XVII OGÓLNOPOLSKA KONFERENCJA WARSZTAT PRACY PROJEKTANTA KONSTRUKCJI
Ustroń, 20 � 23 lutego 2002 r.
Kazimierz Flaga
ZBROJENIE PRZECIWSKURCZOWE, OBLICZENIA,
ZALECENIA KONSTRUKCYJNE W BUDOWNICTWIE
POWSZECHNYM
1. Uwagi ogólne
Problemy skurczu betonu, jego wpływ na pracę statyczno-wytrzymałościową konstrukcji
z betonu oraz na konieczne zbrojenie przeciwskurczowe w strefach przypowierzchniowych
elementów z betonu traktowane są przez kolejne polskie normy do obliczania konstrukcji
betonowych, żelbetowych i sprężonych - zupełnie marginalnie. Nic też dziwnego, że wiele z
tych elementów czy też konstrukcji ulega nieprzewidzianemu zarysowaniu, mimo że
projektant spełnił - w swoim przeświadczeniu - wszystkie wymagania polskich norm.
Autor spotkał się z tym problemem wielokrotnie przy ekspertyzach czy też ocenach stanu
technicznego konstrukcji z betonu, dochodząc do wniosku, że:
a) sposób nauczania tych problemów na polskich uczelniach technicznych jest
niewystarczający,
b) projektanci, za przykładem polskich norm przedkładają wzory i procedury obliczeniowe
nad fizyczne uwarunkowania pracy zaprojektowanych przez nich konstrukcji.
W odniesieniu do zagadnienia a) często uważa się, że problem skurczu betonu jest
zagadnieniem technologicznym i jako takie nie powinno być szerzej rozpatrywane przez
wysokiej klasy specjalistów od obliczeń, lubiących czyste schematy obciążeniowe,
materiałowe i obliczeniowe.
W zagadnieniu b) chodzi najczęściej o niewiedzę z zakresu oddziaływania środowiska na
beton, ciągłej wymiany masy i ciepła z otoczeniem, istnienia wewnątrz betonu
niestacjonarnych i nieliniowych pól wilgotności i temperatury, generujących w przekrojach
znaczne naprężenia własne. Wymiary przekrojów, cechy wytrzymałościowe materiałów,
obciążenia są widoczne, a przynajmniej można je sobie wyobrazić. Natomiast wymiana
masy czy ciepła, pola termiczne i wilgotnościowe, a także naprężenia własne są
niewidoczne, wręcz abstrakcyjne, i wyobrażenie ich sobie wymaga odpowiedniego
przygotowania z zakresu chemii fizycznej i fizyki ciał koloidalno - kapilarno - porowatych,
którego najczęściej absolwent wydziałów budownictwa polskich politechnik nie posiada.
Efekty tego stanu rzeczy przejawiają się często w niedostatecznej jakości elementów i
konstrukcji z betonu, która rzutuje na ich trwałość, zwłaszcza w skażonym czy agresywnym
środowisku.
2 Przegląd polskich norm do obliczania konstrukcji z betonu w aspekcie
uwzględniania skurczu betonu
2.1 PN-56/B-03260  Konstrukcje żelbetowe. Obliczenia statyczne i
projektowanie [1]
W p. 6.2.  Temperatura i skurcz betonu podano w 6.2.1, że:  Zabezpieczenie
budynków od ujemnego wpływu sił wywoływanego przez skurcz betonu i temperaturę może
nastąpić albo przez wykonanie odpowiednich przerw dylatacyjnych lub przez uwzględnienie
wpływu skurczu i temperatury w obliczeniu statycznym, albo wreszcie przez zastosowanie
obu sposobów jednocześnie , zaś w 6.2.4., że:  Wpływ skurczu należy uważać za
równoważny z obniżeniem się temperatury o 15 oC w zwykłych i o 20 oC w lekkich
betonach .
W p. 5.4.5.3.podano wymóg:  W belkach wyższych niż 1 m należy zaprojektować
wkładki przy powierzchniach bocznych o średnicy d e" 8 mm, w odstępach nie większych niż
50 cm .
2.2 PN-66/B-03320  Konstrukcje z betonu sprężonego [2]
W p. 4.3.3.  Pełzanie i skurcz betonu (metoda bardziej dokładna) podano tablicę 2.1.
pt.  Wartości odkształcenia jednostkowego �sk w zależności od pielęgnacji betonu i wieku
betonu , jak niżej:
Tablica 2.1 Wartości odkształcenia jednostkowego � w zależności od pielęgnacji
sk
betonu i wieku betonu
Wiek betonu Orientacyjny stosunek
Odkształcenie jednostkowe skurczowe � w
sk
w chwili wytrzymałości betonu do
zależności od pielęgnacji betonu wykonanego przy
sprężenia wytrzymałości wymaganej
użyciu cementu portlandzkiego
w dobach
Rd
beton przechowywany w beton przechowywany w
powietrzu powietrzu o wilgotności
R28
o wilgotności względnej do względnej do 70 %
35 % (powietrze suche) (powietrze wilgotne)
7 0,75 0,00032 0,00026
14 0,90 0,00030 0,00024
28 1,00 0,00026 0,00020
90 1,25 0,00018 0,00014
Dalej podano w tym punkcie, że:  W przypadku naparzania betonu można przyjąć
wartości odkształcenia jednostkowego skurczowego �sk ... jak dla betonu o pełnej
wytrzymałości .
W p. 10.2.6.2. występuje wymóg:  Pręty przeciwskurczowe i montażowe w kierunku
podłużnym belek i płyt należy przyjmować o średnicy co najmniej 4,5 mm w takiej liczbie,
aby ich łączny przekrój był równy co najmniej 0,2 % przekroju betonu i odstęp między
prętami nie przekraczał 33 cm. Zbrojenie podłużne można uwzględnić w obliczeniach
wytrzymałości, zarówno na ściskanie, jak i na rozciąganie .
2.3 PN-76/B-03264  Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia
statyczne i projektowanie [3]
W p. 2.2.2.  Odkształcenia skurczowe podano, że:  Wartości odkształceń skurczowych
�s betonu na jednostkę długości należy przyjmować:
- w konstrukcjach betonowych �s = 0,0003,
- w konstrukcjach żelbetowych �s = 0,0002,
- w konstrukcjach sprężonych - odpowiednio do wieku betonu w chwili sprężenia i
wilgotności środowiska - zgodnie z tabl. 2.2, jak niżej:
Tablica 2.2 Wartości odkształceń skurczowych �
s
Wiek betonu w chwili
Środowisko (wilgotność względna)
sprężenia w dobach
suche zwykłe wilgotne
(< 40 %) (40-70 %) (> 70 %)
7 0,00032 0,00026 0,00019
14 0,00028 0,00023 0,00017
28 0,00024 0,00020 0,00015
90 0,00017 0,00014 0,00010
Dalej podano, że:  W przypadku przyspieszenia twardnienia betonu przez naparzanie,
skurcz betonu należy przyjmować jak dla elementów sprężonych po 14 dniach twardnienia.
Dla konstrukcji znajdujących się w wodzie skurcz betonu �s = 0 .
W p. 6.1.1. zalecono sprawdzenie elementów żelbetowych osiowo i mimośrodowo
rozciąganych 1 kategorii rysoodporności na możliwość pojawienia się rys prostopadłych do
osi elementu, z warunku:
Rbzk - �
bs
N d" (2.1)
1 e
+
Ffp W
fp
gdzie: �bs oznacza naprężenie na sprawdzanej krawędzi przekroju wywołane skurczem
betonu (wartość bezwzględna). Wartości � dla przekroju symetrycznego, symetrycznie
bs
zbrojonego należy obliczać wg wzoru:
� Eb
s
� = (2.2)
bs
1
1+
n �
Wzór na � nie uwzględniał relaksacji naprężeń skurczowych wywołanych pełzaniem
bs
betonu, stąd b. często zachodziło, iż � > Rbzk i siła rysująca wychodziła ujemna.
bs
W p. 9.2.1.7. wprowadzono wymóg:  W belkach żelbetowych oraz w belkach
sprężonych 3 kategorii rysoodporności, jeżeli wysokość przekroju belki jest większa od
70 cm - przy powierzchniach bocznych należy umieszczać podłużne pręty konstrukcyjne w
rozstawie nie większym niż 40 cm. Sumaryczny przekrój tych prętów powinien być nie
mniejszy niż 0,1 % przekroju poprzecznego belki .
W p. 9.5.1.  Odkształcenia konstrukcji od wpływu temperatury i skurczu betonu
postanowiono, że:  Wpływ skurczu w konstrukcjach żelbetowych można przyjmować za
równoważny z obniżeniem się temperatury o 15 oC .
2.4 PN-84/B-03264  Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia
statyczne i projektowanie [4]
W p. 2.2.2.  Odkształcenia skurczowe podtrzymano ustalenia normy z 1976 r. z
wyjątkiem wartości �s dla konstrukcji żelbetowych, które można było przyjmować na
poziomie �s = 0,00015. Ponadto w tablicy 2.2 dotyczącej wartości jednostkowego
odkształcenia skurczowego �s w konstrukcjach sprężonych zmieniono granicę wilgotności
względnej środowiska z 70 % na 75 %.
W p. 6.1. przy sprawdzaniu stanu granicznego pojawienia się rys w elementach
rozciąganych przyjęto we wzorze (1) wartość � = 0, tzn. nie uwzględniono zmniejszenia
bs
się siły rysującej w wyniku naprężeń rozciągających, wymuszonych w przekroju przez opór
wkładek zbrojeniowych.
W p. 9.2.1.5. zapisano, że:  W belkach żelbetowych i sprężonych 3 kategorii
rysoodporności, jeżeli wysokość przekroju belki jest większa niż 0,7 m, przy
powierzchniach bocznych należy umieszczać podłużne pręty konstrukcyjne o średnicy nie
mniejszej niż 8 mm w rozstawie nie większym niż 0,4 m .
