Projekt współfinansowany przez
UniÄ™ EuropejskÄ… w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne opracowano do realizacji projektu
 Program Rozwojowy Potencjału Dydaktycznego Politechniki Świętokrzyskiej w Kielcach: kształcenie na miarę sukcesu 
Umowa UDA-POKL.04.01.01-00-175/08-00
Maszyny elektryczne  wykład multimedialny
Autorzy:
Prof. dr hab. inż. Roman Nadolski
Dr inż. Jan Staszak
Dr inż. Krzysztof Ludwinek
Mgr inż. Zbigniew Gawęcki
Lata realizacji 2008-2011
SPIS TREÅšCI
1. Ogólne wiadomości o maszynach elektrycznych, podstawy
elektromagnetyzmu
1.1 Pole magnetyczne
1.2 Indukcja magnetyczna, strumień magnetyczny, natę\
enie pola magnetycznego
1.3 Materiały magnetyczne
1.4 Podstawowe prawa obwodu magnetycznego
1.5 Indukcyjność własna i wzajemna
1.6 Indukcja elektromagnetyczna
1.7 Energia pola magnetycznego
LITERATURA
1. Ogólne wiadomości o maszynach elektrycznych, podstawy
elektromagnetyzmu
1.1 Pole magnetyczne
Zasada działania maszyn elektrycznych i transformatorów opiera się na istnieniu pola
magnetycznego. Pole magnetyczne mo\
e być wytworzone za pomocą magnesów trwałych
(rys.1a) lub za pośrednictwem prądu elektrycznego płynącego w przewodniku (rys.1b).
a)
b)
Rys.1. Pole magnetyczne: a) magnesu trwałego, b) przewodu prostoliniowego.
Zwrot linii pola magnetycznego wokół przewodnika prostoliniowego zale\
y od zwrotu
płynącego prądu i określamy go za pomocą reguły śruby prawoskrętnej.
Zgodnie z tą regułą, je\
eli zwrot prądu płynącego w przewodniku prostoliniowym jest zgodny
z posuwem śruby to kierunek obrotu śruby wyznacza zwrot linii pola magnetycznego.
Na rys.2a przedstawiono obraz linii pola magnetycznego wytworzony przez prÄ…d elektryczny
płynący w cewce (solenoidzie).
a) b)
Rys. 2. Obraz linii pola magnetycznego wytworzony przez prąd elektryczny płynący w
cewce (solenoidzie).
Ten koniec cewki z którego linie pola magnetycznego wychodzą na zewnątrz, stanowi biegun
północny N, natomiast koniec cewki do którego linie wchodzą jest biegunem południowym S.
Linie pola magnetycznego wewnÄ…trz cewki sÄ… skierowane od bieguna S do bieguna N. Zwrot
linii pola wewnątrz cewki określa się za pomocą reguły prawej ręki (rys. 2b).
Zgodnie z tą regułą prawą rękę nale\
y poło\
yć na cewce tak, aby cztery palce obejmujące
cewkę były skierowane zgodnie z prądem to odchylony du\
y palec wskazuje zwrot linii pola
magnetycznego wewnÄ…trz cewki.
1.2 Indukcja magnetyczna, strumień magnetyczny, natę\
enie pola magnetycznego
Podstawową wielkością charakteryzującą pole magnetyczne jest strumień magnetyczny.
Miarą strumienia jest liczba linii pola przenikająca określoną powierzchnię. Natomiast liczbę
linii pola magnetycznego przypadającą na jednostkę powierzchni prostopadłą do tych linii
nazywamy indukcją magnetyczną. Wartość strumienia magnetycznego przenikającego
powierzchnię S określa zale\
ność
Åš = (1)
+"BdS
S
gdzie: B  wektor indukcji magnetycznej, S  powierzchnia całkowania
JednostkÄ… strumienia jest weber (1Wb = 1Vs), natomiast jednostkÄ… indukcji jest tesla
(1T=1Wb/m2). Do opisu pola magnetycznego oprócz wektora indukcji magnetycznej B
wprowadza się pojęcie wektora natę\
enia pola magnetycznego H. JednostkÄ… natÄ™\
enia pola
magnetycznego jest A/m. Związek między natę\
eniem pola magnetycznego a indukcjÄ…
magnetyczną określa zale\
ność
B = µH (2)
gdzie: µ jest przenikalnoÅ›ciÄ… magnetycznÄ…, przy czym
µ = µ0µr (3)
We wzorze (3) µ0 jest przenikalnoÅ›ciÄ… magnetycznÄ… bezwzglÄ™dnÄ… pró\
ni a µr jest
przenikalnością względną zale\
ną od rodzaju środowiska. Przenikalność magnetyczna pró\
ni
wynosi: µ0 = 4Ä„Å"10-7 H/m.
1.3 Materiały magnetyczne
Materiały magnetyczne charakteryzują się zdolnością do porządkowania ich cząsteczek lub w
przypadku czystych stopów atomów (tzw. drobin lub domen) pod wpływem zewnętrznego
pola magnetycznego.
Domeny w materiałach magnetycznych przed działaniem zewnętrznego pola magnetycznego
charakteryzujÄ… siÄ™ nieuporzÄ…dkowanÄ… strukturÄ…, co obrazuje rys. 3.
Rys. 3. Rozkład domen w materiałach magnetycznych.
