ÿþZ m i e n n a l o s o w a
W y l o s o w a n i e p e w n e g o e l e m e n t u z p o p u l a c j i g e n e r a l n e j z d a r z e n i e l o s o w e , n a t o m i a s t
p a r a m e t r k l a s y f i k u j c y z d a r z e n i e z m i e n n a l o s o w a . W k o n t e k [c i e p o m i a r ó w :
f&z d a r z e n i e l o s o w e w y k o n a n i e p o m i a r u w i e l k o [c i f i z y c z n e j ,
f&z m i e n n a l o s o w a w a r t o [ l i c z b o w a m i a r y w y n i k u p o m i a r u .
Z m i e n n e l o s o w e o z n a c z y m y d u |y m i l i t e r a m i X , Y , . . . , a w a r t o [c i p r z y j m o w a n e p r z e z z m i e n n e
l o s o w e m a By m i x , y , . . . l u b x i .
Z m i e n n a l o s o w a
s k o k o w a c i g Ba
K a |d e m u z d a r z e n i u m o |n a p r z y p i s a p e w n e p r a w d o p o d o b i e Ds t w o P ( X = a ) .
D y s t r y b u a n t a F ( x ) j e s t Bc z n y m p r a w d o p o d o b i e Ds t w e m u z y s k a n i a w y n i k u z p r z e d z i a Bu o d - "
d o x .
P ( X < x ) = P ( - "< X < a ) = F ( x )
D y s t r y b u a n t a j e s t n i e m a l e j c f u n k c j z m i e n n e j l o s o w e j X . G d y x ’! ", t o F ( x ) = 1 , g d y x ’!- ",
t o F ( x ) = 0 .
R o z k Ba d p r a w d o p o d o b i e Ds t w a z m i e n n e j l o s o w e j s k o k o w e j : P ( X = x ) = p i
D l a c i g Be j z m i e n n e j l o s o w e j s t o s u j e s i g s t o [ p r a w d o p o d o b i e Ds t w a f ( x ) z m i e n n e j l o s o w e j
p o c h o d n a d y s t r y b u a n t y :
d F ( x )
f ( x ) =
d x
R o z k Ba d g s t o [c i p r a w d o p o d o b i e Ds t w a z m i e n n e j l o s o w e j c i g Be j n a z y w a m y z a l e |n o [
g s t o [c i p r a w d o p o d o b i e Ds t w a f ( x ) o d w a r t o [c i x z m i e n n e j l o s o w e j X . Z n a j c g s t o [
p r a w d o p o d o b i e Ds t w a m o |n a Ba t w o o b l i c z y d y s t r y b u a n t z e w z o r u
x
F ( x ) = f ( x ) d x
+"
- "
P a r a m e t r y r o z k Ba d u z m i e n n y c h l o s o w y c h
Z w y k l e n i e z n a m y p e Bn e g o r o z k Ba d u p r a w d o p o d o b i e Ds t w a l u b j e g o z n a j o m o [ n i e j e s t d l a n a s
i n t e r e s u j c a , d l a t e g o w y s t a r c z a n a m w i e d z a o k i l k u j e g o c h a r a k t e r y s t y c z n y c h p a r a m e t r a c h .
f&w a r t o [ o c z e k i w a n a ( n a d z i e j a m a t e m a t y c z n a )
f&w a r i a n c j a
f&o d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e
f&m o m e n t y
f&k w a n t y l e ( f r a k t y l e )
W a r t o [ o c z e k i w a n a . O z n a c z e n i a :
E ( X ) o b l i c z o n a z p o s t a c i a n a l i t y c z n e j r o z k Ba d u
µ - d l a c a Be j p o p u l a c j i
x - d l a p r ó b y
D e f i n i c j a ( d l a s k o k o w e j z m i e n n e j l o s o w e j )
E ( X ) = x p
"
i i
i
g d z i e p i j e s t p r a w d o p o d o b i e Ds t w e m w y s t p i e n i a w a r t o [c i x i
l u b ( d l a z m i e n n e j l o s o w e j c i g Be j )
+ "
E ( X ) = x f ( x ) d x
+"
- "
D l a d o w o l n e j f u n k c j i Y = H ( X ) z m i e n n e j l o s o w e j X w a r t o [ o c z e k i w a n a w y r a |a s i w z o r e m
E { H ( X ) } = H ( x ) p
"
i i
i
D l a n - e l e m e n t o w e j p r ó b y w a r t o [ o c z e k i w a n a s p r o w a d z a s i d o [r e d n i e j a r y t m e t y c z n e j .
