2. Równania Maxwella
Począwszy od czasów Michaela Faradaya1, prawa elektryczności i magnetyzmu wyrażano za po-
mocą pól elektrycznych i magnetycznych, E i B. James Clark Maxwell2 sprowadził całą teorię do
czterech równań określających odpowiednio dywergencję i rotację pól wektorowych E i B.
2.1. Równania Maxwella w postaci różniczkowej
Makroskopowe pole elektromagnetyczne w ciągłych, nieruchomych ośrodkach można opisać za
pomocą równań Maxwella w postaci różniczkowej (w układzie SI).
Tabela 2.1.
Postać makroskopowa Postać mikroskopowa
(materia) (próżnia)
"D "E prawo Ampére a z poprawkÄ…
"× H = j0 + "× B = µ0j + µ0µ0
Maxwella
"t "t
"B "B prawo Faradaya
"× E = - "× E = -
"t "t
1 prawo Gaussa
"Å" D = Á0
"Å" E = Á
µ0
"Å" B = 0 "Å" B = 0 bez nazwy
Równania Maxwella mówią nam jak ładunki wyznaczają pola. Wraz z wyrażeniem na siłę Lorentza
które określa jak pola wpływają na ruch ładunków
F = q(E + v × B) (2.1)
zawierają one całą klasyczną elektrodynamikę. Nawet równanie ciągłości,
"Á
"Å" j = - , (2.2)
"t
które wyraża zasadę zachowania ładunku, można wyprowadzić z równań Maxwella działając na
pierwsze z nich operacjÄ… dywergencji.
Podobnie jak każde równanie różniczkowe równania Maxwella muszą być uzupełnione odpowied-
nimi warunkami brzegowymi.
1
Michael Faraday [majkel faradaj] (1791 1867), fizyk i chemik brytyjski, samouk. Najważniejsze jego odkrycia doty-
czyły elektryczności. Odkrył prawa elektrolizy, zjawisko indukcji elektromagnetycznej, zasadę zachowania ładunku.
2
James Clark Maxwell [dżems klerk maksuel] (1831 79), brytyjski fizyk. Stworzył podstawy nowoczesnej elektrody-
namiki i kinetycznej teorii gazów. W 1861 r. wprowadził pojęcie prądu przesunięcia i sformułował równania nazwane
od jego nazwiska równaniami Maxwella podające zależności między polami elektrycznymi i magnetycznymi. W 1865
roku przewidział teoretycznie istnienie fal elektromagnetycznych (odkrytych w 1887 roku przez fizyka niemieckiego
Heinricha Rudolfa Hertza).
2-1
2.2. Równania Maxwella w postaci całkowej
W odniesieniu do skończonych obszarów wygodniej jest niekiedy korzystać z całkowej postaci
równań Maxwella. Wypiszemy je w kolejności odpowiadającej równaniom różniczkowym:
"D
0
H Å" dl = + ds (2.3a)
G J
z zF
Hj IÅ"
K
"t
CS
"B
EÅ"dl = - Å" ds (2.3b)
zz
"t
CS
D Å" ds = Q (2.3c)
z
S
B Å" ds = 0 (2.3d)
z
S
Równania (2.3) wynikają z odpowiednich równań Maxwella stosując dla dwóch pierwszych twier-
dzenia Stokesa (tw. dla rotacji), a dla pozostałych twierdzenie Gaussa (tw. dla dywergencji).
2-2