TOTOLOTEK - Szanse Wygrania a
Systemy Gry
Interesujesz siÄ™ grami losowymi takimi jak Totolotek? Czy wiesz jakie jest
prawdopodobieństwo Twojej wygranej? Czy "systemy gry" sprawdzają się? O tym
przeczytasz właśnie tutaj.
Szanse wygrania
w totolotku
(Duży Lotek i Multi Lotek)
K. M. Borkowski
Nie należę do namiętnych graczy, ani nie jestem zajadłym przeciwnikiem gier losowych. Gdy więc
przystępowałem do przedstawionej tu analizy, nie było moim zamiarem zachęcać nikogo do grania, ani
też nie chodziło mi o zniechęcanie. Niektórzy z moich przyjaciół grając stosują rozmaite metody w
celu zmaksymalizowania szansy wygranej. Obiektywna ocena szansy wygranej w Multi Lotka jawiła
mi się całkiem ciekawym zagadnieniem kombinatorycznym, a wyniki przeprowadzonych analiz
okazały się bardziej interesujące, niż mógłbym się spodziewać, dlatego postanowiłem podzielić się
nimi na szerokim polu internetu.
Niezależnie od wspomnianej postawy niezaangażowania oraz wyników tej analizy, mam
świadomość, że gry typu totolotka dają pieniądz raczej brudny przez to, że wygrane sumy pochodzą z
kieszeni często dość biednych ludzi oszukiwanych pokusą łatwego zbogacenia się. Grywam więc
bardzo rzadko (w tym względzie jednak podoba mi się podejście Bastiana).
Być może gracze zdają sobie sprawę z tego, że obietnicą wysokich wygranych są wciągani do w
istocie nie całkiem uczciwej gry. Podejrzewam jednak, iż niewielu z nich domyśla się nawet, że
zasadniczo wszyscy, przystępując do gry np. w lotka (Dużego albo Multi Lotka), automatycznie płacą
ok. 60 % wydawanych pieniędzy na inne cele niż pula wygranych. Szacunek tzw. nadziei
matematycznej (albo wartości oczekiwanej) wskazuje bowiem na tak właśnie niekorzystny bilans
wygranych w stosunku do wpłat.
Przy analizie szans w Multi Lotku odkryłem, że dwa z polskich internetowych portali
(reprezentujące firmy handlujące własnym oprogramowaniem) dla zwiększenia zysków w perfidny
sposób zachęcają graczy do stosowania systemów, które prowadzą do praktycznie pewnych i wysokich
przegranych.
Na końcu podsuwam graczom kilka użytecznych rad.
Duży Lotek i jego odmiany
Zakładając, że wylosowanie każdego numeru spośród N liczb (np. któregoś z 49 w totolotku)
w grze liczbowej jest tak samo prawdopodobne (np. z szansą 1 do 49), możemy stosunkowo
łatwo obliczyć szansę zdobycia głównej i niższych stopni wygranych przy zadanej liczbie
sKreśleń (typowań), K. Należy mianowicie obliczyć liczbę możliwych skreśleń dających
spodziewany efekt czyli wygraną danego stopnia (P) i podzielić ją przez liczbę wszystkich
różnych skreśleń (C). Np., gdyby gra polegała na losowaniu L = 2 liczb z N = 49 i gracz
typowałby tylko jedną liczbę (K = 1), miałby 49 różnych możliwości skreślenia robionego
zakładu. Oczywiście, wśród tych 49-ciu możliwych typowań dwa muszą trafić na liczby
ostatecznie wylosowane, zatem szansę (prawdopodobieństwo) określimy jako 2 trafienia na
49 prób czyli 1:24,5 albo 0,040816. Odwrotność szansy czy też prawdopodobieństwa (w tym
przypadku liczbę 24,5/1 = 24,5) interpretujemy jako średnią liczbę prób (gier), na którą
przypada jedna próba pomyślna (powiemy 'wygrana' lub 'trafienie'); tę liczbę w tym tekście
nazwiemy częstością trafień i oznaczymy przez I.
Szanse wyglądałyby podobnie, gdyby w rozważanej grze losowano L = 1 liczbę, a gracz
skreślałby dwie (K =2). W takiej wersji gry bowiem możliwa liczba zrobienia różnych
zakÅ‚adów wyniosÅ‚aby 49·48/2 = 49·24 (gdyż przy każdej jednej skreÅ›lonej liczbie mamy
jeszcze 48 możliwości skreślenia drugiej, jednak co druga z wszystkich tego rodzaju
kombinacji skreśleń będzie taka sama, ponieważ np. skreślenie najpierw 1 a potem 2 nie różni
siÄ™ od skreÅ›lenia najpierw 2 a potem 1). Nietrudno zauważyć, że wÅ›ród tych 49·24 możliwych
typowaÅ„ musi być 48 trafnych, czyli szansa wynosi 48:(49·24) = 1:24,5. Ta równość szans
wyraża ciekawy fakt, że w rachunku prawdopodobieństwa liczby L i K możemy traktować
zamiennie, tzn. zamiast maszyny losującej mógłby występować świadomie wybierający
numery gracz, a w charakterze gracza  maszyna skreślająca losowo. Statystycznie rzecz
traktując, efekty końcowe (częstości trafień) w obu wersjach gry byłyby takie same.
Z działu matematyki zwanego kombinatoryką wiadomo, że w ogólności ze zbioru N różnych
obiektów (numerów w grze) można złożyć następującą liczbę różnych podzbiorów
(kombinacji) zawierających K różnych obiektów (liczb skreślanych w grze):
N N!
C(N,K) = ( ) = , (1)
K (N  K)! K!
gdzie symbol n! (n-silnia) jest skrótowym zapisem wyrażenia n·(n 1)·(n 2)·...·2·1, przy czym
1! = 0! = 1.
W przytoczonym prostym przykładzie mieliśmy 49 kombinacji po jednej liczbie, co jest
oczywiÅ›cie równe C(49,1) = 49!/[(49  1)!·1!] = 49. JeÅ›li jednak losuje siÄ™ 6 liczb, istnieje już
dużo wiÄ™cej możliwych wyników: C(49,6) = 49!/(43!·6!) = 49·48·47·46·45·44/(6·5·4·3·2·1) =
13983816. Gdy w tym przypadku gracz typuje 6 liczb, może to zrobić także na tyle
sposobów, tj. C(49,6). Ponieważ wszystkie kombinacje są różne, wśród nich tylko jedna może
być pomyślna [P(49,6,6) = 1], zatem szansa trafienia wynosi P(49,6,6):C(49,6) czyli
1:13983816. To prawdopodobieństwo jest zgrubsza tak małe, jak to, że moneta rzucona 24
razy spadnie 24 razy z rzędu tak samo, tj. tylko reszką albo tylko orzełkiem do góry (ściślej,
dla monety prawdopodobieństwo to wynosi: 1:224 = 1:16777216).
Szanse trafienia '5' będą większe proporcjonalnie do liczby możliwych sposobów trafienia
piÄ…tki czyli do liczby kombinacji piÄ™ciu trafieÅ„ w szeÅ›ciu wylosowanych, C(6,5) = 6!/(1!·5!) =
6. Każdej z tych kombinacji jedno 'pudło' wśród liczb niewylosowanych może towarzyszyć
na C(49 6,1) = 43!/(42!·1!) = 43 sposoby. Pięć trafnych można wiÄ™c uzyskać w 6
skreśleniach na 6 sposobów, ale każdy z tych sposobów może wystąpić przy jednym z 43
niewylosowanych numerów, na który padnie nasz nietrafny typ. Razem jest zatem P(49,6,5) =
C(6,5)·C(43,1) = 6·43 = 258 sprzyjajÄ…cych kombinacji trafienia piÄ…tki, co daje
prawdopodobieństwo 1:13983816/258 trafienia '5' w totolotka (Dużego Lotka).
Analogicznym rozumowaniem możemy wyznaczyć liczbę sprzyjających kombinacji dla
dowolnej liczby trafień, j:
P(49,6,j) = C(6,j)·C(43,6 j) .