W p. 9.5.1.  Odkształcenia konstrukcji od wpływu temperatury i skurczu betonu
postanowiono jak w normie z 1976 r.
2.5 PN-91/S-10042  Obiekty mostowe. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i
sprężone. Projektowanie [5]
W roku 1991 ukazała się norma do projektowania betonowych konstrukcji mostowych,
bazująca na FIP Recommendations opartych na CEB-FIP Model Code (MC 78) z czerwca
1982 r., normie DIN 1045 z 1988 r., normie SIA 162 E z 1989 r. i normie BS 5400 z 1984 r.
Wprowadziła ona do polskiego mostownictwa szereg zmian i uściśleń w stosunku do
poprzedniej normy mostowej PN-58/B-03261.
W zakresie skurczu betonu postanawia ona w p. 3.6.1., że  wartości jednostkowe
odkształcenia skurczu � należy przyjmować odpowiednio do wieku betonu w chwili
so
zmiany obciążenia (sprężenia) i wilgotności środowiska, w którym znajduje się konstrukcja
po tym obciążeniu (sprężeniu). Jeśli nie ma innych udokumentowanych z
ródeł wartość
odkształcenia skurczu � należy przyjmować wg tablicy 2.3, jak niżej:
so
Tablica 2.3 Wartości odkształceń skurczu betonu zwykłego, � , 0
so
Grubość zastępcza em , mm
Wiek betonu w
150 600 150 600
chwili obciążenia
Wilgotność względna %
dni
50 80
7 0,43 0,31 0,26 0,21
28 0,32 0,30 0,23 0,21
90 0,19 0,28 0,16 0,20
 Podane w tablicy 2.3 wartości odkształceń skurczu .......... dotyczą typowych warunków
technologicznych i normalnych warunków dojrzewania dla określonych zakresów
wilgotności i grubości zastępczej. Wartości grubości zastępczej em należy obliczać wg
wzoru:
2 Ab
em = (2.3)
u
w którym:
A - pole przekroju betonu,
b
u - obwód pola przekroju betonu, stykającego się z powietrzem, przynajmniej
okresowo.
Dla betonów znajdujących się stale pod wodą należy przyjmować �so = 0. W przypadku
stosowania przyspieszonego dojrzewania betonu przez podgrzewanie wartość �so należy
przyjmować jak dla betonu obciążonego po 7 dniach twardnienia .
Norma podaje również sposób uwzględnienia wpływu składu mieszanki betonu, ilości
zbrojenia i czasu obciążenia na wartość odkształcenia �so .
W p. 12.4.9.  Minimalny procent zbrojenia w strefie rozciąganej ze względu na
rozwarcie rys norma stanowi, że:  Dodatkowe zbrojenie przypowierzchniowe
(przeciwskurczowe) należy stosować do wszystkich powierzchni zewnętrznych i narażonych
na wpływy atmosferyczne. Ilość zbrojenia przypowierzchniowego siatkowego powinna
odpowiadać co najmniej 0,3 % objętości betonu strefy współpracującej, w obu kierunkach.
Ilość ta obejmuje łączne zbrojenie przypowierzchniowe przy obu przeciwległych
krawędziach przekroju poprzecznego elementu, stanowiące po 50 % każde .
 Rolę tego zbrojenia mogą pełnić siatki zbrojenia głównego i rozdzielczego, dodatkowe
siatki przeciwskurczowe (np. przy powierzchniach zewnętrznych filarów i przyczółków
betonowych) lub kombinacja strzemion i podłużnych prętów przeciwskurczowych (przy
powierzchniach zewnętrznych belek) .
 Przy wysokich belkach zaleca się stopniowanie podłużnych prętów umieszczonych przy
obu powierzchniach bocznych - gęściej od strony rozciąganych prętów głównych .
 Dla części przekroju elementu masywnego o najmniejszym wymiarze co najmniej
400 mm należy określić taką ilość zbrojenia przypowierzchniowego jak dla przekroju
skrzynkowego o ściankach 200 mm grubości. Ilość tę należy umieścić w rozpatrywanej
części elementu masywnego .
 Pręty zbrojenia siatkowego powinny być ułożone ortogonalnie i równomiernie. Jeśli nie
występuje zagrożenie skurczu (zarysowania skurczowego) należy zmniejszyć ilość zbrojenia
przypowierzchniowego do 60 % ilości minimalnych .
Jak z powyższego wynika norma mostowa PN-91/S-10042 po raz pierwszy w Polsce
wprowadziła obowiązek stosowania zbrojenia przypowierzchniowego (przeciw-
skurczowego) do wszystkich betonowych powierzchni zewnętrznych i narażonych na
wpływy atmosferyczne.
2.6 PrPN-B-03264  Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia
statyczne i projektowanie [6]
Jest to najnowszy projekt normy PN-B-03264 będący nowelizacją PN-B-03264:1999,
uwzględniający kolejne uściślenia Eurocodu 2.
W projekcie tym, w p. 2.2.3.  Pełzanie i skurcz betonu zapisano, że:  Wartości
końcowego ....... odkształcenia skurczowego �cs (", ts)  podano w tablicy 2.4 , jak niżej:
Tablica 2.4 Końcowe odkształcenie skurczowe � (",ts ) (0 )
cs
Miarodajny wymiar ho = 2 Ac u
Wilgotność względna
Miejsce elementu
(mm)
RH (%)
d" 150 600
wewnątrz 50 0,60 0,50
na zewnątrz 80 0,33 0,28
 W tablicy - Ac oznacza pole przekroju elementu, u obwód tego pola. Dla wartości
pośrednich dopuszcza się interpolację liniową. Wartości ..... odkształceń skurczowych
�cs (t, ts) w rozważanej chwili t - określać można wg załącznika B . W załączniku B
(informacyjnym) podano sposób obliczania �cs (t, ts) wg ENV 1992-1-1:1991.
Punkt 6.2. projektu normy  Nominalne pole przekroju zbrojenia podaje zasadę
obliczania minimalnego pola As przekroju zbrojenia rozciąganego, wymaganego z uwagi na
ograniczenie szerokości rys spowodowanych naprężeniami wywołanymi przez odkształcenia
wymuszone przyczynami wewnętrznymi (skurcz) lub zewnętrznymi (osiadanie podpór).
Punkt ten wiąże się pośrednio z problemem zbrojenia przeciwskurczowego i będzie
omówiony w dalszej części niniejszej pracy.
Punkt 8.1.7. projektu normy poświęcony jest zbrojeniu przypowierzchniowemu. Nie ma
w nim jednak wzmianki o tym, że zbrojenie przypowierzchniowe może być także
zbrojeniem przeciwskurczowym. Punkt dotyczy zbrojenia przypowierzchniowego mającego
na celu ograniczenie szerokości rys w belkach o wysokości większej niż 1 m oraz zbrojenia
przypowierzchniowego przeciwdziałającego odłupywaniu się otuliny betonu w belkach
zbrojonych wiązkami prętów lub prętami o średnicy większej niż 25 mm.
W p. 9.3.1.5.  Zbrojenie belek jest wymóg:  W belkach żelbetowych i sprężonych, w
których dopuszcza się zarysowanie, jeżeli wysokość przekroju belki jest większa niż
700 mm, przy powierzchniach bocznych należy umieszczać podłużne pręty konstrukcyjne o
średnicy nie mniejszej niż 8 mm w rozstawie nie większym niż 350 mm .
W p. 9.7.1.  Odkształcenia konstrukcji od wpływu temperatury i skurczu betonu
powtórzono za poprzednimi normami zapis, że:  Wpływ skurczu w konstrukcjach
żelbetowych można przyjmować za równoważny z obniżeniem się temperatury o 15 oC .
2.7. Podsumowanie
Jak wynika z powyższych zestawień polskich norm z lat 1956-2001 do projektowania
konstrukcji z betonu, w zakresie zagadnień związanych ze skurczem betonu, wpływem
skurczu na wartości sił wewnętrznych, zbrojeniem przeciwskurczowym - dochodziło na
przestrzeni lat do kolejnych uściśleń, ale niewystarczających. Problemy te wymagają
szerszego naświetlenia.
3. Skurcz betonu wg Eurokodu-2
Chcąc poczynić dalsze rozważania związane ze zbrojeniem przeciwskurczowym w
konstrukcjach betonowych w budownictwie powszechnym, należy przede wszystkim dość
precyzyjnie określić wartość skurczu betonu w tych konstrukcjach.
W roku 1991 ukazała się pierwsza wersja Eurokodu 2:  Projektowanie konstrukcji z
betonu - Część 1: Reguły generalne i reguły dla budynków , opracowana przez European
Committee for Standarisation (CEN) i oznaczona jako ENV-1992-1-1: 1991. Dość szybko
bo już w 1992 r. Instytut Techniki Budowlanej w Warszawie wydał  Wersję polską
ENV 1992-1-1: 1991 [7] zaś w 1993 r., -  Postanowienia Krajowe do ENV 1992-1-
1: 1991 [8]. Oba te dokumenty stały się podstawą do prac nad znowelizowaniem PN-84/B-
03264 w duchu zaleceń europejskich, co związane było integralnie z dążeniami Polski do
wejścia w skład Unii Europejskiej.
W rezultacie w roku 1994 powstała pierwsza wersja znowelizowanej normy pod nazwą
PrPN-B-03264, która ostatecznie została wdrożona w roku 1999 jako PN-B-03264:1999 [9].
Równolegle Zespół Autorski pod patronatem Sekcji Konstrukcji Betonowych KILiW
PAN opracował w 1997 roku 3. tomowe dzieło pt.  Podstawy projektowania konstrukcji
żelbetowych i sprężonych według Eurokodu 2 [10], w ramach uzyskanego z KBN grantu.
Dzieło to miało stanowić komentarz do zmian wprowadzonych w PN-B-03264:1999.
