Komentarz do wykładu:
Wyznaczenie odstępu geoidy od elipsoidy metodą grawimetryczną
Systemy wysokości w geodezji
Slajd 2:
Odstęp powierzchni geoidy od elipsoidy wynika z podstawowego równania geodezji fizycznej (p.r.g.f )
[1] uzupełnionego o zależność Brunsa [2]. Pierwszy wyraz p.r.g.f. to tzw. anomalia właściwa
spowodowana zakłóceniami w rozkładzie masy, drugi wyraz to wpływ niepokrycia się elipsoidy z
geoidÄ…. Dla sferycznej powierzchni ekwipotencjalnej i dowolnego stanowiska, na podstawie [1] i [2]
można wyprowadzić podobnie jak dla dla składowych odchylenia linii pionu (V-M), wzór na odstęp w
funkcji anomalii grawimetrycznej tzw.wz.Stokesa [3], gdzie: R  promieÅ„ sfery, Á - promieÅ„ wodzÄ…cy
stanowiska centrum masy bryÅ‚y (geoidy), È -odlegÅ‚ość sferyczna stanowiska od elementu
powierzchni ds. Wartość ł może być przeciętnym (średnim) przyspieszeniem na kuli ziemskiej.
Funkcja S(Á,È) jest funkcjÄ… Stokesa (analogia do funkcji V-M dla odchylenia l.p.). Wzór ten pozwala
wyznaczyć odstęp dowolnego geopa (W=const.) od sferopa (U=const.).
Slajd 3:
Założenia do wzoru Stokesa:
1. Anomalie dotyczÄ…ce geoidy zregularyzowanej, tnz. pozbawionej masy ponad poziomem
morza,
2. Geoida i elipsoida powinny mieć ten sam środek ciężkości.
3. Geoida i elipsoida powinny obejmować całą masę Ziemi.
4. (2) i (3) oznacza, że objętości obu brył muszą być jednakowe.
5. Geoida i elipsoida muszą mieć tą samą oś obrotu.
6. (W0=U0).
7. Suma przyrostów odstępów na całej powierzchni powinna być równa zeru.
Dla geopa na poziomie morza (W0=const.) czyli geoidy wystÄ™puje uproszczenie odlegÅ‚oÅ›ci Á=R
stÄ…d postać wzoru Stekesa [4] i prostsza postać funkcji Stokesa S(È). SpeÅ‚nienie wszystkich ww.
warunków jest niemożliwe dlatego opracowano kilka koncepcji wyznaczania odstępu przy
niezachowaniu niektórych warunków.
Slajd 4:
Koncepcja Pizzettiego zakłada niespełnienie warunku równości potencjałów rzeczywistego i
normalnego. Odstęp wyraża się wtedy wzorem [6]. Jeśli oprócz tego założy się niepokrywanie się
środków mas otrzymamy kolejny wzór [7]. Dodatkowy potencjał zakłócający T1 wynika własnie z
niepokrywania się środków mas. Potencjał ten musi być niezależnie wyznaczany.
Wprowadzenie w miejsce funkcji Stekesa funkcjÄ™ Helmerta [9] oraz zastÄ…pienie elementu ds. w
postaci [5] prowadzi do kolejnej postaci wzoru na odstęp w funkcji współrzędnych azymutalnych
(È,A) [8]. Jest to nadal postać N dla Ziemi kulistej, czyli przybliżona. Aby zwiÄ™kszyć dokÅ‚adność
wprowadza się poprawkę ze względu na elipsoidalny kształt Ziemi i elipsoidalny rozkład
przyspieszenia normalnego [10], gdzie: e  pierwszy mimośród elipsoidy. Wartość tej poprawki czyli
drugi składnik wzoru [10] jest rzędu maksymalnie 20 cm.
Slajd 5:
Bezpośrednie wykorzystanie wzoru Stokesa nie jest możliwe ze względu na nieznajomość anomalii na
całym obszarze powierzchni Ziemi. Stąd konieczność pewnych uproszczeń przy zastosowaniu
całkowania numerycznego. Ze względu na zależność funkcji Helmerta od odległości sferycznej to
całkowanie realizuje się w pewnych ustalonych strefach (i) dodatkowo podzielonych na sektory (j) w
myśl wzoru [11]. Anomalia Aij jest zatem średnią anomalią w danym segmencie (i,j), który jest częścią
wspólną strefy i sektora.
Ponadto z ogólnej wartości odstępu N wydziela się różne pasma częstotliwościowe: długo-, średnio i
krótkofalowe odpowiednio NGM, Nstokes, NDTM [12]. Anomalie wolnopowietrzne są zatem złożeniem
anomalii składowych poszczególnych pasm [13]. Pasmo najdłuższe dotyczy globalnego modelu
potencjału Ziemi (model geopotencjalnu GM) i jest realizowane przez rozwinięcie tego potencjału w
szereg funkcji kulistych [14], a anomalie z niego wynikające mają postać [15].
Pasmo najkrótsze wynika z wpływu rzez
by terenu, a anomalie AgDTM należy utożsamiać wprost z
poprawką topograficzną do przyspieszenia ciężkościowego (Rt) obliczoną z DTM.
Uwzględniając powyższe składowe odstępu do wzoru Stokesa należałoby wziąć anomalie
wolnopowietrzne pozbawione czynnika globalnego oraz topograficznego [16].
Slajd 6:
Dla niewielkiego obszaru całkę Stokesa można obliczyć w funkcji współrzędnych X,Y na płaszczyz
nie.
Przyjmując na podstawie [5] przybliżoną do pierwszego wyrazu postać funkcji Stokesa i upraszczając
ją do postaci [17] dla s-odległości od punktu, otrzymamy wzór na odstęp zrealizowany na niewielkim
obszarze [18]. Wartość odstępu będzie zatem ograniczona do wartości wynikającej z najbliższej strefy
ograniczonej odległością s. Błąd względny z tytułu ww. przybliżeń dla odległości rzędu 10 km nie
przekroczy 1%.
Odległość s można wyrazić w układzie prostokątnym w funkcji współrzędnych X,Y. Wtedy wzór
Stokesa przyjmie postać [19].