Wszystkie możliwości trafień w Dużym Lotku i kilku jego odmianach zawiera ta tabelka:
Tab. 1: Liczba gier czy zakładów I(j), na jaką przypada średnio jedna wygrana z j trafieniami
j 6 5 4 3 2 1 Gra
C(49,6)/P(49,6,j) 13983816 54201 1032,4 56,656 7,5541 2,4212 Duży Lotek
C(35,5)/P(35,5,j)  324632 2164,2 74,628 7,9959 2,3691 Mały Lotek
C(42,5)/P(42,5,j)  850668 4598,2 127,728 10,9481 2,5760 Express L.
C(45,5)/P(45,5,j)  1221759 6108,8 156,636 12,3660 2,6737 Zakł. Specj.
C(45,4)/P(45,4,j)   148995 908,506 30,2835 3,4943 Twój Szczęś-
Wygrana stopnia (6  j) 5363820 153252 32706,2 934,463 36,040 liwy Numerek
Prawdopodobieństwo przegranej
Dla gracza może być również interesująca odpowiedz
na pytanie jak często może się
spodziewać zera trafień lub braku wygranej. Liczbę kombinacji odpowiadających zeru trafień
można łatwo obliczyć jako C(N K,K), ale zastosujemy procedurę słuszną w obu przypadkach.
Mianowicie, należy zsumować prawdopodobieństwa zdarzeń składających się na sytuację
przeciwną [tzn. np. w oparciu o Tab. 1 zsumować wielkości 1/I(j) dla wszystkich j, przy
których otrzymuje się nagrody] i sumę odjąć od jedności. Np., w Dużym Lotku suma
odwrotności I od j = 1 do j = 6 wynosi 0,564035 czyli
1  1/2,2938 = 1  C(43,6)/13983816,
co znaczy że w tej grze obędziemy się bez żadnego trafienia średnio tylko raz na ok. 2,3
zakłady (lub 10 razy w 23 grach), ale jakąś wygraną (j od 3 do 6) zdobędziemy jedynie raz
na ok. 57 zagrań. Podobny rachunek dla Ekspress Lotka wskazuje, że całkowicie spudłujemy
tu raz na
C(42,5)/C(37,5) = 850668/435897 = 1,95
gier, zaś przegrywamy aż 123 razy na ok. 124 niezależne zagrania. Jak widać, w obu tych
grach o częstości przegrywania czy wygrywania decyduje zasadniczo częstość trafiania w
trójkę, bo wyższe wygrane trafiają się znacznie rzadziej.
Uwagi do Tab. 1: Dla piątki premiowanej, występującej w niektórych grach typu 6/49,
prawdopodobieństwo trafienia obliczamy jako 6:13983816 = 1:2330636, gdyż przy pięciu
normalnych trafnych numer premiowy może przypaść na każdą z sześciu typowanych liczb.
Inaczej mówiąc, wsród C(49,6) kombinacji możliwych do wytypowania istnieje tylko 6
pomyślnych, na jakie może paść piątka premiowana. W obecności numeru premiowego nieco
inaczej wyglądają też szanse na trafienie zwykłej piątki, która wygrywa teraz średnio raz na
13983816/(42·6) = 55491,3 prób. TakÄ… wartość Eureka, 'najwiÄ™kszy i najlepszy' krajowy
portal lotto (tak się reklamuje, ale jak wynika z dalszej analizy, jest to raczej największy
naciągacz), podaje błędnie jako szansę trafienia zwykłej piątki w Dużym Lotku.
W Twoim Szczęśliwym Numerku losuje się cztery liczby z 45 i osobno jedną z 36. W
tabelce (Tab. 1) w pierwszym wierszu dla tej gry podane są tylko szanse trafienia numerów z
pierwszej części losowania. Liczby dla j = 4 i j = 3 wyrażają więc w przybliżeniu szansę
wygranych II i IV stopnia, odpowiednio. Ścisłe wartości otrzymamy mnożąc te
prawdopodobieństwa przez prawdopodobieństwo nietrafienia w wylosowaną pojedynczą
liczbę w drugim losowaniu, które wynosi 35:36 czyli 1/(36/35). Stąd dokładniejsze oceny
szans na nagrody II i IV stopnia ksztaÅ‚tujÄ… siÄ™ jak jeden do 148995·36/35 = 153252 i do
908,506·36/35 = 934,463, odpowiednio. W drugim losowaniu prawdopodobieÅ„stwo trafienia
wynosi 1:36, co też jest bliskie szansie wygranej V stopnia, ale poprawny stosunek
otrzymamy mnożąc je przez łączne prawdopodobieństwo, że w pierwszym losowaniu nie
będzie ani 4-ki, ani 3-ki, czyli przez 1  (1/148995 + 1/908,506) = 1/1,0011086. Tak więc
szanse na wygranÄ… V stopnia majÄ… siÄ™ jak 1:(36·1,0011086) = 1:36,04. PrawdopodobieÅ„stwo
wygranej I i III stopnia (4+1 i 3+1 trafień) jest 35 razy mniejsze od prawdopodobieństw dla
wygranych II i IV stopnia (czyli 36 razy gorzej niż podpowiadają liczby C(45,4)/P(45,4,j) dla
j = 4 i j = 3 w tabelce), konkretnie: 1 do 5363820 i do 32706, odpowiednio.
Teoria a praktyka
Czy obliczone w powyższy sposób prawdopodobieństwa albo szanse rzeczywiście mają coś
wspólnego z praktyką codzienną? Poniższe przykłady ad hoc nie mogą pretendować do
stanowienia solidnych argumentów, ze względu na wyrywkowość, ale już z nich widać, że w
tym wypadku względnie prosta matematyka (kombinatoryka) ma dużo do powiedzenia.
Tab. 2: Przykłady ogólnokrajowych wyników gier w Dużego Lotka.
j Losowanie z 7.01.2004 Losowanie z 14.01.2004 31.12.2003  14.01.2004
(1 17 19 29 35 40) (8 19 30 31 37 43) (5 losowań)
6 2 1,5 3317563,50 0 0,5 0 3 4,4 2680168,93
5 351 390 4508,30 106 133 5653,20 1172 1141 3941,50
4 20127 20453 103,10 6511 6963 142,50 59333 59923 101,40
3 372701 372701 10,00 126878 126878 10,00 1091933 1091933 10,00
R- 21115748 14019644 7188400 2795836 61864556 29595800
m:
Z pięciu kolejnych losowań na przełomie lat 2003 i 2004 (takimi tylko wynikami
dysponowała jedna z toruńskich kolektur, którą odwiedziłem 17 stycznia 2004 r.) w Tabeli 2
widnieją jedynie wyniki z największą i najmniejszą liczbą wygranych trójek oraz wartości
zbiorcze wszystkich pięciu losowań. W wierszu 'R-m:' kolorem zielonym zaznaczono ocenę
liczby zakładów jako liczbę trójek (j = 3) pomnożoną przez oczekiwaną częstość trafiania
trójki [I(3) z Tab. 1], 56,656. PrzykÅ‚adowo, 21115748 to zaokrÄ…glone 372701·56,656. Z tej
oceny zostały z kolei wyliczone spodziewane liczby wygranych pierwszego, drugiego i
trzeciego stopnia (tj. dla j równego 6, 5 i 4) przez podzielenie jej przez odpowiednie częstości
I(j) z Tabeli 1. Również te obliczenia, zamieszczone w Tabeli 2 w środkowej kolumnie
danego losowania, zostały wyróżnione kolorem zielonym.
Warto zwrócić uwagę na zgodność liczby spodziewanych wygranych (kolor zielony) z
faktycznie wygranymi (w kolumnie z lewej strony tych pierwszych), która jest lepsza przy
większych częstościach (przy 4-kach błąd wynosi tylko kilka procent, znacznie lepiej niż dla
wygranych wyższego stopnia) i większej statystyce (liczbie zakładów). W przypadku
statystyki sumarycznej z pięciu zakładów ocena nawet liczby piątek różni się już zaledwie o
ok. 3 % od wartości rzeczywistej. Niewątpliwie więc dużo, dużo lepszej zgodności
moglibyśmy oczekiwać w analizach statystyk np. z całego roku.