Niestety w ostatnich 2. latach doszło do znacznego przyśpieszenia prac związanych z
przekształceniem Eurokodu 2 (ENV 1992) w normę europejską EN 1992 tak, iż w czerwcu
1999 r. ukazał się pierwszy Draft EN 1992-1 (1st draft) [11] wprowadzający zmiany do
ustaleń ENV 1992-1-1:1991. W ślad za tym PKN opracował kolejną nowelizację normy PN-
B-03264:1999 pod nazwą PrPN-B-03264 [6], która jednakże nie może być wersją
ostateczną, bo w paz
dzierniku 2001 r. pojawił się Draft EN 1992-1-1-1:2001 [12],
wprowadzający dalsze zmiany.
Zmiany następują tak szybko, że trudno przedstawić stałą podstawę do dalszych
rozważań. Rozwiązania zaprezentowane przez ENV 1992-1-1-1:1991 zostały w polskiej
literaturze technicznej dokładnie przedyskutowane i wydaje się, że mogą one stanowić
podstawę do dalszej dyskusji, usankcjonowaną normą PN -B-03264:1999.
Zatem według ENV 1992-1-1-1:1991 [10], odkształcenia skurczu zależą od składu
betonu (przede wszystkim od rodzaju i zawartości cementu w 1 m3 betonu oraz od wartości
współczynnika wodno-cementowego W/C, klasy wytrzymałości, wieku, wilgotności
środowiska oraz wymiarów elementu.
Odkształcenia spowodowane przez skurcz i pęcznienie betonu zwykłego klas C12/15 do
C 50/60 (wg normy PN-B-03264: 1999 - klas B15 do B60) wystawionego na oddziaływanie
średniej wilgotności względnej RH w przedziale od 40% do 100% i średniej temperatury T
w przedziale od 10o C do 20o C, można obliczać ze wzoru:
� (t, ts )= � � (t - ts ) (3.1)
cs cso s
w którym:
� - podstawowe odkształcenie skurczowe,
cso
� - współczynnik określający postęp skurczu,
s
t - wiek betonu w rozważanej chwili, w dniach,
ts , - wiek betonu na początku rozpatrywanego procesu skurczu lub pęcznienia,
w dniach.
Podstawowe odkształcenie skurczowe można wyznaczyć ze wzoru:
� = � (fcm )�RH (3.2)
cso s
w którym:
� (fcm )= [160 + �sc (90 - fcm )]10-6 (3.3)
s
� (fcm )- współczynnik skurczu zależny od średniej wytrzymałości betonu po 28
s
dniach fcm (MPa),
4
ńł - dla cementów wolno twardniejących
�ł
� =
�ł5 - dla cementów zwykych i szybko twardniejących
sc
�ł8 - dla szybko twardniejących cementów wysokiej wytrzymaości
ół
ńł- 1,55 � dla 40 % d" RH d" 99 % (przechowywanie na powietrzu)
sRH
� =
�ł
RH
+ 0,25 dla RH e" 99 % (przechowywanie w wodzie)
ół
W powyższych danych � oznacza współczynnik określony wzorem:
sRH
3
� =1 - (RH/100) (3.4)
sRH
a RH - względną wilgotność (w %) otaczającego beton powietrza.
Współczynnik � (t - ts ) we wzorze (3.1), opisujący postęp skurczu w czasie, można
s
wyznaczyć z zależności:
0,5
�ł
t - ts �ł
�ł �ł
� (t - ts )= (3.5)
s
2
�ł
0,035 ho + t - ts �ł
�ł łł
w którym: ho oznacza miarodajny wymiar elementu, w mm, równy:
2 Ac
ho =
u
(3.6)
We wzorze (3.6):
Ac - powierzchnia przekroju poprzecznego elementu,
u - obwód przekroju wystawiony na działanie powietrza (czyli na wymianę
wilgoci zawartej w betonie, z otoczeniem).
Jak stwierdza się w [13], powyższy sposób obliczania wartości skurczu stosuje się wtedy,
gdy konieczne jest dokładne oszacowanie zmian skurczu w czasie, np. przy wyznaczaniu
efektów odkształceń reologicznych betonu.
Średni wskaz
nik zmienności wyników powyższej prognozy dotyczącej skurczu, oceniony
na podstawie skomputeryzowanego banku danych z wyników badań laboratoryjnych, jest
rzędu 35 %.
Dokładność przyjętych metod obliczania wpływu skurczu (i pełzania) betonu powinna
odpowiadać wiarygodności danych, opisujących te zjawiska i znaczeniu ich wpływu na
rozważany stan graniczny. Zgodnie z EC2 efekty skurczu (i pełzania) betonu należy w
zasadzie uwzględniać tylko dla stanów granicznych użytkowalności oraz przy obliczaniu
efektów drugiego rzędu w stanach granicznych nośności, spowodowanych odkształceniami
konstrukcji. Konieczne jest ponadto uwzględnienie wpływu pełzania w wypadku, kiedy
może ono w sposób znaczący obniżać stateczność konstrukcji.
Jeżeli nie wymaga się dużej dokładności oceny to można za końcowe wartości
odkształceń skurczowych � betonu zwykłego przyjąć dane zawarte w tabl. 3.1.
cs"
Tablica 3.1 Końcowe wartości odkształceń skurczowych � (0 )
cs"
Miejsce Wilgotność Miarodajny wymiar elementu
elementu względna ho = 2 Ac u (mm)
RH (%) d" 150 600
wewnątrz 30 -0,60 -0,50
na zewnątrz 80 -0,33 -0,28
Wartości podane w tabl. 3.1 dotyczą średniej temperatury betonu w przedziale 10 oC do
o
20 C, co pozwala przyjąć, że uwzględniają one wahania temperatury w ciągu roku w
granicach od -10 oC do + 40 oC. Można je stosować przy zmianach wilgotności względnej
powietrza od RH = 20 % do RH = 100 %. Dla wartości pośrednich RH i ho dopuszcza się
interpolację liniową.
Wartości � w tabl. 3.1 zostały określone dla betonu o konsystencji plastycznej klas
cs"
S2 i S3 (zgodnie z p. 7.2.1 ENV 206). Dla betonu o konsystencji wilgotnej S1 wartości te
należy pomnożyć przez współczynnik 0,70, a dla konsystencji półciekłej S4 - przez 1,20.
W przypadku betonów z superplastyfikatorami wartości skurczu � w tabl. 3.1 odnoszą
cs"
się do konsystencji mieszanki przed dodaniem superplastyfikatorów.
Metoda obliczania odkształceń skurczowych betonu przedstawiona w EC2 jest
zaczerpnięta z CEB-FIP M.C.1990 [13]. Przy wskaz
niku zmienności wynoszącym � = 35 %,
dolne i górne wartości odkształceń skurczowych mogą się znacznie różnić od obliczonych
zgodnie z EC2, wartości średnich. I tak, kwantyle 5 i 10 % oraz 90 i 95 % zmiennych
losowych � (t, ts )wynoszą:
cs
�cs 0,05 = 0,42 � , �cs 0,10 = 0,55 � ,
cs cs
�cs 0,95 = 1,58 � , �cs 0,90 = 1,45 � .
cs cs
Co się tyczy wartości ts we wzorze (3.1), to CEB-FIP M.C.1990 [13] podaje tylko
informację, że dla ts < 14 dni przy dojrzewaniu w normalnej temperaturze, wpływ skurczu
na dodatkowe naprężenia i odkształcenia (duża wilgotność elementów, bardzo często jeszcze
zadeskowanych) jest mało istotny.
Na rys. 3.1 przedstawiono wykresy zależności współczynnika postępu skurczu w czasie
� (t - ts ) w funkcji miarodajnego wymiaru elementu ho , sporządzone na podstawie
s
wzorów (3.5) i (3.6).
Rys.3.1. Funkcje � (t - ts ) przy różnych wartościach ho [14]
s
Wynika z nich wyraz
nie, że skurcz rozwija się zupełnie inaczej w elementach o małej
( ho = 50 mm), średniej ( ho = 200 mm) i dużej masywności ( ho = 800 mm). Zjawisko to
jest związane głównie z szybkością odparowania nadmiaru wody zarobowej, znajdującej się
we wnętrzu elementu betonowego. W elementach o ho = 800 mm średni skurcz betonu
po 70 latach osiąga poziom skurczu 4-letniego dla elementów o ho = 200 mm i
3,5 miesięcznego dla elementów o ho = 50 mm.
W literaturze technicznej można znalez
ć wiele metod obliczania odkształceń
skurczowych � (t, ts ). Wśród nich wyróżnić można [15] metodę CEP-FIP M.C. 1978 i
cs
DIN-4227, metody Ba~
anta i Panuli ("BaP - Model") oraz przyjętą w EC2 metodę CEB-
FIP M.C. 1990. W metodach tych wyraz
nie rozdzielono zależność odkształcenia
skurczowego od takich czynników jak wytrzymałość, konsystencja, rodzaj cementu,
wskaz
nik C/W, współczynnik dyfuzji, względna wilgotności środowiska RH i miarodajny
wymiar elementu ho .
Na rys. 3.2. i 3.3 podano za H. Raszką [15] porównanie wyników obliczeń odkształceń
skurczowych � wg powyższych trzech metod dla betonu o fck = 20 MPa i konsystencji
cs
gęstoplastycznej, dla trzech wartości ho = 50 mm (krzywe "a"), 200 mm (krzywe "b") i
800 mm (krzywe "c"), dwóch wartości RH = 40 % (rys. 3.2) i RH = 80 % (rys. 3.3) oraz
temperatury środowiska T = 20 oC. Cyframi oznaczono: 1 - wartości wg "Model Code
1978", 2 - wg "BaP-Model", 3 - wg "Model Code 1990" oraz 4 - wg PN-84/B-03264 [4] dla
konstrukcji sprężonych.
