RP II Kartk, Kolokw i Egzaminy p18

KARTKÓWKA 1 grupa I , 31 pazdziernika 2000
1. Zmienne losowe X, Y s� niezależne i maja rozklad eksponencjalny z
a �
parametrem 1. Znalezć
E(e-XY |Y ).
Xn+1
X2 X3
2. Niech Tn = + +. . .+ , gdzie X1, X2, . . . ... niezależne zmienne
X1 X2 Xn
losowe o rozkladzie jednostajnym na przedziale [1, 3]. Oblicz
E(Tn|�(X1, X2, . . . , Xn)) oraz E(Tn|�(X1, X2, . . . , Xn-1)).
KARTKÓWKA 1 grupa II 31 pazdziernika 2000
Xn+1
X2 X3
1. Niech Tn = + +. . .+ , gdzie X1, X2, . . . ... niezależne zmienne
2 2 2
X1 X2 Xn
losowe o rozkladzie jednostajnym na przedziale [2, 6]. Oblicz
E(Tn|�(X1, X2, . . . , Xn)) oraz E(Tn|�(X1, X2, . . . , Xn-1)).
2. Zmienne losowe X, Y s� niezależne i maja rozklad eksponencjalny z
a �
parametrem 1. Znalezć
E(e-2XY |X).
Krótkie Odpowiedzi
" grupa I:
1.Y 1 .
+1
2 2
2.Tn-1 + oraz Tn-2 + + 2 ln 3.
Xn Xn-1
" grupa II:
4 4 1
1.Tn-1 + oraz Tn-2 + + .
2 2
Xn Xn-1 3
1
2. .
2X+1
1
KARTKÓWKA 1 grupa I , 30 pazdziernika 2000
1. Zmienne losowe X, Y s� niezależne i maja rozklad jednostajny na [2, 4].
a �
Znalezć
1
E( |X).
X + Y
2. Niech Tn = X1X2+X2X3+. . .+XnXn+1, gdzie X1, X2, . . . ... niezależne
zmienne losowe o rozkladzie normalnym ze średnia 2 i wariancj� 5.
� a
Oblicz
2
E(Tn|�(X1, X2, . . . , Xn)) oraz E(Tn|�(X1, X2, . . . , Xn)).
KARTKÓWKA 1 grupa II 30 pazdziernika 2000
1. Niech Tn = X1X2+X2X3+. . .+XnXn+1, gdzie X1, X2, . . . ... niezależne
zmienne losowe o rozkladzie normalnym ze średnia 1 i wariancj� 3.
� a
Oblicz
2
E(Tn|�(X1, X2, . . . , Xn)) oraz E(Tn|�(X1, X2, . . . , Xn)).
2. Zmienne losowe X, Y s� niezależne i maja rozklad jednostajny na [1, 3].
a �
Znalezć
1
E( |X).
(X + Y )2
Krótkie Odpowiedzi
" grupa I:
1.1(ln(X + 4) - ln(X + 2))
2
2 2
2. Tn-1 + 2Xn oraz Tn-1 + 4XnTn + 9Xn
" grupa II:
2 2
1. Tn-1 + Xn oraz Tn-1 + 2XnTn + 4Xn.
1 1
2.1(X+1 - ).
2 X+3
1
KARTKÓWKA 2 grupa I , 21 listopada 2000
1. Dane s� dwa ciagi liczb rzeczywistych (an) i (bn) zbieżne odpowiednio
a �
do a i b. Czy dla dowolnej zmiennej losowej X, zmienne anX + bn
zbiegaj� do aX + b wedlug rozkladu?
a
2. Zmienna losowa X ma g� 2xI[0,1](x). Oblicz funkcj� charakterysty-
estość e
czn� X.
a
KARTKÓWKA 2 grupa II 21 listopada 2000
x
1. Zmienna losowa X ma g� I[0,2](x). Oblicz funkcj� charakterysty-
estość e
2
czn� X.
a
2. Ciag liczb rzeczywistych (an) zbiega do a. Czy wówczas dla dowolnej
�
n
dodatniej zmiennej losowej X ciag zmiennych Xa jest zbieżny wedlug
�
rozkladu do Xa?
