Politechnika ÅšlÄ…ska Gliwice, 2006/2007
Wydział: Automatyki, Elektroniki i Informatyki Semestr: 6 (letni)
Kierunek: Automatyka i robotyka
Podstawy Automatyki
 laboratorium
Ćw 5. Częstotliwościowe metody analizy UR.
Data ćwiczeń laboratoryjnych: 21.03.2007
Grupa: 1
Sekcja: 3
Skład osobowy sekcji:
Zięba Andrzej
Bojko Marcin
Pawliczek Krystian
1. Cel ćwiczenia:
Celem ćwiczenia była komputerowa analiza własności układów regulacji na podstawie
charakterystyk częstotliwościowych: amplitudowo-fazowej (Nyquista) oraz wskaz
ników jakości
(regulacji oraz nadążania).
2. Program ćwiczenia:
Przeprowadz
analizę zamkniętego układu regulacji przedstawionego na rysunku 1. z
k
K śą sźą= ; gdzie : k =3, T =4, T =6.
obiektem o transmitancji:
1 2
śą1ƒÄ…sźąśą1ƒÄ…sT1źąśą1ƒÄ…sT2źą
Rysunek 1. Schemat blokowy UR.
1. Zbadaj własności zamkniętego układu regulacji z obiektem o transmitancji K(s) i K (s) = 1:
r
a) SporzÄ…dz
charakterystykę amplitudowo-fazową układu otwartego, zaznacz i odczytaj
zapas amplitudy oraz fazy układu zamkniętego.
b) SporzÄ…dz
przebieg y(t) odpowiedzi układu zamkniętego na wymuszenie skokowe w(t).
c) SporzÄ…dz
przebiegi wskaz
ników regulacji oraz nadążania.
2. Zbadaj wpływ nastaw regulatora P { K (s) = k } na własności układu  dla trzech
r r
wybranych wzmocnień k wykreśl:
r
a) charakterystyki amplitudowo-fazowe układu otwartego, zaznaczyć zapasy amplitud i faz
układów zamkniętych;
b) odpowiedzi skokowe układu zamkniętych;
c) przebiegi wskaz
ników częstotliwościowych.
d) Wskaż  optymalną nastawę regulatora P i uzasadnij swój wybór (uwzględnij: zapas
fazy, zapas modułu, czas regulacji, przeregulowanie, błąd w stanie ustalonym).
3. Zbadaj wpływ nastaw regulatora PI { K (s) = k (1+1/sT ) }na własności układu  dla trzech
r r c
dowolnych nastaw T dobierz k tak aby zapas amplitudy wynosił "k = 2; wykreśl komplet
c r
charakterystyk (jak w punkcie 2); wskaż  najlepsze nastawy regulatora.
4. Zbadaj wpływ nastawy regulatora PID { K (s) = k (1+1/sT +sT ) } na własności układu 
r r c d
wykreśl komplet charakterystyk (jak w punkcie 2) dla jednego zestawu nastaw k , T , T
r c d
zapewniającego  akceptowalne własności zamkniętego układu regulacji.
5. Zbadaj wpływ regulatorów P, PI, PID  dla wybranych  najlepszych nastaw regulatora P,
PI oraz PID wykreśl wskaz
nik nadążania oraz wskaz
nik tłumienia zakłóceń; skomentuj
wyniki.
6. Dokonaj analizy odpowiedzi układu zamkniętego, z regulatorem PI (lub PID) na
wymuszenie w(t) = sin(Ét):
Z charakterystyki nadążania M(É) wybierz trzy wartoÅ›ci czÄ™stotliwoÅ›ci z pasm: É 
1
nadążania, É  rezonansowego (É = w ) i É  nadrezonansowego. WykreÅ›l
2 2 rez 3
odpowiedzi (w stanie ustalonym) układu zamkniętego na wymuszenie sinusoidalne
w(t) = sin(Ét) dla É = É , É , É . Porównaj stosunek amplitud, sygnaÅ‚u wyjÅ›ciowego
1 2 3
y(t) do wejściowego w(t), z wartością wskaz
nika nadążania dla odpowiednich É.