Rys.3.2. Odkształcenia skurczowe � (t, ts ) przy RH = 40 %
cs
Wykresy na rys. 3.2 i 3.3 wyraz
nie wskazują na:
- duże różnice w ocenie skurczu, zależne od zastosowanej teorii,
- silną zależność skurczu od wilgotności środowiska RH i sprowadzonego wymiaru
elementu ho ,
- znaczne różnice pomiędzy wartościami � (t, ts ) przyjmowanymi w PN [4], a
cs
wartościami wynikającymi z przeanalizowanych metod.
W polskich normach [3, 4] nie uwzględniano wpływu masywności elementu na skurcz
betonu. Stąd, przy RH = 40 %, dość dobra zgodność z wartościami EC2 dla ho = 200 mm i
(t - ts ) = 0 � 400 dni. Dla (t - ts ) = 70 lat niedoszacowanie � (t, ts ) przez polskie normy
cs
wynosi już około 40 %. Przy RH = 80 % występuje dość dobra zgodność z wartościami EC2
dla ho E" 100 mm i (t - ts ) = 0 � 400 dni, a dla (t - ts ) = 70 lat niedoszacowanie skurczu
wynosi około 20 %.
Rys.3.3. Odkształcenia skurczowe � (t, ts ) przy RH = 80 %
cs
Z powyższego wynika, że przy adaptacji EC2 dla warunków polskich, zagadnienie
odkształceń skurczowych powinno być potraktowane z dużo większą uwagą niż to czyniono
dotychczas. Dotyczy to zwłaszcza tych przypadków, gdy odkształcenia skurczowe mają
znaczny wpływ na siły wewnętrzne w konstrukcji (np. w ustrojach statycznie
niewyznaczalnych i w konstrukcjach sprężonych).
Należy również zwrócić uwagę na wartości odkształceń skurczowych zalecane przez
dawne PN dla konstrukcji betonowych ( �cs = 0,0003 [3, 4]) oraz konstrukcji żelbetowych
( �cs = 0,0002 [3] i �cs = 0,00015 [4]).
Po pierwsze, w świetle powyższych wywodów wartość � zależy silnie od wymiaru
cs
ho elementu i wilgotności RH środowiska. Po drugie, nie powinno się podawać obniżonych
wartości �cs dla żelbetu, bez żadnego komentarza. Beton w konstrukcjach betonowych i
żelbetowych ma ten sam skurcz swobodny � .
cs
W żelbecie skurcz ten jest hamowany przez opór wkładek zbrojeniowych, a więc w
RC
badaniach obserwuje się wartości �cs mniejsze niż � . Te dwie wielkości powinny się
cs
różnić oznaczeniami.
RC
Przybliżona zależność pomiędzy �cs a � , wyprowadzona przez autora w pracy [16]
cs
dla elementu pryzmatycznego o przekroju symetrycznym, symetrycznie zbrojonym, ma
postać:
RC
� = �cs (1 - ą3)k3 (3.7)
cs
gdzie:
no �o Es As1 + As2
ą3 = , no = = �1 + �2
1 + no �o Ecm(ts ), �o = Ac
k3 - współczynnik relaksacji naprężeń skurczowych w wyniku pełzania betonu;
dla zmodyfikowanej teorii starzenia jest [17]:
1
k3 = (3.8)
1 + � ą3Ś (", to )
Ecm (ts)- moduł sprężystości betonu na rozciąganie w momencie rozpoczęcia zjawiska
skurczu; można przyjąć Ecm (ts) = Ecm,
� - funkcja starzenia; dla obciążenia skurczem � E" 0,8,
Ś (", to) - współczynnik pełzania.
Na przykład (Przykład I), dla belki o przekroju 300/600 mm ( ho = 200 mm), �1 = �2 =
200
0,01 (�o = 0,02), no = = 6,9 (beton klasy B20), � E" 0,8, Ś (", to) = 2,4 (jak dla
29,0
obciążenia przyłożonego po 28 dniach przy RH = 50 %), otrzymuje się:
0,02 �" 6,9 1
ą3 = = 0,121; k3 = = 0,811
1 + 0,02 �" 6,9 1 + 0,8 �" 0,121�" 2,4
RC
�cs = �cs (1 - 0,121)0,811= 0,713�cs
RC
czyli np. dla � = - 0,00030 �cs = - 0,000214.
cs
RC
Różnica w wartościach skurczu �cs i � wywołuje wymuszone naprężenia ściskające
cs
w stali � i rozciągające w betonie � .
ss cs
Dla wyżej rozpatrzonego przekroju symetrycznego, symetrycznie zbrojonego:
� = �cs Es (1 - ą3)k3 (3.9)
ss
� = -�cs Ecm ą3k3 (3.10)
cs
co dla � = - 0,00030, Ecm = 29,0 GPa, Es = 200 GPa, ą3 = 0,121, k3 = 0,811 daje
cs
wartości � = - 42,8 MPa (ściskanie) i � = 0,85 MPa (rozciąganie).
ss cs
Naprężenie � = 0,85 MPa = 0,39 fctm = 0,57 fctk jest naprężeniem znaczącym,
cs
obniżającym siłę rysującą przekrój i powinno być w analizie stanów granicznych
użytkowalności uwzględnione.
4. Zmiany w ocenie wielkości skurczu betonu wprowadzone
przez Draft EN 1992-1-1:2001 [12]
Całkowite odkształcenie skurczowe �cs składa się z dwóch składników, odkształcenia
skurczowego na skutek wysychania �cd i samoczynnego odkształcenia skurczowego � .
ca
Odkształcenie skurczowe na skutek wysychania rozwija się powoli, ponieważ jest funkcją
migracji wody przez twardniejący beton. Samoczynne odkształcenie skurczowe rozwija się
podczas twardnienia betonu: ważna jego część narasta we wczesnym okresie po
zaformowaniu. Skurcz samoczynny jest liniową funkcją wytrzymałości betonu. Powinien on
być brany pod uwagę gdy nowy beton jest formowany w zetknięciu z betonem stwardniałym.
Wartości całkowitego odkształcenia skurczowego �cs obliczamy z formuły:
� = � + � (4.1)
cs cd ca
Końcowa wartość odkształcenia skurczowego na skutek wypychania �cd ," może być
wzięta z tablicy 4.1. Tablica ta podaje oczekiwane wartości średnie, przy współczynniku
zmienności na poziomie 30 %, obliczone na podstawie wzorów podanych w załączniku B do
Draftu.
Tablica 4.1 Końcowe wartości skurczu swobodnego na
skutek wysychania �cd ," (w 0 ) dla betonu
fck fck,cube Względna wilgotność RH (w %)
(MPa) 20 40 60 80 90 100
20/25 -0,75 -0,70 -0,59 -0,40 -0,20 0,12
40/50 -0,60 -0,56 -0,47 -0,29 -0,16 0,10
60/75 -0,48 -0,45 -0,38 -0,24 -0,13 0,08
80/95 -0,39 -0,36 -0,30 -0,19 -0,11 0,06
90/105 -0,35 -0,33 -0,27 -0,17 0,06 0,06
Rozwój w czasie odkształcenia skurczowego na skutek wysychania przebiega według
formuły:
( )
�cd t = �ds(t - ts)�"�cd," (4.2)
w której funkcja rozwoju skurczu w czasie jest zdefiniowana jako:
0,5
�ł łł
(t - ts )
�ds (t - ts )= (4.3)
�ł śł
(ho 2 (t )�ł
�ł
�ł350 h1) + - ts śł
gdzie:
t - wiek betonu w rozpatrywanym momencie (dni),
ts - wiek betonu (dni) w momencie początku skurczu na skutek wysychania
(albo narastania). Normalnie odpowiada to końcowi pielęgnacji betonu,
ho = 2 Ac/u - miarodajny wymiar (mm) przekroju elementu,
h1 = 100 mm.
Samoczynne odkształcenie skurczowe wyraża się przez:
�ca(t)= �cc(t)�"�ca,"
gdzie:
�ca," = -2,5(fck -10)10-6 (4.4)
0,5
ńł �ł
�ł łł�ł
28
�ł �ł �ł
�cc(t)= exp�łs �ł1 - �ł �ł śłżł (4.5)
t
�ł �ł łł śł�ł
�ł
�ł �ł
ół �ł
s - współczynnik zależny od rodzaju cementu:
s = 0,20 - dla szybko twardniejących cementów wysokiej wytrzymałości,
= 0,25 - dla normalnie i szybko twardniejących cementów,
= 0,38 - dla wolno twardniejących cementów.
Rozwój w czasie samoczynnego odkształcenia skurczowego określa formuła:
05
,
�as = 1 - exp - 0,2 t (4.6)
( )
Jak wynika z powyższych danych, Draft prEN 1992-1-1:2001 znacznie uściślił wielkości
odkształceń skurczowych betonu. Zmieniły się przy tym szczegółowe zasady obliczania
wartości skurczu końcowego wywołanego przez wysychanie betonu (tzw. skurcz fizyczny)
�cd," . Należy go obliczać ze wzoru:
�ł
�ł fcm �łłł
�ł �łśł
� = (220 + 110ąds1)�" exp�ł-ąds2 �" �"10-6 �" �RH (4.7)
�ł
cd ,"
fcmo �łśł
�ł
�ł łł
�ł �ł
3
�ł łł
�ł �ł
RH
� = -1,55�ł1- �ł �ł śł
dla RH<99%�"� (4.8)
RH sl
�ł
�ł RHo �ł śł
�ł łł
�ł �ł
� = -0,25 dla RHe"99%�"� (4.9)
RH sl
0,1
�ł �ł
3,5 fcmo
�ł �ł
� = (4.10)
sl
�ł �ł
fcm
�ł łł
gdzie:
fcm - średnia wytrzymałość betonu na ściskanie (MPa),
f - 10 MPa,
cmo
ąds1 - współczynnik zależny od rodzaju cementu:
ąds1 = 3 - dla wolno twardniejących cementów (S),
= 4 - dla normalnie i wolno twardniejących cementów (N),
= 6 - dla szybko twardniejących wysoko wytrzymałych cementów (R),
ąds2 - współczynnik zależny od rodzaju cementu:
ąds2 = 0,13  dla cementu S,
0,11  dla cementu N,
0,12  dla cementu R,
�sl - współczynnik uwzględniający niepełne wysychanie w betonach wysokiej
jakości (HSC),
RH - względna wilgotność otoczenia (%),
RHo = 100 %.