Krótkie Odpowiedzi
" grupa I:
1. Tak, bo jest zbieżny p.n.p. (można też sprawdzić zbieżność dystry-
buant)
2 2
2.iteit + (eit - 1) dla t = 0 oraz 1 dla t = 0

t2
" grupa II:
1 1
1. e2it + (e2it - 1) dla t = 0 oraz 1 dla t = 0

it 2t2
2. Tak, bo jest zbieżny p.n.p. (można też sprawdzić zbieżność dystry-
buant)
1
KARTKÓWKA 2 grupa I , 20 listopada 2000
1. Niech �ą b� rozkladem jednostajnym na [0, aą]. Udowodnij, że
edzie
rodzina (�ą) jest j� wtedy i tylko wtedy gdy supą aą < ".
edrna
2. Zmienna losowa X ma rozklad jednostajny na [-1, 1]. Czy zmienne
Xn s� zbieżne wedlug rozkladu? Jeśli tak to do jakiej granicy?
a
KARTKÓWKA 2 grupa II 20 listopada 2000
"
n
1. Zmienna losowa X ma rozklad jednostajny na [0, 1]. Czy zmienne X
s� zbieżne wedlug rozkladu? Jeśli tak to do jakiej granicy?
a
2. Niech �ą b� rozkladem jednostajnym na [-aą, aą]. Udowodnij, że
edzie
rodzina (�ą) jest j� wtedy i tylko wtedy gdy supą aą < ".
edrna
Krótkie Podpowiedzi
" grupa I:
1. Jeśli M = supą aą to �ą[-M, M] = 1, w drug� stron� - jeśli aą > 2M
a e
1
to �ą[-M, M] <
2
2. s� zbieżne p.n.p. a zatem i wedlug rozkladu do stalej równej 0 (można
a
też policzyć zbieżność dystrybuant).
" grupa II:
1. s� zbieżne p.n.p. a zatem i wedlug rozkladu do stalej równej 1 (można
a
też policzyć zbieżność dystrybuant).
2. Jeśli M = supą aą to �ą[-M, M] = 1, w drug� stron� - jeśli aą > 2M
a e
1
to �ą[-M, M] < .
2
1
KARTKÓWKA 3 grupa I , 4 grudnia 2000
1. Zmienne X, Y s� niezależne i maja rozklad eksponencjalny z parametrem 2. Znajdz
a �
funkcje charakterystyczn� zmiennej 3X - 2Y .
a
2. W pewnych wyborach glosowalo 10 milionów wyborców. Każdy wyborca glosowal z
prawdopodobieństwem 0.45 na kandydata B, z prawdopodobieństwem 0.45 na kandy-
data G, a z prawdopodobieństwem 0.1 na jednego z innych kandydatów. Zakladajac,
�
że wyborcy glosowali niezależnie oszacuj prawdopodobieństwo tego, że kandydat B
uzyska o ponad 1000 glosów wi� niż G.
ecej
KARTKÓWKA 3 grupa II 4 grudnia 2000
1. W pewnych wyborach glosowalo 5 milionów wyborców. Każdy wyborca glosowal z
prawdopodobieństwem 0.4 na kandydata B, z prawdopodobieństwem 0.4 na kandy-
data G, a z prawdopodobieństwem 0.2 na jednego z innych kandydatów. Zakladajac,
�
że wyborcy glosowali niezależnie oszacuj prawdopodobieństwo tego, że kandydat B
uzyskal o ponad 500 glosów wi� niż G.
ecej
2. Zmienne X, Y s� niezależne i maja rozklad eksponencjalny z parametrem 5. Znajdz
a �
funkcje charakterystyczn� zmiennej 4X - Y .
a
Krótkie Odpowiedzi
" grupa I:
4
1.�3X-2Y (t) = �X(3t)�Y (-2t) = .
(2-3it)(2+2it)
107
2. Przedstawiamy różnic� mi� liczb� glosów oddanych na B i G jako S = Xi,
e edzy a
n=1
gdzie EXi = 0, D2(Xi) = 0.9, st� z Centralnego Twierdzenia Granicznego szacujemy
ad
1
szukane prawdopodobieństwo P (S e" 1000) <" 1 - Ś( )
3
" grupa II:
5�106
1. Przedstawiamy różnic� mi� liczb� glosów oddanych na B i G jako S = Xi,
e edzy a
n=1
gdzie EXi = 0, D2(Xi) = 0.8, st� z Centralnego Twierdzenia Granicznego szacujemy
ad
1
szukane prawdopodobieństwo P (S e" 500) <" 1 - Ś( )
4
25
2.�4X-Y (t) = �X(4t)�Y (-t) = .