3. Realizacja zadań:
Ad 1.a)
N y q u is t D ia g r a m
2 . 5
­Ä… L=13,7 dB
2
­Ä…kH"4,84
o
1 . 5
­Ä…ÔÄ…=57,7
1
S y s t e m : K
0 . 5
G a in M a r g in ( d B ) : 1 3 . 7
A t f r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 6 7 7
C lo s e d L o o p S t a b le ? Y e s
0
- 0 . 5
- 1
S y s t e m : K
P h a s e M a r g in ( d e g ) : 5 7 . 7
D e la y M a r g in ( s e c ) : 3 . 6 4
A t f r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 2 7 7
- 1 . 5
C lo s e d L o o p S t a b le ? Y e s
- 2
- 2 . 5
- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3
R e a l A x i s
Ad 1.b)
S t e p R e s p o n s e
1
0 . 9
0 . 8
0 . 7
0 . 6
0 . 5
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
0
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5
T i m e ( s e c )
Ad 1.c)
W s k a z n ik n a d a z a n ia
1 . 5
1
0 . 5
0
- 2 - 1 0 1 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
W s k a z n ik r e g u l a c j i
2
1 . 5
1
0 . 5
0
- 2 - 1 0 1 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
I m a g i n a r y A x i s
A m p l i t u d e
M a g n i t u d e ( a b s )
M a g n i t u d e ( a b s )
Ad 2.a)
N y q u is t D ia g r a m
Legenda:
1
 dla k = 0,6
r
-- dla k = 1,24
r
0 . 5
-·- dla k = 2
r
S y s t e m : K 1
G a in M a r g in ( d B ) : 1 8 . 2
A t f r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 6 7 7
C lo s e d L o o p S t a b le ? Y e s
0
Dla k = 0,6: ­Ä… L=18,2 dB
r
­Ä…kH"8,13
- 0 . 5 o
­Ä…ÔÄ…=88,6
Dla k = 1,24: ­Ä… L=11,9 dB
r
- 1
S y s t e m : K 1
­Ä…kH"3,94
P h a s e M a r g in ( d e g ) : 8 8 . 6
o
D e la y M a r g in ( s e c ) : 8 . 8 2
­Ä…ÔÄ…=47,4
A t f r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 1 7 5
- 1 . 5
C lo s e d L o o p S t a b le ? Y e s
Dla k = 2: ­Ä… L=7,71 dB
r
­Ä…kH"2,43
- 2
o
­Ä…ÔÄ…=28,0
- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5
R e a l A x i s
Ad 2.b)
S t e p R e s p o n s e
Legenda:
1 . 4
 dla k = 0,6
r
1 . 2 -- dla k = 1,24
r
-·- dla k = 2
r
1
0 . 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
0
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0
T i m e ( s e c )
Ad 2.c)
W s k a z n ik n a d a z a n ia
Legenda:
3
2 . 5
 dla k = 0,6
r
S y s t e m : G 2
2
-- dla k = 1,24
r
F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 3 7 1
M a g n it u d e ( a b s ) : 1 . 3
1 . 5
-·- dla k = 2
r
1
0 . 5
0
- 2 - 1 0 1 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
W s k a z n ik r e g u l a c j i
3
2 . 5
2
1 . 5
1
0 . 5
0
- 2 - 1 0 1 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
I m a g i n a r y A x i s
A m p l i t u d e
M a g n i t u d e ( a b s )
M a g n i t u d e ( a b s )
Ad 2.d)
Ze wzrostem wzmocnienia regulatora k :
r
zmniejsza się zapas fazy "Ć;
zmniejsza siÄ™ zapas amplitudy "k;
zwiększa się czas regulacji;
rośnie przeregulowanie;
zmniejsza się uchyb regulacji w stanie ustalonym ze względu na wymuszenie w;
rośnie szerokość pasma nadążania;
wzrasta wartość czÄ™stotliwoÅ›ci (pulsacji) rezonansowej É ;
rez
wzrasta wartość piku rezonansowego;
wzrasta zdolność tłumienia zakłócenia z w pasmie niskich częstotliwości;
Układ regulacji uważamy za dobrej jakości jeżeli spełnione są jednocześnie dwa warunki:
zapas modułu jest większy niż 6 do 8 dB;
zapas fazy jest większy niż 30o.
