Zadania ćwiczeniowe
Zad. 1.
Przyjmując, że macierz bezwładności D manipulatora jest opisana przez:
2 2
d11 =ð m1lC1 +ð m2(ðl12 +ð lC 2 +ð 2l1lC 2 cos q2)ð+ð I1 +ð I2
2
d12 =ð d21 =ð m2(ðlC 2 +ð l1lC 2 sin q2)ð+ð I2
2
d22 =ð m2lC 2 +ð I2
wykazać, że det D Ä…ð 0 , dla dowolnego q.
Zad. 2.
Manipulator robota przegubowego jednoczłonowego stanowi sztywna belka pryzmatyczna o
masie M ułożyskowana na jednym końcu prostopadle do osi podłużnej jak pokazano na
rys.1. Jest on napędzany silnikiem elektrycznym prądu stałego DC przez przekładnię
harmoniczną redukującą prędkość obrotową o współczynniku przełożenia i:1. Przekładnia jest
podatna skrętnie, współczynnik sztywności skrętnej wynosi k. Środek masy belki leży na jej
osi wzdłużnej w odległości l od osi obrotu. Silnik generuje moment obrotowy T , w
łożyskach silnika występuje moment hamujący Cm , zaś w łożyskach na osi obrotu ramienia
występuje moment hamujący Cl momenty te są zależne od prędkości i jako opory ruchu mają
charakter niezachowawczy. KÄ…t obrotu waÅ‚u silnika oznaczono Qðm a kÄ…t obrotu belki
mierzony jako kÄ…t jej osi wzdÅ‚użnej od pÅ‚aszczyzny poziomej oznaczono Qðl . KorzystajÄ…c z
równań Lagrange a, wyznaczyć dynamiczne równania ruchu.
Rys. 1. Manipulator jednoczłonowy napędzany przekładnią harmoniczną.
Zad. 3.
Na rys. 2. pokazano manipulator kartezjański przestrzenny. Przyjmując parametry opisane na
rysunku jako dane, wyznaczyć:
a) tensor bezwÅ‚adnoÅ›ci Ji każdego z czÅ‚onów i =ð 1,2,3 zakÅ‚adajÄ…c, że czÅ‚ony 1,2
Rys. 2. Przestrzenny manipulator kartezjański
sÄ… prostopadÅ‚oÅ›ciennymi belkami jednorodnymi dÅ‚ugoÅ›ciach l1, l2 i przekrojach c ´ð c z
poprzecznymi prowadnicami na koÅ„cach w postaci skrzynek o wymiarach 2c´ð 2c ´ð 2c z
otworem na belkÄ™ kolejnego czÅ‚onu o przekroju c ´ð c . Współczynnik gÄ™stoÅ›ci masy przyjąć
rð . CzÅ‚on trzeci jest prostopadÅ‚oÅ›ciennÄ… belkÄ… jednorodnÄ… o dÅ‚ugoÅ›ci l3 i przekroju c ´ð c .
b) macierz bezwÅ‚adnoÅ›ci D o wymiarach 3´ð 3 tego manipulatora.
c) wykazać, że wszystkie symbole Christoffela cijk są równe zeru, wyjaśnić, jakie
znaczenie ma ten fakt dla pracy i sposobu sterowania manipulatora robota?
d) wyprowadzić macierzową postać równań ruchu manipulatora o postaci:
&ð&ð &ð &ð
D(ðq)ðq +ð C(ðq,q)ðq +ð g(ðq)ð=ðtð
gdzie tð jest wektorem siÅ‚ uogólnionych zgodnych z kierunkami przyjÄ™tych współrzÄ™dnych uogólnionych.
Zad. 4.
1
&ð
PÄ™d punktu materialnego o masie m i energii kinetycznej K =ð mx2 okreÅ›lamy z zależnoÅ›ci:
2
dK
&ð
p =ð mx =ð ,
&ð
dx
Dla układu mechanicznego o współrzędnych q1,...qn , pęd uogólniony pk określa się jako:
dL
pk =ð ,
&ð
dqk
1
&ð &ð
gdzie L jest lagrangianem ukÅ‚adu. MajÄ…c energiÄ™ kinetycznÄ… K =ð qTD(ðq)ðq i L =ð K-V ,
2
wykazać, że
n
&ð
pk =ð 2K
åðqk
k=ð1
Zadania dodatkowe:
Zad. 5.
Zdefiniujmy funkcjÄ™:
n
&ð
H =ð pk -ð L
åðqk
k =ð1
zwaną hamiltonianem układu.
a) wykazać, że H =ð K +ð V ,
b) korzystając z równań Lagrange a wyprowadzić równania Hamiltona
Å›ðH Å›ðH
&ð &ð
qk =ð , pk =ð -ð +ðtð ,
Å›ðpk Å›ðqk k
gdzie tð jest siÅ‚Ä… uogólnionÄ…
k
c) dla manipulatora pokazanego na rys. 3 wyznacz równania Hamiltona i zapisać je w
postaci macierzowej, jaki jest rząd równań?
Rys. 3. Płaski manipulator przegubowy dwuczłonowy
Zad. 6.
Wykazać, że dla robota z członami sztywnymi zachodzi:
dH
&ð
=ð qTtð ,
dt
dH
gdzie tð jest siÅ‚Ä… zewnÄ™trznÄ…. OkreÅ›lić w jakich jednostkach wyraża siÄ™ pochodna ?
dt