Dla betonu o wytrzymałości f d" 50 MPa narastanie może zaistnieć w betonach
ck
eksponowanych w środowisku o RH e" 99 %.
Dla betonu o wytrzymałości f > 50 MPa narastanie może zaistnieć przy niższej
ck
względnej wilgotności z powodu poprzedzającej redukcji wewnętrznej względnej
wilgotności spowodowanej niepełnym wysychaniem betonu.
5. Ustalenia co do wartości odkształceń skurczowych betonu
w warunkach polskich
W świetle wszystkich wyżej przytoczonych poglądów i zaleceń, wydaje się za konieczne
przyjąć następujące ustalenia:
1) Wartości odkształceń skurczowych przyjmowanych do obliczeń należy określać
dokładnie, w oparciu o dane rozdziału 4 niniejszej pracy.
2) Skurcz samoczynny (tzw. skurcz plastyczny) �ca powinien być uwzględniany w
obliczeniach konstrukcji zespolonych typu beton-beton, w odniesieniu do betonu
nowego, położonego na warstwie betonu starego (stwardniałego).
3) Skurcz wywołany przez wysychanie betonu (tzw. skurcz fizyczny �cd jest dla większości
przypadków skurczem wywołującym naprężenia skurczowe w konstrukcjach i
elementach z betonu i jego wielkości będą miarodajne do obliczeń.
4) Wartość odkształcenia skurczowego elementu czy konstrukcji żelbetowej różni się od
wartości swobodnego odkształcenia skurczowego betonu �cs , czy też �cd . Przyczyną
jest opór wkładek zbrojeniowych przeciw skurczowi. O ile opór ten jest niewielki w
początkowym okresie dojrzewania betonu, w czasie gdy ujawnia się skurcz samoczynny
(plastyczny) i gdy cechy sprężyste betonu są jeszcze mało rozwinięte, o tyle w
póz
niejszym okresie, gdy ujawnia się skurcz fizyczny, opór ten jest duży i wywołuje
zrównoważony stan naprężeń wymuszonych w przekroju elementu. Wówczas kosztem
RC
zmniejszonego skurczu �cs dochodzi w przekroju najczęściej do ściskania stali
zbrojeniowej i rozciągania betonu. Zagadnienie to zobrazowano w rozdziale 3. niniejszej
pracy. Podano tam sposób obliczania odkształcenia skurczowego elementu żelbetowego
symetrycznego, symetrycznie zbrojonego. W przedstawionym tam przykładzie, redukcja
odkształcenia skurczowego elementu żelbetowego, w stosunku do elementu betonowego,
wyniosła około 30 %. Redukcję na podobnym poziomie założyła norma PN-76/B-03264,
zaś na poziomie 50 % - norma PN-84/B-03264.
5) Wartość odkształcenia skurczowego elementu w konstrukcji żelbetowej zależy od
stopnia zbrojenia, miarodajnego wymiaru ho , wilgotności powietrza, klasy betonu. Może
być zatem różna w poszczególnych elementach konstrukcji. Przyjmowanie do obliczeń
statycznych skurczu jako równoważnego z obniżeniem się temperatury o 15 oC jest
dużym przybliżeniem. Odpowiada ono odkształceniu skurczowemu elementów w
RC
konstrukcji żelbetowej �cs = 0,00015 = constans.
 Przykładowo (Przykład II) w ramie portalowej z betonu klasy B25, pracującej w
środowisku o RH = 40 %, wartości �cd wyniosą po 10 latach (365 dniach), przy
założeniu, że ts = 7 dni:
- w słupach o przekroju 400/800 mm - ho = 266,7 mm
0,5
�ł łł
(3650 - 7)
�ds (3650 - 7)= = 0,771
�ł śł
2
(266,7 (3650
�ł śł
�ł350 /100) + - 7)�ł
� (3650) = -0,771 �" 0,70 = 0,540 0 = -0,00054
cd
- w ryglu o przekroju 400/1500 mm - ho = 315,8 mm
�ł łł
(3650 - 7)
�ds (3650 - 7)= = 0,676
�ł śł
2
(315,8 (3650
�ł śł
�ł350 /100) + - 7)�ł
� (3650) = -0,676 �" 0,70 = 0,473 0 = -0,00047.
cd
RC
Dopiero w stosunku do tych wartości należy przeprowadzić obliczenie �cs .
Zakładając, że słupy i rygle są silnie obustronnie zbrojone o stopniu zbrojenia
�1 = �2 = 0,02 (�o = 0,04) uzyskamy dla betonu klasy B25 (Ecm = 30,0 GPa) przy � = 0,8
i przyłożeniu obciążenia po 28 dniach:
200,0
- dla słupów: Ć (", to ) = 2,51, no = = 6,67
30,0
0,04 �" 6,67
ą3 = = 0,211
1 + 0,04 �" 6,67
1
k3 = = 0,702
1 + 0,8 �" 0,211�" 2,51
RC
�cs = - 0,000540 (1 - 0,211) �" 0,702 = - 0,00030 (redukcja o 44 %)
- dla rygla: Ć (", to ) = 2,46, no = 6,67, ą3 = 0,211
1
k3 = = 0,707
1 + 0,8 �" 0,211�" 2,46
RC
�cs = - 0,000473 (1 - 0,211) �" 0,707 = - 0,00026 (redukcja o 44 %)
RC
Powyższe wartości � są znacznie większe niż zakładały to dawne polskie normy, tzn.
cs
RC
�cs = 0,00015.
Gdyby w/w rama była wykonana z betonu klasy B50 ( Ecm = 35,0) i pracowała w
środowisku o RH = 80 %, wówczas uzyskalibyśmy:
- w słupach
� (3650) = - 0,771 �" 0,29 = 0,224 0 ,
cd
200,0
Ć (", to ) = 1,94, no = = 5,71, ą3 = 0,186 ,
35,0
1
k3 = = 0,776
1 + 0,8 �" 0,186 �"1,94
RC
�cs = - 0,000224 (1 - 0,186) �" 0,776 = - 0,00014 (redukcja o 37 %)
- w ryglu
Ć (", to ) = 1,91, no = 5,71, ą3 = 0,186 ,
1
k3 = = 0,779
1 + 0,8 �" 0,186 �"1,91
RC
�cs = - 0,000196 (1 - 0,186) �" 0,779 = - 0,00012 (redukcja o 37 %)
RC
a więc mniej niż �cs = 0,00015.
Przykład ten wskazuje na celowość wykonywania bardziej szczegółowych obliczeń
RC
wartości � dla analizy statyczno-wytrzymałościowej konstrukcji z betonu zbrojonego.
cs
6. Naprężenia skurczowe w konstrukcji wymuszone przez więzy zewnętrzne
Najczęściej uwzględnianymi w obliczeniach statyczno-wytrzymałościowych konstrukcji
z betonu są siły uogólnione wywołane w ustroju przez więzy zewnętrzne. Więzy te mogą być
sztywne (np. w przypadku stropów połączonych z wzajemnie oddalonymi trzonami
komunikacyjnymi) lub podatne (np. w połączeniach rygli z podatnymi słupami w ramach).
W obu tych przypadkach należy zastosować dodatkowy schemat obliczeń statycznych,
RC
uwzględniający wartość skurczu średniego w przekroju jak dla żelbetu, tzn. �cs ,
obliczonego wg zasad podanych w rozdziale 5.
W granicznych dwóch przypadkach (belka nieważka) mamy:
a) w przypadku braku więzów zewnętrznych (rys. 6.1.a) - tylko przemieszczenie swobodne
RC
o wartości �cs , bez dodatkowej siły rozciągającej N,
b) w przypadku więzów sztywnych (rys. 6.1.b) - rozciąganie w pręcie wywołane siłą
Es
RC
N = -� Ac Ecm (1 + no �o )= -�cs Ac Ecmk3 , bez przemieszczenia, gdzie no = ,
cs
Ecm
�o = �1 + �2 .
Dla przypadku pośredniego (rys. 6.1.c), z więzami podatnymi, odkształcenie skurczowe
RC
�cs dzieli się na dwie części:
RC
- beznaprężeniową - ł �cs , ( ł d" 1,0 ),
RC
- naprężeniową - (1 - ł ) �cs , wywołującą rozciąganie siłą
RC
N1 = - (1 - ł ) �cs Ac Ecm(1 + no �o ).
Rys. 6.1.
W ustrojach np. mostowych wszędzie, gdzie jest to możliwe, dąży się do eliminowania
RC
wpływu naprężeniowej części odkształcenia (1 - ł )�cs na siły wewnętrzne w ustroju przez
stosowanie łożysk przesuwnych, przerw dylatacyjnych itp. Wówczas rola tej części
odkształcenia skurczowego może stać się zupełnie drugorzędna. Podobny przypadek może
zaistnieć dla żelbetowej płyty fundamentowej, jeżeli zapewnimy jej w miarę swobodne
przemieszczenia skurczowe po podłożu gruntowym lub izolacji na warstwie chudego betonu.
W przypadku więzów sztywnych, generowane w ustroju wewnętrzne siły rozciągające są
zazwyczaj tak duże, że powodują zarysowanie przekroju - skrośne przy przewadze siły
osiowej N (mimośrodowe rozciąganie z małym mimośrodem), lub jednostronne przy
współdziałaniu dużego momentu zginającego M (mimośrodowe rozciąganie z dużym
mimośrodem).
