(Komentarz do wykładu 21)

Komentarz do wykładu:
21. Potencjał zakłócający siły ciężkości, anomalie grawimetryczne
Slajd 2:
Zależność [1] pokazuje związek między potencjałem rzeczywistej Ziemi (W) a
potencjałem jej modelu w postaci elipsoidy ekwipotencjalnej (U) w danym punkcie np. na
fizycznej powierzchni Ziemi. Do wyznaczenia W potrzebny jest oprócz obliczanego U także
tzw. potencjał zakłócający T. Rysunek: przedstawia powierzchnię elipsoidy o potencjale UQ.
W punkcie Q na elipsoidzie istnieje przyspieszenie normalne łQ. Przez punkt Q przechodzi
również linia pionu, której kierunek określa wektor �. Na wysokości N ponad elipsoidą
znajduje się powierzchnia potencjału rzeczywistego WP przechodząca przez punkt P.
Kierunek linii pionu w punkcie P określa wektor n.
Wartość potencjału normalnego w punkcie P można obliczyć na podstawie potencjału w
punkcie Q i przyrostu tego potencjału na drodze N wzdłuż linii pionu [2]. Aącząc [1] i [2]
można obliczyć wartość potencjału zakłócającego T [3]. Przekształcając [3] otrzymamy
zależność odstępu rzeczywistej i normalnej powierzchni ekwipotencjalnej w funkcji
potencjału zakłócającego [4].
Slajd 3:
Różniczkując [3] względem odstępu N w kierunku n otrzymamy przyrost potencjału
zakłócającego nazywany zaburzeniem grawitacyjnym. Rysunek: Przez punkt P z f.p.Z.
przechodzi powierzchnia ekwipotencjalna potencjału rzeczywistego WP=C1 (zwana geopem)
oraz powierzchnia ekwipotencjalna potencjału normalnego UP=C2 (zwana sferopem).
Wartości obu potencjałów są różne C1`"C2. Przez punkt P przechodzi linia pionu (żółta) w
polu normalnym prostopadła do kolejnych sferopów w tym do elipsoidy ekwipotencjalnej
U0=const. Kierunek tej linii określa wektor v. Podobnie zaznaczono linię pionu rzeczywistego
(niebieska). Jest ona prostopadła do geopów w tym do geoidy G0. Jej kierunek określa wektor
n. Na rys. zaznaczono także wysokości HO punktu P nad geoidą, oraz odstęp N geoidy od
elipsoidy. Wartość przyspieszenia normalnego w punkcie P można obliczyć wzdłuż linii
pionu od powierzchni elipsoidy tj. od punktu Q0 do P [5]. Przyspieszenie to składa się z
przyspieszenia normalnego w punkcie Q0 oraz sumy przyrostów przyspieszeń na odcinku N
oraz HO, czyli redukcji na f.p.Z.
Slajd 4:
Wstawiając zależność [5] do [4] wyznaczymy związek między przyspieszeniem
rzeczywistym i normalnym oraz potencjałem zakłócającym [6]. Część lewej strony tej
równości stanowi tzw. anomalię wolnopowietrzną AgP na fizycznej powierzchni Ziemi. Wzór
ten w postaci zależności [7] i [8] stanowi podstawę do badania kształtu geoidy względem
elipsoidy zaproponowanego przez Mołodieńskiego. Bryłą, którą wyznacza się jest
powierzchnia bliska geoidzie leżąca na wysokości ś nad elipsoidą (quasi-geoida). Inna
koncepcja badania kształtu geoidy (Stokes) polega na określeniu anomalii na geoidzie [9]. Do
jej obliczenia niezbędne są redukcje przyspieszenia rzeczywistego pomierzonego na f.p.Z.
Slajd 5:
Korzystając z zależności Brunsa [9], łączącej potencjał zakłócający T i odstęp N
geoidy od elipsoidy można przedstawić anomalię grawimetryczną na geoidzie w postaci tzw.
podstawowego równania grawimetrii [10]. Pierwszy składnik prawej strony to tzw. anomalia
właściwa spowodowana zakłóceniami w rozkładzie masy, drugi wynika z niepokrycia się
elipsoidy z geoidą. Poniżej podano postać tzw. zaburzenia grawimetrycznego [11]
wykorzystywanego w badaniach kształtu Ziemi w myśl koncepcji Mołodeńskiego i Stokesa.
