1. Geodezyjna (1.6) -Niech A,B"X. Geodezyjną łączącą punkt A z punktem B nazywamy
funkcję c:[a,b]X, taką, że "(t,t'"[a,b]) d(c(t),c(t'))=|t-t'|; (inaczej geodezyjna jest
zanurzeniem izometrycznym przedziału cR w X). Geodezyjną sprametryzowaną liniowo
nazywamy funkcję c:[a,b]X, taką, że "(K>0) "(t,t'"[a,b]) d(c(t),c(t'))=K|t-t'|
2. Przestrzeń geodezyjna (1.10) - Przestrzenią geodezyjną nazywamy przestrzeń metryczną,
której dowolne dwa punkty można połączyć geodezyjną. Przestrzenią r geodezyjną, gdzie
r>0 nazywamy p.m., której dowolne dwa punkty odległe o mniej niż r można połączyć
geodezyjną.
3. Długość krzywej (1.14) - Niech ł[a,b]X będzie krzywą (czyli funkcją ciągłą). Oznaczmy
l(j)=sup(a=t0prostowalną a l(j) jej odległością.
4. Odległość euklidesowa (2.1) - Przestrzeń afiniczna En z funkcją daną wzorem d(A,B)=||B-
A|| jest przestrzenią metryczną.
5. Symetria hiperpłaszczyznowa (2.7) -Symetrią hiperpłaszczyznową względem
hiperpłaszczyzny H przechodzącej przez punkt P"H i ortogonalnej do wektora
jednostkowego n nazywamy przekształcenie rn:EnEn dane wzorem rH(z)=z-2n, z"En
6. Kąt wewnętrzny trójkąta euklidwsowego (2.9) -Niech punkty A,B,C"En będą
niewsółliniowe. Oznaczmy a=d(B,C); b=d(C,A); c=d(A,B); ą=n"(B-A,C-A); �=n"(A-B,C-B);
ł=n"(A-C,B-C); a, b, c nazywamy dł. boków trójkąta ABC, ą, �, ł nazywamy miarami kątów
wewnętrznych trójkąta ABC.; {ą,�,ł}"(0, Ą)
7. Odległość sferyczna (3.2) -Sfera Sn z funkcją d:Sn x SnRn określona następująco dla A,B"Sn
d(A,B) spełnia warunek cos d(A,B)= jest przestrzenią metryczną.
8. Kąt wewnętrzny trójkąta sferycznego (3.9) - Dla punktów A,B,C"Sn nie leżących na jednym
okręgu wielkim oznaczmy a=d(B,C); b=d(A,C); c=d(A,B); niech ą=n"(nAB,nAC);
�=n"(nBA,nBC); ł=n"(nCA,nCB); Mówimy, że a,b,c i ą, �, ł są odpowiednimi dł boków i
miarami kątów wewnętrznych w trójkącie sferycznym ABC.
9. Dwukąt sferyczny (3.16) - Dwukątem na sferze S2 o wierzchołkach A, -A"Sn i bokach
będących geodezyjnymi o początku A i kierunkach u i v, gdzie ||u||-||v||=1, uĄ"AĄ"v
nazywamy obszar ograniczany przez te geodezyjne, zawarty w półsferze.
10. Sferyczna symetria hiperpłaszczyznowa (3.20;3.19) - a)Hiperpłaszczyzną sferyczną na
sferze Sn nazywamy przekrój tej sfery n-wymiarową podprzestrzenią liniową przestrzeni Rn+1
(czyli n- wymiarową przestrzenią afiniczną En+1 przechodzącą przez 0). Zatem
hiperpłaszczyznę sferyczną można przedstawić w postaci hĄ")" Sn h"Sn (h-wektor
jednostkowy)
b) symetrią hiperpłaszczyznową sferyczną względem hiperpłaszczyzny sferycznej H=Sn)" E
nazywamy obcięcie symetri hiperpłaszczyznowej rE: En+1En+1 do sfery Sn. Dla H=hĄ")" Sn to r
(z)=r hĄ"(z)=z-2 dla z"Sn
hĄ")" Sn
11. Inwersja (4.1) - Inwersją względem sfery S(x0,r), gdzie x0"En, r>0 nazywamy przekształcenie:
lx0,r:En\{x0}En dane wzorem lx0,r(x)=r2*[(x-x0)/||x-x0||]+x0 dla x`"x0
12. Forma Lorentza (5.1) - Formą Lorentza na przestrzeni Rn+1 nazywamy funkcję ą=<.|:>: Rn+1 x
Rn+1R daną wzorem =x1y1+...+xnyn-xn+1yn+1
13. Odległość hiperboliczna (5.5) - Niech d:Hn x HnRn będzie funkcją przypisująca dowolnym
A,B"Hn jedyną liczbę nieujemną d(A,B) spełniającą warunek cosh d(A,B)=-. Wówczas
(Hn,d) jest przestrzenią metryczną.
14. Kąt wewnętrzny trójkąta hiperbolicznego (5.12) - Dla punktów A,B,C"Hn nie leżących na
jednej prostej hiperbolicznej liczby a=d(B,C); b=d(C,A); c=d(A,B) nazywamy dł. boków
trójkąta hiperbolicznego ABC, zaś liczby: ą=arcos[()/()1/2*()1/2];
�=arcos[()/()1/2*()1/2]; ł=arcos[()/()1/2*(VCB>)1/2], gdzie VPQ=(Q-coshrP)/sinhr, r=d(P,Q)>0, kątami wewnętrznymi trójkąta
hiperbolicznego ABC.