(5-4it)(5+it)
KARTKÓWKA 3 grupa I , 5 grudnia 2000
1. Zmienne losowe Y, X1, X2, . . . s� niezależne przy czym Y ma rozklad geometryczny z
a
1 1 2
parametrem (tzn. P (Y = k) = ( )k-1, k = 1, 2, . . .), a wszystkie Xi maj� rozklad
a
3 3 3
Y
N (0, 2). Znajdz funkcje charakterystyczn� zmiennej S = Xn.
a
n=1
2. Jan z Agat� regularnie grywaja w pewn� gr� W pojedynczej grze z prawdopodobień-
a � a e.
stwem 0.5 wygrywa Jan, z prawdopodobieństwem 0.3 Agata, zaś z prawdopodobień-
stwem 0.2 gra si� kończy remisem. Zakladajac niezależność wyników kolejnych gier,
e �
oszacuj prawdopodobieństwo, że w 900 grach Jan odniesie conajmniej 200 zwyci�
estw
wi� od Agaty.
ecej
KARTKÓWKA 3 grupa II 5 grudnia 2000
1. Jan z Agat� regularnie grywaja w pewn� gr� W pojedynczej grze z prawdopodobień-
a � a e.
stwem 0.2 wygrywa Jan, z prawdopodobieństwem 0.6 Agata, zaś z prawdopodobień-
stwem 0.2 gra si� kończy remisem. Zakladajac niezależność wyników kolejnych gier, os-
e �
zacuj prawdopodobieństwo, że w 800 partiach Agata odniesie conajmniej 300 zwyci�
estw
wi� od Jana.
ecej
2. Zmienne losowe Y, X1, X2, . . . s� niezależne przy czym Y ma rozklad geometryczny z
a
2 2 1
parametrem (tzn. P (Y = k) = ( )k-1, k = 1, 2, . . .), a wszystkie Xi maj� rozklad
a
3 3 3
Y
N (0, 4). Znajdz funkcje charakterystyczn� zmiennej S = Xn.
a
n=1
Krótkie Odpowiedzi
" grupa I:
"
Y
p�X (t)
1
n=1
1. �S(t) = EY EXeit Xn = EY (�X (t))Y = pqk-1(�X (t))k =
1 1
1 - q�X (t)
1
k=1
2
e-t
= .
2
3 - 2e-t
900
2. Przedstawiamy różnic� mi� liczb� zwyci� Jana i Agaty jako S = Xi,
e edzy a estw
n=1
gdzie EXi = 0.2, D2(Xi) = 0.76 st� z Centralnego Twierdzenia Granicznego szacu-
ad
jemy szukane prawdopodobieństwo przez
2
"
P (S e" 200) <" 1 - Ś( ) <" 1 - Ś(0.76).
3 0.76
" grupa II:
800
1. Przedstawiamy różnic� mi� liczb� zwyci� Agaty i Jana jako S = Xi,
e edzy a estw
n=1
gdzie EXi = 0.4, D2(Xi) = 0.64 st� z Centralnego Twierdzenia Granicznego szacu-
ad
jemy szukane prawdopodobieństwo przez
5
P (S e" 300) <" 1 - Ś(- " - Ś(-0.88) = Ś(0.88).
) <" 1
4 2
"
Y
p�X (t)
1
n=1
2. �S(t) = EY EXeit Xn = EY (�X (t))Y = pqk-1(�X (t))k =
1 1
1 - q�X (t)
1
k=1
2
2e-2t
= .
2
3 - e-2t
Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa
11 grudnia 2000
1. Zalóżmy, że Xn X wedlug rozkladu, zaś Yn c wedlug rozkladu,
gdzie c jest stala. Udowodnij, że XnYn zbiega wedlug rozkladu do cX.
�
2. Zmienna losowa X ma funkcj� charakterystyczn� �. Udowodnij, że dla
e a
dowolnej liczby rzeczywistej u
a
1
P (X = u) = lim e-iut�(t)dt.
a"
2a -a
3. Zmienne losowe N, X1, X2, . . . s� niezależne przy czym N ma rozklad
a
Poissona z parametrem , a wszystkie Xi maja jednakowy rozklad
�
jednostajny na [-1, 1]. Znajdz funkcj� charakterystyczn� zmiennej
e a
N
S = Xi (przyjmujemy, że S = 0 gdy N = 0).
i=1
4. Zmienne X1, X2, . . . s� niezależne i maj� jednakowy rozklad taki, że
a a
EXi = 0, EXi2 = 1. Dany jest ciag an spelniaj� warunek
� acy
n
lim s-1 max |ak| = 0, gdzie sn = a2.
n k
n"
kd"n
k=1
Wykaż, że
n
akXk
k=1
N (0, 1) wedlug rozkladu.
sn
5. Dane s� dwa martyngaly Xn i Yn wzgl� ustalonej filtracji Fn oraz
a edem
moment zatrzymania � taki, że X� = Y�. Udowodnij, że zmienne Zn
dane wzorem
Zn = Yn dla n > � oraz Zn = Xn dla n d" �
też s� martyngalem.
a
2
6. Wykaż, że dla dowolnego martyngalu Xn takiego, że EXn < " dla
n = 1, 2, . . . zachodzi wzór
n
2 2
EXn = EX0 + E(Xk - Xk-1)2.
k=1
Wszystkie zadania b� a oceniane w skali 0-10
ed�
Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa
grupa I, 18 grudnia 2000
1. Zmienna losowa X ma funkcj� charakterystyczn� �. Udowodnij, że X
e a
przyjmuje z prawdopodobieństwem 1 wartości calkowite wtedy i tylko
wtedy gdy �(2Ą) = 1.