Drugi ważny wniosek, obok zadowalającej zgodności naszej predykcji z wynikami gier,
dotyczy sumy pieniędzy przeznaczanych na wypłaty nagród. Obliczona tutaj z sumy
iloczynów faktycznej liczby wygranych i odpowiedniej wysokości nagrody (podanych z
prawej strony kolumny 'zielonej'), wynosi w przybliżeniu 50 % wpłat graczy (wpłaty te
sprowadzają się do 'zielonej' liczby złotówek podanej w wierszu 'R-m:' przyjmując, że wpływ
z jednego zakładu to 1 zł).
Gry systemem
W Dużym Lotku i Express Lotku istnieje możliwość robienia zakładów systemowych.
Zakłady takie dają graczowi swobodę skreślenia dodatkowych liczb ponad 6 i 5  aż do 12-
tu. Zauważamy od razu, że np. skreślenie 7-mej liczby w jednym zakładzie w Dużym Lotku
jest równoważne C(7,6) = 7 zakładom zwykłym, w których występuje tylko te 7 liczb w
różnych kombinacjach po 6 liczb. W ogólności, jeśli skreślamy dodatkowo k liczb w
zakładzie gry z losowaniem K liczb, to jest to równoważne złożeniu C(K+k,K) zakładów
zwykłych, w których wykorzystaliśmy wszystkie kombinacje po K liczb z obranego zestawu
K + k liczb. Tak więc proporcjonalnie do tej liczby C(K+k,K) rosną nasze szanse wygrania
najwyższej nagrody (ale również w takiej samej proporcji rośnie opłata za jeden zakład).
Mówi się, że dodatkową korzyścią gry systemem jest to, że jeśli szczęście nam dopisze i
uzyskamy wygranÄ… pewnego stopnia, to automatycznie mamy zapewnione przynajmniej kilka
wygranych niższego stopnia (lub stopni, oczywiście, o ile taki czy takie istnieją). Dzieje sie
tak z tej prostej racji, że systemowe zakłady gwarantują wszystkie możliwe kombinacje
skreślanych liczb po K liczb. Nietrudno zauważyć, że zakład K + k skreślanych liczb zawiera
C(K+k M,K M) kombinacji M trafionych liczb. Np., jeśli skreślając w Dużym Lotku 12
liczb [co odpowiada C(12,6) = 924 zakładom zwykłym] trafimy w trójkę, to wystąpi ona w
tych C(12,6) kombinacjach C(12 3,6 3) = 84 razy. Szczegółowe tabele takich i innych
wielokrotności udostępniają kolektury. Jednakże za mówieniem w tym kontekście tylko o
'dodatkowej korzyści' kryje się także małe oszustwo, o ile nie wyjawi się grającemu, że
ta korzyść łączy się z wymierną stratą na szansach. Wprawdzie maleńkie (dotyczące więc
naprawdę nielicznych graczy) prawdopodobieństwo trafienia K numerów rośnie, jak
pisaliśmy, proporcjonalnie do ceny zakładu, ale nie dotyczy to wygranych niższych stopni,
gdyż np. każda trójka w zakładzie 12-skreśleniowym zawsze występuje aż 84 razy, co
musimy interpretować jako tyleżkrotne zmniejszenie szansy jej uzyskania (w stosunku do
przypadku, gdy składamy równoważną liczbę 924 zakładów normalnych, w których trójki nie
powtarzają się). Że nie kryje się za tym rozumowaniem żadna sztuczka przekonuje
następujący prosty przykład, w którym obliczymy szanse wprost.
Powiedzmy, że składamy w kolekturze dwa zakłady po sześć skreśleń różniące się tylko jedną
liczbą (pięć skreśleń takich samych w obu zakładach, a szóste różne). Szóstki w obu
zakładach są różne, mamy zatem dwa pomyślne zdarzenia zamiast jednego (jak w jednym
zakładzie), więc i szanse trafienia szóstki są dwukrotnie wyższe. Piątkę w sześciu skreślonych
liczbach jednego zakładu można trafić/wybrać na C(6,5) = 6 sposobów; pomyślnych zdarzeń
jest tu zatem 6. W drugim zakładzie naszego przykładu, na sześć możliwych piątek w pięciu
pojawi się nowa liczba, ale szósta kombinacja będzie identyczna jak w pierwszym zakładzie,
czyli pomyślnych różnych zdarzeń w tych dwóch zakładach traktowanych łącznie jest 6 + (6
 1) = 11. Prawdopodobieństwo trafienia piątki rośnie więc w tym przypadku nie dwukrotnie
lecz mniej, bo o czynnik 11/6 = 1,833... czyli o ok. 8 % gorzej niż w grze dwoma
niezależnymi zakładami. Rozpisując explicite wszystkie możliwości, każdy może sprawdzić,
że straty szans są stoniowo większe dla niższych stopni wygranych. I tak, czwórkę możemy
trafić na C(6,4) = 15 sposobów, ale w drugim zakładzie powtórzy się już C(5,4) = 5
kombinacji z pierwszego zakładu, co oznacza, że sprzyjających zdarzeń jest 15 + (15  5) =
25, czyli o czynnik 25/30 = 0,833... (tj. 17 %) gorzej niż dla dwóch niezależnych zakładów. I
wreszcie, dla trójek będziemy mieli C(6,3) = 20 kombinacji, ale powtórzy się C(5,3) = 10,
tzn. stracimy 10/(20 + 20)·100 % = 25 % szanas.
Tego rodzaju rozumowania prowadzą do wniosku, że te wielokrotne wygrane
niższego stopnia w grach systemowych w ogóle nie są korzyścią, lecz wyrażają fakt,
że gracz w istocie składa odpowiednią wielokrotność jednakowych zakładów
określonego typu, a zatem proporcjonalnie do tego traci na szansach. Tak więc
mówienie o korzyści jest równoważne twierdzeniu, że podwyższenie stawki
(zwielokrotnienie opłaty za zakład) jest korzystne. Oczywiście nie jest korzystne,
gdyż jak już wiemy gracze na totolotku praktycznie zawsze tracą ze swoich opłat za
grę około 50 % (60 % jeśli uwzględnimy dodatkowe opłaty na cele kultury;
pomijamy tu fakt, że wyższe wygrane obłożone są ponadto podatkiem), zaś
podwyższanie stawki nie zwiększa prawdopodobieństwa wygranej, a więc musi
prowadzić do wprost proporcjonalnie podwyższonych strat grającego.
Dalsze dane do analizy szansy uzyskania j trafień w systemach Dużego Lotka przedstawia
poniższa tabela, w której podano częstotości trafień przy skreślaniu na jednym kuponie K
liczb (zamiast normalnych sześciu). Poniżej tych wierszy podajemy (odróżnione kolorem
niebieskim) tak wyliczone częstości pomnożone przez x = C(K,6) odpowiadające krotności
zakładów zwykłych na jeden systemowy. Te wartości są pewną miarą naszej szansy
uzyskania określonej liczby trafień, j, w grze systemem.