Stopniowa zmiana kierunku namagnesowania w granicach domen nieuporzÄ…dkowanych
widoczna jest na rys. 4. Granica domen jest to taki obszar o szerokości około 100 średnic
atomowych, w którym kierunek namagnesowania zmienia się stopniowo a\
do 180°.
Rys. 4. Stopniowa zmiana kierunku namagnesowania w granicach domen.
Pod wpływem silnego pola magnetycznego (natę\
enia pola H) domeny te ulegajÄ…
uporzÄ…dkowaniu. Przy natÄ™\
eniu zwanym natÄ™\
eniem nasycenia ju\
wszystkie domeny
ulegają uporządkowaniu co obrazuje rys. 5. Dalsze zwiększanie pola magnetycznego ju\
nic
nie zmienia w strukturze wewnętrznej. Stan taki nosi nazwę nasycenia.
Rys. 5. Wpływ silnego pola magnetycznego- stan nasycenia.
Materiały magnetyczne często opisuje się za pomocą szeregu parametrów, które widoczne są
na rys. 6 przedstawiajÄ…cym charakterystykÄ™ magnesowania B=f(H):
" µmax  maksymalna przenikalność magnetyczna,
" µi poczÄ…tkowa przenikalność magnetyczna,
" NatÄ™\
enie pola powściągające powodujące nasycenie (saturację)Hc,
" Indukcja nasycenia pola Bs,
" Remanencję (pozostałość szczątkową po zewnętrznych zmianach pola magnetycznego)
Br.
Rys. 6. Charakterystyka magnesowania.
Materiały magnetyczne wykazują tzw. zjawisko histerezy. Histereza to zjawisko
nieodwracalne, polegajÄ…ce na:
" łatwych i nietrwałych zmianach indukcji magnetycznej pod wpływem zewnętrznego
pola magnetycznego i charakteryzujące się wąską pętlą histerezy  takie materiały
nazywa się magnetycznie miękkie,
" trudnych i trwałych zmianach indukcji magnetycznej pod wpływem zewnętrznego
pola magnetycznego i charakteryzujące się szeroką pętlą histerezy  takie materiały
nazywa siÄ™ magnetycznie twarde.
Blacha elektrotechniczna to taki rodzaj blachy, który posiada właściwości materiału
magnetycznie miękkiego.
W elektrotechnice blachy produkuje się w ró\
nych grubościach od 0.7 mm (blachy
izotropowe) do 0.23 mm (blachy anizotropowe).
Rys. 7. Charakterystyki magnesowania dla materiałów magnetycznie miękkich i twardych.
W praktyce własności magnetyczne materiałów ferromagnetycznych określa się za pomocą
przenikalności magnetycznej maksymalnej i początkowej. Ponadto w danym punkcie mo\
na
wyznaczyć przenikalność statyczną oraz w ka\
dym przedziale zmian natÄ™\
enia pola mo\
na
wyznaczyć przenikalność dynamiczną. Powy\
sze przenikalności zilustrowane są na
wykresach.
Rys. 8. Przenikalność magnetyczna początkowa, maksymalna, statyczna i dynamiczna.
Przebieg zmian indukcji dla ró\
nych wymuszeń zmian natę\
enia pola obrazuje
charakterystyka normalna magnesowania (inna nazwa  komutacyjna)
Rys. 9. Charakterystyka magnesowania komutacyjna.
Materiały magnetycznie miękkie
Blacha elektrotechniczna jest to specjalny rodzaj blachy zoptymalizowanej tak, aby osiągnąć
jak najlepsze własności magnetyczne. Stąd jej głównym składnikiem jest \
elazo (powy\
ej
93%) z dodatkami taki jak, krzem, który zwiększa rezystywność blachy elektrotechnicznej, a
więc po zło\
eniu dowolnej maszyny elektrycznej z takich blach znacznie ograniczy siÄ™ prÄ…dy
wirowe (w przeciwieństwie do stali konstrukcyjnych, węgiel w stopach wykorzystywanych w
elektrotechnice jest dodatkiem niepo\
ądanym i jego zawartość jest znacznie redukowana do
mo\
liwie najni\
szych wartości). Ponadto krzem ułatwia wytwarzanie struktury
polikrystalicznej - zorientowanej, która znacznie poprawia anizotropowe własności
magnetyczne blachy. W zale\
ności od ilości krzemu wytwarza się blachy elektrotechniczne
izotropowe (tanie), gdzie zawartość krzemu jest zazwyczaj niewielka (mniej ni\
1 %)
natomiast w blachach anizotropowych (dro\
szych) najczęściej jest to około 3 %. Wzrost
zawartości krzemu w blachach elektrotechnicznych spowoduje nieznaczny spadek wartości
nasycenia magnetycznego Bs ale znacznie wzrosta twardości i kruchość takiej blachy, co
wiÄ…\
e się z trudnościami w obróbce mechanicznej. Du\
e wartości krzemu np. 6.5 % są
niepo\
ądane z uwagi na niemal zerową magnetostrykcję blachy czyli wydłu\
enia blachy w
kierunku ustawiania się domen, co jest głównym powodem tzw. buczenia wszystkich
transformatorów szczególnie w energetyce.