15. Hiperboliczna symetria hiperpłaszczyznowa (5.35;5.34) - a) Hiperpłaszczyzną hiperboliczną
nazywamy niepuste przecięcie przestrzeni Hn podprzestrzenią liniową wymiaru np.l. Rn,1
b) Niech H będzie hiperpłaszczyzną hiperboliczną równą N)"Hn, gdzie Nn będzie (lorentowsko) jednostkowym (lorentowsko) ortogonalnym do N (tzn. =1, N>=0. Hiperboliczną symetrią hiperpłaszczyznową względem H nazywamy przekształcenie
rH: Hn Hn dane wzorem rH(x)=x-2n
16. Brzeg idealny (5.28) - Brzegiem idealnym przestrzenia Hn nazywamy Hn(")={z"Rn+1; z>=0, z =1}
n+1
17. Uogólniony trójkąt hiperboliczny (5.49) - Uogólnionym trójkątem hiperbolicznym
nazywamy trójkąt o wierzchołkach z Hn*" Hn("). Bokami są wtedy geodezyjne łączące te
punkty. Trójkąt idealny ma wszystkie wierzchołki w Hn(")
18. Rozmaitość topologiczna (6.1)  Rozmaitością topologiczną n-wymiarową nazywamy
przestrzeń topologiczną Hansdorffa lokalnie homeomorficzną z Rn. Rozmaitości 2
wymiarowe nazywamy powierzchniami.
19. Grupa Liego (6.9) - Grupą Liego nazywamy rozmaitość gładką G, w której wprowadzone jest
działąnie wewnętrzne G x GG takie, że (G,�) jest grupą oraz odwzorowanie G x G"
(a,b)a*b-1"G jest klasy C" .
20. Działanie grupy (6.11) - Załóżmy, że grupa G działa na przestrzeni X(G)"X) tzn. istnieje
homomorfizm GAut(x). Mówimy, że G działa na X w sposób:
-przechodni gdy V(x,y"X) "(g"G) gx=y
-wolny gdy V(x"X) V(g"G) (gx=x�! g=id)
Stabilizatorem elementu x"X nazywamy podgrupę {g"G; gx=x}
21. Przestrzeń jednopójna (6.4) - przestrzeń topologiczna X jest jednospójna jeśli dla każdego
odwzorowania ciągłeg c:[0,1]X takiego, że c(0)=c(1)=x0 istnieje odwzorowanie ciągłe H,H:
[0,1]x[0,1]X takie, że H(0,t)=c(t), H(1,t)=x0 dla t"[0,1].
22. Nakrycie uniwersalne (6.5) - Nakryciem niwersalnym przestrzeni topologicznej X nazywamy
jednospójną przestrzeń topologiczną X~ o tej własności, że istnieje odwzorowanie ciągłe
":X~X takie, że dla dowolnego x"X istnieje otoczenie v"X spełniające warunek "-
1
(u)=*"(ą"A)*"ą *"ą"X~ oraz "/*"ą:*"ąU jest homeomorfizmem
23. Przestrzeń CAT(�) (7.2)  Przestrzenią CAT (�) nazywamy geodezyjną przestrzeń metryczną
jeżeli dla dowolnych x, y, z"X oraz x-,y-,z-"  �2 takich, że d(x,y)=d(x-,y-), d(x,z)=d(x-,z-),
d(y,z)=d(y-,z-) oraz punktów x',y' leżących odpowiednio na geodezyjnych [y,z]=[x,z] oraz
2
punktów (x')-, (y')-"  , x-"[y-,z-], y-"[x-,z-] przy czym d(y, x')=d(y-,(x-)'); d(x,y')=d(x-,(y-)')
�
spełniony jest warunek d(x',y')d" d(x-)',(y-)').
24. Brzeg idealny przestrzeni CAT(0) (7.6)  Niech X będzie przestrzenią CAT (0). Mówimy, że
półproste geodezyjne są asymptotyczne, co zapisujemy �~�, gdy istnieje ke" 0 takie, że
"(t"[0,+" )) d(�(k),�(t))d" K. Przestrzeń klas abstrakcji półprostych geodezyjnych względem
tej relacji nazywamy brzegiem idealnym przestrzeni X.
25. Przestrzeń �-hiperboliczna (7.8;7.7)  a) Przestrzeń mestryczna jest �-hiperboliczna, gdzie
�>0, gdy "(x,y,z,w"X) (xy)we"min((xz)w(yz)w)- �
b)W przestrzeni metrycznej X iloczynem Gronowa punktów y,z"X względem punktów x�" X
nazywamy liczbę (yz)x=(1/2)(d(x,y)+d(x,z)-d(y,z))
26. Graf Cayleya (7.9)  Załóżmy, że gr. G jest skończenie generowana, tzn. istnieje G1�" G taki,
że G={g1, & , gk;g1, & , gk"G1}. Grafem Cayleya grupy G względem G nazywamy graf, w którym
g,h"G są połączne krawędzią �! "(Gi"G1) g=hgi lub g=gih; Na grafie Cayleya wprowadzam
metrykę słowną d(g,h)=min{n"N*"{0}, gh-1=g1,...,gn gdzie g1,...,gn"G1}.
27. Grupa hiperboliczna (7.10)  Grupa jest hiperboliczna , jeżeli jej graf Cayleya jest
przestrzenią �-hiperboliczną dla pewnego �e"0.
1. Tw. (Postać geodezyjnych w przestrzeni euklidesowej)
Stw.2.2 W przestrzeni En dla n"Rn, %"n%"=1 oraz A"En funkcja c:[0,a]->En dana wzorem
c(t)=A+tn, t"[0,a] jest geodezyjną.
Dowód: d(c(t),c(t ))= %"c(t )-c(t) %"=%"A+t n-(A+tn) %"=%"(t -t)n%"=|t -t|%"n%"=|t-t |
Tw. 2.4 Funkcja c:[0,a]->En, gdzie c(0)=A, c(a)=B a=d(A,B) jest geodezyjną łączącą A z B�!
c(t)=A+ (t/a)*(B-A) dla t"[0,a].
Dowód: <= ze stwier. 2.2 po wzięciu n=(1/a)*(B-A), bo wówczas %"n%"=1. Ponadto c(0)=A;
c(a)=A+ (a/a)*(B-A)=B
=>Zał., że c jest geodezyjną, c(a)=B, c(0)=A, a=%"B-A%". wówczas dla t"[0,a]; d(A,B)= %"c(0)-
c(a)%"=|a-0|=a=a-t+t-0=|a-t|+|t-0|=d(c(t),c(a))+d(c(0),c(t))=d(c(t),B)+d(A,c(t)). Stąd i z
lematu o odcinku c(t) "AB. Zatem istnieje funkcja f:[0,a]->[0,1] taka, że c(t)=A+f(t)(B-A). ale
wówczas t=d(A,c(t))= %"A+f(t)(B-A)-A%"=|f(t)| %"B-A%"=a"f(t). stąd f(t)=t/a.