Tab. 3: Częstości występowania przynajmniej jednej wygranej z j trafieniami
(zwykle takie trafienia oznaczajÄ… jednak wielokrotnÄ… wygranÄ…)
w grach systemem w Dużym Lotku
K x j   > 6 5 4 3 2 1
 6 1 13983816 54200,8359 1032,3969 56,6559 7,5541 2,4212
7 1997688 15854,6670 464,0390 34,8029 5,9492 2,3484
7 7 13983816 110982,6720 3248,2732 243,6205 41,6445 16,4386
8 499422 6090,5122 243,6205 23,4250 4,9316 2,3325
8 28 13983816 170534,3440 6821,3735 655,9013 138,0845 65,3102
9 166474 2774,5667 142,2855 16,8496 4,2503 2,3613
9 84 13983816 233063,5940 11951,9805 1415,3661 357,0292 198,3496
10 66589,60 1422,8547 89,8645 12,7510 3,7781 2,4288
10 210 13983816 298799,5000 18871,5469 2677,7195 793,3984 510,0418
11 30268 796,5263 60,2777 10,0463 3,4444 2,5327
11 462 13983816 367995,1560 27848,2832 4641,3804 1591,3304 1170,0958
12 15134 477,1982 42,4176 8,1805 3,2081 2,6734
12 924 13983816 440931,1560 39193,8789 7558,8188 2964,2429 2470,2024
Jak stąd widać, np. trójka w grze systemowej z 12 skreśleniami trafia się średnio raz na
8,1805 gier, co odpowiada 924·8,1805 = 7558,8188 zakÅ‚adom prostym i można porównać z
przypadkiem zwykłej gry, gdzie ta sama trójka trafia się co ok. 57 zakładów. Wiemy jednak,
że w tej grze systemowej zdarzenia nie są niezależne i dlatego jeśli padnie jakaś wygrana, to
bywa ich wiecej lub towarzyszą jej wygrane niższego stopnia. W przypadku najniższej
wygranej, trójki, będzie ich, jak wcześniej zauważyliśmy, od razu 84, tzn. średnio trójkę
trafiamy co 7558,8188/84 = 89,9859 zakładów zwykłych. Zatem w tym przypadku średnie
częstości zmalały nie tak drastycznie jak możnaby wnosić z tabeli, ale jednak o blisko 60 %: z
jednego trafienia na 57 gier (zakładów) do jednego na 90. Opierając się na wcześniejszej
dyskusji, możemy założyć, że w innych przypadkach gier systemowych Dużego Lotka, dla
mniejszej liczby skreśleń i dla wyższych wygranych, straty na szansach są mniejsze niż te 60
% częstości (co odpowiada ok. 37 % prawdopodobieństwa). Jeśli czas pozwoli, w przyszłości
wrócę jeszcze do tej ciekawej analizy.
Podsumowując możemy stwierdzić, że gry systemowe są czymś pośrednim pomiędzy zwykłą
grą i grą z podwyższoną stawką. O ile decydując się na grę z wyższą stawką całkowicie
rezygnujemy z poprawy szans trafienia liczÄ…c w zamian na proporcjonalnie do stawki
wyższe wygrane, o tyle gry systemowe poprawiają szanse trafienia, ale w mniejszym stopniu
niż w przypadku składania równoważnej liczby zakładów niezależnych od siebie.
Multi Lotek
W Multi Lotku sytuacja na pierwszy rzut oka wydaje się nieco bardziej złożona do analizy niż
w grach typu Dużego Lotka, gdyż przedsiębiorstwo losuje aż L = 20 numerów z puli (N) 80-
ciu, a gracze mogą skreślać (K) od 1 do 10-ciu. W istocie jednak można tu zastosować te
same schematy, które użyliśmy dla Dużego Lotka. Mianowicie, gracz skreślający K numerów
ma, zgodnie ze wzorem (1), C(80,K) różnych możliwości. Musimy policzyć jeszcze ile i
jakich trafień wśród tych różnych kombinacji mógłby być pewien typując w kolekturze
wszystkie C(80,K) kombinacji. Otóż j trafień z owych wylosowanych 20-tu można uzyskać
na C(20,j) sposobów. Dla każdej wygranej z j trafnymi, pozostałe skreślane numerki (w
liczbie K  j) można rozłożyć po niewylosowanych 80  20 = 60 liczbach na C(60,K j)
sposobów. Zatem każda wygrana stopnia odpowiadającego j trafnym wystąpi C(60,K j) razy,
czyli gracz razem miaÅ‚by P(80,K,j) = C(60,K j)·C(20,j) wygranych tego stopnia.
Ostatecznie, możemy sformułować prawdopodobieństwo uzyskania j trafnych numerów przy
skreślaniu K numerów w Multi Lotku jako P(80,K,j):C(80,K) czyli
C(80,K)
jeden do . (2)
C(60,K  j)·C(20,j)
Wyrażenie z prawej strony, I = C(80,K)/[C(60,K  j)·C(20,j)], mówi nam ile razy trzeba
zagrać, by uzyskać jedną tego rodzaju wygraną (tzn. j trafnych przy K typowanych). Chodzi
tu oczywiście o wartość oczekiwaną przy bardzo dużej liczbie niezależnych prób; do tej
wartości zmierzają średnie z rzeczywistych gier wyliczone zarówno dla jednego gracza, jak i
dla wszystkich uczestników gry wziętych razem.
Jeśli kolektura płaci nam za daną wygraną sumę W (np. w złotych), to w wielu grach możemy
oczekiwać średniej wygranej w wysokości W/I. Wysokość wygranej W w stosunku do
wniesionej stawki w Multi Lotku jest stała i przedstawia się tak jak podano w poniższej tabeli,
w której 'x' oznacza pomnożenie przez stawkę (obieraną przez grającego). Zwróćmy uwagę,
że z naszego punktu widzenia owo 'x' nie ma znaczenia, gdyż np. podwojenie stawki (x = 2)
przez gracza jest równoważne złożeniu w kolekturze dwóch identycznych zakładów i, chociaż
oczywiście wszystkie ewentualne wygrane wystąpią u niego podwójnie, nie zmienia to nijak
szans tego gracza względem innego, który złożył jeden zakład za podstawową stawkę,
natomiast ktoś, kto złoży dwa różne zakłady takiego samego rodzaju (choćby różniły się tylko
jednym numerem) ma dwukrotnie wyższe od tamtych dwóch graczy prawdopodobieństwo
zdobycia najwyższej wygranej (wszystkie skreślenia trafne).
Jakiego zysku z wygranych poszczególnych stopni możemy oczekiwać w praktyce.
Spodziewane średnie wygrane zawiera ta sama tabela w postaci liczb wyróżnionych kolorem
zielonym. Każda z tych liczb jest ilorazem dwóch liczb nad nią stojących, czyli wygranej W i
częstości wygrywania oznaczonej wcześniej przez nas przez I, np. 0,0112 = 100000/8911711
dla przypadku j = 10 trafień z K = 10 typowanych liczb. Wymieniona konkretna liczba 0,0112
mówi, że osoby typujące 10 numerów mogą zasadnie liczyć na odzyskanie drogą wygranych
najwyższego stopnia (10 trafnych) ok. 1/100 pieniędzy wniesionych przez siebie do gry.
Gracz zwiększający stawkę o czynnik x, efektywnie robi tylko więcej (x) jednakowych
zakładów, dlatego tabela ta pozostaje ważna również dla niego (formalnie powinniśmy
postawić x w tabeli przy wszystkich 'zielonych' liczbach; pominęliśmy ten znak jedynie dla
oszczędności miejsca).
Tab. 4: Spodziewane częstości trafień, I, wysokości wygranych, W, oraz (od)zysków graczy,
W/I.
