Kinematyka
Dział mechaniki zajmujący się
matematycznym opisem układów
Mechanika ogólna
mechanicznych oraz badaniem
geometrycznych właściwości ich ruchu,
bez wnikania w związek między ruchem,
Wykład nr 7
a siłami go powodującymi.
Elementy kinematyki
Ruch ciała  zmiana położenia w
przestrzeni, względem innego ciała
(układu odniesienia), które traktujemy
jako nieruchome.
1 2
Równania ruchu
Podstawowe pojęcia
punktu materialnego
Przestrzeń i czas; Wektor wodzący poruszającego się
punktu:
 Współrzędne;
 Tor ruchu;
Funkcje skalarne opisujące ruch punktu:
Ruch postępowy:
 Prędkość;
 Przyspieszenie;
Ruch obrotowy:
Wektorowe
 Prędkość kątowa;
równanie ruchu:
 Przyspieszenie kątowe.
3 4
Równanie ruchu po torze
Prędkość punktu
(równanie drogi)
Równanie opisujące ruch punktu P, Prędkością punktu nazywamy
gdy znany jest tor ruchu względem pochodną względem czasu wektora
nieruchomego położenia wodzącego tego punktu:
początkowego P0:
5 6
Prędkość w ruchu Prędkość w ruchu
prostoliniowym krzywoliniowym (1)
W ruchu jednostajnym: Prędkość punktu:
 Wektor o module równym wartości
W dowolnym ruchu prostoliniowym:
bezwzględnej pochodnej drogi po czasie,
skierowany wzdłuż stycznej do toru ruchu
 Prędkość średnia:
i o zwrocie w kierunku ruchu w danej
chwili.
 Prędkość chwilowa:
7 8
Prędkość w ruchu Prędkość w ruchu
krzywoliniowym (2) krzywoliniowym (3)
Składowe prędkości w układzie
W układzie współrzędnych
współrzędnych równe są pochodnym po
prostokątnych rzuty prędkości punktu
czasie odpowiednich współrzędnych:
są prędkościami rzutów wektora
wodzącego r.
Moduł prędkości (wartość liczbowa):
Prędkość punktu równa jest pochodnej
geometrycznej względem czasu
promienia wodzącego tego punktu:
Rzut prędkości punktu na oś układu
współrzędnych równy jest prędkości z
jaką porusza się rzut punktu wzdłuż osi.
9 10
Przyspieszenie w układzie naturalnym
Przyspieszenie punktu
(związanym z torem ruchu)
Pochodna prędkości względem czasu: Całkowite przyspieszenie punktu jest
równe sumie składowych  stycznej i
normalnej do toru ruchu:
Składowe w układzie kartezjańskim
można wyrazić jako drugie pochodne
współrzędnych:
11 12
Składowe przyspieszenia
Szczególne przypadki ruchu
w ruchu po torze kołowym
Promień krzywizny i droga: Ruch jednostajnie przyspieszony
prostoliniowy;
Prędkość w zależności od prędkości
kątowej: Ruch harmoniczny;
Składowe przyspieszenia: Ruch krzywoliniowy ze stałym
przyspieszeniem.
Przyspieszenie kątowe:
13 14
Ruch jednostajnie
Ruch harmoniczny
przyspieszony prostoliniowy
Ruch po prostej ze stałym co do wartości
Punkt P poruszający się jednostajnie
i kierunku przyspieszeniem:
po okręgu o promieniu r:
Prędkość:
Położenie punktu:
Warunki brzegowe:
Ruch rzutu punktu P po osi x:
Stałe całkowania:
Równanie ruchu:
Równanie prędkości:
15 16
Ruch
Ruch ciała sztywnego
harmoniczny
Wykresy Ciało sztywne  układ punktów
położenia, materialnych, których wzajemne
prędkości odległości pozostają niezmienne.
i przyspieszenia:
Ruch postępowy;
Ruch obrotowy;
Złożenie ruchów:
 Ruch płaski;
 Ruch kulisty.
17 20
Ruch postępowy ciała Ruch obrotowy ciała
sztywnego sztywnego
Ruch obrotowy wokół
W ruchu postępowym prędkości i
nieruchomej osi obrotu
przyspieszenia wszystkich punktów
(środka obrotu w ruchu
ciała są jednakowe. Punkty ciała
płaskim).
poruszają się po jednakowych
Torami punktów ciała są
równolegle przesuniętych torach.
okręgi w płaszczyznach
prostopadłych do osi
obrotu i środkach leżących
na tej osi.
21 22
Ruch obrotowy ciała
Ruch płaski
sztywnego
Równanie ruchu obrotowego ciała sztywnego:
Ruch ciała sztywnego w płaszczyz
nie.
Zależność prędkości w ruchu płaskim:
Prędkość
 Rzuty prędkości dwóch punktów na
liniowa:
odcinek je łączący są sobie równe.
Prędkość
kątowa:
Przyspieszenie
kątowe:
Składowe przyspieszenia
liniowego:
23 24
Ruch płaski Chwilowy środek obrotu
Punkt, który w danej chwili pozostaje nieruchomy.