2. Tw.(suma kątów w trójkącie euklidesowym)
2.13. W trójkącie ABC ą+�+ł=Ą.
Dowód: zał, że 0<ąd"�d" ł < Ą. Z tw. Sinusów wynika istnienie liczby D>0 takiej, ze
D=a/siną=b/sin�=c/sinł. Podstawiając do tw. Cosinusów otrzymujemy
D2sin2ł= D2sin2ą+ D2sin2�-2D2sinąsin�cosł| D2
cos2ł-2sinąsin�cosł+ sin2ą+ sin2�-1=0. Otrzymaliśmy równanie kwadratowe o niewiadomej
cosł i wyraz
niku "=4sin2ąsin2�-4sin2ą-4sin2�+4=4(1- sin2ą)(1- sin2�)=4cos2ą cos2�. Zatem
cosł=sinąsin�-cosącos� lub cosł=sinąsin�+cosącos�; cosł=-cos(ą+�)=cos(Ą-(ą+�));
cosł=cos(ą-�), ponieważ ą,�,ł"(0, Ą) więc | Ą-(ą+�)|, |ą-�| "(0, Ą). Zatem z
różnowartościowości i parzystości cos na (0, Ą) mamy ł=| Ą-(ą+�)| lub ł=|ą-�|. Ostatecznie
ą+�+ł= Ą lub Ą+ł=ą+� lub ł+�=ą lub ł+ą=�. Ostatecznie 3 warunki są sprzeczne z
założeniem 0<ą d"�d"ł<Ą więc ą+�+ł= Ą.
3. Tw(pole trójkąta euklidesowego)
2.14 pole trójkąta ABC wyraża się wzorami (1) S=1/2 absinł; (2) S= "(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdzie
p=(a+b+c)/2
4. Tw.(poprawność określenia odległości sferycznej)
3.2 Sfera Sn z funkcją d:SnxSn->Rn okresloną następująco dla A,B"Sn d(A,B) spełnia warunek
cos d(A,B)= jest p.m.
Dowód: funkcja d jest dobrze określona, bo dla A,B "Sn na mocy nierówności Schwarza
|d"1 a cos na przedziale [0, Ą] jest różnowartościowy i przyjmuje wszystkie wartości z
przedziału [-1,1]. Symetria funkcji d jest oczywista. Ponadto d(A,B)=0�! cosd(A,B)=1�!
=1�! =1= %"A %" %"B %"�! "(S>0) B=SA. Ale wówczas 1= %"B %"=s %"A %"=s"1=s stąd B=A
dla dowodu nierówności trójkąta użyjemy lematu.
Lemat 3.3 Dla dowolnych P,Q "Sn takich 0P)/"(1-2). Wówczas %"u%"=1 =0 oraz Q=Pcosr+usinr
Dowód: =<(Q-P)/("(1-2)),P>=(/("(1-2)) - (/("(1-
2)))=0; %"u%"2=(1/(1-2))P,Q-P>=(1/(1-2)) (-
2+2)=1 (wracamy do dowodu nierówności trójkąta w st. 3.2. niech A,B,C"Sn będą parami różne i
niech a=d(B,C), b=d(C,A), c=d(A,B). mamy pokazać, że cd"a+b. jeśli a+b> Ą, to nierówność
jest spełniona. Zał, więc, że a+b< Ą. Wówczas także 0lemat 3.3 uzyskując wektory u=(A-cosbC)/sinb, v=(B-cosaC)/sina. Na mocy lematu 3.3 %"u %"=
%"v %"=1, uĄ"c,v Ą"c oraz A=Ccosb+usinb B=Ccosa+vsina. Zatem
cosc===cosacosb+sinacosb+sinbcosa+v>sinasinb=cosacosb+sinasinb e"cosacosb+sinasinb"(- %"u %" %"v %")=cosacosb-
sinasinb=cos(a+b); cos w [0, Ą] jest malejący, dostajemy więc a+b d"c.
wniosek 3.4 Niech A,B,C "Sn będą parami różnymi punktami takimi, że d(A,C)+d(C,B) d" Ą.
Wówczas d(A,B)=d(A,C)+d(C,B)�! B=-A lub "(x,y ) e"0) C=xA+yB.
Dowód: załóżmy, żę d(A,B)=d(A,C)+d(B,C). wówczas cosC==cos(d(A,C)
+d(B,C))=cosd(A,C)"cosd(B,C)-sind(A,C)-sind(B,C)=*; [d(A,B)=c, d(A,C)=b, d(B,C)=a]
(*)=cosacosb-sinasinb. Oznaczmy jak z tw. 3.2 u=(A-cosbc)/sin� ; v=(B-cosac)/siną. Tak
samo jak w dowodzie 3.2 cosc=cosacosb+sinasinb. zatem c=a+b�! =1. Stąd u %"v,
bo %"u %"= %"v %"=1
5. Tw.(postać geodezyjnych na sferze)
3.5 Dla dowolnego A "Sn, u"Rn+1, %"u%"=1,=0 i dowolnego l"[0, Ą] funkcja c:[0,l]->Sn
dana wzorem c(t)=Acost+usint, jest geodezyjną.
Dowód: dla t,t "[0,l].
cosd(c(t),c(t ))===costcost +costsint +A>sintcost +sintsint =costcost +sintsint =cos(t-t )=cost|t-t |. stąd d(c(t),c(t ))=|t-t |,
bo |t-t |d"ld" Ą, a cos na [0, Ą] jest 1-1.
3.6. 1)Niech A,B"Sn, r=d(A,B) "(0, Ą). Wówczas c:[0,r]->Sn jest geodezyjną łączącą A z B�!
c(t)=Acost+usint dla t"[0,r] przy czym u=(B-cosrA)/sinr
2)Funkcja c:[0, Ą]->Sn jest geodezyjną łączącą A"Sn z A�! istnieje n"Rn+1 , %"u%"=1, =0
takie, że c(t)=Acost+usint.
