2. Równania Maxwella
Począwszy od czasów Michaela Faradaya1, prawa elektryczności
i magnetyzmu wyrażano za pomocą natężenia pola elektrycznego E i in-
dukcji magnetycznej B. James Clark Maxwell2 sprowadził całą teorię do
czterech równań określających odpowiednio dywergencję i rotację pól
wektorowych E i B.
2.1. Równania Maxwella w postaci różniczkowej
Makroskopowe pole elektromagnetyczne w ciągłych, nieruchomych
ośrodkach można opisać za pomocą równań Maxwella w postaci różnicz-
kowej (w układzie SI).
Tabela 2.1.
Postać makroskopowa Postać mikroskopowa
(materia) (próżnia)
prawo Amp�re a
"D "E
"� H = J + "� B = ź0J + ź0�0
z poprawką Maxwella
"t "t
prawo Faradaya
"B "B
"� E = - "� E = -
"t "t
"�" D = � prawo Gaussa
1
"�" E = �
�0
"�" B = 0 "�" B = 0 bez nazwy
Równania Maxwella mówią nam jak ładunki wyznaczają pola. Wraz
z wyrażeniem na siłę Lorentza które określa jak pola wpływają na ruch ła-
dunków
F = q(E + v � B) (2.1)
zawierają one całą klasyczną elektrodynamikę. Nawet równanie ciągłości,
"�
" �" J + = 0, (2.2)
"t
które wyraża zasadę zachowania ładunku, można wyprowadzić z równań
Maxwella działając na pierwsze z nich operacją dywergencji.
1
Michael Faraday [majkel faradaj] (1791 1867), fizyk i chemik brytyjski, samouk. Najważniejsze jego odkrycia doty-
czyły elektryczności. Odkrył prawa elektrolizy, zjawisko indukcji elektromagnetycznej, zasadę zachowania ładunku.
2
James Clark Maxwell [dżems klerk maksuel] (1831 79), brytyjski fizyk. Stworzył podstawy nowoczesnej elektrody-
namiki i kinetycznej teorii gazów. W 1861 r. wprowadził pojęcie prądu przesunięcia i sformułował równania nazwane
od jego nazwiska równaniami Maxwella podające zależności między polami elektrycznymi i magnetycznymi. W 1865
roku przewidział teoretycznie istnienie fal elektromagnetycznych (odkrytych w 1887 roku przez fizyka niemieckiego
Heinricha Rudolfa Hertza).
2-1
2.2. Równania materiałowe
W postaci makroskopowej równania Maxwella należy uzupełnić o tzw.
równania materiałowe (konstytutywne):
D = �0E + P
B = ź0(H + M)
gdzie P oznacza wektor polaryzacji elektrycznej a M  wektor polaryzacji
magnetycznej. Zależą one od właściwości substancji.
Dla ośrodka liniowego
P = �0�eE i M = �mH
tak więc
D = �E (2.3)
B = źH (2.4)
gdzie � a" �0(1+ �e)  przenikalność elektryczna,ź a" ź0(1+ �m)  przeni-
kalnością magnetyczna. Wielkości �e i �m nazywają się odpowiednio po-
datnością elektryczną i magnetyczną ośrodka liniowego.
Obie przenikalności odniesione są do przenikalności próżni przez
bezwymiarowe wielkości względne �r i źr:
� = �r�0
ź = źrź0
Próżnia w ujęciu klasycznej teorii pola jest ośrodkiem materialnym której
własności opisują w zupełności dwie stałe �0  przenikalność elektryczna
próżni i ź0  przenikalność magnetyczna próżni, które w układzie SI są
równe:
H
ź0 = 4Ą �"10-7
m
1 10-9 F
�0 =H"
ź0c2 36Ą m
Ponadto dla ośrodków liniowych obowiązuje prawo Ohma w postaci
różniczkowej
J = �E (2.5)
gdzie � to konduktywność ośrodka.
2-2
2.3. Równania Maxwella w postaci zespolonej
(przybliżenie harmoniczne)
Dla fal monochromatycznych (o jednej częstotliwości) wygodnie jest za-
stosować zapis zespolony.
Przykładowo, natężenie pola elektrycznego Er,t) zapisujemy w postaci
(
Er,t) = Er,�)ej�t
( (
wtedy pochodna czasowa
"Er,t) "
(
( (
= Er,�)ej�t = j�Er,�)ej�t
()
"t "t
W analogiczny sposób wyrażamy pozostałe pola. Równania Maxwella
przyjmą postać:
Postać makroskopowa Postać dla pól harmonicznie
(materia) zmiennych (zespolona)
" � Hr,�) = J(r,�) + j�Dr,�)
( (
"Dr,t)
(
"� Hr,t) = J(r,t) +
(
"t
" � Er,�) = - j�Br,�)
( (
"B(r,t)
"� Er,t) = -
(
"t
Konsekwencją zastosowania zapisu zespolonego jest to, że wszystkie pola
mogą zależeć od pulsacji (częstości kołowej) � oraz przyjmować wartości
zespolone.
Uwaga: W prawej części tabeli, pozostawiono  stare oznaczenia pól, za-
znaczając (w nawiasach), że są funkcjami położenia i pulsacji. Gdy nie ma
wątpliwości, że posługujemy się zapisem zespolonym, dla wygody pomija
się także wielkości w nawiasach, zostawiając tylko symbole.
Taki sposób opisu problemów za pomocą fal monochromatycznych nazy-
wamy także przybliżeniem harmonicznym.
2-3
2.4. Zespolona przenikalność dielektryczna
Korzystając z równań materiałowych (2.3 2.5) można zespolone równania
Maxwella zapisać jako
" � H = � E + j��E (2.6)
" � E = - j�źH (2.7)
Pierwsze z tych równań można zapisać w postaci

" � H = j��E (2.8)

gdzie � jest zespoloną przenikalnością dielektryczną ośrodka
�
�#1- ś#

� = � j (2.9)
ś#ź#
��
�# #
Wprowadzenie zespolonej przenikalności dielektrycznej pozwala wyrazić
zespolone równania Maxwella w postaci analogicznej jak dla ośrodka bez-
stratnego (czyli gdy � = 0).
2.5. Równania Maxwella w postaci całkowej
W odniesieniu do skończonych obszarów wygodniej jest niekiedy korzy-
stać z całkowej postaci równań Maxwella. Wypiszemy je w kolejności od-
powiadającej równaniom różniczkowym:
"D
�"ds (2.10a)
ś#ź#
+"
H �" dl = +"�# J + ś#
"t
�# #
CS
"B
�" ds (2.10b)
+"
E�" dl =-+"
"t
CS
(2.10c)
+"
D �"ds = Q
S
(2.10d)
+"
B �"ds = 0
S
Równania (2.10) wynikają z odpowiednich równań Maxwella stosując dla
dwóch pierwszych twierdzenia Stokesa (twierdzenie dla rotacji), a dla
pozostałych twierdzenie Gaussa (twierdzenie dla dywergencji).
2-4