U spodu tabeli podano też częstości występowania zera trafień, wiersz '0,'
oraz częstości wygrywania i przegrywania, wiersze 'I(W)' i 'I(P)'
j K-> 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
10 8911711 <  I liczba gier na jedno wygranie
100000x <  W wysokość wygranej [zł]
0,0112 <  W/I średni zysk gracza z 1 zakładu [zł]
9 163381,4 1380688
5000x 24000x
0,0306 0,0174
8 7384,469 30681,9 230115
260x 1000x 10000x
0,0352 0,0326 0,0435
7 620,6773 1690,11 6232,3 40979
70x 150x 300x 2500x
0,1128 0,0888 0,0481 0,0610
6 87,1126 174,839 422,53 1366,0 7752,8
6x 20x 30x 100x 600x
0,0689 0,1144 0,0710 0,0732 0,0774
5 19,4448 30,6735 54,637 115,76 323,04 1550,6
2x 4x 10x 10x 60x 330x
0,1029 0,1304 0,1830 0,0864 0,1857 0,2128
4 6,7880 8,7638 12,269 19,160 35,041 82,697 326,44
1x 1x 2x 2x 4x 10x 40x
0,1473 0,1141 0,1630 0,1044 0,1142 0,1209 0,1225
3 3,7397 4,0632 4,6558 5,7145 7,7030 11,914 23,123 72,070
1x 1x 2x 4x 26x
0,1750 0,1298 0,1679 0,1730 0,3608
2 3,3869 3,1603 3,0474 3,0613 3,2434 3,6974 4,7029 7,2070 16,632
1x 1x 8x
0,2126 0,1388 0,4810
1 5,5688 4,5317 3,7529 3,1727 2,7511 2,4650 2,3109 2,3209 2,6333 4,000
2x
0,5000
0 21,8385 15,6868 11,329 8,2254 6,0023 4,4017 3,2434 2,4009 1,7853 1,3333
I(W) 4,7175 6,5338 9,7716 4,2269 6,1888 10,344 3,8618 6,5518 16,632 4,0000
I(P) 1,2690 1,1807 1,1140 1,3099 1,1927 1,1070 1,3494 1,1801 1,0640 1,3333
R-m: 0,5089 0,4976 0,5086 0,5000 0,5071 0,5016 0,5082 0,4995 0,4810 0,5000
Typowań: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Oczywiście nie jest aż tak z
le, byśmy odzyskiwali tylko te 1,1 %, gdyż skreślając 10
numerów mamy spore szanse uzyskać wygrane niższego stopnia. I tak, jak to widać z
omawianej tabeli, za 9-ki i 8-ki zwróci się nam średnio po ponad 3 % wkładu, za 7-ki  11 %
itd., co razem złoży się na zwrot w wygranych w wysokości (podanej w przedostatnim
wierszu tabeli) ok. 51 % sumy wpłaconej na samą grę.
Z tejże tabeli widać też, że wszyscy gracze, niezależnie od tego czy przy typowaniu skreślają
jedną liczbę, czy dziesięć, mają szansę (nadzieję matematyczną) odzyskać mniej więcej ten
sam ułamek zapłaconej kwoty: połowę. Najwyraz
niej całą drugą połową dysponuje
Totalizator Sportowy, Sp. z o.o. Przyjmując stawkę podstawową w wysokości 1 zł, nasze
rachunki pokazują, że wszyscy grający odzyskują średnio ok. 50 gr na zakład, czyli około 40
% własnego wkładu (za 1 zakład w kolekturze płaci się 1 zł 25 gr, gdyż gracze są zmuszani
wpłacać dodatkowo 25 % na cele kulturalne).
 W moim pojmowaniu przyzwoitą gratyfikacją dla przedsiębiorstwa prowadzącego
usługę byłoby 10 %, ewentualnie 20 % wpłacanych sum. Może jednak jest to krzywdząca
opinia lub w swojej analizie albo wnioskach popełniam gdzieś błąd? Będę więc
wdzięczny za każdą podpowiedz
i zasadną krytykę. Proszę pisać na adres:
[e-mail].
Systemy  rozbój w biały dzień
Reguły Multi Lotka, inaczej niż w Dużym Lotku, nie przewidują tzw. systemów. Niemniej,
gracze mogą stosować swoje strategie grania składając większą liczbę zakładów i grając w
wielu kolejnych losowaniach według ustalonego z góry schematu. Często podstawą takich
strategii jest subiektywna przesłanka, że pewne liczby są 'szczęśliwsze' od innych albo, że
'chodzą' np. parami. Oczywiście, są to błędne założenia oparte na zaobserwowanej w
przeszłych losowaniach korelacji pojawiania się pewnych liczb. Gdyby takie związki
wynikające ze statystyki skończonej liczby losowań były prawidłowością, znaczyłoby to
ni mniej ni więcej tylko tyle, że maszyna losująca albo metodyka losowania ma jakąś
ukrytÄ… wadÄ™ bÄ…dz
przedsiębiorstwo prowadzące grę zapewniło sobie możliwość
manipulowania losowaniem i de facto wykorzystuje ją. Jednakże, chociaż nie można
całkowicie wykluczyć wspomnianej wadliwości czy ingerencji człowieka w wyniki
losowania, o ile mi wiadomo nie ma podstaw do takich wniosków. Krótko mówiąc, rozsądne
jest przyjęcie za pewnik iż proces losowania nie pamięta poprzednich wyników, dlatego
każde losowanie musimy traktować jako całkowicie niezależne od wszystkich
poprzednich i wszystkie liczby oraz ich kombinacje jako jednakowo prawdopodobne.
Jeśli się z tym zgodzimy, musimy uznać wszelkie systemy jako zawodne i nie dające żadnej
gwarancji sukcesu  na dłuższą metę jesteśmy zasadniczo skazani na sromotną przegraną.
Naturalnie, zgodnie z prawdopodobieństwem, będą również nieliczni wygrani szczęśliwcy,
ale nigdy nie będzie to skutkiem przemyślnej strategii gry, lecz zwykłym zdarzeniem
losowym. Zilustrujemy to przykładami.
Portal internetowy 'Serwis dla graczy lotto' zachęca do grania kilkoma systemami reklamując
je jako '100-procentowe', 'efektywne', 'gwarantujące'. Przedstawia się te systemy w sposób
wielce sugestywny, stwarzając pozory niezawodnego zysku, by namówić graczy do
znacznego zaangażowania finansowego. Jeden z tych stuprocentowych polega na wybraniu
dwóch numerów i skreślaniu ich na kolejne losowania (do 20 losowań) z coraz większą
stawką, obliczoną tak, by ewentualnie trafiona po drodze dwójka gwarantowała
zrekompensowanie (z 10  20 zł nadwyżką) dotychczasowych nakładów poniesionych od
pierwszego losowania. Ponieważ śrenia częstość, z jaką wypada dowolna para liczb, wynosi
raz na ok. 17 ciągnień, przekonująco zdaje się brzmieć zapewnienie, że w 20-u losowaniach
prawie zawsze siÄ™ pojawi. Niestety, nie jest to prawda.
Bazując na przedstawionych w Tab. 4 częstościach I, dość łatwo można obliczyć
prawdopodobieństwo, że jakaś kombinacja liczb przynajmniej raz pojawi się w zadanej
liczbie losowań, n. W tym celu musimy wyliczyć prawdopodobieństwo przeciwne  że w n
losowaniach wcale nie pojawi się nasza kombinacja, wówczas szanse na jej wystąpienie
ocenimy jako 1 minus obliczone tak prawdopodobieństwo niepojawienia się. Przy założeniu,
że każde losowanie jest niezależne od poprzednich, prawdopodobieństwo łączne wyraża się
iloczynem prawdopodobieństw każdego losowania, co można ująć w postać formuły (1 
1/I)n. Zatem w ogólności, kombinacja występująca ze średnią częstością I w n losowaniach
średnio będzie się pojawiać raz na następującą liczbę gier systemowych (z których każda
obejmuje n losowań):
1
.
(3)
1  (1  1/I)n
W Multi Lotku, każda dwójka liczb pojawia się średnio z częstością raz na I = 16,63158
losowań, co podstawione do wzoru (3) przy n = 20 daje 1,407115, czyli mniej więcej w trzech
grach tym systemem możemy zasadnie liczyć na (średnio) dwukrotne powodzenie. Co jednak
znaczy to jedno niepowodzenie wobec dwóch wygranych? Otóż wygrywając dwukrotnie
zyskujemy około 30 zł, a przegrywając tylko raz tracimy ponad 300 zł! Tak wygląda ta 100-
procentowa strategia! System ten, o ironio, to niemal 100-procentowa gwarancja wysokiej
przegranej. Ale może należałoby kończyć tę 'atrakcyjną' grę wcześniej, powiedzmy grać za
każdym razem tylko do co najwyżej 10 losowań? Wtedy oczywiście mniej przegrywamy, ale
częściej (wygrana przypada średnio raz na 2,16 gier tym systemem); już nie tracimy średnio
po ok. 100 zł na grze lecz tylko po jakieś 15  20 zł.
W innym systemie, 'trójskreśleniowym', skreśla się po trzy liczby z wybranego zestawu pięciu
liczb na 10 kuponach tak, by wyczerpać wszystkie kombinacje trójek z tej piątki liczb.