Często przy określeniu jakości regulacji stosuje się kryterium maksymalnego modułu 
najkorzystniej jeśli charakterystyka nadążania posiada pik rezonansowy o wartości 1,2 do 1,3.
Aby działanie układu regulacji było optymalne sugerowano się kryterium maksymalnego modułu.
Na charakterystyce nadążania zaznaczono wartość maksymalnego modułu (równą 1,3) i w ten
sposób określono optymalną nastawę k . Dla tej nastawy spełnione są warunki dotyczące zapasu
r
modułu i zapasu fazy.
Wybrana optymalna nastawa regulatora: k = 1,24
r
Ad 3.a)
N y q u is t D ia g r a m
Legenda:
S y s t e m : K 3
P h a s e M a r g in ( d e g ) : 2 0 . 6
D e la y M a r g in ( s e c ) : 0 . 7 9 5
 dla k = 1,25, T = 6
r c
A t f r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 4 5 2
0
C lo s e d L o o p S t a b le ? Y e s
-- dla k = 1,939, T = 15
r c
S y s t e m : K 3
G a in M a r g in ( d B ) : 6 . 0 2
-·- dla k = 2,182, T = 30
r c
A t f r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 6 4 4
C lo s e d L o o p S t a b le ? Y e s
- 2
Dla k =1,25 T =6: ­Ä… L=6,02 dB
r c
­Ä…k=2
- 4
o
­Ä…ÔÄ…=16,8
Dla k =1,939 T =15: ­Ä… L=6,02 dB
r c
- 6
­Ä…k=2
o
­Ä…ÔÄ…=19,8
- 8
Dla k =2,182 T =30: ­Ä… L=6,02 dB
r c
­Ä…k=2
o
- 1 0
­Ä…ÔÄ…=20,6
- 2 - 1 0 1 2 3 4
R e a l A x i s
I m a g i n a r y A x i s
Ad 3.b)
S t e p R e s p o n s e
Legenda:
1 . 8
 dla k = 1,25, T = 6
r c
1 . 6
-- dla k = 1,939, T = 15
r c
-·- dla k = 2,182, T = 30
1 . 4 r c
1 . 2
1
0 . 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
0
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0
T i m e ( s e c )
Ad 3.c)
W s k a z n ik n a d a z a n ia
Legenda:
4
 dla k = 1,25, T = 6
r c
3
S y s t e m : G 3
-- dla k = 1,939, T = 15
r c
F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 4 8 2
M a g n it u d e ( a b s ) : 3
2
-·- dla k = 2,182, T = 30
r c
1
0
- 2 - 1 0 1 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
W s k a z n ik r e g u l a c j i
4
3
2
1
0
- 2 - 1 0 1 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
Ad 3.d)
Ze wzrostem wartości nastaw regulatora w taki sposób, że zapas modułu jest stały "k = 2 zachodzi:
zwiększa się zapas fazy "Ć;
maleje czas regulacji;
maleje wartość przeregulowania;
stały zerowy uchyb regulacji w stanie ustalonym ze względu na skokowe wymuszenie w;
rośnie szerokość pasma nadążania;
wzrasta wartość czÄ™stotliwoÅ›ci (pulsacji) rezonansowej É ;
rez
zmniejsza się wartość piku rezonansowego;
wzrasta zdolność tłumienia zakłócenia z w pasmie niskich częstotliwości;
Należy zauważyć, że układ regulacji nie spełnia w żadnym z pokazanych przypadków warunku by
zapas fazy był większy od 30o. Zapewnienie aby ten warunek był spełniony wymaga zmiany
wartości żądanego zapasu modułu. Parametrów nie można zwiększać w nieskończoność z tego
względu, że dla bardzo wysokich wartości T wpływ całkującego składnika będzie znikomy
c
(pomijalny) i regulacja będzie bardzo bliska tej jak gdyby zastosować regulator P.