2. Zmienne losowe N, X1, X2, . . . s� niezależne, przy czym N ma rozklad
a
Poissona z parametrem 2, zaś wszystkie Xi maj� ten sam rozklad
a
wykladniczy z parametrem 5. Znajdz funkcj� charkterystyczn� zmi-
e a
N
ennej losowej S = Xi (przyjmujemy, że S = 0 gdy N = 0).
i=1
3. Zmienne Xn zbiegaja wedlug rozkladu do zmiennej X, a zmienne -1 ln Xn
�
2
do zmiennej Y . Wykaż, że X ma rozklad jednostajny na [0, 1] wtedy i
tylko wtedy gdy Y ma rozklad wykladniczy z parametrem 2.
4. Niech X1, X2, . . . b� a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkladzie
ed�
N (1, 2), Sn = X1 + X2 + . . . + Xn, Fn = �(X1, X2, . . . , Xn). Dla liczby
n
rzeczywistej t znajdz tak� liczb� zespolon� a = 0, że (aneitS , Fn)"
a e a
n=1
jest martyngalem.
5. Niech X1, X2, . . . b� a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkladzie
ed�
Cauchy ego, Fn = �(X1, X2, . . . , Xn). Które z nast� acych zmien-
epuj�
nych losowych s� momentami zatrzymania wzgl� (Fn):
a edem
a) �1 = inf{n : Xn e" n},
b) �2 = inf{n e" 2 : Xn e" Xn-1},
c) �3 = inf{n : Xn+1 e" Xn}?
6. W czasie szczytu liczba rozmów laczona przez pewn� central� w ciagu
a e �
godziny ma rozklad Poissona ze średnia 100. Zakladaj� niezależność
� ac
liczby rozmów w różnych godzinach oszacuj prawdopodobieństwo, że
centrala polaczy w ciagu 400 kolejnych godzin szczytu mi� 40 a 42
� edzy
tysiace rozmów.
�
Wszystkie zadania b� a oceniane w skali 0-10.
ed�
Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa
grupa II, 18 grudnia 2000
1. Niech X1, X2, . . . b� a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkladzie
ed�
geometrycznym z parametrem 0.5, Fn = �(X1, X2, . . . , Xn). Które z
nast� � zmiennych losowych s� momentami zatrzymania wzgl�
epujacych a edem
(Fn):
a) �1 = inf{n : Xn = n},
b) �2 = inf{n e" 2 : Xn = Xn-1},
c) �3 = inf{n : Xn+1 = Xn}?
2. Zmienne losowe N, X1, X2, . . . s� niezależne, przy czym N ma rozklad
a
Poissona z parametrem 2, zaś wszystkie Xi maj� ten sam rozklad jed-
a
nostajny na [-2, 2] Znajdz funkcj� charakterystyczn� zmiennej losowej
e a
N
S = Xi (przyjmujemy, że S = 0 gdy N = 0).
i=1
Xn
3. Zmienne Xn zbiegaja wedlug rozkladu do zmiennej X, a zmienne - ln
�
2
do zmiennej Y . Wykaż, że X ma rozklad jednostajny na [0, 2] wtedy i
tylko wtedy gdy Y ma rozklad wykladniczy z parametrem 1.
4. Zmienna losowa X ma funkcj� charakterystyczn� �. Udowodnij, że
e a
X przyjmuje z prawdopodobieństwem 1 wartości calkowite parzyste
wtedy i tylko wtedy gdy �(Ą) = 1.
5. W czasie szczytu liczba rozmów laczona przez pewn� central� w ciagu
a e �
godziny ma rozklad Poissona ze średnia 40. Zakladajac niezależność
� �
liczby rozmów w różnych godzinach oszacuj prawdopodobieństwo, że
centrala polaczy w ciagu 1000 kolejnych godzin szczytu mi� 38 a 40
� edzy
tysi� rozmów.
ecy
6. Niech X1, X2, . . . b� a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkladzie
ed�
N (2, 1), Sn = X1 + X2 + . . . + Xn, Fn = �(X1, X2, . . . , Xn). Dla liczby
n
rzeczywistej t znajdz tak� liczb� zespolon� a = 0, że (aneitS , Fn)"
a e a
n=1
jest martyngalem.