Zależność ta jest w funkcji T lub N, co można zrealizować po uwzględnieniu [9].
Slajd 6:
Podstawowe równanie geodezji fizycznej można uprościć dla modelu Ziemi kulistej.
Uproszczenia [12] wynikające z definicji potencjału grawitacyjnego kuli po wprowadzeniu do
[10] dają postać równania [13], a zaburzenia grawimetrycznego [14].
Slajd 7:
Pomierzone na f.p.Z. przyspieszenie nie można bezpośrednio porównywać ze sobą.
Podobnie jak wyniki geometrycznych pomiarów geodezyjnych (np. długości) przyspieszenie
redukuje się na odpowiednią powierzchnię odniesienia. Zredukowane na powierzchnię
odniesienia geoidę przyspieszenie może być wykorzystane do interpretacji własności pola
siły ciężkości lub do badania figury Ziemi.
W myśl koncepcji Stokesa do badania figury Ziemi można zastosować tylko te redukcje,
które nie deformują geoidy tj.:
- nie zmieniają położenia geoidy, jej masy i położenia jej środka ciężkości,
- regularyzują geoidę (żadne masy nie mogą wystawać ponad geoidę).
Precyzyjne spełnienie tych warunków jest trudne do zrealizowania, ale deformację geoidy
wynikającą z redukcji można analitycznie oszacować.
Slajd 8:
Anomalię grawimetryczną zgodnie z teorią Stokesa jest różnica między pomierzonym
na f.p.Z. (g) i zredukowanym (Rg) na geoidę przyspieszeniem (g0) a przyspieszeniem
normalnym na elipsoidzie poziomowej [15]. Sposób w jaki zredukowano przyspieszenia
decyduje o rodzaju i wartości anomalii. Redukcja i anomalia wolnopowietrzna oraz Faye a
wyraża grawitacyjny wpływ wysokości punktu pomiaru przyspieszenia na wartość tego
przyspieszenia dla znanego pionowego gradientu p.s.c. Upraszczając model rzeczywisty pola
ciężkościowego do modelu normalnego w zakresie pionowego gradientu [17] otrzymamy
przybliżony wzór na redukcję wolnopowietrzną [18] dla dowolnej sferoidy, lub dla sferoidy
Helmerta (używany w Polsce model) przyjmie wygodną do obliczeń postać [19].
Slajd 9:
Uwzględnienie w redukcji wolnopowietrznej redukcji (poprawki) topograficznej
prowadzi do wzoru na tzw. redukcję Faye a [20].
Własności i interpretacja redukcji wolnopowietrznej:
-nie uwzględnia mas na drodze redukcji,
- powoduje wgniecenie tych mas pod powierzchnię odniesienia (geoidy), (równomierne
rozciągnięcie warstwy (H, �) na powierzchni geoidy tak aby H00 a gęstość takiej warstwy
wynosiła �0= �H ),- spełnia warunki koncepcji Stokesa,
- minimalnie deformuje geoidę (np. dla HmaxPolska "N < 20cm)
Dla jednorodnej kuli, której przyspieszenie g0 na powierzchni oblicza się z zależności [21]
można wyznaczyć przybliżoną wartość pionowego gradientu przyspieszenia poprzez
pochodną [22] w postaci [23]. Całkując lewą i prawą stronę otrzymamy przybliżony wzór na
przyrost przyspieszenia (redukcję) ze względu na wysokość [24].
Slajd 10:
W związku z tym, zgodnie z [15] anomalię wolnopowietrzną i Faye a oblicza się wg
zależności [25]. Zastosowanie:
- wykorzystywane do wyznaczania figury Ziemi (N) zgodnie z koncepcją Stokesa lub
obliczania odchylenia linii pionu,
- anomalie obliczane są często na drodze interpolacji anomalii Bouguere a (mapy
grawimetryczne)
Redukcja i anomalia Bouguere a wyraża grawitacyjny wpływ warstwy o znanej
grubości (H) i gęstości (�) na punkt znajdujący się na tej warstwie. Ten wpływ oblicza się
wykorzystując przyciąganie jednorodnego walca a znanych (H, �) dla jego promienia a (a
") [26]. Po wymnożeniu stałych otryzmujemy wzór na redukcję Bouguere a [27].