W a r t o [ o c z e k i w a n a µ n i e j e s t z m i e n n l o s o w , j e s t n i n a t o m i a s t [r e d n i a a r y t m e t y c z n a z
p r ó b y .
W a r i a n c j a . O z n a c z e n i a :
D 2 ( X ) - o b l i c z o n a z p o s t a c i a n a l i t y c z n e j r o z k Ba d u
Ã2 w a r i a n c j a w p o p u l a c j i
2
S - w a r i a n c j a p r ó b y
x
D e f i n i c j a : w a r t o [ o c z e k i w a n a k w a d r a t u r ó |n i c y z m i e n n e j l o s o w e j i j e j w a r t o [c i o c z e k i w a n e j
D l a z m i e n n e j l o s o w e j s k o k o w e j
2
2
D ( X ) = E { X - E ( X ) }
c o j e s t r ó w n o w a |n e
2
2
D ( X ) = { x - E ( X ) } p
"
i i
D l a s k o Dc z o n e j p o p u l a c j i o l i c z e b n o [c i n m o |n a E ( X ) z a s t p i w a r t o [c i [r e d n i i w t e d y
1
2
2 2
D ( X ) = ( x - x ) a" S
"
i x
n
Z a t e m w a r i a n c j a j e s t [r e d n i k w a d r a t ó w o d c h y l e D o d w a r t o [c i [r e d n i e j
D l a z m i e n n e j l o s o w e j c i g Be j
+ "
2
2
D ( X ) = { x - E ( X ) } f ( x ) d x
+"
i
- "
O d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e . O z n a c z e n i a :
à o d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e w p o p u l a c j i
S x - o d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e p r ó b y
D e f i n i c j a : p i e r w i a s t e k k w a d r a t o w y z w a r i a n c j i
2
à = Ã
2
S = S
x x
O d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e m a t e n s a m w y m i a r c o X i j e s t p r z y j m o w a n e j a k o m i a r a
p r z y p a d k o w e j n i e p e w n o [c i p o m i a r o w e j .
M o m e n t k - t y z m i e n n e j l o s o w e j X w z g l d e m p u n k t u d
m k = E { ( X - d ) k }
g d z i e k - r z d m o m e n t u . G d y d = 0 , t o m ó w i m y o m o m e n t a c h b e z w z g l d n y c h , g d y d = E ( X ) , t o
m ó w i m y o m o m e n t a c h c e n t r a l n y c h .
W a r t o [ o c z e k i w a n a : d = 0 ; k = 1
W a r i a n c j a : d = E ( X ) ; k = 2
D l a r o z k Ba d ó w s y m e t r y c z n y c h m o m e n t y c e n t r a l n e r z d u n i e p a r z y s t e g o z e r u j s i .
K w a n t y l e
K w a n t y l r z d u q ( 0 d"q d"1 ) s t a n o w i w a r t o [ x q z m i e n n e j l o s o w e j X , d l a k t ó r e j d y s t r y b u a n t a
F ( x ) j e s t r ó w n a r z d o w i k w a n t y l a .
F ( x )
q
N a j c z [c i e j s t o s o w a n e k w a n t y l e :
k w a r t y l d o l n y q = 0 . 2 5
m e d i a n a q = 0 . 5
k w a r t y l g ó r n y q = 0 . 7 5
x q x
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