Wszystkie zadania b� a oceniane w skali 0-10.
ed�
Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa
grupa I, 19 grudnia 2000
1. Zmienna losowa X o średniej 1 i wariancji 4 ma funkcj� charakterysty-
e
czn� �. Oblicz �(0), � (0) oraz � (0).
a
2. Zmienne Xn oraz Yn zbiegaj� wedlug rozkladu do zmiennej o rozkladzie
a
wykladniczym z parametrem 2. Wiedz� że dla wszystkich n zmienne
ac,
Xn oraz Yn s� niezależne udowodnij, że zmienne min(Xn, Yn) zbiegaja
a �
wedlug rozkladu do zmiennej o rozkladzie wykladniczym z parametrem
4.
3. Zmienne � oraz � s� momentami zatrzymania wzgl� filtracji (Fn)" .
a edem
n=0
Które ze zmiennych: � + 2, � - 2, �2, � + � musz� być momentami
a
zatrzymania wzgl� tej samej filtracji? Odpowiedz uzasadnij.
edem
4. Niech X1, X2, . . . b� a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkladzie
ed�
Poissona z parametrem 5, Sn = X1+X2+. . .+Xn, Fn = �(X1, X2, . . . , Xn).
n-na
Dla liczby rzeczywistej t znajdz tak� liczb� a, że (etS , Fn)" jest
a e
n=1
martyngalem.
5. Zmienne losowe X1, X2, . . . s� niezależne o jednakowym rozkladzie ta-
a
1
kim, że P (Xi = e2) = P (Xi = e-2) = dla i = 1, 2, . . .. Wykaż, że
2
zmienne
1
"
n
Yn = (X1X2 � � � Xn)
zbiegaj� wedlug rozkladu do pewnej zmiennej Y oraz ln Y ma rozklad
a
normalny. Oblicz P (Y d" e).
6. Zmienne losowe �, X, Y s� niezależne przy czym X i Y maja rozklad
a �
1
eksponencjalny z parametrem 3, a P (� = ą1) = . Znajdz funkcje
2
charakterystyczne zmiennych Z1 = �X oraz Z2 = X - Y . Czy Z1 ma
taki sam rozklad jak Z2?
Wszystkie zadania b� a oceniane w skali 0-10.
ed�
Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa
grupa II, 19 grudnia 2000
1. Zmienne losowe �, X, Y s� niezależne przy czym X i Y maja rozklad
a �
1
eksponencjalny z parametrem 4, a P (� = ą1) = . Znajdz funkcje
2
charakterystyczne zmiennych Z1 = �X oraz Z2 = X - Y . Czy Z1 ma
taki sam rozklad jak Z2?
2. Zmienne � oraz � s� momentami zatrzymania wzgl� filtracji (Fn)" .
a edem
n=0
Które ze zmiennych: �3, � + 1, � - 1, , � + � musz� być momentami
a
zatrzymania wzgl� tej samej filtracji? Odpowiedz uzasadnij.
edem
3. Zmienna losowa X o średniej 3 i wariancji 1 ma funkcj� charakterysty-
e
czn� �. Oblicz �(0), � (0) oraz � (0).
a
4. Zmienne Xn oraz Yn zbiegaj� wedlug rozkladu do zmiennej o rozkladzie
a
wykladniczym z parametrem 6. Wiedz� że dla wszystkich n zmienne
ac,
Xn oraz Yn s� niezależne udowodnij, że zmienne min(Xn, Yn) zbiegaja
a �
wedlug rozkladu do zmiennej o rozkladzie wykladniczym z parametrem
12.
5. Zmienne losowe X1, X2, . . . s� niezależne o jednakowym rozkladzie ta-
a
1
kim, że P (Xi = e3) = P (Xi = e-3) = dla i = 1, 2, . . .. Wykaż, że
2
zmienne
1
"
n
Yn = (X1X2 � � � Xn)
zbiegaj� wedlug rozkladu do pewnej zmiennej Y oraz ln Y ma rozklad
a
normalny. Oblicz P (Y e" e-1).
6. Niech X1, X2, . . . b� a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkladzie
ed�
Poissona z parametrem 3, Sn = X1+X2+. . .+Xn, Fn = �(X1, X2, . . . , Xn).
n-na
Dla liczby rzeczywistej t znajdz tak� liczb� a, że (etS , Fn)" jest
a e
n=1
martyngalem.
Wszystkie zadania b� a oceniane w skali 0-10.
ed�
Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa
22 kwietnia 2002
1. Zmienne X, Y, Z są niezależne i mają standardowy rozkład normalny
N (0, 1). Czy zmienna arctg(2X + Y - 2Z) ma rozkład ciągły? Jeśli tak
to znajdz jej gęstość.
2. Zmienne X, Y, �1, �2 są niezależne, przy czym X i Y mają rozkład
jednostajny na przedziale [0, 2], a �1 i �2 symetryczny Bernoulliego
tzn. P (�i = ą1) = 0.5. Znajdz rozkłady zmiennych losowych �1X i
�1X + �2Y .