Slajd 11:
Własności i interpretacja redukcji Bouguere a:
- usunięcie warstwy powoduje znaczną deformację geoidy (np. dla HmaxPolska � "N < 47 m)
przez co nie nadaje się do badania figury Ziemi,
- w badaniach geofizycznych usunięcie warstwy umożliwia badania głębszych warstw,
- w badaniach geologicznych wykrywanie gęstości (mas) zakłócających ("�=� -�)
- stosowana tam łącznie z redukcją wolnopowietrzną tzw. redukcja Bouguere a-Younga [28].
- masy zakłócające w RBY zostają wtłoczone pod powierzchnię odniesienia (np. geoidę) a
zredukowane tak przyspieszenie może być porównane z przyspieszeniem normalnym.
Anomalię Bouguere a zgodnie z [15] oblicza się wg zależności [29]. Anomalie AgB
umożliwiają wyodrębnienie tzw. tła regionalnego na podstawie którego można dokonywać
ilościowej interpretacji rozkładu gęstości tj. głębokości i rozmiarów ciała zaburzającego.
Anomalie AgB wykorzystuje się do interpolacji anomalii Agwp lub AgF [30].
Slajd 12:
Anomalie AgB wykorzystuje się do interpolacji anomalii Agwp (lub AgF) zgodnie z
zależnością [31] po jej odwróceniu do postaci [32]. Przy czym AgB to stała część anomalii
wolnopowietrzenej a cH zmienna część anomalii zwana anomalią wysokościową.
Jeśli w anomalii Bouguera zawarta była redukcja topograficzna to również ona podlega
interpolacji.
Sposób interpolacji anomalii wolnopowietrznych (lub Faya):
- odczytanie w danym rejonie wartości AgB,
- obliczenie Agwp na podstawie AgB,
- interpolacja wartości Agwp miedzy punktami.
Slajd 13:
Redukcja Poincarego-Preya. Etapy redukcji:
- wygładzenie terenu wokół stanowiska pomiaru przyspieszenia (RT),
- usunięcie przyciągania płyty (RgB),
- zredukowanie przyspieszenia na przyjęty poziom odniesienia (Rgwp),
- przywrócenie przyciągania płyty (RgB),
- odtworzenie zróżnicowanej rzezby terenu (R T).
Całość tej złożonej redukcji przedstawia ogólnie wzór [33] lub w postaci do obliczeń [34].
Własności i interpretacja redukcji Poincarego-Preya:
- umożliwia obliczenie przyspieszenia w miejscu niedostępnym dla jego bezpośredniego
pomiaru,
- nie regularyzuje geoidy nie jest przydatna dla potrzeb wyznaczenia jej kształtu,
- wykorzystywana do obliczania poprawek grawimetrycznych w systemach niwelacyjnych,
oraz opracowania pomiarów grawimetrycznych wykonanych w kopalniach, szybach
wiertniczych i na morzu.
Slajd 14:
Zastosowanie anomalii grawimetrycznych do wyznaczania odchylenia linii pionu.
Rysunek. Na czarno powierzchnia geoidy i kierunek linii pionu w punkcie P0 na geoidzie. Na
niebiesko powierzchnia elipsoidy ekwipotencjalnej oraz normalna do niej przechodząca przez
P0. Między normalną i linią pionu w punkcie P0 zaznaczono niewielki kąt Ś - odchylenia linii
pionu od normalnej. Cienką czarną linią zaznaczono powierzchnię elipsoidy przesuniętą
równolegle do punktu P0. Kąt między tą przesuniętą powierzchnią elipsoidy a geoidą jest
również kątem odchylenia linii pionu od normalnej Ś. Kat ten można obliczyć ze związku
[35] gdzie dN niewielki odstęp między nachylonymi do siebie ww. powierzchniami na
odległości minimalnej ds. Znak - odpowiada za różny znak przyrostu kąta w zależności od
przyrostu odstępu ale liczonego od równoległej do elipsoidy. Ten przyrost odbywa się
przeciwnie do kierunku liczenia wysokości ( od powierzchni elipsoidy w górę ).