Wybrana optymalna nastawa regulatora: k = 2,182, T = 30
r c
A m p l i t u d e
M a g n i t u d e ( a b s )
M a g n i t u d e ( a b s )
Ad 4. Nastawy regulatora: k = 2.5, T = 10, T = 2
r c d
Ad 4.a)
N y q u is t D ia g r a m
5
­Ä… L="
S y s t e m : K o
G a in M a r g in ( d B ) : In f
­Ä…k="
A t f r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : In f
o
C lo s e d L o o p S t a b le ? Y e s
0
­Ä…ÔÄ…=53,9
S y s t e m : K o
P h a s e M a r g in ( d e g ) : 5 3 . 9
D e la y M a r g in ( s e c ) : 1 . 6 3
A t f r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 5 7 9
C lo s e d L o o p S t a b le ? Y e s
- 5
- 1 0
- 1 5
- 1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0
R e a l A x i s
Ad 4.b)
S t e p R e s p o n s e
1 . 4
1 . 2
1
0 . 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
0
0 5 1 0 1 5
T i m e ( s e c )
Ad 4.c)
W s k a z n ik n a d a z a n ia
1 . 5
S y s t e m : G
1
F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 4 6 8
M a g n it u d e ( a b s ) : 1 . 1 3
0 . 5
0
- 2 - 1 0 1 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
W s k a z n ik r e g u l a c j i
1 . 5
1
0 . 5
0
- 2 - 1 0 1 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
I m a g i n a r y A x i s
A m p l i t u d e
M a g n i t u d e ( a b s )
M a g n i t u d e ( a b s )
Ad 5. Legenda:
Nastawy dla regulatorów: P: k = 1,24 
r
PI: k = 2,182 T = 30 --
r c
PID: k = 2,5 T = 10 T = 2 -·-
r c d
N y q u is t D ia g r a m
0
- 5
- 1 0
- 1 5
- 2 0
- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4
R e a l A x i s
S t e p R e s p o n s e
1 . 5
1
0 . 5
0
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0
T i m e ( s e c )
I m a g i n a r y A x i s
A m p l i t u d e
W s k a z n ik n a d a z a n ia
3
2 . 5
2
1 . 5
1
0 . 5
0
- 2 - 1 0 1 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
W s k a z n ik r e g u la c ji
4
3
2
1
0
- 2 - 1 0 1 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
Komentarze:
Najszerszym pasmem tłumienia zakłócenia z charakteryzuje sie układ z regulatorem PID
natomiast najwęższym układ z regulatorem P.
Wartość piku rezonansowego charakterystyki nadążania jest najwyższa dla układu z
regulatorem PI. Świadczy to o tym że przy użyciu tego regulatora (te same nastawy) w
odpowiedzi skokowej będą występować stosunkowo duże oscylacje i przeregulowanie.
Natomiast dla regulatora PID pik ten ma najmniejszą wartość co jest równoznaczne z
niedużym przeregulowaniem odpowiedzi na wymuszenie skokowe w oraz krótkotrwałymi
oscylacjami.
Z faktu że wartość modułu dla niskich częstotliwości regulatorów PI i PID jest bliska jeden
można wnioskować o zerowej wartości uchybu regulacji w stanie ustalonym na wymuszenie
skokowe w. Dla regulatora P uchyb ten nie jest zerowy.