Diamagnetyk  materiał w którym występuje zjawisko polegające na osłabianiu indukcji pola
magnetycznego, znajdującym się w zewnętrznym polu magnetycznym. Zjawisko odwrotne do
diamagnetyzmu to paramagnetyzm. Dla tych ciaÅ‚ wzglÄ™dna przenikalność magnetyczna µ w
materiale jest niewiele mniejsza od jedności (przenikalność względna dla pró\
ni =1). Wynika
stÄ…d, \
e diamagnetyki osłabiają pole magnetyczne. Do diamagnetyków zalicza się: gazy
szlachetne, prawie wszystkie metale nie wykazujące własności para- lub ferromagnetycznych
(np: złoto, miedz
, krzem, bizmut, cynk, magnez), ale równie\
woda, fosfor, grafit. Zjawisko
diamagnetyzmu zostało opisano po raz pierwszy przez holenderskiego przyrodnika i lekarza
S.J. Burgmansa w 1778 roku. Nazwę "diamagnetyzm" rozpowszechnił Michael Faraday w
1846 r
Paramagnetyk  materiał w którym występuje zjawisko magnesowania się makroskopowego
(nieznacznym wzmacnianiu pola w materiale) w zewnętrznym polu magnetycznym w
kierunku zgodnym z kierunkiem przyło\
onego zewnętrznego pola magnetycznego.
Paramagnetykiem sÄ… substancje o tzw. niesparowanych elektronach. Paramagnetyki majÄ…
przenikalność magnetycznÄ… µ niewiele wiÄ™kszÄ… od jednoÅ›ci, tj. (przenikalność wzglÄ™dna dla
pró\
ni =1). Przykłady paramagnetyków: Pt, O2, Al. Paramagnetyk jest słabo przyciągany
przez magnes, w odró\
nieniu od ferromagnetyka. Wzmacnianie pola nazywa się podatnością.
Podatność magnetyczna zale\
y od temperatury, zjawisko to ujmuje prawo Curie. Niektóre
materiały paramagnetyczne poni\
ej pewnej temperatury stajÄ… siÄ™ ferromagnetykami. W
niskich temperaturach lub w silnych polach magnetycznych dochodzi do uporzÄ…dkowania
niemal wszystkich dipoli magnetycznych elektronów w wyniku czego dochodzi do nasycenia.
Ferromagnetyk  materiał w którym występuje zjawisko które wykazuje własności
magnetyczne silnie wzmacniające pole wewnątrz materiału. Materiał taki posiada obszary
stałego namagnesowania (tzw. uporządkowane domeny magnetyczne), wytwarzające wokół
siebie pole magnetyczne w danym kierunku podobnie jak małe magnesy. Ferromagnetykiem
są niektóre pierwiastki z okresu 4 (patrz tabela) \
elazo, kobalt, nikiel i niektóre stopy oraz
metale z grupy \
elaza i tzw. metali ziem rzadkich. Ferromagnetyki posiadają właściwości
magnetyczne poni\
ej temperatury Curie. W ferromagnetykach występuje zjawisko nasycenia
magnetycznego Bs (patrz rys.) gdzie wszystkie elementarne drobiny czyli dipole magnetyczne
ustawiają się zgodnie z kierunkiem działania zewnętrznego pola magnetycznego.
Ferromagnetyki dzieli siÄ™ na:
" miękkie  po usunięciu zewnętrznego pola magnetycznego tracą namagnesowanie
zachowując jedynie namagnesowanie resztkowe Br, które jest znacznie mniejsze od
maksymalnego Bs,
" twarde - po usunięciu zewnętrznego pola magnetycznego zachowują stan
namagnesowania Br
" półtwarde - po usunięciu zewnętrznego pola magnetycznego zachowują stan
namagnesowania, ale jest on łatwy do usunięcia (nietrwały).
Magnesy trwałe stanowią ferromagnetyki twarde, które stosuje się do wyrobu elementów
wzbudzenia w maszynach elektrycznych. Natomiast stojan, wirnik, kolumny i jarzma
stanowiÄ… obwody magnetyczne maszyn elektrycznych prÄ…du przemiennego.
Ferromagnetyki półtwarde u\
ywane sÄ… np. do zapisu danych cyfrowych: FDD, HDD.
Wa\
nym parametrem dla ferromagnetyków jest temperatura Curie Tc. Jest to taka
temperatura przy której µi =1 (przenikalność poczÄ…tkowa) materiaÅ‚ nie jest ferromagnetykiem
Ferrimagnetyk - materiał w którym występuje zjawisko polegająca na tym, \
e w
temperaturach poni\
ej tzw. temperatury Néela pojawia siÄ™ spontaniczne antyrównolegÅ‚e
uporządkowanie elementarnych momentów magnetycznych, które to momenty nie
kompensują się wzajemnie do zera w odró\
nieniu od antyferromagnetyków. Czołowym
przedstawicielem Ferrimagnetyków jest magnetyt (Fe3O4), a są to związki o ogólnym wzorze
MeO · Fe2O3.
Antyferromagnetyk - materiał w którym występuje zjawisko polegająca na początkowym
wzroście z temperaturą, a po osiągnięciu punktu krytycznego (tzw. punktu Neela) podatność
magnetyczna maleje. Antyferromagnetykiem mogą być: Cr, Pt, Pd, Mn.
ZwiÄ…zki \
elaza u\
ywane w elektrotechnice przemysłowej
CZYSTE śELAZO charakteryzuje się du\
ą przewodnością magnetyczną i średnią
elektryczną materiału, du\
ą indukcją nasycenia do 2T i polem tzw. koercji około 1,2A/m.
" Dla pól magnetycznych przemiennych charakteryzuje się du\
ymi stratami
wynikajÄ…cymi z braku ograniczenia czystej powierzchni \
elaza dla prądów wirowych.