3. W pewnej klasie uczy się 20 uczniów. Na każdej lekcji nauczyciel py-
ta losowo wybranego ucznia (jedna osoba może być wylosowana wiele
razy). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 15 kolejnych lekcji
żaden z uczniów nie będzie odpowiadał więcej niż jeden raz? Oblicz
wartość oczekiwaną i wariancję liczby różnych uczniów przepytanych
w ciągu 15 kolejnych lekcji.
4. Test na rzadką chorobę, którą dotknięta jest średnio jedna osoba na
dwa tysiące daje fałszywą pozytywną odpowiedz w 2% przypadków (u
osoby chorej daje zawsze pozytywną odpowiedz). Jaka jest szansa, że
osoba u której test dał odpowiedz pozytywną jest faktycznie chora?
5. Załóżmy, że X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie
Poissona z parametrem 1. Oblicz E(XY |X) oraz E(eXY |X).
6. Udowodnij, że dla zmiennej losowej X o wartościach całkowitych nieu-
jemnych zachodzi
"
EX = P (X n)
n=1
oraz
"
EX2 = (2n - 1)P (X n).
n=1
Wszystkie zadania b� a oceniane w skali 0-10
ed�
Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa
9 grudnia 2002
1. Zmienne losowe X1, X2, . . . są niezależne, ograniczone i mają średnią
zero. Udowodnij, że jeśli
n

Xn "
lim = 0, gdzie s2 = Var(Xk) "
n
n"
sn
k=1
to
X1 + X2 + . . . + Xn
N (0, 1) według rozkładu gdy n "
sn
2. Załóżmy, że Xn X według rozkładu, zaś Yn c według rozkładu,
gdzie c jest stałą. Udowodnij, że XnYn zbiega według rozkladu do cX.
3. Zmienne losowe N, X1, X2, . . . są niezależne przy czym N ma rozkład
Poissona z parametrem , a wszystkie Xi mają jednakowy rozkład
N
N (-1, 4). Znajdz funkcję charakterystyczną zmiennej S = Xi
i=1
(przyjmujemy, że S = 0 gdy N = 0).
4. Dane są dwa martyngały Xn i Yn względem ustalonej filtracji Fn oraz
moment zatrzymania � taki, że X� = Y� na zbiorze {� < "}. Udowodnij,
że zmienne Zn dane wzorem
Zn = Yn dla n > � oraz Zn = Xn dla n �
też są martyngałem względem filtracji Fn.
5. Zmienne X1, X2, . . . są niezależne i mają rozkład jednostajny na [-1, 1].
n
Niech Fn = �(X1, . . . , Xn) oraz Sn = Xi. Znajdz wszystkie liczby
i=1
n
a = 0 dla których aneS jest martyngałem względem Fn. Czy otrzymany

martyngał jest zbieżny prawie na pewno, a jeśli tak to od jakiej granicy?
6. Zmienna losowa X ma funkcję charakterystyczną �. Udowodnij, że �
2Ą
jest okresowa z okresem t0 > 0 wtedy i tylko wtedy gdy P (X " Z) =
t0
1.
Wszystkie zadania będą oceniane w skali 0-10
Egzamin z rachunku prawdopodobieństwa, 22 stycznia 2001.
I. Cz�ść testowa należy napisać wylacznie odpowiedz.
e �
1. Rzucono 7 razy kostk� Ile średnio ,,szóstek otrzymano w dwóch pier-
a.
wszych rzutach, jeśli wiadomo, że wypadly cztery ,,szóstki ?
2. Zmienna losowa Xn ma rozklad jednostajny na odcinku [0, 1 - 1/n],
n = 2, 3, . . .. Wyznaczyć limn" P (Xn " [1/3, 2/3]).
3. X, Y s� niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkladzie Poissona z
a
parametrem 1. Obliczyć a) E((X + Y )2|X); b) E(X|(X + Y )2).
4. �1, �2 s� funkcjami charakterystycznymi. Czy poniższe funkcje s� zawsze
a a
funkcjami charakterystycznymi?
1 2
a) �1�2; b) �1 + �2; c) �1 + �2; d) eit�1(-3t).
3 3
5. Czas obslugi przy kasie w supermarkecie ma rozklad wykladniczy o
średniej 5 (minut). Oszacować prawdopodobieństwo, że laczny czas obslugi
�
100 klientów przekroczy 9 godzin. Czasy obslugi poszczególnych klientów s�
a
niezależne.
6. Proces (Xn, Fn) jest martyngalem. Czy wynika st� że dla n = 2, 3, . . .:
ad,
a) EXn = EX1;
b) EXn1{X e"0} = EX11{X e"0};
n 1
c) EXn1{X e"0} = EX11{X e"0}.