Zarysowanie skurczowe wywołane więzami zewnętrznymi nie zawsze musi być
szkodliwe dla konstrukcji. Powoduje ono bowiem rozładowanie niepożądanego stanu
naprężeń rozciągających w betonie i ściskających w stali (przy więzach podatnych).
Na przykład powstanie  n rys skurczowych o szerokości  wk w elemencie wg rys. 6.1.b
o odległości  l , spowoduje spadek siły N o wartość:
n �" wk
"N = Ac Ecm (1 + no �o ) (6.1)
l
Odpowiada to wartości:
"N n �" wk 1
ł = = �" (6.2)
RC
N
l �" �cs 1 + no �o
Średnie naprężenie rozciągające w betonie spadnie przy tym z wartości:
N
I RC
� = = -� Ecm (1 + no �o ) (6.3)
cs
Ac cs
do wartości:
I RC
� = (1 - ł )� = -�cs (1- ł )Ecm (1 + no �o ) (6.4)
cs' cs
RC
Przykładowo (Przykład III), dla n = 10, wk = 0,15 mm, l = 10 �" 103 mm, � = -
cs
0,0002, Ecm = 30,0 GPa (beton B25), no = 0,04
10 �" 0,15
ł = = 0,750
10 �"103 �" 2 �"10-4
I
� = 0,0002 �" 30 �" 103 (1 + 6,67 �" 0,04) =
cs
= 7,60 MPa fctm = 2,20 MPa
I
� = (1 - 0,750 �" 7,60 = 1,90 MPa < fctm = 2,20 MPa
cs'
Średnie naprężenie w stali na całym odcinku l, �ss = 0, przy czym lokalnie stal będzie
rozciągana (w rysach) i ściskana na środkowych odcinkach między rysami.
I
Omawiane naprężenia � nie są jedynym efektem oddziaływania skurczu na
cs
konstrukcje z betonu. Efekt ten uwzględnia się w obliczeniach statyczno-
wytrzymałościowych konstrukcji poprzez wpływ na siły uogólnione w konstrukcji, a tym
samym jej stany graniczne nośności i użytkowalności.
7. Naprężenia skurczowe w konstrukcji wymuszone przez więzy wewnętrzne
(opór zbrojenia)
Drugą część oddziaływania skurczu na konstrukcje z betonu stanowią naprężenia
wymuszone w przekrojach poszczególnych jej elementach przez więzy wewnętrzne w
postaci oporu prętów zbrojenia przeciw skurczowi swobodnemu �cs . Więzy te wywołują
zazwyczaj naprężenia rozciągające w betonie i ściskające w stali zbrojeniowej. Dzięki
RC
istnieniu tych więzów odkształcenia skurczowe w elementach żelbetowych �cs są mniejsze
niż w betonowych �cs , ale w przekroju każdego z elementów pojawia się dodatkowe pole
II
naprężeń �cs , które zazwyczaj jest pomijane w analizach wytrzymałościowych.
Rys. 7.1.
W symetrycznym, symetrycznie zbrojonym przekroju żelbetowym oraz skurczu liniowym i
jednorodnym w przekroju (rys. 7.1.), wartości tych naprężeń wynoszą [16, 18]:
II
� = �cs Es (1 - a3)k3 ; ściskanie (7.1a)
ss
II
�cs = -�cs Ecm a3 k3 ; rozciąganie (7.1b)
Na przykład (Przykład IV), dla elementu z betonu klasy B20, �1 = �2 = 0,01 (�o = 0,02),
no = 6,9 otrzymamy: Ecm = 29,0, �cs = - 0,00030, a = 0,121, k3 = 0,811 (jak w
przykładzie I).
II
�ss = - 3,0 �" 10-4 �" 200 �" 103 (1 - 0,121) �" 0,811 = - 42,8 MPa ,
II
�cs = 3,0 �" 10-4 �" 29,0 �" 0,121 �"0,811 = 0,85 MPa = 0,45 fctm < fctk = 1,30 MPa
Rys. 7.2.
W rozważonym schemacie otrzymuje się najmniejsze wartości naprężeń rozciągających
II
�cs . Wartości największe na krawędzi rozciąganej otrzymuje się w przypadku belki teowej
pojedynczo zbrojonej. Dla belki prostokątnej pojedynczo zbrojonej (rys.7.2.) uzyskuje się
następujące wyrażenia [16, 18]:
II
� = �cs Es(1 - a')k3 , (7.2a)
ss
II
�cs = -�cs Ecm a'' k3 , (7.2b)
II
�cs = -�cs Ecm a''' k3 , (7.2c)
'
gdzie:
2
no�o� 1 + 6e h 1- 6e h e
�ł �ł
a' = ; a'' = a' �" ; a''' = a' �" ; � = 1+ 12 ;
�ł �ł
�ł łł
1+ no�o� � � h
1
k3 = (7.3)
1+ � a'Ć ",to
( )
Na przykład (Przykład V), dla elementu z betonu klasy B25, Es = 200 GPa,
Ecm = 30 GPa, no = 6,67, �o = �1 = 0,015, �cs = - 3,0 �" 10-4, � = 0,8, Ć ", ts = 2,4,
( )
''
e/h = 0,4, � = 2,92, a' = 0,226, = 0,263, a''' = - 0,108, k3 = 0,697, otrzymamy:
a
II
�ss = - 3,0 �" 10-4 �" 200 �" 103 (1 - 0,226) �" 0,697 = - 32,4 MPa ,
II
�cs = 3,0 �" 10-4 �" 30,0 �" 103 �" 0,263 �" 0,697 = 1,65 MPa = 0,75 fctm > fctk =
= 1,50 MPa ,
II
�cs = - 3,0 �" 10-4 �" 30,0 �" 103 �" 0,108 �" 0,697 = - 0,68 MPa ,
'
II
Z powyższych przykładów wynika, że naprężenia wymuszone �cs mogą osiągać
znaczne wartości. Szczególnie duże są te naprężenia w wysokich przekrojach teowych,
powszechnie stosowanych w mostownictwie. W pracach [17, 19] oszacowano, że naprężenia
te w dwóch konkretnych obiektach mostowych wyniosły (rys. 7.3):
II
1) �cs = 1,31 MPa = 0,82 fctm > fctk = 1,10 MPa
II
2) �cs = 1,25 MPa = 0,66 fctm < fctk = 1,30 MPa
II
Rys. 7.3. Wykresy naprężeń skurczowych �cs (w MPa) spowodowane oporem zbrojenia w
rozpatrywanych belkach
II
Naprężenia skurczowe �cs zwiększają swe wartości ze wzrostem skurczu betonu w
I
czasie, podobnie jak naprężenia �cs . Miarą relaksacji tych naprężeń w wyniku pełzania
betonu jest wartość współczynnika k3, którą w odniesieniu do betonu zbrojonego można
obliczyć z formuł (3.8) lub (7.3), a także z przybliżonej zależności wg [20]:
1
k3 = (7.4)
1 + 0,2Ć(",ts )
Jeżeli Ć ", ts = 2,4 to k3 = 0,68. W omawianych przykładach wartość tego
( )
współczynnika obliczona z formuł (3.8) lub (7.3) wyniosła odpowiednio: 0,81, 0,71, 0,78,
0,70.
II
Naprężenia rozciągające w betonie �cs , o tak dużych wartościach jak to wykazano
powyżej, są bardzo niekorzystne. Zmniejszają one bowiem wyraz
nie moment rysujący Mcr
czy też siłę rysującą Ncr w elemencie, przyśpieszając proces jego zarysowania. Z kolei
rzutuje to na mniejszą sztywność elementu oraz jego obniżoną odporność korozyjną.
II
Natomiast korzyści wynikające ze ściskających naprężeń � w stali zbrojeniowej są
ss
iluzoryczne, gdyż w momencie zarysowania skurczowego elementu naprężenia te zanikają i
ich wpływ na podwyższenie nośności przekroju jest niewielki.
8. Naprężenia skurczowe własne w przekroju
Opisane w p. 6 i 7 dwie składowe naprężeń skurczowych �cs w przekroju elementu
żelbetowego są w pewnym stopniu niezależne od konstruktora, determinowanego
schematem statycznym konstrukcji czy też rozkładem zbrojenia w elementach. Powinien on
jednakże mieć wpływ na obniżenie wartości �cs w zastosowanym betonie przez
odpowiednią technologię użytej mieszanki betonowej. Wchodzą tu w grę takie czynniki jak
zastosowanie niskiego W/C, niskiego zużycia cementu i superplastyfikatorów, zastosowanie
odpowiedniej technologii zagęszczania jak np. odpowietrzanie betonu itp.
Istnieje natomiast jeszcze trzecia składowa odkształceń i naprężeń skurczowych w
przekroju elementów z betonu, która powinna być koniecznie poddana kontroli konstruktora.
Są to naprężenia skurczowe własne, wywołane w przekroju przez nieliniowe i równocześnie
niestacjonarne pola wilgotności w elemencie.
Współczynnik W/C w mieszance betonowej wynosi zazwyczaj 0,4�0,6, podczas gdy do
pełnej hydratacji cementu potrzeba około Wh/C = 0,25. Nadmiar wody zarobowej ponad tę
wartość wyparowuje z betonu przez powierzchnie zewnętrzne elementu. Pod wpływem
zaistniałego gradientu stężenia powstają w przekroju nieliniowe i niestacjonarne pola
wilgotności (rys. 8.1), które są przyczyną powstawania pewnego dodatku naprężeń
III
skurczowych �cs , rozciągających włókna przypowierzchniowe elementu i ściskających
włókna w głębi przekroju. Naprężenia te, samorównoważące się w przekroju, wywołane są
przez opór jednych warstw betonu w stosunku do innych pod wpływem ich tendencji do
nierównomiernych przemieszczeń skurczowych.