Dowód: (1) <= ze stw. 3.5 oraz c(r)=Acosr+((B-cosrA)/sinr )"sinrA=B. <= załóżmy, żę c:[0,r]-
>Sn jest geodezyjną c(0)=A, c(r)=B. wówczas dla t"(0,r) mamy cosd(A,B)=cosr=cos(r+t-
t+0)=cos(d(c(r),c(t))+d(c(t)+c(0))=cos(d(B,c(t))+d(c(t),A) z 1-1 cos na[0, Ą]; d(A,B)=d(B,c(t))
+d(c(t),A) z wniosku do tw. O poprawność określenia odległości sferycznej (B`"-A, bo r<
Ą)c(t)=x(t)A+y(t)+B, gdzie x(t),y(t) e"0. Wówczas cost=cosd(A,c(t))==x(t)+cosry(t);
cos(r-t)=cosd(c(t),B)==cosrx(t)+y(t) ze wzoru Cramera x(t)=(cos(t)-cosrcos(r-
t))/sin2r=(cost-cos2rcost-cosrsinrsint)/sin2r=cost-ctgrsint; y(t)=(cos(r-t)-
costcosr)/sin2r=sint/sinr. Stąd c(t)=(cost-ctgrsint)A+(sint/sinr)B=Acost+((B-
cosrA)/sinr)sint=Acost+usint.
(2)<= ze stw. 3.5 c(Ą)-Acos Ą+usin Ą=-A. <= zał., że c:[0, Ą] jest geodezyjną od A do  A. Dla
t"(0, Ą). =d(A,-A)=d(c(0),c(Ą))=d(A,c(t))+d(c(t)-A)< Ą. Z (1) istnieje dokładnie jedna
geodezyjna od A do c(t). jest nią ł:[0,t]->Sn; ł(s)=Acoss+usins, u=(c(t)-costA)/sint. Wystarczy
zauważyć, że wzór ł działa na [0, Ą] i wówczas ł(Ą)=-1.
6. Tw.(sferyczne twierdzenie cosinusów)
3.10 W trójkącie ABC cosł=(cosc-cosacosb)/(sinasinb)�! cosc=cosacosb+sinasinbcosł
Dowód: cosł=cos""(u ,u )=(< u ,u >)/(%"u %", %"u %")=<(A-cosbc)/sinb,(B-
CA CB CA CB CA CB
cosac)/sina>=(1/sinasinb)(-cosa-cosb+cosacosb). Stąd
cosacosb+sinasinbcosł=cosc.
7. Tw.(sferyczne twierdzenie sinusów)
3.11 W trójkącie sferycznym ABC sina/siną-sinb/sin�=sinc/sinł.
Dowód: sinc/sinł=sinc/"(1-cos2ł)=sinc/"(1-((cosc-cosacosb)/(sinasinb))2)=(sinasinbsinc)/
(sin2asin2b-cos2ccos2acos2b+2cosacosbcosc)=(sinasinbsinc)/ "(1- cos2a-cos2b-
cos2c+2cosacosbcosc) jest niezależne od permutacji a,b,c. stąd
sinc/sinł=sina/siną=sinb/sin�.
8. Tw.(II sferyczne twierdzenie cosinusów)
3.12 cosł=-cosącos�+sinąsin�cosc
Dowód: ze sferycznego tw. cos mamy -cosącos�+sinąsin�cosc=((cosa-cosbcosc)/
(sinbsinc))"((cos-cosacosc)/(sinasinc))+ "(1-((cosa-cosbcosc)/(sinbsinc))2) "(1-((cosb-
cosacosc)/(sinasinc))  cosc=- ((cosacosb+cos2acosc+cos2bcosc-cosacosbcos2c)/
(sinasinbsin2c))+( ("(sin2bsin2c-cos2a-cos2bcos2c+2cosacosbcosc)/
(sinasinbsin2c))"cosc""(sin2asin2c-cos2b-cos2acos2c+2cosacosbcosc)=(1/(sinasinbsin2c))(-
cosacosb+cos2acosc+cos2bcosc-cosacosbcos2c+(1-cos2b-cos2c-
cos2a+2cosacosbcosc)cosc)=cosc-cosacosb+cosacosbcos2c-cos3c=(coscsin2c+cosacosb(-
sin2c))/(sinasinbsin2c)=(cosc-cosacosb)/(sinasinb)=cosł
9. Tw.(suma kątów w trójkącie sferycznym)
3.13 W trójkącie sferycznym ABC ą+�+ł> Ą
Dowód: jeżeli ą+�e"Ą, to z uwagi na ł>0 mamy tezę. Jeżeli natomiast ą+�< Ą, to z II sf. Tw.
cos mamy cos(ą+�)=cosącos�-sinąsin�d"cosącos�-sinąsin�cosc-cosł=cos(Ą-ł). Ponieważ
cos jest malejący na [0, Ą] więc ą+�> Ą-ł, co daje tezę.
10. Tw.(pole trójkąta sferycznego)
3.17 Pole dwukątna określonego przez wektory u i v w punkcie A wynosi 2""(u,v)
Dowód: Niech ł:""(u,v) i niech ł będzie granicą ciągu liczb (gn, Ą)neN gdzie gn"Q dla n"N.
Każde gn jest postaci gn /gn gn "N. zatem wystarczy pokazać żę pole dwukątna o kącie
rozwarcia Ą/m wynosi 2 Ą/m. taki dwukąt powstaje przez podział sfery na 2m takich
przystających dwukątów. Zatem pole sfery 4 Ą jest zatem sumą 2m pól dwukątów o kącie
rozwarcia Ą/m. tym samym pole takiego dwukątna wynosi 2 Ą/m.
3.18. Pole trójkąta sferycznego ABC wynosi s=ą+�+ł- Ą
Dowód: Rozważmy dwukąt D ,D ,D zawierające trójkąt ABC tak, że boki tego dwukąta
A B C
zawierają boki trójkąta a wierzchołkiem DP jest P. rozważmy także półstrefę Hc, która
zawiera c,a jej brzegiem jest okrąg wielki przechodzący przez A i B; 2ą=SDA=SABC+S(-A)BC;
2�=SDB=SABC+SA(-B)C; 2ł=SDC=SABC+SAB(-C);2 Ą=SHC=SABC+S(-A)BC+S(-A)(-B)C+SA(-B)C; ze wzoru na pole sfery
SHC=2 Ą, a trójkąt (-A)(-B)C jako obraz trójkąta AB(-C) w izometrii x->-x ma to samo pole w
trójkącie AB(-C). ze stw. 3.17 2 Ą=SABC+2ą-SABC+2ł-SABC+2�-SABC; SABC=ą+�+ą- Ą.
