Egzamin z Rachunku PrawdopodobieÅ„stwa II, 4 II 2008, cz¸Å›Ä‡ pierwsza
e
1. X, Y1, Y2, . . . s¸ niezależnymi zmiennymi losowymi rzeczywistymi okreÅ›lonymi
a
na tej samej przestrzeni probabilistycznej, przy czym X ma rozk N (0, 1), zaÅ›
lad
1 1
Yn ma rozk jednostajny na [1 - , 1 + ] dla n = 1, 2, . . .
lad
n n
a) Prosz¸ udowodnić, że ciag zmiennych losowych (X + Yn)" jest zbieżny
e ¸
n=1
wed rozk (gdy n - ") i wyznaczyć rozk graniczny.
lug ladu lad
b) Czy za o niezależności zmiennych jest tu istotne?
lożenie
2. Dany jest ciag (Xn)" niezależnych zmiennych losowych rzeczywistych
¸
n=1
o rozk I (Xn = -1) = I (Xn = 1) = 1/2 (n = 1, 2, . . .). Niech
ladzie P
n P
Sn = Xk dla n = 1, 2, . . . i niech T = inf{n " I : Sn = n - 2008}.
N
k=1
a) Prosz¸ udowodnić, że I ("n " I : Sn = n - 2008) = 1.
e P N
b) Prosz¸ udowodnić, że I d" 2008.
e ET
3. Czy z tego, że Õ : I - C jest funkcj¸ charakterystyczn¸ pewnej rzeczy-
R a a
wistej zmiennej losowej, wynika, iż funkcja È : I - C okreÅ›lona wzorem
R
È(t) = (Re Õ(t))2 - (Im Õ(t))2 (t " I także jest funkcj¸ charakterystyczn¸
R) a a
jakiejÅ› rzeczywistej zmiennej losowej?
Prosz¸ wszystko dok uzasadniać!
e ladnie
Egzamin z Rachunku PrawdopodobieÅ„stwa II, 4 II 2008, cz¸Å›Ä‡ druga
e
4. Zmienne losowe X1, X2, . . . a niezależne i z nich ma rozk N (0, 1).
lad
ns¸ "każda
2
Prosz¸ obliczyć limn" I ( Xk d" n + n).
e P
k=1
5. Mamy do dyspozycji trzy bia kule ponumerowane liczbami od 1 do 3 i
le
trzy czarne kule ponumerowane liczbami od 1 do 3. Na pocz¸ wk
atku ladamy
do pustej urny wszystkie bia kule. Nast¸ dokonujemy 2008 zmian wed
le epnie lug
nast¸ ¸ regu w każdej turze losujemy z urny jedn¸ kul¸ i zamiast niej
epujacych l: a e
odk do urny kul¸ oznaczon¸ tym samym numerem, ale o odmiennym
ladamy e a
kolorze (po każdej zmianie b¸ a wi¸ w urnie trzy kule o numerach 1, 2 i 3).
ed¸ ec
a) Prosz¸ wyznaczyć przybliżone prawdopodobieÅ„stwo tego, że po 2008 turach
e
zmian w urnie b¸ a trzy czarne kule.
ed¸
b) Prosz¸ wyznaczyć przybliżone prawdopodobieÅ„stwo tego, że po 2008 turach
e
zmian w urnie b¸ a trzy bia kule.
ed¸ le
6. Dwie osoby graj¸ w pewn¸ gr¸ losow¸ Pierwszy gracz zaczyna j¸ z kapita
a a e a. a lem
n2 + n z drugi zaÅ› - z kapita n2 z (n " I Rzucamy wiele razy
lotych, lem lotych N).
symetryczn¸ monet¸ Za każdym razem, gdy wypadnie reszka, pierwszy gracz
a a.
traci 1 z a stan posiadania drugiego nie zmienia si¸ Za każdym razem, gdy
l, e.
wypadnie orze drugi gracz traci 1 z a kapita pierwszego nie ulega zmianie.
l, l, l
Gra koÅ„czy si¸ gdy któremuÅ› z graczy zabraknie pieni¸ Prosz¸ dowieść, że
e, edzy. e
prawdopodobieÅ„stwo tego, iż gra skoÅ„czy si¸ z powodu bankructwa pierwszego
e
gracza, zbiega do pewnej liczby, gdy n - ". Prosz¸ też wyznaczyć t¸ granic¸
e e e.
Odpowiedzi można wyrażać za pomoc¸ dystrybuanty Åš rozk N (0, 1).
a ladu