909 MPa
( )Ix 28970.667 [ ]
2
ó#cm Ą#
Ł# Ś#
y =14cm �! �d = 6.873MPa y = -18cm �! � = -8.837 MPa
g
kN
Przy obciążeniu q =1 ekstremalne naprężenia są równe �extr = 8.837 MPa
m
Przy obciążeniu m-krotnie większym ekstremalne naprężenia wynoszą m �"8.837 MPa
[ ]
Warunek wytrzymałościowy:
m �"8.837 MPa d" Kg = 200 MPa �! m d" 22.633
[ ] [ ]
Zadanie 4. Sporządzić wykres naprężeń normalnych w przekroju cienkościennym słupa
jak na rys. 4. Podać równanie osi obojętnej, obliczyć wartości naprężeń w czterech
wierzchołkach przekroju (linii środkowej).
2 cm
y
60 kN
1
2
1 cm
x
60 kN
18
3
4
12
Rys. 4
Rozwiązanie:
1�"183 2�"123
4 4
Ą# ń#Ą# ń#
Ix = 2�" + 2�"12�"2�"92 = 4860 , Iy = 2�" + 2�"1�"18�"62 = 1872
Ł#cm Ś#Ł#cm Ś#
12 12
M =-18�"60 =-1080 kNcm , M =-12�"60 =-720 kNcm
[ ] [ ]
xy
M
M -1080 -720
y
x
� x, y = y + x = y + x = -0.222y - 0.3846x
( )Ix Iy 4860 1872
Oś obojętna: y =-1.731x y 6 =-10.38cm
( )
y
�1 = �
(-6,9 = 0.3076 �#
)
2
1 �#
�2 = � 6,9 = -4.3076
( )
�# kN
Ą# ń#
Ź#
�3 = � 6,- 9 = -0.3076�# ó#cm2 Ą#
( ) Ł# Ś#
x
�4 = � 9 = 4.3076�#
(-6,- )
�#
4 3
4.3076
-
kN
Ą# ń#
naprężenia normalne,
2
ó#cm Ą#
Ł# Ś#
+
4.3076