Rys. 8.1.
dU(� )
Gradient przypowierzchniowy omawianych pól wilgotności jest największy po
dx
p
rozdeskowaniu konstrukcji; z biegiem czasu wilgotność wnętrza elementu dąży do
wyrównania się i stabilizuje się na poziomie równowagi higrometrycznej z otaczającą
atmosferą.
III
Naprężenia własne � mogą być obliczone ze wzoru:
cs
"
p
III
� = k3� Ect (� )d"U (�)d� (8.1)
+"
cs w
d�
�1
gdzie:
�w - współczynnik liniowy odkształcalności wilgotnościowej betonu dla
jednostkowej zmiany wilgotności wagowej; można wg [21] przyjmować
mm / mm
�w = 3,0 �" 10-2 ,
g / g
Ect (�) - współczynnik sprężystości betonu na rozciąganie; zazwyczaj przyjmuje się
Ect (�) = Ecm (�).
Rys. 8.2. Rys. 8.3.
I II
Odkształcenia skurczowe � odpowiadające za naprężenia skurczowe � i � są
cs cs cs
funkcją średniej zmiany wilgotności U (�) w przekroju (rys. 8.2):
I II
�cs a" �cs = � [U - U (� )]= �w "U (�), (8.2)
w kr śr śr
natomiast:
III
� = � [U (� )- U (� )]= � "U (� ), (8.3)
cs w śr p w p
Zależności "U (� ) i "U (� ) przedstawiono na rys. 8.2. Widać na ich podstawie
śr p
I
wyraz
nie, że o ile odkształcenia skurczowe �cs,II z biegiem czasu mają tendencję rosnącą , o
III III
tyle odkształcenia skurczowe �cs , odpowiadające za naprężenia � , po osiągnięciu
cs
maksimum w krótkim czasie po rozdeskowaniu konstrukcji, mają póz
niej tendencję
malejącą.
III
Szacowanie wartości naprężeń � nastręcza wiele trudności. Zazwyczaj
cs
konstruktorowi nie znany jest termin rozdeskowania konstrukcji, pogoda panująca podczas
dojrzewania betonu, zastosowane sposoby pielęgnacji powierzchni. Ważnym jest takie
III
sterowanie procesem rozdeskowania, aby ekstremum wartości � było poniżej krzywej
cs
wytrzymałości betonu na rozciąganie fctm(� ) - por. rys. 8.3. W przeciwnym razie dojdzie
do zarysowania stref przypowierzchniowych elementu we wczesnym okresie jego " życia".
Z jednej strony spowoduje to  rozładowanie niepożądanego stanu naprężeń własnych, z
drugiej strony jednak rysy te pozostaną w elemencie w sposób trwały, co oznacza częściową
degradację przekroju z punktu widzenia jego wytrzymałości i sztywności, a w dalszej
konsekwencji - jego trwałości.
III III
Próbę oszacowania naprężeń � podjęto w pracach [19, 22], a odkształceń �cs w
cs
III
pracy [23]. Obliczone na podstawie pracy [22] największe naprężenia � , przy założeniu
cs
betonu klasy B25 i k3 = 0,7, wyniosłoby 1,28 MPa = 0,58 fctm < fctk = 1,50 MPa, a na
III
podstawie pracy [23] - przy założeniu betonu klasy B20 i k3 = 0,7 - � = 1,87 MPa = 0,98
cs
fctm > fctk = 1,30 MPa. Wskazuje to na duże znaczenie omawianych naprężeń, zwłaszcza,
I II
że naprężenia te sumują się zazwyczaj z naprężeniami skurczowymi � i �
cs cs
(I ,II ,III )
(por. rys. 8.4), tak iż prawdopodobieństwo zaistnienia Ł � e" fctm (� ) jest bardzo
cs
duże. Należy tu jednakże zaznaczyć, że ekstrema poszczególnych składników fctm (� ) tej
sumy nie występują jednocześnie, co łagodzi ostrość powyższego zapisu.
Rys. 8.4.
III
Naprężenia � maleją tym szybciej, im mniejsza jest grubość zastępcza elementu.
cs
II
Zachodzi tu zatem zjawisko odwrotne niż w odniesieniu do naprężeń � , które rosną tym
cs
szybciej im mniejsza jest grubość zastępcza elementu. W elementach niemasywnych
II III
dominującą rolę odgrywają naprężenia � , podczas gdy w masywnych - � .
cs cs
III
Relaksacja naprężeń � w wyniku pełzania betonu zachodzi dużo wyraz
niej w
cs
elementach masywnych, niż w elementach o małej masywności. Według [20] współczynnik
relaksacji k3 dla naprężeń skurczowych własnych może być określony z zależności
przybliżonej:
1
k3 = (8.4)
2Ć(",ts ) + 0,2
III
Tak więc przy Ć(",ts ) = 2,0 (długotrwałe oddziaływanie naprężeń � w elemencie
cs
masywnym) k3 = 0,45, przy Ć(",ts ) = 1,0 (zanikające w czasie oddziaływanie naprężeń
III
� w elemencie o małej masywności k3 = 0,70.
cs
9. Obliczanie ilości przypowierzchniowego zbrojenia przeciwskurczowego
(I ,II ,III ) =
Największe wartości sumaryczne rozciągające naprężenia skurczowe Ł �
cs
I II III
� + � + � osiągają w skrajnych, przypowierzchniowych strefach przekroju i strefy
cs cs cs
te wymagają przede wszystkim zabezpieczenia przed zarysowaniem skurczowym.
W przypadku elementów żelbetowych nasyconych zbrojeniem problem dodatkowego
przypowierzchniowego zbrojenia przeciwskurczowego jest najczęściej nieistotny, gdyż
istniejące wkładki zbrojenia zabezpieczają te strefy przed zarysowaniem lub też ograniczają
szerokość rozwarcia powstających rys skurczowych; z rozciąganiem betonu od skurczu
najczęściej sumują się naprężenia rozciągające od pracy elementu na obciążenia zewnętrzne
i morfologia powstających rys pochodzi od obu tych zjawisk łącznie.
III
Rys. 9.1. Obliczeniowy rozkład naprężeń własnych � w przekrojach betonowych
cs
Największy problem stwarzają przypowierzchniowe strefy elementów masywnych
(m d" 2 m-1 - rys. 9.1b) i o średniej masywności (2 < m < 15 m-1 - rys. 9.1a), w których
zbrojenie ze względów obliczeniowych nie jest potrzebne. Należą do nich m.in. boczne
powierzchnie podpór mostowych, wysokich belek żelbetowych, górne powierzchnie grubych
III
płyt żelbetowych. Oddziaływujące na nie naprężenia skurczowe � powodują bardzo
cs
często zarysowania ich powierzchni we wczesnym okresie po rozdeskowaniu.
Przez moduł powierzchniowy elementu [21, 24] rozumie się tu wyrażenie:
uc
m = , [m-1](9.1)
vc
gdzie:
uc - powierzchnia elementu wystawiona na wymianę wilgoci zawartej w betonie
z otoczeniem [m2],
vc - objętość betonu w elemencie [m3].
Dla płyty lub ściany o dominującym wymiarze  h (grubość), w przypadku obustronnej
wymiany wilgoci, moduł powierzchniowy wynosi:
2 �" l1 �" l2 2
m = = , [m-1]. (9.2)
l1 �" l2 �" h h
Przy jednostronnej wymianie wilgoci (np. płyta fundamentowa na zaizolowanym podłożu):
l1 �" l2 1
m = = , [m-1]. (9.3)
l1 �" l2 �" h h
Dla pręta pryzmatycznego o długości l a lub l dc (gdzie a - wymiar boku pręta o
przekroju kwadratowym, dc - średnica pręta o przekroju kołowym), z wymianą wilgoci przez
całą powierzchnię zewnętrzną, zachodzi:
4 4
m = = , [m-1]. (9.4)
a d
Dla bloku sześciennego o boku a z wymianą wilgoci przez wszystkie powierzchnie
zewnętrzne, mamy:
6
m = , [m-1]. (9.5)
a
2
Płyta stropowa o grubości h = 0,10 m ma m = = 20 m-1 > 15,0 m-1 i jest
0,10
niemasywna, podczas gdy płytowy ustrój nośny w moście o grubości h = 1,20 m ma
2
m = = 1,67 < 2,0 m-1, co oznacza, że jest masywny. Masywną będzie również płyta
1,20
fundamentowa z jednostronną wymianą wilgoci, przy grubości h wynoszącej:
1 1
h e" = = 0,50 m.
m 2,0
Typowe belki żelbetowe i sprężone stosowane w budownictwie powszechnym mają
moduł powierzchniowy m = 7�14 m-1, zaś belki stosowane w budownictwie - m = 3�7 m-1.
Są to zatem elementy o średniej masywności, w pierwszym przypadku bardziej zbliżone do
elementów niemasywnych, w drugim - do elementów masywnych.
I II
W elementach niemasywnych dominują wymuszone naprężenia skurczowe � + � , w
cs cs
III
elementach masywnych - własne naprężenia skurczowe � . Elementy niemasywne
cs
(m e" 15,0 m-1) nie wymagają dodatkowego zbrojenia przeciwskurczowego
III
(przypowierzchniowego), dla przeniesienia naprężeń � . Mogą one wymagać takiego
cs
I II
zbrojenia dla przeniesienia naprężeń wymuszonych � + � .
cs cs
Między modułem powierzchniowym elementu  m , a jego miarodajnym wymiarem  ho
istnieje dla elementów płytowych i pryzmatycznych następująca zależność:
uc u �"1,0 2Ac 2
m = = = = , [m-1] (9.6)
vc Ac �"1,0 ho �" Ac ho
III
Jak wykazano w p. 8 już same naprężenia skurczowe własne � mogą osiągać wartości
cs
zbliżone lub przekraczające wartość wytrzymałości średniej betonu na rozciąganie fctm. Jeśli
wez
miemy pod uwagę fakt sumowania się w rzeczywistych konstrukcjach z betonu naprężeń
III II I
� z naprężeniami � + � , wówczas prawdopodobieństwo przekroczenia przez
cs cs cs
I II III
sumaryczne naprężenia (� + � + � ) wytrzymałości fctm znacznie się powiększa. Z
"
cs cs cs
rys. 8.4 wynika, że naprężenia te są największe na krawędzi elementu, przez który odbywa
się wymiana masy (wilgoci) z otoczeniem i - przesuwając się w głąb elementu - szybko
spadają.