11. Tw.(klasyfikacja izometrii sferycznych)
3.14 Dla dowolnej izometrii f sfery Sn istnieje izometria F przestrzeni euklidesowej En+1 taka,
że f=F/Sn:F(�)=�.
Dowód: Niech f"Isom(Sn). określmy odwzorowanie F:En+1->En+1 wzorem F(x)={( %"x%"f(x/%"x%")
dla x`"�; � dla x=�.z= %"x%"f(x/%"x%"). sprawdzimy, że F jest izometrią przestrzeni euklidesowej
En+1. Dla x,y"En+1\{0}. (d En+1(F(x),F(y))2= %"F(x)-F(y)%"2=%"F(x)%"2+%"F(y)%"2-2=
%"x%"f(x/%"x%")2+%"y%"f(y/%"y%")2-2<%"x%"f(x/%"x%"),%"y%"f(y/%"y%")>=%"x%"%"f(x/%"x%")%"2+%"y%"%"f(y/%"y%")%"2-
2%"x%"%"y%"=(%"f(x/%"x%")%"2 =[bo f(x/%"x%")"Sn; %"f(y/%"y%")%"2=1, bo f(y/%"y%")"Sn]=
%"x%"2+%"y%"2-2%"x%"%"y%""cosdSn(f(x/%"x%"),f(y/%"y%"))=%"x%"2+%"y%"2-2 %"x%"%"y%" cosdSn(x/%"x%",y/%"y%") =%"x%"2+%"y%"2-
2%"x%"%"y%"=%"x%"2+%"y%"2-2=%"x-y%"2=dEn(x,y))2
Przypadek, gdy x=� lub y=� sprawdza się analogicznie. Zatem F zachowuje odległość.
Ponadto jest ,,na  , bo z"En\{0}; z=F(%"z%"f-1(z/%"z%")). Oczywiście dla x"Sn F(x)=1f(x/1)=f(x).
3.15 Isom(Sn)=0(n+1)
Dowód: ze stw. 3.14 wynika, ze izometria Sn jest obcięciem izometrii En+1 przeprowadzającej
� na �. Ponieważ z odpowiedniego tw. Isom (En+1)=Rn+1x0(n+1), więc izometria
przeprowadzająca � na � należy do 0(n+1). Na odwrót, jeżeli F"0(n+1), to F zachowuje
iloczyn skalarny skąd dla x,y"Sn. cosdSn(F(x),F(y))===cosdSn(x,y), czyli
F/Sn"Isom(Sn).
12. Tw.(wypukłość kul sferycznych)
3.22 Kula otwarta (odp. Domknięta) na Sn jest wypukła�! gdy jej promień d" Ą/2 lub > Ą
Dowód: => gdy r> Ą/2 dla kuli otwartej lub re" Ą/2 dla kuli domkniętej ale są one odp. d" Ą
lub < Ą, to taka kula zawiera pewną parę punktów antypodycznych i nie pokrywa się z całą
strefą. Z drugiej strony geodezyjne łączące dwa ustalone punkty antypodyczne pokrywające
całą sferę. Tym samym taki zbiór nie jest wypukły. Kule o promieniach > Ą(odp e" Ą)
pokrywają całą Sn są więc wypukłe.
<= rozważmy B(A,r), rd" Ą/2 i punkty X,Y"B(A,r). wówczas d(A,X)=d(A,Y)+d(A,Y)<2rd" Ą. Zatem z tw. o postaci geodezyjnych na sferze istnieje dokładnie geodezyjna
leżąca X z Y dana wzorem. Pokażemy, że c(t) "B(A,r) dla t"[0,l]. Dla t"[0,l]
cosd(A,c(t))==(cost-ctgtsint)+(sint/sinl)=sint(ctgt-ctgl)+
(sint/sinl); sint(ctgt-ctgl)cosr+(sint/sinl)cosr=cosr(cost(sintcosl/sinl)+
(sint/sinl))=cosr(cost+(sint/sinl)(l-cosl))=cosr(cost+sinttg(l/2)) oraz cost+sinttg(l/2)e"1�!
tg(l/2)e"(1-cost/sint)�! tg(l/2)e"tg(t/2)�! 0cosr;
d(A,c(t))13. Tw.(odwrotność i punkty stałe inwersji)
4.6 Inwersja względem sfery S(x0,r) ma następujące własności
1)lx0,r jest inwolucją klasy C "; 2)lx0,r(x)=X�! x"S(x0,r); 3) lx0,r jest dyfeomorfizmem
konforemnym
Dowód:1) (d,l01)y=(1/%"y%"2)ryĄ"; lx0,r"lx0,r=Ix0=id
2)r2((x-x0)/( %"x-x0%")+x0=x�! (x-x0)(1-(r2/%"x-x0%"))=0�! %"x-x0%"2=r2�!�! x"S(x0,r)
14. Tw.(Obrazy sfer i hiperpłaszczyzn w inwersji)
4.8 Niech i=lx ,r. wówczas 1)JeśliH jest hiperpłaszczyzną i x "H=>i(H)
0 0
2)Jeśli H jest hiperpłaszczyzna i x0 "H=>i(H) jest sferą, x0"i(H)
3)Jeśli S jest sferą i x0"S=>i(S) jest hiperpłaszczyzną, x0 "i(S)
4)jeśli S jest sferą i x "S=>i(S) jest sferą, x "i(S)
0 0
5) i jest bijekcją zbioru wszystkich półprzestrzeni i kul otwartych (s) w Rn na siebie
Dowód:Zał, że i=l=l0,1
1)H=hĄ" %"h%"=1 (bo 0"H)
Dla x"H ==1/%"x%"2=0 stąd i(x) "H
2)niech H=h+hĄ", gdzie h"Rn\{0}; dla x"H mamy x-hĄ"h; połóżymy c=h/2%"h%"2, R=1/2%"h%".