" Dla pól magnetycznych stałych charakteryzuje się bardzo dobrymi własnościami, stąd
wykorzystuje siÄ™ czyste \
elazo do budowy elementów magnetycznych maszyn prądu
stałego stojan, nabiegunniki ale równie\
jako rdzenie przekaz
ników i
elektromagnesów pracujących przy prądach stałych.
Materiały magnetyczne wykonane z czystego \
elaza stosuje siÄ™ w elektrotechnice na elementy
zasilane bardzo niskimi częstotliwościami lub najczęściej w obwodach prądu stałego.
śELAZO z DOMIESZKIAMI (Si - krzem, C - węgiel, Mg - magnez) charakteryzuje mniejsza
przewodność magnetyczna i elektryczna materiału ni\
w/w czystego \
elaza, równie\
mniejszÄ…
indukcjÄ… nasycenia poni\
ej 2T, większe pole koercji (20 - 40A/m) wynikającą dodatkowych
domieszek.
" Dla pól magnetycznych przemiennych charakteryzuje się znacznie mniejszymi stratami
wynikającymi z izolacyjnych własności domieszek szczególnie dodawanych przy
powierzchni np. blach co powoduje ograniczenie prądów wirowych. Stąd wykorzystuje
siÄ™ \
elazo z domieszkami (na powierzchni blach) w postaci blach (pakietu) do budowy
elementów magnetycznych rdzeni maszyn wirujących (stojan, wirnik) i transformatorów
(jarzma i kolumny).
" Dla pól magnetycznych stałych charakteryzuje się równie\
bardzo dobrymi własnościami,
jednak nieco gorszymi ze względu zmniejszenie udziału czystego \
elaza przy tej samej
objętości co czyste \
elazo. StÄ…d dla maszyn elektrycznych pracujÄ…cych przy prÄ…dach
stałych wykorzystuje się raczej czyste \
elazo, natomiast wykonuje siÄ™ tylko niewielkie
wstawki z blach z domieszkami w miejscu gdzie obwód magnetyczny styka się ze
zmiennym polem magnetycznym.
W tabeli podano przykładowe parametry magnetyczne dla stopu \
elaza z krzemem zwanej
często stalą krzemową.
Tabela 1. Parametry magnetyczne dla stopu \
elaza z krzemem
Względna
Zawartość Si Indukcja max. przenikalność Stratność
Rodzaj
[%] [T] magnetyczna [W/kg]
[-]
1 2.1 14000 3
Stal krzemowa 3 2.0 9000 2.3
4.5 1.96 7000 1.7
Materiały magnetyczne wykonane z \
elaza z domieszkami (Si, C, Mg) stosuje siÄ™ na
częstotliwości nie przekraczające 1000Hz
STOPY śELAZA i NIKLU (30  80%), znane pod nazwą PERMALOJ, HYPERM,
SUPERMAALOJ, charakteryzują małe straty wynikające z prądów wirowych szczególnie dla
częstotliwości f > 10 kHz, indukcja nasycenia od 0,8 T do 1,5 T, pole koercji 0,2  50A/m,
du\
a przenikalność magnetyczna.
W tabeli 2 podano przykładowe parametry magnetyczne dla stopu \
elaza z niklem
Tabela 2. Parametry magnetyczne dla stopu \
elaza z niklem
Względna
Zawartość Ni Indukcja max.
przenikalność Anizotropia Nazwa stopu
[%] [T]
magnetyczna
36 1.3 14000 Nie Hyperm
50 1.5 28000 Nie Hyperm
70 0.8 120000 Tak Permaloj
80 0.82 1000000 Tak Suprmaloj
Materiały magnetyczne wykonane z stopów \
elaza i niklu stosuje siÄ™ w technice du\
ych
częstotliwości powy\
ej 100 kHz, jako: cienkie warstwy elementów pamięciowych, głowice
do zapisu magnetycznego, blachy transformatorowe, ekrany magnetyczne.
STOPY śELAZA I KOBALTU (35  50%) + V - Vanad, Cr - Chrom, znane pod nazwą
PERMENDUR charakteryzuje du\
a wartość indukcji nasycenia (2,4T), mała rezystywność,
du\
e straty z prądów wirowych, wykorzystuje się je w obwodach prądu stałego i
przemiennego jako: elementy konstrukcyjne maszyn elektrycznych wirujÄ…cych i
transformatorów AC.
Tabela 3. Parametry wybranych gatunków blach produkowanych w Polsce
Stratność
Grubość B[T] przy H=800A/m kFe
Gatunek [W/kg]
[mm]
1.5T 1T 2500 5000 min
EP 330-50A 3.3 1.35 1.49 1.60
EP 400-50A 4.0 1.70 1.51 1.61
0.5 0.97
EP 470-50A 4.7 2 1.52 1.62
EP 600-50A 6.0 2.60 1.55 1.65
EP 530-65A 5.3 2.30 1.52 1.62
EP 600-65A 6.0 2.60 1.54 1.64
0.65 0.97
EP 700-65A 7.0 3 1.55 1.65
EP 800-65A 8.0 3.60 1.58 1.68
Tabela 4. Blachy i taśmy stalowe magnetyczne o ziarnie zorientowanym wg PN-IEC 404-8-7:1996
Gatunek Stratność
Grubość B[T] przy H[A/m] kFe
wg PN-IEC [W/kg]
404-4-71 [mm]
1.5T 1.7T 2500 5000 min
Materiały o normalnych właściwościach
089-27-N5 0.27 0.89 1.40 1.75 0.95
097-30-N5 0.30 0.97 1.50 1.75 0.955
111-35-N5 0.35 1.11 1.65 1.75 0.96
Materiały o obni\
onych stratnościach
130-27-S5 0.27 1.30 1.78 0.95
140-30-S5 0.30 1.40 1.78 0.955
155-35-S5 0.35 1.55 1.78 0.96
1
PN-IEC 404-8-7:1996 Materiały magnetyczne  Blachy i taśmy stalowe magnetyczne o
ziarnie zorientowanym
Charakterystyki odmagnesowania magnesów trwałych stosowanych w maszynach
elektrycznych przedstawiono na rys 10.