Układy regulacji z regulatorami PI i PID całkowicie tłumią zakłócenia nie zmieniające się w
czasie w odróżnienia do układu z regulatorem P.
Z faktu narzucenia wartości zapasu modułu na stałym poziomie dla układu z regulatorem PI
nie udało się uzyskać wymaganej wartości zapasu fazy ani maksymalnego modułu. Gdyby
zignorować ten warunek, wówczas można by dobrać nastawy regulatora tak, aby pasmo
nadążania było szersze niż dla regulatora P.
M a g n i t u d e ( a b s )
M a g n i t u d e ( a b s )
Ad 5. Układ z regulatorem PID o nastawach: k = 2,5 T = 10 T = 2
r c d
L in e a r S im u la t io n R e s u lt s
Dla: w1=0,011 rad /sec
1
S y s t e m : G
T im e ( s e c ) : 9 . 2 8 e + 0 0 3
W =1
max
A m p lit u d e : 0 . 9 9 9
0 . 8
Y H"1
max
0 . 6
Y
max
=1
0 . 4
W
max
0 . 2
M śąw1źą=1
0
- 0 . 2
- 0 . 4
- 0 . 6
- 0 . 8
- 1
8 5 0 0 9 0 0 0 9 5 0 0 1 0 0 0 0
T i m e ( s e c )
L in e a r S im u la t io n R e s u lt s
Dla : w2=wrez=0,47 rad / sec
1 . 5
W =1
max
S y s t e m : G
Y H"1,13
1
max
T im e ( s e c ) : 1 7 9
A m p lit u d e : 1 . 1 3
Y
max
=1,13
W 0 . 5
max
M śąw1źą=1,13
0
- 0 . 5
- 1
- 1 . 5
1 7 0 1 7 5 1 8 0 1 8 5 1 9 0 1 9 5 2 0 0
T i m e ( s e c )
L in e a r S im u la t io n R e s u lt s
Dla : w3=5,4 rad / sec
1
W =1
max
0 . 8
Y H"0,022
max
0 . 6
Y
max
=0,022
0 . 4
W
max
S y s t e m : G
0 . 2
M śąw1źą=0,022
T im e ( s e c ) : 3 8 . 1
A m p lit u d e : 0 . 0 2 1 5
0
- 0 . 2
- 0 . 4
- 0 . 6
- 0 . 8
- 1
3 7 3 7 . 5 3 8 3 8 . 5 3 9 3 9 . 5 4 0
T i m e ( s e c )
Stosunki amplitud sygnaÅ‚u wyjÅ›ciowego do wejÅ›ciowego dla odpowiednich wartoÅ›ci É
są równe z dużą dokładnością wartością odpowiednich wskaz
ników nadążania M(É).