Związki [36] i [37] przedstawiają składowe kąta Ś, czyli rzuty tego kata odpowiednio na
płaszczyznę południka (składowa południkowa �) oraz na płaszczyznę I wertykału (ą=90�)
składowa poprzeczna �. Odległość ds oblicza się z łuku kołowego: w płaszczyznie południka
to łuk południka, w płaszczyznie I wertykału to w przybliżeniu łuk równoleżnika.
Aącząc zależność [35] z [36] i [37] otrzymujemy wzory różniczkowe na składowe odchylenia
"N "N
linii pionu na geoidzie [38] i [39]. Do ich realizacji potrzebne są składniki:
i
"� "
Slajd 15:
Do obliczenia składowych odchylenia l.p. wykorzystuje się wartości anomalii
grawimetrycznych. Rysunek: przedstawia element powierzchni d� położony w pobliżu
punktu P. Położenie takiego elementu łatwo wyrazić za pomocą współrzędnych biegunowych
na kuli: ą,�. Związek między współrzędnymi geograficznymi punktu (�,) i elementu (� , )
znajdziemy po rozwiązaniu trójkąta sferycznego (P,B,d�) wzór cosinusowy dla �.
"N "N
Następnie różniczki
i
"� "
oraz element powierzchni sfery d� wyraża się w funkcji odległości sferycznej � i azymutu ą
[40]. Różniczkując ww. wzór cosinusowy względem � i otrzymujemy zależności [41].
Podstawienia wzorów [38] i [39] oraz [40] i [41] w powiązaniu z podstawowym równaniem
geodezji fizycznej umożliwiło opracowanie wzorów na składowe odchylenia linii pionu w
zależności od anomalii grawimetrycznych [42] zwanych wzorami Veniga-Meinesza (V-M).
We wzorach tych wydziela się pewien składnik funkcję podcałkową Q(�) [43]. Wzór V-M
wymaga sumowania anomalii po całej powierzchni sfery (Ziemi). Praktyczne jego
zastosowanie sprowadza się do podziału obszaru całkowania na strefy. Możliwe są też jego
uproszczenia dla mniejszych obszarów.
Slajd 16:
Obliczenia składowych o.l.p. możliwe jest poprzez podział obszaru całkowania na strefy i
sektory. W związku z tym możliwe są pewne uproszczenia wynikające głównie z wpływu
odległości używanej anomalii na wartość odchylenia w danym punkcie. To z kolei upraszcza
funkcję V-M i tym samym ułatwia obliczenie całki. Rozpatrywane są 3 przypadki:
1. dla strefy dalekiej czyli gdy �>10� gdy należy używać pełnej postaci funkcji V-M,
2. dla strefy bliskiej czyli gdy � po wyrażeniu w postaci odległości r zawiera się w
granicach maksymalnie do 1000 km wtedy funkcję Q(�) sprowadza się do prostej
postaci sumy Q1(r),
3. dla strefy centralnej czyli gdy odległość r zawiera się w granicach maksymalnie do 5
km wtedy funkcję Q(�) sprowadza się do postaci jednego składnika QC(r),
Wzory V-M na składowe odchylenia l.p. w strefie centralnej po powyższym uproszczeniu
przyjmują postać [44]. Należy pamiętać, że całkowitą wartość odchylenia linii pionu można
otrzymać jedynie poprzez zsumowanie anomalii z każdej z ww. stref. Podział na strefy
umożliwia jednak używanie anomalii uśrednionych zwłaszcza dla stref dalszych, co łatwiej
zrealizować w praktyce.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
(Uzupełniający komentarz do wykładu 11)
Miernictwo Komentarz do wykładów cz3
Miernictwo Komentarz do wykładów cz1
Miernictwo Komentarz do wykładów cz2
Materiały do wykładu 3 (21 10 2011)
(Komentarz do wykładu 31 1 6)
(Komentarz do wykładu 41)
Wykład nr 02 Analiza komentarzy do EC Wojciech Średniawa
notatki do wykładów dla kursantów
Komentarze do strategii walki z rakiem w Polsce
materiały dydaktyczne do wykładów
Analiza Wykład 3 (21 10 10)
wyklad 21
Prawo Jazdy w OSK3 Materiały do wykładów6

więcej podobnych podstron