Szansa, że owe 10 zakładów przyniesie przynajmniej jedną trafną trójkę jest równa szansie
trafienia przynajmniej w trójkę w grze z jednym zakładem na pięć skreśleń czyli, jak
obliczymy z danych Tab. 4, wynosi 1:11,914 + 1:82,697 + 1:1550,6 = 1:10,344. Ze wzoru (3)
szybko się zorientujemy, że w proponowanym systemie (obejmującym n = 10 losowań z
częstością wygrywania I = 10,344) mamy szansę odnieść sukces z prawdopodobieństwem
1:1,5669 czyli około 7:11, tzn. średnio 4 pogromy (w tę grę każe się wkładać grube
pieniądze!) na 11 rozgrywek systemowych. Jeśli ktoś jeszcze sądzi, że pozostałe strategie
polecane we wskazanym portalu są rzetelniejsze i mniej go będą kosztować, niechaj próbuje.
Poniższy cytat z opisu programu Multilotek (wersja 2.0, autorzy: Aleksander Mawrow,
Edyta Szendzielorz) pokazuje, że ludzie stojący za Eureką (niewątpliwie inteligentni i
wykształceni, więc zdający sobie sprawę z tego, że jedynym zadaniem ich systemów jest
zmylenie graczy w celu wyłudzenia od nich pieniędzy) nie dość, że jawnie kpią sobie z
moralności, to jeszcze zastrzegają prawo do wyłączności na tą przestępczą (bo opartą na
fałszu i oszukiwaniu klientów) działalność.
3) Tworzenie systemów peÅ‚nych, skróconych, twardych i preferencyjnych® (absolutna
nowość)
System preferencyjny bazuje na systemie skrócony Różni się tym, że niektóre liczby
klucza są bardziej preferowane od innych, tzn. występują w kombinacjach częściej. Systemy
preferencyjne mają z góry ustaloną ilość takich liczb preferencyjnych. Ich maksymalna,
możliwa ilość w systemie zależy od ilości wybieranych liczb. Gry liczbowe istnieją w Polsce
od kilkudziesięciu lat, jednak to firma Eureka po raz pierwszy zastosowała systemy
preferencyjne. Zasady generacji systemów preferencyjnych zostały opracowane przez firmę
Eureka i firma ta ma wyłączne prawa do dysponowania nazwą "systemy
preferencyjne". Atutem systemów preferencyjnych w stosunku do systemów skróconych i
twardych ( przy takiej samej ilości wytypowanych liczb ) jest zwiększona o 80% szansa
wygrania w wypadku trafienia w typowane liczby preferencyjne, a w wypadku braku takiego
trafienia szansa wygrania jest wciąż większa niż w systemie twardym.
Wyjaśnijmy, że cała rewelacja owych systemów 'preferencyjnych' polega na
subiektywnym przypisaniu przez gracza większej wagi niektórym liczbom z wybranego
zestawu (w 'twardych' systemach wszystkie wybrane liczby w proponowanych przez firmÄ™
kombinacjach występują z taką samą częstością) co, oczywiście, nijak nie poprawia szans
wygranej! Proponuję autorom zrobienie systemu 'superpreferencyjnego', w którym
kombinacje wygenerowane systemem preferencyjnym byłyby zastępowane przez inne
utworzone całkowicie losowo ze wszystkich 80 liczb. Ten system musiałby zagwarantować,
że nowe kombinacje mają najmniejszą wzajemną korelację, co sprawi, że zwiększą się
szanse wygrania. Wtedy autorzy z czystym sumieniem mogliby zapewniać klientów, że
system 'superpreferencyjny' jest najlepszy na świecie a gwarancja nie jest tylko mydleniem
oczu. Sugeruję również zastąpienie tego tekstu (umieszczonego w Pomocy programu):
Jak grać, żeby wygrywać?
Wystarczy systematycznie używać tego programu oraz jego kolejnych wersji. Należy
używać poprawnej statystyki. Można wykorzystać bazę danych liczb na podstawie
częstotliwości występowania, częstotliwości występowania tygodniami, oraz pozostałych
opcji statystycznych.
na podobny, lecz z początkami zdań niemal zanegowanymi, ale za to zgodnie z prawdą
mówiącymi, że 'Nierozsądne jest...', 'Nie pomaga...', 'Nic nie daje...' Alternatywnie, można
zmienić tylko sam tytuł na: 'Iluzoryczne metody gry.'
Jeszcze inne systemy sprzedaje firma Eureka Systems reklamujÄ…ca siÄ™ poprzez portal lotto. Ze
wskazanej strony internetowej nie do końca można się zorientować w regułach tych
systemów, ale zasadniczo polegają one na wyborze przez gracza kilkudziesięciu liczb z puli
80-ciu i skreślaniu wielu zakładów z rozmaitymi kombinacjami wybranych liczb. Firma
gwarantuje, że jeśli gracz trafi podaną liczbę numerów, gra się mu opłaci. Na tejże stronie
przedstawia ona kilkadziesiąt przykładowych systemów  na wysoką ilość kombinacji,
przeznaczonych dla zaawansowanych graczy" (niech Czytelnik zwróci uwagę na śmieszną
frazÄ™ 'zaawansowani gracze'  zapewne za zwrotem tym kryjÄ… siÄ™ gracze 'bogaci i naiwni',
ale klientowi trzeba się podchlebić). Przykład pierwszy z brzegu wygląda tak: 10-45-1200 4 5
czwórek 15 68,00. Ten system polega więc na obraniu 45 liczb i złożeniu w kolekturze 1200
różnych zakładów po 10 skreśleń w każdym (według schematu proponowanego przez firmę) i
wówczas zapewnia się gracza, że gra mu się opłaci jeśli wśród owych 45 liczb będzie
przynajmniej 15 trafnych.
Tego, jakie sÄ… szanse trafienia przynajmniej 15 z 20 wylosowanych liczb, nie dowiemy siÄ™
jednak od producenta, gdyż jego zyski wynikają właśnie z zatajenia tej prawdy. Wzór (2)
stanowi, że j trafnych w tym systemie (odpowiadającym K = 45 skreśleniom) przydarza się
średnio raz na
I(j) = C(80,45)/[C(60,45  j)·C(20,j)]
gier, tj. ok. 32, 104, 490 itd. gier dla j równego 15, 16, 17 itd. trafień. Zsumowanie
odwrotności tych liczb, 1/I(j), dla j od 15 do 20 daje wynik 1:22,94, co znaczy iż średnio
tylko raz na ok. 23 gry zdarzy się, że trafimy przynajmniej 15 z 20 wylosowanych liczb.
Firma za dodatkową opłatę podpowie nam jednak jak skreślić jedyne 1200 zakładów z
gwarancją, która po rozwikłaniu kamuflażu autorów z Eureki oznacza że jeśli zagramy w taki
sam sposób 23 razy to być może jedna z tych gier nam się opłaci!!! Niemożliwe, by
ktokolwiek tak nabijał ludzi w butelkę  pomyśli zaskoczony Czytelnik  może na ową
stronę www zakradł się system z błędem drukarskim? Sprawdz
my zatem jeszcze kilka tych
systemów.
Analogiczny rachunek dla systemu 10-60-6000 6 13 czwórek 20 175,00 pokazuje, że tutaj
trafienie w 20 wymaganych liczb przypada raz na 843 gry, dla 10-48-200 8 5 czwórek 19
45,00 przynajmniej 19 trafnych mamy co 9157 gier, a dla 8-40-80 9 3 czwórki 17 40,00
spełniamy warunek gwarancji (przynajmniej 17 trafnych) raz na 3643 gry.
Dla graczy, którzy chcieliby ocenić swoje szanse w korzystaniu z wielu innych systemów
Eureki, sporządziłem poniższą tabelę. Zawiera ona częstości spełniania stawianego przez tę
firmę warunku gwarantowanego powodzenia w grze ich systemami, w której gracz obiera
sobie pulę K liczb i powinien trafić przynajmniej j z wylosowanych w Multi Lotku 20 liczb.
