Statystyka Strona 1 z 3 Zestaw 10
1
xi x1 =� a x2 xn =� b
Rozkład jednostajny dyskretny P(�X =� k)�=� K�
n
pi
1 n 1 n K� 1 n
Momenty:
a +� b
n2 -�1 (�n2 -�1)�(�3n2 -� 7)�
m1 =� m�3 =� 0
m�2 =� m�4 =�
2
12 240
n
ć� ��
�� ��
Rozkład dwumianowy P(�X =� k)�=� pkqn-�k q =�1-� p k =� 0,1,K�,n
��k ��
Ł� ł�
Momenty:
2
m1 =� np m�2 =� npq m�3 =� npq(�1-� 2p)�
m�4 =� 3(�npq)� +� npq(�6p2 -� 6p +�1)�
M N -� M
ć� ��ć� ��
�� ���� ��
�� ���� ��
k n -� k
Ł� ł�Ł� ł�
Rozkład hipergeometryczny P(�X =� k)�=�
N
ć� ��
�� ��
�� ��
n
Ł� ł�
Momenty:
nM (�N -� M )�(�N -� 2M )�(�N -� n)�(�N -� 2n)�
nM nM (�N -� M )�(�N -� n)� m�3 =�
m1 =� m�2 =�
2
N3 (�N -�1)�(�N -� 2)�
N N N -�1
nM K�K�K�K�
m�4 =� +�L�L�L�
4
N (�N -�1)�(�N -� 2)�(�N -� 3)�
1
��
dla a Ł� x Ł� b
��
Rozkład jednostajny ciągły f (�x)�=�
��b -� a
��0 dla x <� a i x >� b
��
Momenty:
2 4
a +� b
(�b -� a)� (�b -� a)�
m�3 =� 0
m1 =�
m�2 =� m�4 =�
2
12 80
��
l�e-�l�x dla x ł� 0
Rozkład wykładniczy f (�x)�=�
��
��0 dla x <� 0
Momenty:
1 1 2 9
m1 =� m�2 =� m�3 =� m�4 =�
l� l�2 l�3 l�4
(�x-�m)�2
-�
1 2
2s�
Rozkład normalny f (�x)�=� e dla -� Ą� <� x <� +�Ą�
s� 2p�
Momenty:
2 4
m�3 =� 0
m1 =� m m�2 =� s� m�4 =� 3s�
Statystyka Strona 2 z 3 Zestaw 10
ROZKA
AD NORMALNY STANDARYZOWANY
Standaryzacja jest rodzajem normalizacji zmiennej losowej, w wyniku której zmienna uzyskuje wartośd
oczekiwaną równą zero i wariancję równą jeden.
N(�m,s� )� �� N(�0,1)�
X -� m
X �� Z =�
s�
2
z
-�
1
2
f (�x)� �� j�(�z)� gęstośd prawdopodobieostwa j�(�z)�=� e
2p�
2
z t
-�
1
2
F(�x)� �� F�(�z)� dystrybuanta F�(�z)�=�
��e dt
2p�
-�Ą�
j�(�-� z)�=� j�(�z)�
Własności:
F�(�-� z)�=� 1-� F�(�z)�
Prawdopodobieostwo: P(�x1 <� X <� x2)�=� F(�x2)�-� F(�x1)� programy komputerowe
x1 -� m x2 -� m
x1 �� z1 =� x2 �� z2 =� P(�z1 <� Z <� z2)�=� F�(�z2)�-� F�(�z1)� tablice statystyczne
s� s�
REGUA
A TRZECH SIGM
�� 68,3% wartości zmiennej losowej mieści się w granicach jednego odchylenia standardowego wokół
wartości oczekiwanej
�� 95,5% wartości zmiennej losowej mieści się w granicach dwóch odchyleo standardowych wokół
wartości oczekiwanej
�� 99,7% wartości zmiennej losowej mieści się w granicach trzech odchyleo standardowych wokół
wartości oczekiwanej
P(�m -�s� <� X <� m +�s�)�=� 0,683 obszar jasnoszary
P(�m -� 2s� <� X <� m +� 2s� )�=� 0,955 obszar jasnoszary + ciemnoszary
P(�m -�3s� <� X <� m +�3s�)�=� 0,997 obszar jasnoszary + ciemnoszary + czarny
� �
2� 2�
3� 3�
N(0,1) - rozkład normalny standaryzowany
Statystyka Strona 3 z 3 Zestaw 10
ZADANIA
1. Oblicz parametry m1 , m�2 , m�3 oraz prawdopodobieostwa P(�X <� EX )�, P(�X >� EX )� dla rozkładów
dyskretnych:
a. wyniki pojedynczego rzutu kostką sześciościenną
b. ilośd wypadnięd orła w 6 rzutach monetą
c. wyniki gry w Lotto
2. Obliczyd wartośd oczekiwaną, medianę, wariancję, asymetrię i kurtozę dla rozkładów ciągłych:
a. jednostajnego na przedziale 0,5
b. wykładniczego z parametrem l� =� 2
c. normalnego N(�10,5)�
3. Autobus odjeżdża z przystanku co 10 minut. Zakładając, że rozkład czasu przybycia pasażera
na przystanek jest jednostajny, oblicz prawdopodobieostwo, że będzie on czekał co najmniej 4 minuty.
4. Czas bezawaryjnej pracy pewnego urządzenia (w godz.) jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym
z parametrem l� =�1 2 . Obliczyd prawdopodobieostwo, że urządzenie nie zepsuje się przed upływem
3 godzin.
5. Waga populacji mężczyzn ma rozkład normalny N(�70,6)�. Wykorzystując regułę trzech sigm, obliczyd
udział w populacji mężczyzn o wadze:
a. do 58 kg
b. 70 - 76 kg
c. ponad 88 kg
6. Zmienna losowa podlega rozkładowi N(�4,9)�. Obliczyd korzystając z tablic statystycznych dla
dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego:
a. P(�X >�12)�
b. P(�X -� 2 <�14)�
c. P(�X -� 3 >�11)�
7. Zmienna losowa podlega rozkładowi N(�2,4)�. Wyznaczyd wartośd parametru k tak, aby:
a. P(�X -� 2 <� k)�=� 0,9
b. P(�X -� 2 <� 4k)�=� 0,8