Ruch płaski ciała sztywnego można
Wektory prędkości są prostopadłe do promieni
względem chwilowego środka obrotu.
rozpatrywać jako:
W ruchu postępowym chwilowy środek obrotu
 Ruch obrotowy wokół nieruchomego
położony jest w nieskończoności (wektory
chwilowego środka obrotu; prędkości są równoległe i mają te same miary).
 Złożenie ruchu obrotowego względem
dowolnie wybranego bieguna i ruchu
postępowego bieguna.
25 26
Chwilowy środek obrotu Prędkość w ruchu płaskim
Prędkości punktów tarczy przy Prędkość dowolnego punktu ciała jest
założeniu: równa sumie prędkości dowolnie
obranego bieguna i iloczynu
wektorowego prędkości kątowej
punktu względem bieguna:
Prędkość kątowa jest niezależna od
wyboru bieguna.
27 28
Złożenie ruchu postępowego
Przyspieszenia
i obrotowego
Przyspieszenie dowolnego punktu ciała
Prędkości  suma prędkości bieguna i
w ruchu płaskim jest równe sumie
prędkości w ruchu obrotowym wokół
geometrycznej przyspieszenia
bieguna:
dowolnie obranego bieguna
i przyspieszenia
analizowanego punktu
w ruchu obrotowym
względem bieguna.
29 30
Przyspieszenia Ruch złożony
Ruch punktu względem poruszającego
Złożenie przyspieszenia bieguna i
się układu współrzędnych:
przyspieszenia w ruchu obrotowym
 Ruch unoszenia
wokół bieguna:
(układu poruszającego się)
 Ruch względny (względem poruszającego się
układu współrzędnych)
 Ruch bezwzględny
(względem nieruchomego
układu odniesienia)
31 32
Prędkość
Ruch złożony
w ruchu złożonym
Promień wodzący względem początku
Składanie ruchów.
nieruchomego układu współrzędnych
Prędkość w ruchu złożonym
poruszającego się punktu jest sumą
(bezwzględna):
promieni wodzących:
 Prędkość unoszenia;  Początku układu
poruszającego się
 Prędkość względna.
Przyspieszenie w ruchu złożonym:
 Poruszającego się
punktu względem
 Przyspieszenie unoszenia;
początku układu
 Przyspieszenie względne;
ruchomego.
 Przyspieszenie Coriolisa.
33 34
Prędkość Prędkość
w ruchu złożonym w ruchu złożonym
Prędkość jest pochodną wektora Pochodna promienia wodzącego w
wodzącego względem czasu: układzie poruszającym się:
Prędkość początku układu Prędkość względna:
poruszającego się:
35 36
Prędkość Prędkość
w ruchu złożonym w ruchu złożonym
Prędkość bezwzględna:
Pochodna promienia wodzącego w
układzie poruszającym się:
Prędkość unoszenia jest sumą prędkości
układu poruszającego się w ruchu
postępowym i obrotowym:
Prędkość bezwzględna jest sumą
prędkości unoszenia i prędkości
względnej:
37 38
Przyspieszenie Przyspieszenie
w ruchu złożonym w ruchu złożonym
Pochodna prędkości: Przyspieszenie bezwzględne:
względem czasu:
 Przyspieszenie unoszenia:
 Przyspieszenie względne;
 Przyspieszenie Coriolisa
39 40
Przyspieszenie
Przyspieszenie Coriolisa
bezwzględne
Suma przyspieszeń: Dodatkowe przyśpieszeniem
wynikającym z ruchu obrotowego
 Unoszenia
układu unoszenia.
 Względnego
 Coriolisa Jest wywołane zmianą wektora
prędkości względnej wskutek jego
obrotu z prędkością kątową oraz
zmianą wektora prędkości unoszenia
spowodowaną przemieszczaniem się
punktu M z prędkością względną .
41 42
Przyspieszenie Coriolisa Przyspieszenie Coriolisa
Zazwyczaj przyjmujemy nieruchomy
Przyspieszenie Coriolisa będzie równe
układ odniesienia związany z Ziemią
zeru gdy:
zaniedbując przyśpieszenie Coriolisa.
 = 0 (ruch unoszenia jest ruchem
Przyśpieszenie Coriolisa jest istotne w
postępowym), przypadku zjawisk występujących w
przyrodzie, a wywołanych
 wektory prędkości kątowej i prędkości
obrotem kuli ziemskiej
względnej punktu są równoległe,
(prądy morskie, wiatry).
 prędkość względna punktu w pewnej
Pierwsze eksperymentalne
chwili jest równa zeru
potwierdzenie:
wahadło Foucault.
43 44
Przykład Prędkości
Wyznaczyć prędkości i
przyspieszenia
bezwzględne punktu M
poruszającego się ruchem
jednostajnym po okręgu o
promieniu r obracającego
się ze stałą prędkością
kątową wchwilach, gdy
punkt M znajdzie się w
punktach A, B i C okręgu.
45 46
Przyspieszenia
47