Jeśli częstości widniejące w pierwszej części tej tabeli wydają się Czytelnikowi atrakcyjne,
niechaj pamięta, że aby je uzyskać musi złożyć w kolekturze bardzo dużo zakładów. Np.,
częstość trafiania przynajmniej dziesiątki (j = 10) przy K = 20 wynosi ok. raz na 211 gier.
Aby tę częstość osiągnąć przy możliwości skreślania tylko k = 10 numerków na jednym
kuponie, trzeba do każdej gry wypełniać aż po C(K,k) = C(20,10) = 20!/[(20 10)! 10!] =
184756 kuponów  każdy z inną kombinacją numerków. Mniej kuponów trzeba wypełniać
przy skreślaniu mniejszej liczby numerów na jednym kuponie (np. dla gry piątkami trzeba
tylko C(20,5) = 15504 kuponów), ale też wygrane są odpowiednio niższe. W tej trudnej
sytuacji 'pomocną rękę' (wiadomo jednak o co tej ręce chodzi) wyciągają do nas ludzie z
Eureki. Zauważyli oni, że jeśli zdarzy się, iż w tym przykładzie trafimy np. 11 numerów z
obranych 20 (szansa: 1 wygrana na 1246 gier), będzie to znaczyć, że w owych 184756
zakładach mamy nie jedną dziesiątkę, lecz C(11,10) = 11 dziesiątek plus mnóstwo wygranych
niższego stopnia. Bazując na takich relacjach sugerują nam, jak skreślić dużo mniej niż te
przykładowe 184756 kuponów, by  tracąc wprawdzie lwią część z tych licznych
wygranych, z tym co pozostaje wyjść jednak na swoje (oczywiście, wciąż pod tym wrednym
warunkiem, że mamy szczęście w 20 obranych numerkach trafić 11 z wylosowanych).
Tab. 5: Spodziewane częstości przynajmniej j trafień (warunek powodzenia
w systemach Eureki) przy założeniu, że skreśla się (gracz wybiera) K liczb.
Częstości podano zaokrąglone do pięciu cyfr znaczących. Oznaczenie
En wyraża czynnik 10n, np. E6 to miliony, E10  dziesiątki miliardów
K | j: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 | 4,0000
2 | 2,2734 16,632
3 | 1,7138 6,5518 72,070
4 | 1,4458 3,8618 21,593 326,44
5 | 1,2940 2,7238 10,344 78,510 1550,6
6 | 1,1999 2,1281 6,1888 31,484 310,11 7752,8
7 | 1,1384 1,7755 4,2269 16,237 106,44 1321,9 40979
8 | 1,0968 1,5497 3,1533 9,7716 47,998 395,02 6067,9 230110
9 | 1,0681 1,3975 2,5053 6,5338 25,677 157,62 1600,0 30015 1380700
10 | 1,0480 1,2909 2,0860 4,7175 15,466 75,573 570,52 7059,5 160440 8911700
11 | 1,0338 1,2145 1,8008 3,6112 10,170 41,233 246,99 2268,3 33959, 931070 62,382E6
12 | 1,0238 1,1587 1,5994 2,8943 7,1559 24,779 122,73 892,38 9901,1 17866 5,9045E6
13 | 1,0167 1,1176 1,4531 2,4071 5,3147 16,056 67,663 405,83 3559,6 47551 1,0335E6
14 | 1,0116 1,0870 1,3447 2,0634 4,1248 11,054 40,478 206,03 1488,2 15699 252400
 15 | 1,0081 1,0642 1,2630 1,8137 3,3206 7,9999 25,871 114,11 698,21 6057,9 76845
16 | 1,0056 1,0471 1,2009 1,6280 2,7568 6,0368 17,467 67,835 358,97 2634,9 27467
17 | 1,0038 1,0344 1,1532 1,4875 2,3495 4,7204 12,351 42,778 198,91 1260,9 11109
18 | 1,0026 1,0250 1,1166 1,3796 2,0481 3,8060 9,0869 28,361 117,34 652,56 4959,9
19 | 1,0018 1,0180 1,0884 1,2959 1,8204 3,1516 6,9191 19,631 73,006 360,67 2402,3
20 | 1,0012 1,0129 1,0666 1,2305 1,6457 2,6713 5,4294 14,107 47,565 210,85 1246,0
21 | 1,0008 1,0092 1,0499 1,1792 1,5099 2,3112 4,3753 10,479 32,262 129,41 685,29
22 | 1,0005 1,0065 1,0371 1,1388 1,4032 2,0364 3,6102 8,0151 22,675 82,879 396,56
23 | 1,0003 1,0045 1,0274 1,1070 1,3187 1,8236 3,0426 6,2939 16,450 55,122 239,97
24 | 1,0002 1,0031 1,0201 1,0820 1,2515 1,6567 2,6135 5,0606 12,279 37,919 151,08
25 | 1,0001 1,0021 1,0146 1,0624 1,1979 1,5245 2,2838 4,1570 9,4043 26,889 98,558
26 | 1,0001 1,0014 1,0105 1,0472 1,1550 1,4190 2,0268 3,4819 7,3736 19,601 66,387
27 | 1,0001 1,0010 1,0074 1,0353 1,1208 1,3343 1,8242 2,9688 5,9066 14,652 46,037
28 | 1,0000 1,0006 1,0052 1,0262 1,0936 1,2660 1,6629 2,5728 4,8254 11,208 32,786
29 | 1,0000 1,0004 1,0036 1,0193 1,0719 1,2109 1,5335 2,2632 4,0144 8,7574 23,927
30 | 1,0000 1,0003 1,0025 1,0140 1,0548 1,1665 1,4290 2,0184 3,3961 6,9789 17,861
35 | 1,0000 1,0000 1,0003 1,0024 1,0121 1,0456 1,1366 1,3497 1,8200 2,8841 5,5228
40 | 1,0000 1,0000 1,0000 1,0003 1,0019 1,0095 1,0358 1,1087 1,2813 1,6622 2,5102
45 | 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0002 1,0013 1,0067 1,0263 1,0828 1,2211 1,5308
50 | 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0001 1,0008 1,0042 1,0176 1,0593 1,1673
60 | 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0001 1,0008 1,0048
70 | 1,0000 1,0000
K | j: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Tab. 5 (dokończenie)
K | j: 12 13 14 15 16 17 18 19 20
12 | 478,26E6
13 | 41,271E6 4065,2E6
14 | 6,6247E6 321,57E6 38910,E6
15 | 1,4911E6 47,551E6 2834,5E6 428,01E9
16 | 420240 9,9028E6 387,66E6 28,830E9 5564,1E9
17 | 139570 2,5920E6 74,950E6 3,6594E9 347,76E9 89026,E9
18 | 52629 802170 18,272E6 658,79E6 41,093E9 5178,8E9 18695E11
19 | 21973 282690 5,2827E6 149,99E6 6,9067E9 571,21E9 10150E10 57956E13
20 | 9979,0 110600 1,7436E6 40,600E6 1,4719E9 89,847E9 10475,E9 29436E11 35353E14
21 | 4864,7 47175 640410 12,576E6 373,78E6 17,959E9 1545,1E9 28485E10 16835E13
22 | 2520,2 21647 256990 4,3435E6 108,84E6 4,2866E9 290,23E9 39478,E9 15304E12
23 | 1376,4 10576 111150 1,6422E6 35,407E6 1,1753E9 65,215E9 6979,8E9 19962E11
24 | 787,54 5457,0 51271 670280 12,629E6 360,61E6 16,861E9 1478,7E9 33270E10
25 | 469,60 2954,5 25017 292240 4,8705E6 121,49E6 4,8855E9 360,98E9 66541E9
26 | 290,59 1669,5 12827 134970 2,0091E6 44,317E6 1,5565E9 98,886E9 15356E9
27 | 185,93 980,33 6872,7 65580 878990 17,313E6 537,53E6 29,821E9 3981,1E9
28 | 122,65 595,98 3831,3 33340 405040 7,1806E6 199,02E6 9,7589E9 1137,5E9
29 | 83,185 373,95 2213,6 17652 195480 3,1401E6 78,314E6 3,4272E9 353,00E9
30 | 57,886 241,52 1321,4 9696,3 98348 1,4395E6 32,519E6 1,2803E9 117,67E9
31 | 41,248 160,21 812,68 5507,5 51376 688440 14,167E6 505,08E6 41,753E9
32 | 30,047 108,92 513,76 3225,7 27773 342120 6,4433E6 209,19E6 15,657E9
33 | 22,342 75,770 333,17 1943,4 15492 176060 3,0471E6 90,516E6 6,1680E9
34 | 16,937 53,851 221,24 1201,9 8895,1 93547 1,4930E6 40,745E6 2,5398E9
35 | 13,074 39,050 150,19 761,56 5245,5 51187 755710 19,013E6 1,0885E9
40 | 4,5543 10,200 28,916 106,54 526,52 3642,8 37680 656010 25,647E6
45 | 2,2195 3,8598 8,3184 22,936 83,802 424,46 3186,5 39941 1,1153E6
50 | 1,4173 1,9819 3,3310 7,0078 19,242 72,455 401,17 3685,3 75013,
55 | 1,1190 1,3168 1,7790 2,9067 6,0532 17,020 69,671 470,16 7000,1
60 | 1,0215 1,0763 1,2258 1,5984 2,5487 5,3381 16,008 78,409 843,38
65 | 1,0014 1,0088 1,0402 1,1429 1,4309 2,2290 4,8023 16,585 124,75
70 | 1,0000 1,0001 1,0018 1,0134 1,0691 1,2690 1,9208 4,4373 21,838
75 | 1,0000 1,0006 1,0129 1,1070 1,5801 4,4017
80 | 1,0000
K | j: 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Z przeprowadzonej analizy widać, że nabywcy produktów z rzeczonego portalu Eureki, jak i
sami producenci, muszą świetnie się bawić taką grą w Multi Lotka za multi-pieniądze. O
stanie ducha ludzi z tej firmy świadczy ponadto taka oto zachęta:  wszystkim osobom, które
udzielą nam informacji gdzie można kupić nasze programy sprzedawane bez licencji,
udzielimy dużych rabatów przy zakupie programów i systemów," co (dopowiedzmy to już od
siebie gwoli prawdzie) dodatkowo jeszcze nabije sprzedawcom kiesę, a nabywcom pomoże
przegrać dowolnie dużo forsy.