1 1
7. Zmienne losowe Xi s� niezależne i maj� rozklad jednostajny na [0, 1].
a a
Wyznaczyć E�, gdzie � = inf{n: X1 + . . . + Xn e" 1}.
8. Rzucamy kostk� do chwili otrzymania wszystkich parzystych wyników.
a
Jaka jest wartość średnia sumy wyrzuconych oczek?
9. Dane s� momenty stopu � i �. Które ze zdarzeń należ� do F� ? Do F�?
a a
a) {� < �}; b) {� d" �}; c) {� = �}.
W trzech nast� zadaniach Wt, Vt, t e" 0 s� niezależnymi procesami
epnych a
Wienera.
t
10. Obliczyć EeisW .
11. Obliczyć funkcj� kowariancji procesu Wt - tW1.
e
12. Podać warunek konieczny i dostateczny na to, by proces aWt + bVt byl
procesem Wienera.
II. Cz�ść teoretyczna wymagane jest pelne rozwiazanie z uzasadnieniem.
e �
T1. Wykazać, że rodzina rozkladów wykladniczych ze średnimi (t)t"T jest
j� wtedy i tylko wtedy, gdy supt"T t < ".
edrna
T2. Wykazać, że jeśli Xn X wedlug rozkladu, an a, bn b, to
anXn + bn aX + b wedlug rozkladu.
T3. Proces (Xn, Fn) jest martyngalem, Dn = Xn+1 - Xn, n = 1, 2, . . ..
Wykazać, że jeśli zmienne losowe Dn s� ograniczone, to s� nieskorelowane.
a a
Egzamin z rachunku prawdopodobieństwa, 13 czerwca 2002
1. Dwie korektorki, Anna i Beata, czytają niezależnie od siebie ten sam tekst. Anna znalazła w nim 64
błędy, Beata 82, przy czym błędów znalezionych przez obie było 42. Jak wytłumaczyć fakt, że zostały
zwolnione z pracy?
1
2. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Cauchy ego, czyli o gęstości g(x) = . Znalezć
Ą(1+x2)
1
rozkład zmiennej losowej .
X
3. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na
przedziale [0, 1].
a) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Z = XY . Znalezć rozkład Z.
b) Znalezć Cov(max(X, Y ), X + Y ).
4. Pokazać, że jeli X1, X2, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, przy
czym X1 e" 0 i EX1 = ", to

X1 +. . . +Xn
P lim = " =1.
n"
n
5. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0, 1). Obliczyć

E (X + Y )3|X .
6. Na 120 studentów 48 wybrało wykład dra Adama Z., a pozostałych 72 dr hab. Zofii A.
Adam twierdzi, że odchylenie od równego podziału jest nieistotne i zostało spowodowane czynnikami
losowymi, natomiast Zofia uważa za oczywiste, że studenci wolą jej wykład.
a) Czyje stwierdzenie jest bardziej wiarygodne?
b) Przypuśćmy, że jest 600 studentów, którzy podzielili się w takiej samej proporcji, tj. 240:360. Czy
zmienia to wynik uzyskany w punkcie a?
Egzamin Poprawkowy z Rachunku Prawdopodobieństwa
10 września 2002
1. Zmienne X1, X2, . . . są niezależne i mają jednakowy rozkład Poissona z
parametrem 2. Udowodnij, że ciąg zmiennych losowych
X1 + X2 + . . . + Xn
X1X2 + X2X3 + . . . + XnXn+1
jest zbieżny prawie na pewno i znajdz jego granicę.
2. Z 52 kartowej talii wylosowano bez zwracania 10 kart. Oblicz wartość
oczekiwaną i wariancję liczby pików wśród wylosowanych kart.
3. Zmienne X, Y i Z są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale
[0, 5]. Oblicz E(XY |X), E((X + Y )2|X) oraz E(X + Y |Y + Z).
4. Zmienne X, Y, Z są niezależne i mają standardowy rozkład normalny N (0, 1).
Czy zmienna (X + 2Y - 3Z)2 ma rozkład ciągły? Jeśli tak to znajdz jej
gęstość.
5. Zmienne X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład wykładniczy z
parametrem 1, a Y wykładniczy z parametrem 3. Znajdz rozkład zmiennej
X + Y i oblicz P(X Y ).
6. Na rynku telekomunikacyjnym w pewnym kraju działają 3 sieci komórko-
we. Do sieci A należy 25% klientów, do sieci B 35%, a do sieci C pozosta-
łych 40%. Wśród klientów sieci A 60% ma telefony bezabonamentowe (na
kartę), w sieci B i C jest to odpowiednio 50% i 45% klientów.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwu losowo wybranych użytkowni-
ków telefonii komórkowej należy do tej samej sieci?
b) Losowo wybrany użytkownik ma telefon na kartę. Jakie jest prawdopo-
dobieństwo, że używa on sieci A?