wówczas %"l(x)-c%"2=%"(x/%"x%"2)-(h/%"h%"2) %"2=(1/%"x%"2)-(/%"x%"2%"h%"2)+(1/4%"h%"2)=(1/%"x%"2)-(h,h>+%"h%"2)/%"x%"2%"h%"2+(1/4%"h%"2)=1/4%"h%"2 stąd l(x)"S(h/2%"h%"2, 1/2%"h%")
3) Niech S=S(c,R) i 0"S, to %"c%"=R. biorąc h=c/2%"c%"2 i H=h+hĄ" mamy z 2) l(H)=S z
inwolutywności inwersji l(s)=H
4)Niech S=s(c,R), 0 "S więc %"c%"`"R l(x)"S(c,R)�! %"(x/%"x%"2)-c%"2=R2�! (1/%"x%"2)-(2/%"x%"2)+
%"c%"2=R2�! (1-2)/%"x%"2=R2-%"c%"2�! (2-1)/( %"c%"2-R2)= %"x%"2�! %"x%"2-(2)/( %"c%"2-R2)+(1/
(%"c%"2-R2))=0�! %"x-(c/( %"c%"2-R2)) %"2-(%"c%"2/(%"c%"2-R2))2+(1/(%"c%"2-R2))=0�! %"x-(c/(%"c%"2-R2))%"2=(R/(%"c%"2-
R2))2�! x"S((c/( %"c%"2-R2),( R/( %"c%"2-R2))) "0. Zatem l(S(c/( %"c%"2-R2),( R/( %"c%"2-R2))=S(c,R)
5)z 1)-4) wynika, że l przekształca brzegi tych obszarów na brzegi tych obszarów więc takie
(wnętrza)(zewnętrza) na siebie.
15. Tw.(własności formy Lorentza)
5.4 Dla x,y"Hn. 1)d"-1; 2)=-1�! x=y
Dowód: niech x,y"Hn. wówczas -1==-xn+1xn+1=%"x~%"2-x2n+1 i xn+1>0 stąd xn+1
="(1+%"x~%"2)analogicznie yn+1="(1+%"y~%"2)
1)zatem =- x y =-"(1+%"x~%"2) "(1+%"y~%"2) d"%"x~%"%"y~%"-"(1+%"x~%"2) "(1+%"y~%"2)
n+1 n+1
d"1 bo dla a,be"0 ab-"(1+a2) "(1+b2) d"-1�! ab+1d""(1+a2) "(1+b2)ó� a2
b2+2ab+1d"1+a2+b2+a2b2�! 0d"(a-b)2
2)Równość =-1 jest prawdziwa�! =%"x~,y~%" oraz %"x~%"=%"y~%" to z kolei jest
równoważne faktowi "(Se"0)(y~=sx~ lub x~=sy~) oraz %"x~%"=%"y~%" i dalej s%"x~%"=%"x~%" lub
s%"y~%"=%"y~%"; s=1 lub (x~=� i y~=�) warunki te kolejno oznaczają y~=x~ xn+1=1 i yn+1=1 x~=� i
y~=�; z zalożenia xn+1="(1+%"x~%"2) i yn+1="(1+%"y~%"2) mamy x=y lub x=y=(0,& 0,1)
16. Poprawność określenia odległości hiperbolicznej. (5.6.,5.5.,5.7,)
(5.6.) Niech P, Q�Hn, d(P,Q)=r>0. Jeżeli u=(Q-coshrP)/sinhr, to =0, =1 oraz
Q=coshrP=sinhu.
Dowód: =(1/sinhr)*(-cosht)=0.
= = (1/sinhr)*-(coshr/sinhr)*= (1/sinhr)*<(Q-
coshrP)/sinhr|Q>= (1/sinh2r)(-coshr)= (cosh2r-1)/sinh2r= sinh2r/sinh2r=1.
Ponadto coshrP+sinhru= coshrP+Q-coshrP= Q.
(5.5.) Niech d:HnxHnR będzie funkcją przypisującą dowolnym A,B�Hn jedyną liczbę
nieujemną d(A,B) spełniającą warunek coshd(A,B)= -. Wówczas (Hn,d) jest
przestrzenią metryczną.
Dowód: Ze stw.5.4.(1) wynika, że -e"1, czyli należy do zbioru wartości cosh więc z
różnowartościowości cosh na [0,+ ") taka liczba d(A,B) jest dokładnie jedna. Zauważmy, że
warunek 5.4.(2) można przepisać w postaci coshd(A,B)=1�! A=B dla A,B�Hn, czyli z
równoważności cosh/[0,+ ") d(A,B)=0�! A=B. Symetria funkcji d wynika bezpośrednio z
symetrii formy Lorentza.
(5.7.) Na przestrzeni PĄ"={v�Rn,1; =0} forma Lorentza obcięta do PĄ" jest iloczynem
skalarnym.
Dowód: Forma <.|.>/PĄ"xPĄ"jest dwuliniowa i symetryczna. Zał., że Rn,1�v=(v~,vn+1)`"(Ł,0).
Wówczas <(P~,P )|(v~,v )>=0, P >0, więc v =/P . Ponadto P =(1+�
P~�
2)1/2.
n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1
Zatem =-v2n+1=�
v~�
2-[/(1+�
P~�
2)1/2]2= (�
v�
2+�
v~�
2�
P�
2-2)/
(1+�
P~�
2)e" �
v~�
2/(1+�
P~�
2)e"0. Ponadto =0�! v~, P~ są liniowo zależne i v~=0�! v~=Ł,
ale wówczas v =/P =0 co daje v=Ł.
n+1 n+1
17. Postać geodezyjnych w przestrzeni hiperbolicznej. (5.9.,5.8.)
(5.9.) Niech A,B�Hn, d(A,B)=r>0. Wówczas c:[0,r]->Hn jest geodezyjną łączącą A z B �!
c(t)=Acosht+usinht, t�[0,r], gdzie u=(B-coshrA)/sinhr.
(5.8.) Dla A,B,C�Hn, A`"B`"C`"A d(A,B)=d(A,C)+d(C,B)�! " (x,y>0) C=xA+yB.
18. Hiperboliczne twierdzenie cosinusów. (5.13.)
W trójkącie hiperbolicznym ABC coshc=cosha*coshb-sinha*sinhb*cosc.
