ALzG1. Test 2. 29.01.2014. ImiÄ™ i nazwisko ..................................................................................... Grupa.............
Zadanie 1. Znalez
ć wszystkie liczby rzeczywiste b, dla których układ równań
Å„Å‚
bx1 = x2 + x3
òÅ‚
bx2 = x1 + x3
ół
bx3 = x1 + x2
ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Przepiszmy dany układ równań następująco
Å„Å‚
bx1
òÅ‚ - x2 - x3 = 0
-x1 + bx2 - x3 = 0
ół
-x1 - x2 + bx3 = 0
Z Twierdzenia Cramera dany układ będzie miał dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacz-
nik macierzy układu, czyli
b -1 -1
-1 b -1 = b3 - 3b - 2
-1 -1 b
będzie różny od 0.
Tym samym dla b takich, że b3 - 3b - 2 = 0 układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań, albo będzie
sprzeczny. Niemniej sprzeczny nie jest dla żadnego b, gdyż jest jednorodnym układem równań (prawe strony są
wszystkie równe 0), a więc ma co najmniej jedno rozwiązanie x1 = x2 = x3 = 0. Stąd zadanie sprowadza się do
znalezienia pierwiastków równania b3 - 3b - 2 = 0, którymi jak można się przekonać są -1 oraz 2.
Uwagi:
" wiele osób niepoprawnie skorzystało z Twierdzenia Cramera twierdząc, iż zerowanie się zarówno mianownika,
jak i liczników we wzorach Cramera pociąga za sobą nieskończoną liczbę rozwiązań, to nie tylko nie jest treścią
Twierdzenia Cramera, ale jest to po prostu nieprawda, aby się o tym przekonać wystarczy rozważyć układ
równań x + y + z = 1, x + y + z = 2, x + y + z = 3, w szkole często się uczy, że tak jest, ale to tylko dlatego, że
w szkole rozważa się jedynie układy dwóch równań z dwoma niewiadomymi, w którym to przypadku akurat
tak się sprawy mają, nie obcinaliśmy punktów tym razem za taki błąd, ale to już ostatni raz ;);
" zadanie to można było rozwiązać jeszcze na co najmniej dwa inne sposoby, po pierwsze można było rozwią-
zać ten układ jako układ równań z parametrem, takie podejście było chyba najbardziej żmudne, można było
w końcu skorzystać z Twierdzenia Kroneckera-Capelliego i obliczyć rząd macierzy układu, ze wspomnianego
twierdzenia wynika, że jednorodny układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy rząd ten jest mniej-
szy od liczby niewiadomych, czyli w naszym wypadku od 3, podejście to było początkowo bardziej nużące
rachunkowo od zaprezentowanego tu rozwiązania, ale na końcu wychodziło równanie drugiego stopnia, a
więc prostsze niż równanie trzeciego stopnia pojawiające się przy korzystaniu z Twierdzenia Cramera.
1
ALzG1. Test 2. 29.01.2014. ImiÄ™ i nazwisko ..................................................................................... Grupa.............
Zadanie 2. Niech Va,b = span((1, 2, 3, 1), (1, 3, 2, 1), (2, 3, a, b)) dla a, b " R. Znalez
ć dim Va,b w zależności od a, b.
Utwórzmy macierz Ma,b, której kolumnami są poszczególne wektory rozważanego układu:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 2
ïÅ‚ śł
2 3 3
ïÅ‚ śł
Ma,b := .
ðÅ‚ ûÅ‚
3 2 a
1 1 b
Zgodnie z jednÄ… z wielu równoważnych definicji, rzÄ™dem macierzy A " Mm×n(K) nazywa siÄ™ wymiar podprze-
strzeni liniowej przestrzeni Km rozpiętej na kolumnach macierzy A. Wystarczy więc, że znajdziemy rank Ma,b w
zależności od a, b.
W celu określenia rzędu macierzy Ma,b, sprowadzamy ją do prostszej postaci za pomocą wierszowych operacji
elementarnych (które nie zmieniają rzędu macierzy). Mamy:
w2 w2 - 2w1
îÅ‚ Å‚Å‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
w3 w3 - 3w1 îÅ‚
1 1 2 1 1 2 1 1 2
ïÅ‚ śł w4 w4 - w1 ïÅ‚ śł w3 w3 + w2 ïÅ‚ śł
2 3 3 0 1 -1 0 1 -1
2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
- - =: Ma,b
------------- ------------
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3 2 a 0 -1 a - 6 0 0 a - 7
1 1 b 0 0 b - 2 0 0 b - 2
Stąd łatwo już odczytać rząd badanej macierzy.
