str. 36 HM Matlab_cw_15__19.doc
M A T L A B
ĆWICZENIE 15  Miejsca zerowe, minima i maksima funkcji
Niżej przedstawione funkcje Matlaba poszukują miejsca zerowego i minimów funkcji
jednej zmiennej w pobliżu wskazanej wartości.
x1=fzero( nazwa_funkcji ,x0)  zwraca miejsca zerowe x1 funkcji o
nazwie nazwa_funkcji poszukując rozwiązania w pobliżu
wartości x0. Definicja funkcji musi być zapisana w m-pliku.
x1=fminbnd( nazwa_funkcji ,xp,xk)- zwraca miejsce x1, w którym
funkcja nazwa_funkcji osiÄ…ga minimum. Definicja funkcji musi
być zapisana w m-pliku.
Zawsze zachodzi pytanie, jak określić wartości, x0, xp, xk. Przy poszukiwaniu rozwiązań
w zagadnieniach praktycznych, zwykle jest to dość oczywiste. Np. poszukiwany wymiar
lub współczynnik nie może być ujemny lub z góry wiemy w jakim przedziale wartości
może się zawierać.
Jeśli brak nam wiedzy o orientacyjnej wartości poszukiwanych zmiennych, to tworzymy
najpierw wykres funkcji (fplot) w szerokim przedziale argumentów. Na podstawie
analizy wykresu możemy już w łatwy sposób tak zastosować przedstawione funkcje,
by uzyskać oczekiwane wyniki.
Zadanie 24
Masz dane równanie jak w zadaniu 18:
1
t3 + 0.1t2 - 0.7t - cos(t)esin(t ) - 0.5 = 0
30
W przedziale argumentów od  6 do 6 znajdz
pierwiastki równania. Określ
miejsca i wartości minimów i maksimów funkcji utworzonej z tego
równania.
Porównaj wyniki z rezultatami zadania 18.
ĆWICZENIE 16  Pierwiastki wielomianu
Wielomian, to wyrażenie matematyczne postaci
W (x,a) = a1xn + a2xn-1 + ... + anx + an+1
Podstawowym zagadnieniem jest najczęściej wyznaczenie pierwiastków wielomianu.
Funkcje przydatne w działaniach z wielomianami zestawione są w tabeli.
zwraca wektor r pierwiastków wielomianu W(x,a);
r=roots(a)
a  wektor uporządkowanych współczynników wielomianu
zwraca wektor a współczynników wielomianu o pierwiastkach
a=poly(r)
podanych w wektorze r
oblicza wartość w punkcie x0 wielomianu o współczynnikach
p=polyval(a,x0)
zawartych w wektorze a . Jeśli x0 jest wektorem, to i wynik p
jest wektorem.
str. 37 HM Matlab_cw_15__19.doc
M A T L A B
Zadanie 25
Wyznacz pierwiastki wielomianu
W (x) = 2x4 + 3x2 + x - 6
i sprawdz
poprawność uzyskanych wyników tworząc wykres odpowied-
niej funkcji.
ĆWICZENIE 17  Interpolacja
Zagadnienie interpolacji pojawia się wtedy, gdy funkcja jest zadana skończoną
ilością punktów (węzły interpolacji: xi ,yi) i zachodzi potrzeba obliczenia jej
wartości pomiędzy tymi punktami. Żąda się w tym przypadku, by w węzłach
funkcja pierwotna i poszukiwana miały te same wartości.
Nie będziemy zajmować się postaciami i teorią funkcji interpolujących.
Do wyznaczenia wartości funkcji między węzłami stosuje się zapis
yy=interp1(x,y,xx, metoda )
gdzie:
" yy - wektor poszukiwanych wartości funkcji w punktach określonych
wektorem xx,
" xx  wektor punktów, w których szukamy wartości funkcji,
" x,y  wektory określające węzły interpolacji, ciąg współrzędnych
w wektorze x powinien być monotoniczny,
"  metoda  tekst określający metodę interpolacji.
Stosowane metody interpolacji nazwane są następująco:
"  linear  interpolacja liniowa,
"  spline  interpolacja funkcjami sklejanymi stopnia trzeciego,
"  cubic  interpolacja wielomianami trzeciego stopnia.
Różnice między metodami interpolacji poznamy rozwiązując przykład.
Zadanie 26
JesteÅ› projektantem karoserii samochodu. Masz wiedzÄ™ o ogranicze-
niach geometrycznych narzuconych przez kolegów projektujących
podzespoły napędowe i pozostały osprzęt w komorze silnika. Na rysunku
ograniczenia te przedstawione są w postaci punktów z podanymi
współrzędnymi (punkty węzłowe).
Metodami interpolacji zaprojektuj linię nadwozia w przedniej części
samochodu.
Musisz przekazać wyniki do działu projektującego formy tłoczące
elementy karoserii, podając współrzędne linii nadwozia z krokiem 1 cm.
str. 38 HM Matlab_cw_15__19.doc
M A T L A B
y [cm]
y =
330
310
235
210
180
160
45
x [cm]
x = 5 50 125 210 330 430 500
Oceń rezultaty działań analizując odpowiednie wykresy nakładane
na siebie.