Dowód: cosha*coshb-sinha*sinhb*cosc= cosha*coshb-sinha*sinhb* <(A-cosbC)/sinhb|(B-
coshaC)/sinha>=cosha*coshb--cosha*coshb+coshb+cosha=
cosha*coshb+coshc+cosha*coshb-coshb*cosha-cosha*coshb= coshc.
19. Hiperboliczne twierdzenie sinusów. (5.15.)
W trójkącie hiperbolicznym ABC sinha/siną=sinhb/sin�=sinhc/sinł.
Dowód: Z tw. Cos. Sinhc/sinł=sinhc/(1-cos2ł)1/2=sinhc/[1-((cohacohb-cohc)/sinhasinhb)2]1/2=
sinhasinhbsinhc/(sinh2asinh2b-cosh2acosh2b-cosh2c+2coshacoshbcoshc)1/2=
sinhasinhbsinhc/(-cosh2acosh2b+1-cosh2c+2coshacoshbcoshc)1/2 symetrycznie ze względu
na a,b,c, stąd teza.
20. II hiperboliczne twierdzenie cosinusów. (5.16.)
W trójkącie hiperbolicznym ABC cosł=-cosą*cos�+siną*sin�*cosc.
21. Suma kątów w trójkącie hiperbolicznym. (5.17.)
W trójkącie hiperbolicznym ABC ą+�+ł<Ą.
Dowód: 0<ąd"�d"ł<Ą. Z II hiperbolicznego tw. Cosinusów cosł= -cosącos�+sinąsin�cosc>-
cosą*cos�+sinąsin�= -cos(ą+�)=cos(Ą-(ą+�)). Stąd i z faktu, że cos/[0,Ą] wynika, że ł<|Ą-
(ą+�)|. Zatem ą+�+ł<Ą lub Ą+ł<ą+� sprzeczność. Zatem ą+�+ł<Ą.
22. Homomorfizm przestrzeni hiperbolicznej z kulą. (5.18.)
Przekształcenie ĄB: HnRn dane wzorem ĄB(x)=x~/1+xn+1 dla x=(x~, xn+1)�Hn jest
homeomorfizmem Hn na kulę jednostkową Bn=B(0,1)�" Rn.
23. Odległość w modelu kuli. (5.20.)
Dla y, y �Bn d (y,y )=ach(1+ (2�
y-y �
2)/(1-�
y�
2)(1-�
y �
2))=2ath((�
y-y �
)/(1-
b
2+�
y�
2�
y �
2)1/2).
24. Odległość w modelu na półprzestrzeni. (5.25.)
Odległość w modelu na półprzestrzeni wyraża się wzorem d (u,u )=ach(1+(�
u-

u �
2)/2unu n)=2ath((�
�-u �
2+(un-u n)2)/( �
�-� �
2+(un+un')2))1/2.
25. Odległość hiperboliczna w B2 i 2,+. (5.22.,5.26.)
(5.22.) W kole jednostkowym B2 �" C odległość hiperboliczna wyraża się wzorem
d(w,z)=2ath|(w-z)/(1-wz)|=ln(|1-wz-|+|w-z|)/(|1-wz-|-|w-z|).
Dowód: Niech w,z�B2, czyli |z|<1, |w|<1. Wówczas dB(w,z)=2ath|z-w|/(1-
2(RezRew+ImzImw+|z|2|w|2)1/2=2ath |w-z|/[1-Re(wz-)+|w|2|z-|2]1/2. wz-=(RewRez-
ImwImz-)+i( ). w=w1+w2i; z=z1+z2i |1-wz-|=|1-((w1z1+w2z2)+(w1z2+w2z1)i)|2= (1-w1z1-
w2z2)2+(w1z2-w2z1)2= 1+w12z12+w2z22-2w1z1-2w2z2+2w1w2z1z2+w12z22+w22z12-2w1w2z1z2.
(5.26.) Odległość w 2,+ �" C wyraża się wzorem d (z,w)=2ath(|z-w|/|z-w-|)=ln((|z-w-|+|z-

w|)/(|z-w-|-|z-w|)).
Dowód: d (z,w)=2ath[((Rez-Rew)2+(Imz-Imw)2)/((Rez-Rew)2+(Imz+Imw))]1/2= 2ath[(|z-w-|2)/
(|z-w-|2)]1/2= 2ath[(|z-w|)/(|z-w-|)].
26. Postać geodezyjnej przechodzącej przez 0 w module w kuli. (5.33.,5.30.)
Dla A=(0,1)=(0,& ,0,1) to geodezyjna o początku A ma równanie ł(t)=cosht(0,1)+sinhtv, gdzie
=1, =0. �
v~�
=1 <= -vn+1=0; ł(t)=(sinhtv~,cosht); ł~(t)=sinhtv~ wystarczy
przyjąć f(t)=sinht i wtedy z~=v~.
Geodezyjna na Hn przechodząca przez punkt (0,1) i o końcu z�Hn(") przenosi się przy
pomocy ĄB na średnicę ttanh(t/2)z~.
Dowód: Z przykładu 5.30 ł(t)=cosht(0,1)+sinhtz= (sinhtz~,cosht). Zatem Ą (ł(t))=(ł(t))~/(1+
B
(ł(t))n+1)= sinhtz~/(1+cosht)= 2sinh(t/2)cosh(t/2)z~/2cosh2(t/2)=tanh(t/2)z~.
27. Własności hiperbolicznej symetrii hiperpłaszczyznowej. (5.36.)
Hiperboliczna symetria hiperpłaszczyznowa rH ma następujące własności: 1) rH jest
inwolucją; 2) rH jest izometrią; 3) Fix(rH)=H.
Dowód: Dla x,x �Rn,1 = (x-2u|x -2u>= -4+4u>= . Ponadto rH((0,1))=(0,1)-2<(0,1)|u>u= (0,1)+2un+1u=
(2u u~,1+2u2 )�Hn to 1+2u2 >0. Z & formy Lorentza wynika, że r całą hiperboloidę n+1 n+1 n+1 H
x>=-1, a ponieważ rH jest ciągłe (w Rn,1), a górna powłoka hiperboloidy jest jej składową
spójności i rH((0,1))�Hn, więc rH(Hn)cHn. Dla x�Hn dow.1)rH(rH(x))=rH(x-2u)= x-2u-
2u|u>u= x-2u-2(-2)u=x. dow.2) z 1) zach <.|.> przez r
H
d(A,B)=ach(-). Dow.3) Dla x�Hn rH(x)=xó� x-2u=xó� =0ó� x�Hn)"uĄ"ó� x�H.
