��Zmienna losowa
Wylosowanie pewnego elementu z populacji generalnej zdarzenie losowe, natomiast
parametr klasyfikujcy zdarzenie zmienna losowa. W kontek[cie pomiar�w:
f&zdarzenie losowe wykonanie pomiaru wielko[ci fizycznej,
f&zmienna losowa warto[ liczbowa miary wyniku pomiaru.
Zmienne losowe oznaczymy du|ymi literami X,Y, ..., a warto[ci przyjmowane przez zmienne
losowe maBymi x, y, ... lub xi.
Zmienna losowa
skokowa cigBa
Ka|demu zdarzeniu mo|na przypisa pewne prawdopodobieDstwo P(X=a).
Dystrybuanta F(x) jest Bcznym prawdopodobieDstwem uzyskania wyniku z przedziaBu od - "
do x.
P(X<�x)=P(- "<�X<�a)=F(x)
Dystrybuanta jest niemalejc funkcj zmiennej losowej X. Gdy x�! ", to F(x)=1, gdy x�!- ",
to F(x)=0.
RozkBad prawdopodobieDstwa zmiennej losowej skokowej: P(X=x)=pi
Dla cigBej zmiennej losowej stosuje si gsto[ prawdopodobieDstwa f(x) zmiennej losowej
pochodna dystrybuanty:
dF(x)
f (x) =
dx
RozkBad gsto[ci prawdopodobieDstwa zmiennej losowej cigBej nazywamy zale|no[
gsto[ci prawdopodobieDstwa f(x) od warto[ci x zmiennej losowej X. Znajc gsto[
prawdopodobieDstwa mo|na Batwo obliczy dystrybuant ze wzoru
x
F(x) = f (x)dx
+"
- "
Parametry rozkBadu zmiennych losowych
Zwykle nie znamy peBnego rozkBadu prawdopodobieDstwa lub jego znajomo[ nie jest dla nas
interesujca, dlatego wystarcza nam wiedza o kilku jego charakterystycznych parametrach.
f&warto[ oczekiwana (nadzieja matematyczna)
f&wariancja
f&odchylenie standardowe
f&momenty
f&kwantyle (fraktyle)
Warto[ oczekiwana. Oznaczenia:
E(X) obliczona z postaci analitycznej rozkBadu
� - dla caBej populacji
x - dla pr�by
Definicja (dla skokowej zmiennej losowej)
E(X ) = x p
"
i i
i
gdzie pi jest prawdopodobieDstwem wystpienia warto[ci xi
lub (dla zmiennej losowej cigBej)
+ "
E(X ) = xf (x)dx
+"
- "
Dla dowolnej funkcji Y=H(X) zmiennej losowej X warto[ oczekiwana wyra|a si wzorem
E{H (X )} = H (x ) p
"
i i
i
Dla n-elementowej pr�by warto[ oczekiwana sprowadza si do [redniej arytmetycznej.
Warto[ oczekiwana � nie jest zmienn losow, jest ni natomiast [rednia arytmetyczna z
pr�by.
Wariancja. Oznaczenia:
D2(X) - obliczona z postaci analitycznej rozkBadu
�2 wariancja w populacji
2
S - wariancja pr�by
x
Definicja: warto[ oczekiwana kwadratu r�|nicy zmiennej losowej i jej warto[ci oczekiwanej
Dla zmiennej losowej skokowej
2
2
D (X ) = E{X - E(X )}
co jest r�wnowa|ne
2
2
D (X ) = {x - E(X )} p
"
i i
Dla skoDczonej populacji o liczebno[ci n mo|na E(X) zastpi warto[ci [redni i wtedy
1
2
2 2
D (X ) = (x - x) a" S
"
i x
n
Zatem wariancja jest [redni kwadrat�w odchyleD od warto[ci [redniej
Dla zmiennej losowej cigBej
+ "
2
2
D (X ) = {x - E(X )} f (x)dx
+"
i
- "
Odchylenie standardowe. Oznaczenia:
� odchylenie standardowe w populacji
Sx- odchylenie standardowe pr�by
Definicja: pierwiastek kwadratowy z wariancji
2
� = �
2
S = S
x x
Odchylenie standardowe ma ten sam wymiar co X i jest przyjmowane jako miara
przypadkowej niepewno[ci pomiarowej.
Moment k-ty zmiennej losowej X wzgldem punktu d
mk=E{(X - d)k}
gdzie k- rzd momentu. Gdy d=0, to m�wimy o momentach bezwzgldnych, gdy d=E(X), to
m�wimy o momentach centralnych.
Warto[ oczekiwana: d=0; k=1
Wariancja: d=E(X); k=2
Dla rozkBad�w symetrycznych momenty centralne rzdu nieparzystego zeruj si.
Kwantyle
Kwantyl rzdu q (0d"qd"1) stanowi warto[ xq zmiennej losowej X, dla kt�rej dystrybuanta
F(x) jest r�wna rzdowi kwantyla.
F(x)
q
Najcz[ciej stosowane kwantyle:
kwartyl dolny q=0.25
mediana q=0.5
kwartyl g�rny q=0.75
xq x
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
10 parametry rozkladowRozkład trójkątny1 parametry technniczne wymiary tablic zal nr1id?43NiBS 3 Rozklad trojkatny Modele Starzenie obiektow nieodnawianychTablice Dystrybuanta rozkładu normalnegoCw 6 Parametryczny stabilizator napiecia7 rozklady stacjonarne2Oszacowanie parametrów charakterystyk podatnych połączeń stalowych za pomocą sieci neuro rozmytejkernel parameters3 2 invocation parametersparametrywwięcej podobnych podstron