7. Zdarzenia A1, A2, . . . są niezależne oraz P(An) < 1 dla wszystkich n. Udo-
wodnij, że jeśli prawie na pewno zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeń
An to prawie na pewno zachodzi nieskończenie wiele spośród zdarzeń An.
8. Losowo wybrano jedną spośród liczb całkowitych od 0 do 999999. Oblicz
prawdopodobieństwo, że wybrana liczba ma w zapisie dziesiętnym
a) przynajmniej jedną cyfrę równą 1
b) dokładnie jedną cyfrę równą 1
c) przynajmniej jedną cyfrę równą 1 i przynajmniej jedną cyfrę równą 9
d) sumę cyfr równą 8.
9. Niech X, X1, X2, ... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
rozkładzie. Udowodnij, że ciąg zmiennych Yn = max(|X1|, |X2|, . . . , |Xn|)
jest zbieżny prawie na pewno do X .
"
Wszystkie zadania będą oceniane w skali 0-10, do otrzymania oceny bardzo
dobrej wystarczy rozwiązanie 7 zadań.
Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa II
16 stycznia 2003
1. Zmienne X1, X2, . . . są niezależne o jednakowym rozkładzie takim, że
EXi = 0, EXi2 = �2. Udowodnij, że dla dowolnej funkcji f : R R
różniczkowalnej w 0
"
Sn
n(f( ) - f(0)) N (0, �2(f (0))2) według rozkładu,
n
gdzie jak zwykle Sn = X1 + X2 + . . . + Xn.
2. Wykaż, że zmienne nieujemne Xn zbiegają według rozkładu do zmien-
nej o rozkładzie jednostajnym na [0, 1] wtedy i tylko wtedy gdy zmienne
- ln Xn zbiegają według rozkładu do zmiennej o rozkładzie wykładni-
czym z parametrem 1.
3. Zmienna losowa X ma funkcję charakterystyczną �. Udowodnij, że dla
dowolnej liczby rzeczywistej u

a
1
P(X = u) = lim e-iut�(t)dt.
a"
2a -a
4. W urnie znajduje się 10 kul ponumerowanych cyframi od 0 do 9. Losu-
jemy z urny po jednej kuli ze zwracaniem do momentu aż każda kula
zostanie wylosowana przynajmniej jeden raz. Oblicz wartość oczekiwa-
ną
a) liczby losowań
b) sumy cyfr na wylosowanych kulach.
2
5. Dany jest martyngał (Xn, Fn)" taki, że EXn < " dla wszystkich n.
n=0
Połóżmy dn = Xn - Xn-1 dla n = 1, 2, . . . oraz dla ustalonego ciągu
(an)" zdefiniujmy
n=0
n

Yn = a0X0 + akdk, n = 0, 1, . . . .
k=1
Wykaż, że
a) (Yn, Fn)" jest martyngałem
n=0
n
2 2
b) EYn = a2EX0 + a2Ed2.
0 k=1 k k
c) Jeśli ciąg an jest ograniczony oraz martyngał Xn jest zbieżny w L2
to również Yn jest zbieżny w L2.
6. Rozpatrzmy łańcuch Markowa na zbiorze liczb całkowitych z macierzą
przejścia P = (pxy) daną wzorem
1
p0,k = dla k = -1, 0, 1,
3
pk,k-1 = q, pk,k+1 = p dla k -1,
pk,k-1 = p, pk,k+1 = q dla k 1,
gdzie q = 1 - p oraz p " (0, 1). Wykaż, że łańcuch jest nieprzywiedlny
i nieokresowy. Dla jakich wartości p, podany łańcuch jest powracalny?
7. Niech (Wt)t 0 będzie procesem Wienera, zaś Ft = �(Ws : s t).
Znajdz funkcję f : [0, ") R taką, że
t
(eiW +f(t), Ft) jest martyngałem.
Wszystkie zadania będą oceniane w skali 0-10, do otrzymania oceny bar-
dzo dobrej wystarczy poprawne rozwiązanie 6 zadań.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
RP II starr kolokwium 4 XII 2008
RP II Kolokw 20 XII 2004 Poprawkowe
Egzamin RP 2 4 II 2008 Cz p1 sza
pytania z kolokwium i egzaminu
RP II Zadania Domowe
RP II Zadania serie 01 22 02 p23
II Ogólnopolski Próbny Egzamin Zawodowy Technik Hotelarstwa marzec 2013 ROZWIĄZANY
RP II Zadania serie 01 09 03 Latala p17
kolokwia egzaminy 03 2005

więcej podobnych podstron