A m p l i t u d e
A m p l i t u d e
A m p l i t u d e
4. Kody z
ródłowe programów:
Kod z
ródłowy do punktu 5 (kody z
ródłowe do punktów 1 do 4 są analogiczne):
close all;
clear all;
clc;
% Definicja transmitancji:
k=3;
T1=4;
T2=6;
s=tf('s');
K=k/(1+s)/(1+s*T1)/(1+s*T2);
Kr1=1.24;
Kr2=2.182*(1+1/(s*30));
Kr3=2.5*(1+1/(s*10)+(s*2));
K1=minreal(K*Kr1);
K2=minreal(K*Kr2);
K3=minreal(K*Kr3);
G1=minreal(K1/(1+K1));
G2=minreal(K2/(1+K2));
G3=minreal(K3/(1+K3));
G1z=minreal(1/(1+K1));
G2z=minreal(1/(1+K2));
G3z=minreal(1/(1+K3));
% Charakterystyki amplitudowo-fazowa:
figure;
hold on;
nyquist(K1,'-k');
nyquist(K2,'--k');
nyquist(K3,'-.k');
title('Nyquist Diagram','FontSize',14);
xlabel('Real Axis','FontSize',12);
ylabel('Imaginary Axis','FontSize',12);
% Odpowiedz skokowa ukladu zamknietego:
figure;
hold on;
step(G1,'-k');
step(G2,'--k');
step(G3,'-.k');
title('Step Response','FontSize',14);
xlabel('Time','FontSize',12);
ylabel('Amplitude','FontSize',12);
% Wskazniki czestotliwosciowe:
figure;
subplot(2,1,1);
hold on;
bodemag(G1,'-k');
bodemag(G2,'--k');
bodemag(G3,'-.k');
title('Wskaznik nadazania','FontSize',14);
xlabel('Frequency','FontSize',12);
ylabel('Magnitude','FontSize',12);
xlim([10^(-2) 10^(2)]);
subplot(2,1,2);
hold on;
bodemag(G1z,'-k');
bodemag(G2z,'--k');
bodemag(G3z,'-.k');
title('Wskaznik regulacji','FontSize',14);
xlabel('Frequency','FontSize',12);
ylabel('Magnitude','FontSize',12);
xlim([10^(-2) 10^(2)]);
Kod z
ródłowy do punktu 6:
close all;
clear all;
clc;
% Definicja transmitancji:
k=3;
T1=4;
T2=6;
s=tf('s');
K=k/(1+s)/(1+s*T1)/(1+s*T2);
Kr=2.5*(1+1/(s*10)+(s*2));
Ko=minreal(K*Kr);
G=minreal(Ko/(1+Ko));
% Definicja pulsacji:
w1=0.011; % pasmo nadazania Mag=1
w2=0.47; % pasmo rezonansowe (w2=w_rez) Mag=1,13
w3=5.4; % pasmo nadrezonansowe Mag=0,022
% Wygenerowania pobudzenia w(t)=sin(wT):
[W1,T1]=gensig('sin',2*pi/w1,10000);
[W2,T2]=gensig('sin',2*pi/w2,200);
[W3,T3]=gensig('sin',2*pi/w3,40);
% przebiegi w stanie ustalonym:
figure;
lsim(G,W1,T1);
xlim([8500 10000]);
title('Linear Simulation Results','FontSize',14);
xlabel('Time','FontSize',12);
ylabel('Amplitude','FontSize',12);
figure;
lsim(G,W2,T2);
xlim([170 200]);
title('Linear Simulation Results','FontSize',14);
xlabel('Time','FontSize',12);
ylabel('Amplitude','FontSize',12);
figure;
lsim(G,W3,T3);
xlim([37 40]);
title('Linear Simulation Results','FontSize',14);
xlabel('Time','FontSize',12);
ylabel('Amplitude','FontSize',12);
5. Wnioski końcowe:
Dla obiektów w których nie występuje czynnik całkujący i nie można dobrać zbyt dużego
wzmocnienia regulatora P ze względu na utratę stabilności układu, najkorzystniej urzyć
regulatora PI lub PID zapewniajÄ…cych zerowy uchyb regulacji w stanie ustalonym dla
skokowych zmian wymuszenia w. Regulator P zmniejsza wartość uchybu ze wzrostem jego
wzmocnienia.
Najlepszą jakość regulacji zapewnia regulator PID nawet przy zdroworozsądkowych jego
nastawach.
W przypadku układów śledzących najkorzystniej dobrać w taki sposób nastawy regulatora
aby maksymalna częstotliwość wymuszenia (bądz
najwyższa znacząca harmoniczna)
znajdowała się w paśmie nadążania układu regulacji.
Aby uniknąć oscylacji sygnału wyjściowego dla wymuszeń skokowych należy zadbać aby
charakterystyka M(É) nie posiadaÅ‚a piku rezonansowego.
Częstotliwości rezonansowe wskaz
nika nadążania i wskaz
nika tłumienia zakłócenia są
różne.