Rys.10. Charakterystyki odmagnesowania magnesów trwałych
1.4 Podstawowe prawa obwodu magnetycznego
Podstawą do obliczania obwodów magnetycznych są zale\
ności
(4)
+"Hdl = Åš
C
(5)
+"BdS = 0
S
Równanie (5) jest postacią całkową I-go równania Maxwella i znane jest pod nazwą prawa
przepływu Ampera. Natomiast równanie (6) wynika z bezz
ródłowości pola magnetycznego.
Całka liniowa wektora natę\
enia pola magnetycznego H po krzywej zamkniętej C jest równa
przepływowi prądu Ś przenikającemu przez powierzchnię ograniczoną tą linią. Przepływ Ś
jest równy całkowitemu prądowi przenikającemu przez daną powierzchnię.
Åš = JdS (6)
+"
S
W obwodach maszyn elektrycznych i transformatorów rozkład gęstości prądu jest nieciągły,
gdy\
przepływ prądu jest wytworzony przez uzwojenia umieszczone w \
Å‚obkach maszyn
elektrycznych lub przez uzwojenia w postaci skupione (cewki) transformatorów lub
dławików. Je\
eli przez cewkę o liczbie zwojów N (rys.11) przepływa prąd i to przepływ
uzwojenia wynosi:
 Åš = N i (7)
Rys.11. Obwód magnetyczny nierozgałęziony.
Całka liniowa po prawej stronie równania (4) nazywa się napięciem magnetycznym
Um
Um = (8)
+"Hdl
C
Je\
eli obwód magnetyczny mo\
na podzielić na n odcinków i w ka\
dym z tych odcinków
wektor natÄ™\
enia pola magnetycznego posiada stałą wartość i jest styczny do tych odcinków,
to napięcie magnetyczne mo\
e być wyra\
one zale\
nością
n
Um = lk (9)
"Hk
k =1
Dla obwodu magnetycznego przedstawionego na rys. 11 równanie wektorowe (5) mo\
na
zapisać w postaci skalarnej
Åš = N i = Hclc (10)
gdzie: Hc  średnia wartość natę\
enia pola magnetycznego w rdzeniu, lc  średnia długość
obwodu magnetycznego
Średnią wartość indukcji magnetycznej w rdzeniu obliczamy z zale\
ności
Åš
Bc = (11)
Sc
PodstawiajÄ…c zale\
ność (1) do równania (2) oraz wykorzystując zale\
ność (2), otrzymujemy
lc
Åš = N i = Åš = ÅšRc (12)
µcSc
gdzie: Rc  reluktancja obwodu magnetycznego, przy czym
lc
Rc = (13)
µcSc
Równanie mo\
na zapisać w postaci
Åš
Åš = = Åš›c (14)
Rc
gdzie: ›c  permeancja (przewodność magnetyczna) obwodu magnetycznego, przy czym
µcSc
›c = (15)
lc
Równanie (3) przez analogię do obwodów elektrycznych jest nazywane prawem Ohma dla
obwodu magnetycznego, przy czym odpowiednikiem prÄ…du elektrycznego jest strumienia
magnetyczny, odpowiednikiem napięcia elektrycznego jest przepływ zaś odpowiednikiem
rezystancji jest reluktancja obwodu magnetycznego.
Obwody magnetyczne maszyn elektrycznych zawierajÄ… szczeliny powietrzne. Na rys.12
przedstawiono obwód magnetyczny ze szczeliną powietrzną.
Rys.12. Obwód magnetyczny nierozgałęziony ze szczeliną powietrzną.
Zakładając, \
e przez rdzeÅ„ o dÅ‚ugoÅ›ci lc i szczelinÄ™ powietrznÄ… o dÅ‚ugoÅ›ci l´ przepÅ‚ywa ten
sam strumień Ś, wartości indukcji magnetycznej wyniosą odpowiednio
Åš
Bc = (16)
Sc
Åš
B´ = (17)
S´
Stosując prawo przepływu do obwodu magnetycznego, otrzymujemy
Åš = Hclc + H´l´ (18)
PodstawiajÄ…c zale\
ności (16) i (17) do równania (18) oraz wykorzystując zale\
ność ()
otrzymujemy
ëÅ‚ öÅ‚
lc l´ ÷Å‚
ìÅ‚
Åš = Åš + (19)
ìÅ‚
µcSc µ0S´ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
WprowadzajÄ…c oznaczenia
lc
Rc = (20)
µcSc
l´
R´ = (21)
µ0S´
zale\
ność (19) przyjmie postać
Åš = Åš (Rc + R´ ) (22)
stÄ…d
Åš Åš
Åš = = = Åš›e (23)
Rc + R´ Re
lub
Åš
Åš = = Åš›e (24)
lc l´
+
µcSc µ0S´
gdzie: Re  zastÄ™pcza reluktancja obwodu magnetycznego, ›e  zastÄ™pcza permeancja
obwodu magnetycznego, przy czym
lc l´
Re = + (25)
µcSc µ0S´
1
›e = (26)
lc l´
+
µcSc µ0S´
KorzystajÄ…c z analogii do obwodu elektrycznego, zale\
ność (22) mo\
na przedstawić w
postaci schematu elektrycznego (rys.13)
Åš
U Åš =
I =
RC + R´
R1 + R2
Rys. 13. Analogia pomiędzy obwodem elektrycznym a magnetycznym: a) schemat obwodu
elektrycznego, b) schemat obwodu magnetycznego.
