Prawdopodobieństwo i statystyka 12.10.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1
Rozważmy następującą, uproszczoną wersję gry w ,,wojnę  . Talia składa się z 52 kart.
Dobrze potasowane karty rozdajemy dwóm graczom, każdemu po 26 i układamy w dwie
kupki. Gracze wykładają kolejno po jednej karcie z wierzchu swojej kupki i sprawdzają
wysokość obu kart. Jeśli obie wyłożone karty są równej wysokości (dwa asy lub dwa króle
itd.) to mówimy, że następuje wojna. Po sprawdzeniu, obie karty odkładamy na bok i nie
biorą już one udziału w dalszej grze. Powtarzamy tę procedurę 26 razy; gra kończy się, gdy
obaj gracze wyłożą wszystkie karty.
Oblicz wartość oczekiwaną liczby wojen.
26
(A)
17
52
(B)
17
(C) 4
52 Å" 51Å" 50 Å" 49
(D)
44 Å"13Å"12 Å"11Å"10
13 12 11 2 1
(E) + + + ... + +
52 51 50 41 40
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 12.10.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2
Niech W1,W2 ,W3 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
wykładniczym o gęstości
Å„Å‚
 e- w dla w e" 0;
f (w) =
òÅ‚
0 dla w < 0.
ół
Oblicz medianÄ™ zmiennej losowej
W1
.
W2 + W3

(A) med =
 +1
2
(B) med =
2
(C) med = 2 -1
2
(D) med =
3
1
(E) med =
2
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 12.10.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3
Załóżmy, że K oznacza liczbę sukcesów w n próbach Bernoulliego z nieznanym
prawdopodobieÅ„stwem sukcesu ¸ , czyli
n
ëÅ‚ öÅ‚
k
Pr(K = k) = ìÅ‚ ÷Å‚¸ (1-¸ )n-k .
ìÅ‚k ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Rozważmy estymator parametru ¸ postaci
a + K
¸Ć = .
b + n
Niech n = 16 . Przypuśćmy, że dodatnie liczby a i b dobrane zostały tak, że funkcja ryzyka
estymatora,
R(¸ ) = E¸ [(¸Ć -¸ )2 ]
jest funkcjÄ… staÅ‚Ä…, czyli R(¸ ) = R dla każdej wartoÅ›ci parametru ¸ .
Jeśli stwierdzisz, że a i b można tak dobrać, podaj liczbę R .
1
(A) R =
64
1
(B) R =
16
1
(C) R =
100
(D) nie istnieją takie liczby a i b dla których ryzyko jest stałe
1
(E) R =
4
3
Prawdopodobieństwo i statystyka 12.10.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4
Wiemy, że zmienne losowe X1, X ,..., X ,..., X są niezależne i mają jednakowy rozkład
2 m n
2
prawdopodobieÅ„stwa. ZakÅ‚adamy, że 1 < m < n i znamy Var(X ) = à . Niech
i
Sm = X1 + X + ... + X i. Sn = X1 + X + ... + X + ... + X .
2 m 2 m n
Oblicz E Var(Sm | Sn ) .
m
2
(A) E Var(Sm | Sn ) = Ã
n
m
2
(B) E Var(Sm | Sn ) = Ã
n +1
(C) podane informacje nie wystarczajÄ… do obliczenia E Var(Sm | Sn )
n -1
2
(D) E Var(Sm | Sn ) = m Ã
n
n - m
2
(E) E Var(Sm | Sn ) = m Ã
n
4
Prawdopodobieństwo i statystyka 12.10.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5
Załóżmy, że X ,Y są zmiennymi losowymi o łącznym rozkładzie normalnym,
E(X ) = E(Y ) = 0 , Var(X ) = Var(Y ) = 1 i Cov(X ,Y ) = Á .
Oblicz Var(XY ) .
2
(A) Var(XY ) = 1+ Á
2
(B) Var(XY ) = 1 + 2Á
2
(C) Var(XY ) = 1- Á
(D) Var(XY ) = 1
2
(E) Var(XY ) = (1+ Á )2
5
Prawdopodobieństwo i statystyka 12.10.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6
Załóżmy, że X1,..., X jest próbkÄ… z rozkÅ‚adu normalnego N(µ,1) , zaÅ› Y1,...,Y9 jest próbkÄ… z
4
rozkÅ‚adu normalnego N(µ,22 ) . Niech
4
1
X = X będzie średnią z pierwszej próbki;
" i
4
i=1
9
1
Y = będzie średnią z drugiej próbki.
"Yi
9
i=1
(Wariancja jest dla obu próbek znana, zaÅ› µ jest nieznane).
Znajdz
takie liczby r i d , żeby przedział
[r X + (1- r)Y - d, rX + (1- r)Y + d]
byÅ‚ przedziaÅ‚em ufnoÅ›ci dla µ na poziomie ufnoÅ›ci 1-Ä… = 0.95 i przy tym dÅ‚ugość tego
przedziału ( 2d ) była najmniejsza.
