1. Podstawy
1.1 Równanie Schrödingera (jednowymiarowe):
$
Å" ¨(x) = E Å" ¨(x)
(1)
gdzie Hamiltonian to:
Ć
p2
Ć
$
= +V (x)
(2)
2m
Ruch elektronu nie jest swobodny, elektron jest związany przez oddziaływanie
przyciÄ…gajÄ…ce z jÄ…drem tworzÄ…c atom. KonsekwencjÄ… kwantowanie energii.
$
Å" ¨n (x) =EnÅ"¨n (x)
(1a)
Równanie (1a) podaje nam sposób na obliczenie wartości własnych (En) funkcji
wÅ‚asnych (¨n)
2 2
2Ä„ me4Z 1
En = -
gdzie n = 0, 1,2,3,& (3)
h2 n2
n  główna liczba kwantowa
Jak to wyglÄ…da?
1
Rys. 1 Poziomy energetyczne dla wodoru, H. Każda linia oznacza dozwolony
poziom energii.
1.2. Inne liczby kwantowe.
1.2.1 Moment pędu L
L = r x p (4)
wyrażenie klasyczne, w mechanice kwantowej L jest operatorem (jak
hamiltonian)
Ć
L = -ih ×"
(5)
gdzie operator
" " "
" = [ , , ]
(6)
"x "y "z
(w układzie kartezjańskim).
2
Rys. 2 Operator momentu pędy w kartezjańskim układzie współrzędnych
Operator L jest wektorem L =[Lx, Ly, Lz]. Ważne jest, że L2, oraz jedna ze
składowych (standartowo jest to Lz) mają wspólny zbiór funkcji własnych:
Ć
L2 Å"Ćlm = h2 l(l +1) Å"Ćlm
(7)
Ć
Lz Å"Ćlm = h m Å"Ćlm
Równanie (7) mówi nam, że w mechanice kwantowej moment pędu jest także
kwantowany. Mierząc moment pędu (kwantowo) otrzymamy jedynie wartości
L = h l(l +1 , gdzie l jest liczbą całkowitą.
Rys. 3 Przykład kwantowania rzutu momentu pędu m dla l = 2
Para liczb: l, m
Orbitalna liczba kwantowa: l
(liczba całkowita)
3
Magnetyczna liczba kwantowa m;
m= l, l-1, & , -l_1, -l, (rzut momentu pędu na oś Z)
Zbiór liczb kwantowych: n, l, m
Rys. 4 Schemat poziomów energetycznych dla litu i sodu, uwzględniający
orbitalny moment pędu.
1.3.1 Spinowy moment pędu S
(wewnętrzna liczba kwantowa )
Operator spinowy \
, spinowa liczba kwantowa s
2
\
Å"Ćlm = h2 s(s +1) Å"Ćlm
(8)
s = 0 (bozony)
s =1/2 (fermiony, elektron);
ms = Ä… ½
1.4 Krótkie podsumowanie:
Liczby kwantowe (opisujące stan układu kwantowego )
n, l, m, s
n  główna liczba kantowa
l  orbitalna liczba kantowa;
4
 l = 1 , 0, 1, 2,& , n-1
m  magnetyczna liczba kwantowa
m= l, l-1, & , -l_1, -l, (2l+1 możliwych watości)
s  spinowa liczba kwantowa
s = +½, -½, dla elektronu
2. Atomy wieloelektronowe
2.1 Całkowity monet pędu J
Sytuacja siÄ™ komplikuje!!!
Orbitalny i spinowy moment pędu się dodają, jak wektory.
Ć
4
= L + \

(9)
operator J ma składowe [4
, 4
, 4
]
x y z
Ć
4
i = Li + \
i
gdzie dla i = x, y, z
a jego kwadrat jest równy:
2 2
Ć Ć
4
= L2 + \
+ 2L Å" \

(10)
Rys. 5 Całkowity moment pędu, przykład dla j = 3/2.
Operator J spełnia równania analogiczne do (7)
2
4
Å" j mj l s = h2 j( j +1) Å" j mj l s
5
 (11)
Ć
Lz Å" j m l s = h mj Å" j mj l s
j
2.1 Wartości własne j i termy
Jakie wartości może przyjmować j?
(l + s) d" j d" l - s
(12)
j = l + s,l + s -1,K, l - s +1, l - s
Dla s < l istnieje (2s+1) wartości j ((2s+1) krotność j).
Atom jednoelektrodowy (s = 1/2) dany j tworzy dublet
j = l + ½
j = l + ½
Oznaczenie L
l 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
oznaczenie S P D F G H I K L M
(litera)
I tak dalej&
Stany elektronowe, skomplikowany układ poziomów,
Tremy widmowe dla tych stanów zapisujemy jako:
2s+1
Lj
gdzie L, j, s to odpowiednio: orbitalna, całkowita, spinowa liczba kwantowa.
Stany atomu podstawowe i wzbudzone zawsze zapisujemy w tej formie.