Je\
eli µcSc/lc >> µ0S´/l´ , co jest czÄ™sto sÅ‚uszne w obwodach maszyn elektrycznych i
transformatorów, równanie (24) mo\
na napisać w postaci
Åš µ0S´ µ0S´
Åš H" = Åš = N i (27)
R´ l´ l´
Obwody magnetyczne transformatorów są obwodami rozgałęzionymi (rys poni\
ej).
W poszczególnych gałęziach obwodów rozgałęzionych występują na ogół ró\
ne strumienie.
Między tymi strumieniami zachodzą zale\
ności wynikające z warunku bezz
ródłowości pola
magnetycznego danego równaniem (5)
Rys. 14. Obwód magnetyczny rozgałęziony.
Zamkniętą powierzchnię dobiera się tak, aby przecinała ona tylko te gałęzie obwodu
magnetycznego, które połączone są z rozpatrywanym węzłem. Zakładając, \
e strumień
magnetyczny przechodzi wyłącznie przez rdzenie i szczeliny robocze obwodu (rys.14), a
indukcja B poza rdzeniem jest znikomo mała, mo\
na przeprowadzić całkowanie tylko po
powierzchniach przekrojów rdzeni lub szczelin roboczych. Dla trzech gałęzi o przekrojach S1,
S2, S3 otrzymuje siÄ™
(28)
+"BdS = +"BdS ++"BdS ++"BdS = 0
S S1 S1 S1
Poniewa\
poszczególne całki we wzorze przedstawiają strumienie magnetyczne Ś1, Ś2, Ś3,
wzór ten mo\
na przedstawić w ogólnej postaci
n
= 0 (29)
"Åšk
k =1
Wzór ten przez analogię do obwodu elektrycznego nosi nazwę pierwszego prawa Kirchhoffa
dla obwodu magnetycznego
1.5 Indukcyjność własna i wzajemna
W rdzeniach ferromagnetycznych strumień magnetyczny wytworzony przez uzwojenie
zamyka się głównie w rdzeniu, gdy\
przenikalność magnetyczna rdzenia jest du\
o większa od
przenikalności powietrza. Jednak pewna część strumienia wychodzi na zewnątrz rdzenia i
zamyka się w powietrzu tworząc strumień rozproszenia. Na rys.15 przedstawiono obwód
magnetyczny składający się z rdzenia ferromagnetycznego oraz szczeliny powietrznej.
Rys. 15. Obwód magnetyczny ze szczeliną powietrzną- indukcyjność własna i wzajemna
uzwojeń.
Na rdzeniu nawinięte są dwa uzwojenia: pierwotne (wzbudzające) o liczbie zwojów N1 i
wtórne o liczbie zwojów N2. Strumień Ś1 wytworzony przez uzwojenie wzbudzające dzieli
siÄ™ na strumieÅ„ główny Åšm zamykajÄ…cy siÄ™ w rdzeniu i strumieÅ„ rozproszenia Śà zamykajÄ…cy
siÄ™ poza rdzeniem (w powietrzu).
Ś1 = Śm + Śà (30)
Strumień sprzę\
ony z uzwojeniem pierwotnym wynosi
¨1 = N1 Åš1 = N1 Åšm + N1 Åš1Ã = ¨1m + ¨1Ã (31)
Natomiast indukcyjność własną uzwojenia pierwotnego wyznaczamy z zale\
ności
¨1 ¨1m ¨1Ã
L1 = = + = L1m + L1Ã (32)
i1 i1 i1
gdzie: L1Ã - indukcyjność rozproszenia uzwojenia pierwotnego, L1m  indukcyjność główna
(magnesowania) uzwojenia pierwotnego, przy czym
N1 Åšm N12 Åšm Åšm
L1m = = = N12 (33)
i1 N1 i1 Åš1
Uwzględniając zale\
ności (23) otrzymujemy
N12
L1m = N12›e = (34)
lc l´
+
µcSc µ0S´
dla l´ = 0, indukcyjność magnesowania wynosi
µcSc
L1m = N12 (35)
lc
natomiast dla µcSc/lc >> µ0S´/l´, zale\
ność na indukcyjność magnesowania upraszcza się do
postaci
µ0Sc
L1m = N12 (36)
l´
Z uzwojeniem wtórnym sprzęga się strumień główny Śm i strumień skojarzony z uzwojeniem
wtórnym wyniesie
¨2 = N2 Åšm (37)
Natomiast indukcyjność wzajemną między uzwojeniem pierwotnym a wtórnym określamy z
zale\
ności
¨2 N2 Åšm Åšm Åšm
L21 = = = N1N2 = N1N2 (38)
i1 i1 N1 i1 Åš1
Åšm N2 Åš N2
L21 = N1N2 = N12 m = L1m
(39)
Åš1 N1 Åš1 N1
Uwzględniając zale\
ność (34) otrzymujemy
N1N2
L21 = N1N2›e = (40)
lc l´
+
µcSc µ0S´
dla l´ = 0 oraz µcSc/lc >> µ0S´/l´, zale\
ność na indukcyjność wzajemną wyniesie
odpowiednio
µcSc
L21 = N1N2 (41)
lc
natomiast dla µcSc/lc >> µ0S´/l´, zale\
ność na indukcyjność magnesowania upraszcza się do
postaci
µ0Sc
L21 = N1N2 (42)
l´
1.6 Indukcja elektromagnetyczna
Zjawisko indukowania się napięcia w obwodzie elektrycznym pod wpływem zmian
strumienia objętego przez ten obwód nazywa się indukcją elektromagnetyczną. Wartość tego
napięcia określamy na podstawie prawa Faraday a.