Wnioski
" Totalizator Sportowy, Sp. z o.o., inkasuje ok. 50 % wpływów na zakłady.
" Gracze tracą średnio 60 % swoich opłat za grę.
" Proponowane systemy wielozakładowe nie są korzystne dla graczy, a często bywają
zwykłym oszustwem. Właśnie takie systemy propagują portale LottoMan i Eureka Systems.
Warto też zapamiętać, że zaobserwowane korelacje liczb w minionych losowaniach mają
prawo tam występować, ale nie mają żadnego wpływu na następne losowania. Tak więc,
wszelkie sugestie grania systemami, w których występuje ten element (oparty np. na
częstości losowanych kiedyś liczb bądz
ich kombinacji, czy wręcz na upodobaniach
gracza) bazują na fałszywych założeniach, nie mogą zatem być proponowane przez
uczciwych ludzi ani rzetelne instytucje.
Również samej częstości występowania kombinacji liczb obliczonej z rachunku
prawdopodobieństwa nie należy zbytnio przeceniać. Z rachunku takiego wynikają bowiem
tylko prawidłowości statystyczne słuszne dla bardzo dużych liczb (liczby losowań bądz
gier).
Np. to, że w jeden numer w Multi Lotku trafia się średnio co cztery gry (bo losuje się 1/4
wszystkich liczb puli), nie oznacza bynajmniej pewności, że w czterech kolejnych zagraniach
wystąpi takie trafienie. Tenże rachunek prawdopodobieństwa mówi konkretnie, że na
conajmniej jedną tego rodzaju wygraną w czterech kolejnych grach możemy liczyć średnio
tylko raz na 1,46 'czterogier', ale już w ciągu obejmującym 7 kolejnych gier (proponowanym
w jednym z tych niechlubnych 100% systemów, w którym jedna przegrana kosztuje gracza
ponad 1300 zł) możemy spodziewać się średnio 'tylko' jednej wpadki na 7 'siedmiogier'.
Kiedy mówimy tu 'średnio', kryje się za tym określeniem w zasadzie nieskończona liczba
prób, jednak liczebność 'bardzo duża' (tysiące, miliony) jest zwykle całkiem dobrym
przybliżeniem, ale nawet ona nigdy nie stanowi gwarancji powodzenia.
Z drugiej strony w grach losowych istnieje zawsze skończona liczba możliwości
(kombinacji), więc istnieje też sposób na rzeczywiście 100-procentowo pewną wygraną:
trzeba złożyć tyle różnych zakładów, ile jest różnych kombinacji (w Dużym Lotku prawie 14
milionów; w Multi Lotku 10 liczb można skreślić na C(80,10) = 1646492110120 sposobów,
jednak wśród nich jest aż C(20,10) = 184756 trafnych dziesiątek). Oczywiście, ten
teoretyczny sposób jest nieopłacalny (bo zawsze zapłacimy więcej niż wygramy) i
niepraktyczny. Ale loteria oferuje realną wygraną, jakkolwiek mało prawdopodobną, a
ponieważ wygrana pociąga, ludzie grali i będą grać. Cóż w tej sytuacji można rozsądnego
graczom doradzić, prócz litanii ostrzeżeń i negatywów? Kilka rzeczy można podpowiedzieć.
Rady zależeć jednak będą od tego, o co komu chodzi przed przystępowaniem do gry. Ważne
jest czy 'zawodnik' np. poluje tylko na najwyższą wygraną, czy może chciałby
zmaksymalizować szanse wygrania niższego stopnia. Jasne, że:
 O duże pieniądze lepiej grać w Dużego Lotka niż w Multi Lotka, gdyż przy
porównywalnych szansach trafienia, Duży Lotek oferuje o około rząd wielkości wyższą
wygranÄ….
 O małe pieniądze lepiej grać w Multi Lotka niż w Dużego Lotka, gdyż w Multi
wygrywamy raz na 4 do 17 gier (patrz wiersz I(W) w Tab. 4), a w Dużym tylko raz na 57
gier.
 Złożenie kilku różnych zakładów w kolekturze daje prawdopodobieństwo trafienia
kilkakrotnie większe, niż w przypadku złożenia jednego zakładu z tyleżkrotnie wyższą stawką
(opłatą).
 Chcąc wygrać w Multi Lotka np. 600 zł rozsądniej jest jednak, a wynika to z Tab. 4,
zapłacić dwukrotną stawkę i skreślić pięć numerów (szanse około 1:1550), niż wypełniać dwa
różne zakłady w grze o szóstkę (szanse trafienia 2:7750 czyli 1:3870).
 Wszystkie systemy, które oferują wielokrotne wygrane dowolnego stopnia, robią to w
większym lub mniejszym stopniu kosztem szans trafienia, zatem są zasadniczo niekorzystne
dla graczy.
 Wyniki aktualnych losowań nie mają nijakiego związku przyczynowego z częstością bądz

korelacją występowania liczb w dawniejszych losowaniach, dlatego nie warto kupować
programów typu Lotto Mania firmy Soft-System czy tych rozlicznych oferowanych przez
firmÄ™ Eureka Systems z Katowic.
 W.w. firmy podsuwają grającemu i sprzedają fałszywe nadzieje oparte o statystyki bądz

własne upodobania gracza, szermując przy tym gwarancjami, które w praktyce nic nie znaczą.
Taka działalność jest niewątpliwie amoralna, ale być może powinna być ścigana przez prawo
jako pospolite przestępstwo polegające na wyłudzaniu pieniędzy poprzez celowe
wprowadzanie klientów w błąd. Wydaje się, że ten proceder jest uprawiany już od wielu lat.
Toruń, 16 stycznia 2004 r.
(ostatnia aktualizacja 31 marca 2004 r.)
Artykuł dodany za pozwoleniem autora
Autor: dr Kazimierz M. Borkowski