28. Hiperboliczny V postulat. (5.43.)
Dla dowolnej prostej hiperbolicznej l i punktu A " l istnieje nieskończenie wiele prostych
hiperbolicznych zawierających A i równoległych do l.
Dowód: W n,+ rozważmy przestrzeń 2-wymiarową zawierającą l i A (wykonując
odpowiednie symetrie hiperpłaszczyznowe możemy zał.,że l,AcH2 i tym samym sprawdzić
rozważania do 2,+). Rozważmy w 2,+ 2 przypadki: I. lc{z�C; Rez=d} d�R półprosta; II. lc{z�C; |
z-c|=g} c�R, g>0 półokrąg. Dow.I. Ponieważ A�/l, więc d =ReA`"d, możemy zał.,że d >d/ Do l
równoległa jest prosta hiperboliczna Rez=d zawierająca A. Podany warunek na c tak, aby
prosta l c{|z-c|=� } zawierająca A i była równoległa do l. Zarem c-� e"d; � =|A-C|. Niech
c,�
A=d +id  . � =[(d -c)2+d 2]1/2. c>d. Ostatecznie ce"d+� ; c-de"� ; (c-d)2e"(d -c)2+d  2; c2-
2cd+d2e"d 2-2cd +c2+d  2; 2c(d -d)e"d 2-d2+d  2; ce"(d 2-d2+d  2)/2(d -d). Ponadto (d 2-
d2+d  2)/2(d -d)>d, bo (d -d)2+d  2>0. Wszystkie łuki okręgu o środkach ce"(d 2-d2+d  2)/2(d -d),
c�R i promieniach � =[(d -c)2+d  2]1/2 zawierają A i są rozłączne z l. Dow.II. Niech A=d +id  .
Zał.,że |A-c|>� i d e"c. Szukamy takich �>0, dla których okrąg o środkach c+� i promieniu r>0
będzie rozłączny z lc,� . 0<|c+�-c|d"r-� ; |A-(c+�)|=r; �d"r-� ; �+� d"r; (�+� )2d"(d -c-�)2+d  2;
2�(�+d'-c)d"(d -c)2+d  2-�2; 0<�d"[(d -c)2+d  2-� 2]/2(� +d -c). Zatem okręgi o środkach c+�,
gdzie ��(0,[(d -c)2+d  2-� 2]/2(� +d -c)) i promieniu r=|A-(c+�)| są rozłączne z l.
29. Istnienie hiperbolicznej hiperpłaszczyzny symetralnej. (5.37.)
Dla dowolnych różnych punktur A,B�Hn istnieje dokładnie jedna hiperboliczna
hiperpłaszczyzna H taka, że rH(A)=B.
Dowód: Niech u=(A-B)/[]1/2. Ponieważ =+-2= -2(B>+1). Więc u= (A-B)/[-2(+1)]1/2. Niech H=Hn)"uĄ". Wówczas rH(A)= A-2u= A-2(A-B)/[-2(+1)]1/2>(A-B)/[-2(+1)]1/2= A-2[1/[-2(+1)]](-1-)(B-A)= A+B-
A= B.
30. Klasyfikacja izometrii hiperbolicznych w różnych modelach. (5.44.,5.46.)
(5.44.) Isam(Hn)=0(n,1)+ gdzie 0(n,1)+ składa się z macierzy zachowujących formę Lorentza
(tzn. =) oraz spełniających warunek (Ax)n+1>0 dla x�Rn,1 takich, że <0 i
x >0.
n+1
(5.46.) 1) Isam(Bn)=Conf(Bn)={Al.; A�0(n), i=id lub l jest inwersją względem sfery Ą"�Bn}.
2) Isam( n,+)=Conf( n,+).
31. Pole uogólnionego trójkąta hiperbolicznego. (5.50.)
Pole uogólnionego trójkąta hiperbolicznego T(ą) o dwóch wierzchołkach idealnych i kącie
przy wierzchołkach z Hn równym ą wynosi A(T(ą))=Ą-ą.
32. Klasyfikacja orientalnych powierzchni zwartych. (6.3.)
Każda zwarta orientalna jest homeomorficzna z powierzchnią " , gdzie " =S2. " jest sferą z
g 0 g
doklejonymi g rączkami.
33. Geometrie modelowe Thurstona. (6.13.,6.14.)
(6.13.) Strukturę geometryczną na gładkiej rozmaitości M nazywamy dyfeomorfizm Mx/#,
gdzie x jest geometrią modelową, #- dyskretną (każdy punkt ma otoczenie rozłączne z
innymi punktami przestrzeni) podgrupą grupy Liego G działającej na x i # działa w sposób
wolny na X.
(6.14.) Geometria modelowa Thurstona - trójwymiarowa geometria modelowa , dla której
istnieje co najmniej jedna zwarta rozmaitość o strukturze geometrycznej modelowej na x.
34. Hipoteza geometryzacyjna. (6.15.)
Istnieje 8 geometrii modelowych Thurstona E3, S3, H3, S2xR, H2xR, SL(2,R), Nil, Sć%l.
35. Lemat o płaskim trójkącie. (7.4.)
Jeżeli w przestrzeni CAT(0) trójkąt geodezyjny na jeden z trójkątów równy odpowiedniemu
kątowi w trójkącie porównawczym " cE2, to conv(") jest izometryczny z " .
36. Twierdzenie Hadamarda-Cartana. (7.5.)
Jeżeli zupełna przestrzeń metryczna jest lokalnie przestrzenią CAT(�), gdzie �d"0, to jej
nakrycie uniwersalne jest przestrzenią CAT(�).
37. Twierdzenie Gromowa o wzroście grupy. (7.12.)
Grupa hiperboliczna wzrostu wymiaru tzn. funkcja �G2(t)="(n=0, ")�G1(n)tu, gdzie �G1(u)=#{g:
d(e,g)=h} w metryce słownej jest funkcją wymierną, czyli ilorazem wielomianów.