d
e = = - (43)
+"Edl dt +"BdS
C S
Uwzględniając zale\
ność () otrzymujemy
dÅš
e = = - (44)
+"Edl dt
C
przym znak (-) odnosi się do obiegu drogi całkowania zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej
w stosunku do strumienia magnetycznego.
W przypadku szczególnym, w którym ten sam strumień magnetyczny sprzęga się z N
zwojami cewki, zale\
ność mo\
emy napisać w postaci
dÅš d¨
e = Ä…N = Ä… (45)
dt dt
We wzorze (45) nale\
y brać znak (+) je\
eli strzałka e jest przyjęta niezgodnie z regułą śruby
prawoskrętnej w stosunku do strumienia, natomiast znak (-) nale\
y brać wtedy gdy strzałka e
jest przyjęta zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej w stosunku do strumienia (rys.16).
a) b)
dÅš
dÅš
e = +z
e = -z
dt
dt
di
di
u = L
u = -L
dt
dt
Rys. 16. Sposoby strzałkowania napięć indukowanych w cewce.
Dla układu elektromagnetycznego przedstawionego na rys. 17 napięcia indukowane w
poszczególnych uzwojeniach wyniosą
d¨1 dÅš1Ã dÅšm
e1 = = N1 + N1 = e1Ã + e1m (46)
dt dt dt
d¨2 dÅšm
e2 = = N2 = e2m (47)
dt dt
gdzie: ¨1, ¨2  strumieÅ„ skojarzony z uzwojeniem pierwotnym i wtórnym, Åšm, Åš1à 
strumień magnesowania oraz strumień rozproszenia, przy czym
dÅš1Ã d¨1Ã
e1Ã = N1 = (48)
dt dt
dÅš1m d¨1m
e1m = N1 = (49)
dt dt
dÅš1m d¨2m
e2m = N2 = (50)
dt dt
Uwzględniając zale\
ność (32) otrzymujemy
di1
e1Ã = L1Ã (51)
dt
dÅšm di1
e1m = N1 = L1m (52)
dt dt
dÅšm di1
e2m = N2 = L21 (53)
dt dt
gdzie: L1Ã  indukcyjność rozproszenia uzwojenia pierwotnego, L1m  indukcyjność główna
(magnesowania) uzwojenia pierwotnego, L21  indukcyjność wzajemna między uzwojeniem
pierwotnym a uzwojeniem wtórnym.
Stosunek napięć indukowanych w uzwojeniu pierwotnym i wtórnym przez strumień główny
Śm nazywamy przekładnią zwojową Ń
e1m N1
= = Ń (54)
e2m N2
stÄ…d
'
e1m = e2mŃ = e2m (55)
'
gdzie: e2m - napięcie indukowane w uzwojeniu wtórnym sprowadzone na stronę uzwojenia
pierwotnego, przy czym
N1 di1 di1
'
e2m = Ń e2m = L12 = L'2m (56)
N2 dt dt
gdzie: L'2m - indukcyjność magnesowania uzwojenia wtórnego sprowadzona na stronę
uzwojenia pierwotnego.
Uwzględniając zale\
ność (39) indukcyjność magnesowania L'2m mo\
na zapisać w postaci
N1 N1 N2
L'2m = L12 = L1m = L1m (57)
N2 N2 N1
Zale\
nością (46 i 47) odpowiada schemat elektryczny:
a) b)
L1Ã
i1
i2=0
e1
e2
e1m=e
2m
Rys 17. Schemat elektryczny obwodu magnetycznego przedstawionego na rys.15: a)w
układzie rzeczywistym, b) w układzie sprowadzonym.
Uwzględniając zale\
ności (56 i 57) schemat zastępczy (rys. 17a) mo\
na przedstawić w
układzie sprowadzonym (rys. 17b).
Przyczyną indukowania się napięcia mo\
e być zmiana strumienia magnetycznego w czasie
lub ruch wzglÄ™dny przewodnika wzglÄ™dem staÅ‚ego pola. W przypadku ogólnym strumieÅ„ ¨
skojarzony z uzwojeniem mo\
e być funkcją czasu t i poło\
enia x uzwojenia względem pola,
czyli ¨=¨(x,t) oraz x=x(t).