Spróbuj wpłynąć na wyniki zmieniając metody interpolacji, a w
przypadku braku zadowalających rezultatów, zmieniając
sensownie położenie (współrzędne) punktów węzłowych.
Ostateczne rezultaty obliczeń zapisz w pliku.
Nie usuwaj wykresów.
ĆWICZENIE 18  Aproksymacja
Aproksymacja stanowi uogólnione zagadnienie interpolacji. Zadanie
sformułowane jest podobnie, lecz nie żąda się w tym przypadku, by w
węzłach funkcja pierwotna i poszukiwana miały te same wartości.
Pojawia się zatem pojęcie błędu aproksymacji, który określa się jako różnicę
wartości obu funkcji. Zadaniem metod numerycznych jest minimalizacja błędu
aproksymacji. Aproksymacja średniokwadratowa (zwana metodą najmniej-
szych kwadratów) wielomianami wybranego stopnia jest najczęściej
stosowana. Polega ona na minimalizacji błędu aproksymacji, zdefiniowanego
jako suma kwadratów odchyłek we wszystkich punktach węzłowych:
n
[F(xi) - f (xi)]2
"
i=0
Do aproksymacji stosuje siÄ™ dwie funkcje:
p=polyfit(x,y,n)  wyszukuje współczynniki p wielomianu
aproksymujÄ…cego:
x i y - wektory zawierające współrzędne punktów węzłowych,
n  rzÄ…d wielomianu;
yw=polyval(p,xw)  oblicza wartości wielomianu aproksymującego
w punktach określonych wektorem xw:
p  wektor współczynników wielomianu,
xw  wektor współrzędnych niezależnych dla których
wyznacza się wartości wielomianu.
str. 39 HM Matlab_cw_15__19.doc
M A T L A B
Aproksymację stosuje się najczęściej, gdy punkty węzłowe pochodzą z badań
eksperymentalnych. Wyniki zazwyczaj obarczone są błędem i stosowanie
interpolacji nie ma sensu. Często zaś zależy prowadzącemu eksperyment na
opisaniu zależnością analityczną charakteru obserwowanych zjawisk.
Jednym z pytań, na które trzeba odpowiedzieć, to  jakiego rzędu ma być
wielomian opisujący wyniki badań eksperymentalnych . My będziemy tą
wartość dobierać intuicyjnie (mała liczba całkowita).
Zadanie 27
Problem analogiczny, jak w zadaniu poprzednim. Różnica polega na tym,
że ograniczenia konstrukcyjne nie są  sztywne . Można więc krzywą
opisującą linię karoserii poprowadzić w pobliżu punktów węzłowych.
Metodą aproksymacji zaprojektuj linię nadwozia w przedniej części
samochodu.
1. Utwórz nowe okno wykresów i ustaw rysowanie kilku krzywych
w jednym oknie.
2. Oceń rezultaty aproksymacji analizując odpowiednie wykresy.
3. Porównaj:
rezultaty działań przy dobieraniu coraz większego rządu
wielomianu aproksymujÄ…cego,
wyniki najlepsze z najlepszymi wynikami z zadania
poprzedniego (interpolacja).
4. Pamiętaj, że:
wyniki musisz przekazać do działu projektującego formy
tłoczące elementy karoserii, podając współrzędne linii
nadwozia z krokiem 1 cm,
wyniki musisz zapisać w pliku.
Zadanie 28
W zadaniu porównaj wykreślnie (na jednym rysunku) i liczbowo dwie
sytuacje.
Sytuacja 1. Wygeneruj n punktów w pobliżu prostej wyjściowej
o zadanych współczynnikach a, b w pewnym przedziale
argumentów x. Argumenty te zawsze zaczynają się od 0
i przyrastają ze stałym krokiem krok_x. Do wygenerowania
tych punktów musisz utworzyć funkcję, która ma
argumenty: a, b, n, krok_x, rozrzut_losowania. ProstÄ…
y=ax+b
oraz punkty wokół niej położone narysuj na wykresie.
Sytuacja 2. Zapomnij na chwilę, że istnieje już prosta wyjściowa. Za to
punkty wygenerowane wokół prostej potraktuj jako punkty
pochodzące z pomiarów pewnego zjawiska, które ma
charakter liniowy (daje się według teorii opisać równaniem
prostej). MajÄ…c te punkty, poszukaj metodÄ… aproksymacji
równania prostej, która do nich  najlepiej pasuje . Na tym
samym wykresie co poprzednio narysuj tÄ… znalezionÄ…
prostÄ….
str. 40 HM Matlab_cw_15__19.doc
M A T L A B
Porównaj:
wykresy prostej wyjściowej i znalezionej,
wartości współczynników równania prostej wyjściowej i prostej
znalezionej metodÄ… aproksymacji.
Przykładowy wykres otrzymany przy rozwiązywaniu tego zadania
pokazuje rysunek.