(A) r = 0.47, d = 0.980
(B) r = 0.69, d = 1.022
(C) r = 0.50, d = 0.888
(D) r = 0.53, d = 1.960
(E) r = 0.64 , d = 0.784
6
Prawdopodobieństwo i statystyka 12.10.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7
Niech X1, X ,..., X będzie próbką z rozkładu prawdopodobieństwa Pareto o dystrybuancie
2 n
Å„Å‚1- 1
dla x e" 1;
ôÅ‚
ôÅ‚
x¸
F¸ (x) =
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
0 dla x < 1.
ół
PrzyjmujÄ…c bayesowski punkt widzenia, przyjmujemy, że nieznany parametr ¸ jest zmiennÄ…
losową o rozkładzie a priori wykładniczym, z gęstością
Å„Å‚
 e-¸ dla ¸ e" 0;
Ä„ (¸ ) =
òÅ‚
0 dla ¸ < 0.
ół
Oblicz bayesowski estymator parametru ¸ , czyli wartość oczekiwanÄ… a posteriori:
¸Ć = E(¸ | X1,..., X ) .
n
n +1
(A) ¸Ć =
+ 
"ln X i
+ 
"ln X i
(B) ¸Ć =
n
n +1
(C) ¸Ć =
X + 
" i
n + 
(D) ¸Ć =
1+ X
"ln i
n + 
(E) ¸Ć =
X + 
" i
7
Prawdopodobieństwo i statystyka 12.10.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8
2
Niech Ç0.1(n) oznacza kwantyl rzÄ™du 0.1 rozkÅ‚adu chi-kwadrat z n stopniami swobody
(liczbę, od której zmienna losowa o rozkładzie chi-kwadrat jest mniejsza z prawdopodo-
bieństwem 0.1).
Oblicz
2
Ç0.1(n) - n
g = lim .
n"
n
(z dokładnością do 0.01).
(A) g = 1.81
(B) g = -1.28
(C) g = -1.81
(D) g = -2.56
(E) granica nie istnieje
8
Prawdopodobieństwo i statystyka 12.10.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9
Niech X1,..., X10 będzie próbką z rozkładu prawdopodobieństwa o gęstości
Å„Å‚
¸ x¸ -1 dla 0 < x < 1;
f¸ (x) =
òÅ‚
ół0 w przeciwnym przypadku.
Rozważmy test jednostajnie najmocniejszy hipotezy H0 :¸ = 1 przeciwko alternatywie
H1 :¸ > 1 na poziomie istotnoÅ›ci Ä… = 0.01. Dla jakich wartoÅ›ci parametru ¸ ten test ma moc
nie mniejszą, niż 0.99 ?
(Podaj wynik z dokładnością do 0.01).
(A) moc e" 0.99 wtedy i tylko wtedy, gdy ¸ e" 4.55
(B) moc e" 0.99 wtedy i tylko wtedy, gdy ¸ e" 9.07
(C) nie istnieje takie ¸ > 1, dla którego test ma moc e" 0.99
(D) moc e" 0.99 wtedy i tylko wtedy, gdy ¸ e" 4.61
(E) moc e" 0.99 wtedy i tylko wtedy, gdy ¸ e" 8.09
9
Prawdopodobieństwo i statystyka 12.10.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10
Rozważmy następujący schemat urnowy:
W każdej z 10 urn znajdują się 2 kule, oznaczone liczbami:
" W urnie 1 znajdujÄ… siÄ™ 2 kule oznaczone liczbÄ… 1,
" w urnie 2 znajdujÄ… siÄ™ 2 kule oznaczone liczbÄ… 2,
" ..................................................................
" w urnie 10 znajdujÄ… siÄ™ 2 kule oznaczone liczbÄ… 10.
Losujemy kulę z urny 1 i przekładamy ją do urny 2. Następnie (po wymieszaniu kul)
losujemy kulę z urny 2 i przekładamy do urny 3, itd., kulę wylosowaną z urny 9 przekładamy
do urny 10, wreszcie losujemy kulę z urny 10. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta ostatnia
wylosowana kula ma numer większy, niż 6 ?
7
(A)
10
80
(B)
81
7
(C)
11
241
(D)
243
77
(E)
81
10
Prawdopodobieństwo i statystyka 12.10.2002 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 12 paz
dziernika 2002 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Arkusz odpowiedzi*
ImiÄ™ i nazwisko .................... K L U C Z O D P O W I E D Z I .........................
Pesel ...........................................
Zadanie nr Odpowiedz

Punktacjaf&
1 A
2 C
3 C
4 E
5 A
6 E
7 A
8 C
9 A
10 B
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
f&
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11