W tych warunkach (rys.18) prawo indukcji elektromagnetycznej mo\
na zapisać w postaci
d¨ "¨ "¨ "x
e = = + (58)
dt "t "x "t
Z równania (58), wynika \
e napięcie w przewodniku mo\
e się indukować w następujących
przypadkach:
" Nieruchomy przewodnik znajduje siÄ™ w zmiennym polu magnetycznym, ¨=¨(t)=var.,
v=dx/dt=0, wówczas wzór (58) przyjmie postać
"¨ d¨
e = et = = (59)
"t dt
Napięcie indukowane w wyniku zmiennego pola magnetycznego nazywamy napięciem
transformacji et.
" Ruchomy przewodnik przemieszcza siÄ™ w staÅ‚ym polu magnetycznym, ¨=const.,
v=dx/dt`"0, wówczas
"¨ "x d¨ dx
e = er = = (60)
"x "t dx dt
a)
b) c) d)
Rys. 18. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej: a) model fizyczny, b)napięcie indukowane
transformacji, c) napięcie indukowane rotacji, d)napięcie indukowane transformacji i rotacji.
Zmiana strumienia dÈ sprzÄ™\
onego ze zwojem o długości l (rys.19), poruszającym się w
stałym polu magnetycznym wynosi
d¨ = Bldx (61)
podstawiajÄ…c powy\
szÄ… zale\
ność do wzoru (60) otrzymujemy
e = er = Blv (62)
Napięcie indukowane w wyniku ruchu przewodnika w polu magnetycznym nazywamy
napięciem rotacji er. Do wyznaczania zwrotu indukowanego napięcia stosujemy regułę
prawej dłoni (rys.19)
a) b)
Rys.19. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej  reguła prawej dłoni
Reguła ta brzmi: je\
eli prawą dłoń uło\
ymy tak, aby linie strumienia magnetycznego były
zwrócone ku dłoni, a odchylony du\
y palec (kciuk) wskazywał kierunek prędkości względnej
przewodu, to pozostałe cztery palce uło\
one wzdłu\
przewodu, wska\
Ä… zwrot indukowanego
napięcia.
W ogólnym przypadku przewodnik mo\
e poruszać się w zmienym polu magnetycznym,
È=var, v=var., wówczas napiÄ™cie indukowane mo\
na zapisać w ogólnej postaci
d¨
e = et + er = + Blv (63)
dt
1.7 Energia pola magnetycznego
Rozpatrzone zostanÄ… zjawiska energetyczne w cewce zasilanej z idealnego z
ródła napięcia
stałego u (rys.20). Po zamknięciu wyłącznika W w obwodzie zaczyna płynąć prąd i a w
cewce indukuje się napięcie e.
Rys.20. Schemat zastępczy obwodu elektromagnetycznego cewki zasilanej ze z
ródła napięcia
stałego.
Dla rozpatrywanego obwodu obowiązuje równanie napięciowe
u = Ri + e (64)
Mno\
ąc obustronnie równanie (64) przez idt i wykonując całkowanie w czasie od 0 do t,
otrzymujemy bilans energii
t t t
2
(65)
+"uidt = +"Ri dt + +"eidt
0 0 0
Pierwszy składnik równania (65) przedstawia energię traconą na rezystancji R, natomiast
drugi składnik przedstawia energię W zgromadzoną w cewce
t
W = (66)
+"eidt
0
Podstawiając równanie (65) do równania (66), wyra\
enie na energiÄ™ pola magnetycznego
mo\
na zapisać w postaci
¨
W = (67)
+"id¨
0
PodstawiajÄ…c w równaniu za d¨=Ldi, otrzymujemy wyra\
enie na koenergiÄ™ pola
magnetycznego
i i
Wc = = (68)
+"Lidi +"¨di
0 0
Dla układów liniowych indukcyjność jest stała i nie zale\
y od przepływającego przez nią
prądu, czyli L=const. Wówczas wyra\
enie na energiÄ™ i koenergiÄ™ pola magnetycznego
przyjmie postać
¨ ¨
1 ¨2
W = = (69)
+"id¨ L +"¨d¨ = 2L
0 0
i
1
Wc = = Li2 (70)
+"Lidi 2
0
Ze wzorów (69) i (70) wynika, \
e dla układów liniowych energia magnetyczna jest równa
koenergii magnetycznej. GraficznÄ… interpretacjÄ™ energii oraz koenergii magnetycznej
przedstawiono na rys 21.
a) b)
Rys. 21. Energia i koenergia magnetyczna zawarta w polu magnetycznym: a) w środowisku liniowym,
b) nieliniowym.
LITERATURA
[1] Bajorek Z.: Maszyny elektryczne, WNT, Warszawa 1983
[2] Chapman S.J.: Electric machinery fundamentals, Third Edition, McGraw-Hill Book
Company, Singapore 1999.
[3] Fitzgerald A. E., Kingsley Ch. Jr., Stephen D. Umans S.D.: Electric machinery, Sixth
edition, McGraw-Hill, USA, New York, 2003.
[4] Gieras J.F., Wing M.: Permanent magnet motor technology. Design and Application,
Second Edition, Marcel Dekker Inc., New York 2002.
[5] Krause P.C.: Analysis of electric machinery, McGraw-Hill Book Company, New York
1986.
[6] Kurdziel R.: Podstawy elektrotechniki, WNT, Warszawa 1975
[7] Latek W.: Teoria maszyn elektrycznych, WNT, Warszawa 1987
[8] Plamitzer A.: Maszyny elektryczne, WNT, Warszawa 1982