Już teraz wiesz dlaczego naukowcy bardzo się cieszą, gdy mogą powiedzieć,
że wyniki ich badań uzyskane są z dokładnością do 10%.
ĆWICZENIE 19  Całkowanie numeryczne
Obliczanie wartości całek oznaczonych, to problem dość powszechny i często
trudny, gdy nie jest znana funkcja pierwotna analizowanej funkcji. Stosuje siÄ™
wtedy metody przybliżone, numeryczne. Cała istota tych metod zasadza się
na jak najdokładniejszym obliczeniu pola powierzchni pod krzywą całkowaną.
Istnieje wiele algorytmów prowadzących do wyniku z różną dokładnością. Nie
wdając się w rozważania nad tymi algorytmami zapamiętaj, że do całkowania
stosujemy jednÄ… z funkcji:
c=quad( nazwa_funkcji ,a,b)  metoda Simpsona
c=quadl( nazwa_funkcji ,a,b)  metoda Lobatto
gdzie:
c  wartość całki,
nazwa_funkcji  nazwa funkcji lub m-pliku z jej definicjÄ…,
a, b  dolna i górna granica całkowania.
Zadanie 29
Musisz określić jaka będzie siła oporu aerodynamicznego
projektowanego samochodu w zależności prędkości jazdy. Pokażesz to
na odpowiednim wykresie.
str. 41 HM Matlab_cw_15__19.doc
M A T L A B
Siła oporu aerodynamicznego jaki stawia powietrze rozpędzonemu
samochodowi opisana jest wzorem
2
V
P = cÁ S
2
gdzie: c - współczynnik oporu ma stałą wartość 0,01,
Á - gÄ™stość powietrza ma staÅ‚Ä… wartość 1,29 ,
Á
Á
Á
V - prędkość samochodu,
S - pole powierzchni poprzecznego obrysu samochodu.
Podstawowym problemem jest obliczenie pola powierzchni
poprzecznego obrysu samochodu. Znane są funkcje (karosx), które
fragmentami opisujÄ… ten obrys. PoglÄ…dowo pokazuje to rysunek.
karos1
karos2
karos3
karos1= -8x8+1,2
karos2= -8000(x+0,73)4+0,7
karos3= -8000(x-0,73)4+0,7
Zakładając, że:
oś odciętych, to poziom drogi,
zarys karoserii kończy się 0,2 [m] od poziomu drogi,
obrys koła, to kwadrat o boku 0,2 [m]
oblicz pole powierzchni obrysu samochodu, czyli stałą S do wzoru na
opór aerodynamiczny. Musisz w tym celu:
znalez
ć punkty przecięcia krzywych zarysu ze sobą,
znalez
ć punkty przecięcia krzywych zarysu z prostą  odcinającą
zarys od dołu,
obliczyć całki w odpowiednich zakresach i innych parę drobiazgów
składających się na pole powierzchni obrysu,
złożyć razem wyniki cząstkowe.
Na końcu, znając już parametr S, sporządz
odpowiedniÄ… funkcjÄ™ i narysuj
wykres, który zilustruje zależność siły oporu aerodynamicznego
samochodu od jego prędkości.
Uwaga. Wszystkie wartości liczbowe są tak dobrane, by nie były potrzebne żadne
przeliczenia jednostek, a wynik otrzymasz w [N].
str. 42 HM Matlab_cw_15__19.doc
M A T L A B
Z a d a n i a d o s a m o d z i e l n e g o w y k o n a n i a
Obliczenia numeryczne
Zadanie 1. Masz funkcjÄ™
1 1
f (x) = + - 2
(x - 3)2 + 0.02 (x - 9)2 + 0.05
Narysuj wykres tej funkcji w przedziale od  5 do 20.
W przedziale od 2,5 do 10:
oblicz wektor wartości funkcji z przyrostem argumentu o 0,2 ,
znajdz
minimum funkcji,
znajdz
wartości w dwóch najwyższych punktach wykresu,
znajdz
miejsca zerowe.
Zadanie 2. MajÄ…c funkcjÄ™ o postaci
y(x) = cos(3x) + cos(x)
określ jej wartości w punktach od  10 do 10 z krokiem 0,5. Mając te
punkty przeprowadz
interpolacjÄ™ za pomocÄ… trzech metod. Na
jednym wykresie przedstaw węzły interpolacji i trzy uzyskane
przebiegi funkcji interpolujÄ…cych.
Zadanie 3. MajÄ…c funkcjÄ™ o postaci
y(x) = cos(3x) + cos(x)
określ jej wartości w punktach od  10 do 10 z krokiem 0,5. Poszukaj
funkcji aproksymujących różnego stopnia i przedstaw na jednym
wykresie punkty węzłowe i rezultaty aproksymacji.
Zadanie 4. Oblicz wartości całki w przedziale od  Ą/2 do Ą/2 z funkcji
f (x) = x + 2sin(x)
Zadanie 5. Wyznaczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:
y = 2x2 - 5x ; y = 3x