Przykładowe uzasadnienie, odwołujące się do pierwszej definicji rzędu spośród podanych na wykładzie, jest
następujące.
2
Jeśli a = 7 oraz b = 2, to Ma,b jest macierzą schodkową rzędu 2 (rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie jej
niezerowych wierszy).
Podobnie, jeśli dokładnie jeden z dwóch ostatnich wierszy jest zerowy, tj. jeśli (a = 7 '" b = 2) lub (a = 7 '" b = 2),
8 8
2
to wówczas Ma,b jest macierzą schodkową rzędu 3.
2
Wreszcie, jeśli a = 7 oraz b = 2, to Ma,b nie jest macierzą schodkową. Taką macierz uzyskamy, wykonując jeszcze
8 8
b-2
jedną operację elementarną, np. w4 w4 - w3. Oczywiście, rząd tak uzyskanej macierzy schodkowej wynosi 3.
a-7
ReasumujÄ…c:
{
2 jeśli a = 7 '" b = 2
dim Va,b = rank Ma,b =
3 jeśli a = 7 (" b = 2.
8 8
2
ALzG1. Test 2. 29.01.2014. ImiÄ™ i nazwisko ..................................................................................... Grupa.............
Zadanie 3. Pokazać, że jeśli macierz kwadratowa A o współczynnikach zespolonych spełnia
Ap + Ap-1 + . . . + A + q · I = 0 dla pewnych p, q " {1, 2, 3, . . .}
to jest odwracalna.
Powyższe równanie jest równoważne następującemu:
Ap + Ap-1 + . . . + A = -q · I
Widzimy zatem, że
1
- · (Ap + Ap-1 + . . . + A) = I
q
Co oznacza, że z łączności mnożenia macierzy i rozdzielności wzg. dodawania macierzy mamy:
1 1
[- · (Ap-1 + Ap-2 + . . . + I)] · A = I oraz A · [- · (Ap-1 + Ap-2 + . . . + I)] = I
q q
1
JeÅ›li wiÄ™c B = - · (Ap-1 + Ap-2 + . . . + I), to A · B = B · A = I. Innymi sÅ‚owy, z definicji B jest odwrotnoÅ›ciÄ…
q
macierzy A.
3
ALzG1. Test 2. 29.01.2014. ImiÄ™ i nazwisko ..................................................................................... Grupa.............
Zadanie 4. Obliczyć wyznacznik odwracalnej macierzy A " Rn×n, która speÅ‚nia równanie A · AT · A - 16 · A-1 = 0.
Obliczyć wyznacznik następującej macierzy:
ëÅ‚ öÅ‚
1 2 1 0
ìÅ‚ ÷Å‚
0 3 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
.
íÅ‚ Å‚Å‚
-1 0 3 1
3 1 2 0
((RozwiÄ…zanie))
AAT A - 16A-1 = 0
AAT A = 16A-1
det(AAT A) = det(16A-1)
det(A) det(AT ) det(A) = 16n det(A-1)
1
det A det A det A = 16n ·
det A
(det A)4 = 16n
det A = 2n (" det A = -2n
1
Korzystaliśmy ze wzorów: det(AB) = det(A) det(B), det(AT ) = det A, det(aA) = an det(A), det A-1 = dla
det A
A, B " Kn×n oraz a " K.
((Druga część zadania.))
Wyznacznik macierzy nie zmienia się, gdy do wiersza/kolumny dodamy inny wiersz/kolumnę pomnożoną przez
stałą.
ëÅ‚ öÅ‚
1 2 1 0
ìÅ‚ ÷Å‚
0 3 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
det =
íÅ‚ Å‚Å‚
-1 0 3 1
3 1 2 0
r3 := r3 - r2:
ëÅ‚ öÅ‚
1 2 1 0
ìÅ‚ ÷Å‚
0 3 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
= det =
íÅ‚ Å‚Å‚
-1 -3 2 0
3 1 2 0
Stosujemy rozwinięcie Laplace a wzgledem czwartej kolumny:
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 2 1 1 2 1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
= 1 · (-1)4+2 det -1 -3 2 = det -1 -3 2 =
3 1 2 3 1 2
r2 := r2 + r1, r3 := r3 - 3r1:
ëÅ‚ öÅ‚
1 2 1
íÅ‚ Å‚Å‚
= det 0 -1 3 =
0 -5 -1
Stosujemy rozwinięcie Laplace a wzgledem pierwszej kolumny:
( )
-1 3
= 1 · (-1)1+1 det = 1 · (1 + 15) = 16
-5 -1
4