Przykład:
atomy jednoelektrodowe,
2
P1/2, 2P3/2 dublet stanów P (l = 1)
6
2
F5/2, 2F7/2 dublet stanów F (l = 3)
atomy dwuelektrodowe,
s = 0, lub s = 1;
1
s = 0 S, 1P, 1D, & seria singletowa;
3
s = 1 S, 3P, 3D, & seria tripletowa;
3
D (l =2, s =1) j = 1,2, 3
stany (triplet):
3 3 3
D1, D2, D3,
Zadanie:
Jakie wartości l, s, j mają następujące termy:
3
D2, 4P5/2, 2F7/2, 3G3
2.2 Atom jednoelektronowy
Wodór, atomy metali alkaicznych (grupa 1). Jeden, ostatni walencyjny elektron
określa własności atomu. Pozostałe elektrony są na zamkniętych powłokach
elektronowych (ich  działanie magnetyczne i elektryczne się znosi).
Dodatkowe, lepsze obrazy na:
www.winter.group.shef.ac.uk/orbitron/
7
Rys. 6 Obraz atomu jednolelektronowego dla różnych n (1, 2,3) i l (s, p, d),
jasność  prawdopodobieństwo znalezienia elektronu
2.2 Zakaz Pauliego
Gdy mamy elektronów więcej niż 1, pojawia się problem, jak, w jakiej koljnpści
elektrony obsadzają, (zapełniają) kolejne poziomy energetyczne
Zakaz Pauliego:
Dwa elektrony nie mogą zajmować tego samego stanu kwantowego.
Dla fermionów (elektronów w szczególności)
j mj l s
- stan kwantowy elektronu, 4 liczby kwantowe.
Drugi elektron musi posiadać inny zestaw liczb kwantowych (chociaż jedną
liczbę kwantową różną).
8
Zakaz Pauliego  konsekwencja tego, fermiony posiadajÄ… antysymetrycznÄ…
funkcję falową (zmienia znak przy zamianie miejscami dwóch elektronów). Dla
bozonów  ich funkcja falowa jest symetryczna
Rys. 7 Znaczenie i konsekwencje zasady Pauliego (Pauli Exclusion Principle)
Symetryczna i antysymetryczna funkcja falowa:
mamy dwa elektrony, oznaczone 1 i 2 w stanach a, b; elektrony sÄ… identyczne i
nierozróżnialne; funkcja falowa, np. È1(a) to amplituda prawdopodobieÅ„stwa że
elektron 1 znajduje siÄ™ w stanie a
9
Konsekwencja zasady Pauliego?
Kolejność obsadzeń poziomów energetycznych, reguły Hunda:
1) max. s;
2) dla max. s wybieramy max. l;
Rys. 8 Schemat poziomów energetycznych dla tomu wieloelekronowego.
Kolejność wypełniania powłok elektronowych:
1. Wodór (H), Z=1, 1 elektron, zajmuje poziom 1s, konfiguracja 1s1;
2. Hel (He), Z=2, 2 elektrony, wypełniony poziom 1s, konfiguracja 1s2;
(L =S = 0);
3. Lit (Li), Z=3, 3 elektrony, zajmuje poziom 2s, konfiguracja 1s22s1;
4. Beryl (Be), Z=4, wypełniony poziom 2s, konfiguracja 1s22s2;
5. Bor (B), Z=5, wypełnia poziom 2p (l = 1), konfiguracja 1s22s2p1,
(ale który p?) ten o maksymalnym l = 1 (reguła Hunda);
6. Węgiel (C), Z=6, wypełnia poziom 2p (l = 1, 0), spiny na p równoległe,
konfiguracja 1s22s2p2;
7. Azot (N); Z=7, wypełnia poziom 2p (l = 1, 0, -1), spiny na p równoległe,
konfiguracja 1s22s2p3; (L = 0);
8. Tlen (O); Z=8, wypełnia poziom 2p (l = 1, 0, -1), spiny na p równoległe,
konfiguracja 1s22s2p4;
10
9. Fluor (F), Z=9, wypełnia poziom 2p, konfiguracja 1s22s2p5;
10. Neon (Ne), Z=10, wypełniony poziom 2p, konfiguracja 1s22s2p6;
11. Gazy szlachetne; He, Ne, Ar, Kr (L =S = 0) stan podstawowy 1S0;
12. Pierwiastki przejściowe (Transition Metals) Sc- Zn; powłoka 3d jest
stopniowo wypełniana, podczas gdy 1 lub 2 elektrony pozostają na
zewnętrznej podpowłoce 4s; konfiguracja 4s23dn; niezapełniona
podpowłoka 3dn określa własności tych pierwiastków;
13. Lantanowce i aktynowce; lantanowce La (6s25d14f1)  Lu (6s25d14f14),
konfiguracja 6s24fn, aktynowce Ac  Lr, konfiguracja 7s25fn,
Rys. 9 Układ okresowy pierwiastków.
Periodyczność w budowie układu okresowego; grupy i okresy!!
11