12.01.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Z odcinka 0,1 wybieramy losowo punkt X1. Następnie z odcinka 0, X1 wybieramy
losowo punkt X , z odcinka 0, X - punkt X i tak dalej. Oblicz współczynnik
2 2 3
zmienności otrzymanego w n -tym kroku punktu X , czyli
n
Var X
n
E X
n
n
(A) 2 / 3 - 1/ 3
n
(B) 3/ 4 +1
n
(C) 4 / 3 -1
(D) 3n2 - 4n
(E) 1/ 3 dla każdego n 1
Wskazówka: Zmienna X jest iloczynem niezależnych zmiennych losowych.
n
1
 12.01.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
W urnie znajduje się 20 kul, na każdej z nich jest narysowana litera i cyfra. Mamy:
" 8 kul oznaczonych A1
" 4 kule oznaczone A2
" 6 kul oznaczonych B1
" 2 kule oznaczone B2
Losujemy bez zwracania 10 kul. Niech N oznacza liczbÄ™ wylosowanych kul,
A
oznaczonych literÄ… A, zaÅ› N1 - liczbÄ™ wylosowanych kul, oznaczonych cyfrÄ… 1. Oblicz
E N1 | N .
A
2
(A)
3
2
(B) N
A
3
1 3
(C) - N +
A
12 4
1 3
(D) N +
A
12 5
1 15
(E) - N +
A
12 2
2
 12.01.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
O zmiennych losowych X i Y wiemy, że 0 Y X , Pr(X = 0) = 0 ,
X 1 1
2
E Y | X = i Var Y = Var X + E X .
2 2 4
Z tych założeń wynika, że
(A) Pr(Y = 0) = 0
(B) Rozkład warunkowy zmiennej Y dla danego X x jest jednostajny na
przedziale 0, x
1
(C) Pr Y = X =
2
X
(D) Y =
2
1
2 2
(E) E Y d" E X
4
Wskazówka: Każdy rozkład prawdopodobieństwa na przedziale 0, x o wartości
oczekiwanej x / 2 ma wariancjÄ™ nie przekraczajÄ…cÄ… x2 / 4 .
3
 12.01.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Wybieramy losowo i niezależnie punkty P1, P2 , P3, P4 z pewnego okręgu. Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, że cięciwy P1P2 i P3P4 przecinają się.
(A) 3/4
(B) / 8
(C) 1/2
(D) 1/3
(E) 1/
4
 12.01.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
O zmiennych losowych X i X1 zakładamy, że: E X = E X1 = 0 ,
0 0
Var X = Var X1 = 1 i Cov X , X1 = , gdzie 0 < < 1. Niech
0 0
X1 = X + W .
0
Rozważamy zmienne losowe postaci
t
= zX1 + (1- z)X ,
0
interpretowane jako predyktory nieobserwowanej zmiennej W . Znalez
ć
współczynnik z* , dla którego błąd średniokwadratowy
2
E t
-W
jest minimalny.
(A) z* = 1+
2
2
(B) z* = 1+
2
1
(C) z* =
2
(D) z* = 1
2
(E) z* = 1-
2
5
 12.01.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Wykonujemy rzuty monetą aż do otrzymania po raz pierwszy sekwencji dwóch
jednakowych wyników (tj. OO lub RR) w dwóch kolejnych rzutach. Oblicz wartość
oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
(A) 6
(B) 2
(C) 4
(D) 3
(E) 5
6
 12.01.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
2
Załóżmy, że X1,..., X jest próbką z rozkładu normalnego N , z nieznanymi
n
2
parametrami. Rozważmy (nieobciążony) estymator wielkości dany wzorem
2
2 S
2
= X - ,
n
n n
1 1
2 2
gdzie X = X i S =
" i "(X - X )2 . Oblicz Var .
i
n n -1
i 1 i 1
4 2
2 2 2
(A) +
n n(n -1)
4
2 2
(B)
n
4 2
2 2 4
(C) +
n n -1
4 2
2 2 4
(D) +
n n(n -1)
4 2
2 2 4
(E) +
n2 n(n -1)
7
 12.01.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Załóżmy, że X1,..., X jest próbką z rozkładu normalnego N ,1 z nieznanym
n
2
parametrem i znanÄ… wariancjÄ… = 1. Znalez
ć najmniejsze n , dla którego istnieje
test hipotezy
H0 : = 10.0
przeciwko alternatywie
H1 : = 10.1
na poziomie istotności 0.05 o mocy przynajmniej 0.50 .
(A) n 13
(B) n 271
(C) n 28
(D) n 17
(E) n 100
8
 12.01.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
2
Załóżmy, że X1,..., X jest próbką z rozkładu normalnego N , z nieznanymi
6
parametrami. Zadanie polega na zbudowaniu jednostronnego przedziału ufności dla
2
wariancji . Żądany poziom ufności jest równy 1 0.99 . Rozpatrzmy dwie
metody:
" Metoda S jest standardowa: budujemy przedział postaci 0,GS , gdzie
2
5S
2
GS = , ( S oznacza nieobciążony estymator wariancji, zaś c jest
c
2
odpowiednim kwantylem rozkładu ).
" Metoda N polega na podziale próbki na dwie części. Podpróbkę X1, X , X
2 3
wykorzystujemy do zbudowania przedziału ufności 0,G123 , zaś podpróbkę
X , X , X - do zbudowania przedziału ufności 0,G456 . Oba te przedziały
4 5 6
obliczamy niezależnie, w standardowy sposób, przyjmując poziom istotności
1- = 0.90 . Ostatecznie, naszym przedziałem ufności jest
0,GN , gdzie GN = max G123,G456 .
Porównaj średnie długości przedziałów otrzymanych obiema metodami.
(A) E GN = 1.93E GS
(B) E GN = 0.93E GS
(C) E GN = E GS
(D) E GN = 1.58E GS
2
(E) Stosunek E GN / E GS zależy od nieznanej wariancji
Wskazówka: Jeśli W1 i W2 są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
rozkładzie wykładniczym, to E max W1,W2 = 1.5 E(W1) .
9
 12.01.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Załóżmy, że zmienne losowe X1, X ,... są niezależne i mają jednakowy rozkład
2
wykładniczy o gęstości
Å„Å‚
e x dla x > 0;
f (x) =
òÅ‚
0 dla x < 0.
ół
Zmienne losowe X1, X ,... określamy wzorem
2
X
Å„Å‚ - a Å" E X dla X > a Å" E X ;
i i i i
X =
òÅ‚0
i
dla X d" a Å" E X .
ół i i
Zmienna losowa N ma rozkład Poissona o wartości oczekiwanej i jest niezależna
od X1, X ,... .
2
N N
Niech S = X ; S = X .
" i " i
i 1 i 1
Dobrać liczbę a 0 tak, żeby Var S = 0.36 Var S .
(A) 2.000
(B) 0.1233
(C) 5.5300
(D) 1.0217
(E) 1.6094
10
 12.01.2002 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 12 stycznia 2002 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Arkusz odpowiedzi*
ImiÄ™ i nazwisko ....................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ..............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr Odpowiedz

Punktacja
1 C
2 E
3 C
4 D
5 A
6 D
7 D
8 B
9 D
10 D
*
Arkuszu odpowiedzi.
11