Najbardziej narażona zatem na rozciągające naprężenia skurczowe jest
przypowierzchniowa strefa elementów konstrukcyjnych z betonu. Dokładne oszacowanie
grubości tej strefy jest praktycznie niemożliwe. Zależy ona od podatności konstrukcji na
obciążenie skurczem, stopnia zbrojenia elementów, cech fizycznych mieszanki betonowej,
pielęgnacji betonu i warunków dojrzewania, wilgotności i temperatury środowiska
zewnętrznego, masywności elementu, itp.
Stąd też oszacowanie grubości tej strefy  b1 , może być tylko przybliżone. Najczęściej
III
przyjmuje się, że grubość  b1 wynika z rozkładu w przekroju naprężeń własnych � .
cs
Grubość ta w stosunku do grubości elementu  b jest zdecydowanie inna w elementach o
średniej masywności i masywnych. W elementach o średniej masywności kształt pola
III
naprężeń własnych � w przekroju (w przybliżeniu podobny do kształtu pola wilgotności)
cs
zbliżony jest do paraboli stopnia trzeciego i wówczas b1 E" 0,185 b.
W elementach masywnych wykres pola wilgotności zbliża się do parabol wyższych
stopni, a nawet - w elementach bardzo grubych z uwagi na bezwładność wilgotnościową
środkowej części elementu oraz bardziej zaawansowaną dojrzałość z uwagi na
samoocieplenie pod wpływem ciepła hydratacji cementu - przyjmuje charakter jak na rys.
9.1b [24]. Wówczas grubość  b1 można przyjąć w przybliżeniu na podstawie doświadczeń.
Wynosi ona około (0,05�0,15) b, więcej w elementach o współczynniku masywności
zbliżonym do m = 2,0 m-1, mniej w elementach o dużej grubości (m �2,0 m-1).
Kolejne założenie jakie należy przyjąć, to kształt wykresu naprężeń w rozciąganej,
przypowierzchniowej strefie elementu. Wykazany w p. 6, 7 i 8 sposób obliczania naprężeń
I II III
skurczowych � ,� i � bazował na teorii sprężystości. Podane w tych rozdziałach
cs cs cs
wzory uwzględniały tylko cechy sprężyste betonu (Ecm = constans) oraz lepkie - przez
wprowadzenie współczynnika relaksacji naprężeń skurczowych na skutek pełzania - k3. Nie
uwzględniały one jednak cech plastycznych betonu, których udział jest tym większy im
naprężenie skurczowe jest bliższe wartości fctm (por. rys. 9.2).
Rys. 9.2.
Udział cech plastycznych jest ponadto bardziej znaczący w betonach niższych klas (np.
B20), mniej w betonach klas wysokich (np. B50) - por. rys. 9.2b.
Obciążenie skurczem jest obciążeniem dystorsyjnym, o charakterze kinematycznym, tzn.
wiodącym jest odkształcenie skurczowe �cs, a pochodną wielkością jest naprężenie
skurczowe �cs. Stąd do zarysowania skurczowego dochodzi, gdy suma
I II III
[(1
" - ł )� + � + �cs ] osiągnie wartość większą od wydłużalności granicznej betonu na
cs cs
'
rozciąganie �ct . Wówczas naprężenie rozciągające w betonie wynosi fctm. Sytuację tę
przedstawia rys. 9.3.
Rys. 9.3. Diagram naprężeń rozciągających w przypowierzchniowej strefie betonu
Większość autorów potrzebną ilość zbrojenia przeciwskurczowego w strefie o szerokości
 b1 oblicza wychodząc z diagramu naprężeń, przedstawionego na rys. 9.3. Różnice dotyczą
tego, jaką wartość naprężenia fct przyjmuje się za graniczną. Czy fctm, czy fctk. czy też jeszcze
rzecz
inną. Następnie, czy rzeczywisty diagram naprężeń rozciągających � aproksymuje się
ct
prostokątem o wymiarach fct �" b1 �" (1,0 m), czy też prostokątem o uśrednionej szerokości
� �" b1 (� d" 1,0), czy też trójkątem o szerokości podstawy  b1 i wysokości fct. I wreszcie, czy
uwzględnia się współpracę betonu przy rozciąganiu ze stalą zbrojenia przeciwskurczowego,
czy też nie.
Zakłada się przy tym, że w momencie pojawienia się rysy skurczowej całą bryłę
naprężeń rozciągających w strefie o szerokości  b1 przenosi stal zbrojenia
przypowierzchniowego. Naprężenie w tej stali nie może przekroczyć granicy plastyczności
fyk, tak aby możliwa była kontrola szerokości rys skurczowych. Poniżej zestawiono kilka
możliwych podejść do rozpatrywanego zagadnienia.
F. Leonhardt [26] wymaga, aby spełniony był warunek:
Ass fctk,0,95
�ss = e" (9.7)
Act f
yk
gdzie:
�ss - stopień zbrojenia przeciwskurczowego w strefie o szerokości b1,
fctk,0,95 - kwantyl 95 % wytrzymałości losowej betonu na rozciąganie (MPa),
fyk - wytrzymałość charakterystyczna stali zbrojeniowej (MPa).
We wzorze tym przyjęto wytrzymałość graniczną w momencie zarysowania betonu na
wysokim poziomie, równym fctk,0,95 oraz prostokątny wykres naprężeń w strefie rozciąganej.
H. R�sch i D. Jungwirth [20] proponują obliczać �ss z wzoru:
fct fctm
�ss e" (1 + n�) E" 1,05 (9.8)
f f
yk yk
gdzie fct jest wytrzymałością betonu na rozciąganie, szacowaną w przybliżeniu jako wartość
średnia z fctk,0,05 i fctm, z uwzględnieniem wpływu wieku betonu na wzrost wytrzymałości na
rozciąganie. Wzór zakłada prostokątny wykres naprężeń rozciągających oraz sprężystą
współpracę betonu z wkładkami zbrojenia przeciwskurczowego [(1 + n�) = (1 + no �ss)], tuż
przed zarysowaniem.
Według SIA 162 [27] ilość minimalnego zbrojenia zabezpieczającego przed powstaniem
rys oblicza się z wzoru:
ą fct
�ss e" (9.9)
f
yk
gdzie ą jest współczynnikiem zależnym od rozstawu prętów przypowierzchniowych i
wynosi ą = 1,0 dla ep = 10 cm oraz ą = 1,4 dla ep = epmax = 30 cm. fct jest wytrzymałością
betonu na rozciąganie przyjmowaną w wysokości 2,00 MPa dla betonów klas niższych od
B 35/25 (oznaczenia według [27]) oraz 2,50 MPa dla pozostałych klas betonu.
W pracach [18, 28] K. Flaga zaproponował zależność:
fctk fctk
0,55 d" �ss d" 1,10 (9.10)
f f
yk yk
póz
niej skorygowaną [29] do postaci:
fctm fctm
0,55 d" �ss d" 1,10 (9.11)
f f
yk yk
obl
Dolna granica odpowiada osiągnięciu przez naprężenia � wartości fctm tylko we włóknach
cs
skrajnych rozciąganej strefy przypowierzchniowej (w przybliżeniu trójkątny wykres
naprężeń rozciągających), natomiast górna granica odpowiada założeniu uplastycznienia
całej tej strefy (prostokątny wykres naprężeń rozciągających). Wzory (9.10) i (9.11)
uwzględniają również plastyczną współpracę betonu z wkładkami zbrojenia
przeciwskurczowego, tuż przed zarysowaniem (1,10 E" 1 + 2 no �ss).
I wreszcie Eurokod 2 [7, 8], a w ślad za nim norma PrPN-B-03264 [6] w p. 6.2 podaje
wzór, ważny dla minimalnego pola As przekroju zbrojenia rozciąganego, wymaganego z
uwagi na ograniczenie szerokości rys spowodowanych naprężeniami wywołanymi przez
odkształcenia wymuszone przyczynami wewnętrznymi (skurcz) lub zewnętrznymi (osiadanie
podpór), w postaci:
Act
As = kc �" k �" fct,eff �" (9.12)
�
s
gdzie:
kc - współczynnik uwzględniający rozkład naprężeń w przekroju w chwili
poprzedzającej zarysowanie,
k - współczynnik uwzględniający wpływ nierównomiernych naprężeń
samorównoważących się w ustroju,
fct,eff - średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie w chwili spodziewanego
zarysowania,
Act - pole przekroju strefy rozciąganej elementu w chwili poprzedzającej
zarysowanie,
�s - maksymalne naprężenie przyjęte w zbrojeniu rozciąganym natychmiast po
zarysowaniu, zależne od średnicy prętów.
Wzór (9.12) można łatwo adaptować do obliczenia zbrojenia przeciwskurczowego w
przypowierzchniowych strefach elementów konstrukcyjnych z betonu, przyjmując:
- kc = 1,0 (jak przy rozciąganiu osiowym),
- k = 0,8 (z uwagi na niepełne  wypełnienie prostokąta o szerokości b1 przez pole
naprężeń rozciągających),
- Act = b1 �" 1,0 m.
Wówczas:
fct,eff
�ss e" 0,8 �" (9.13)
�
s
Wartość fct,eff zależy od terminu spodziewanego zarysowania skurczowego. W przypadku
braku ściślejszych informacji zaleca się przyjmować fct,eff = fctm odpowiednio do
projektowanej klasy betonu, lub do klasy betonu w momencie spodziewanego zarysowania.
Eurokod 2 sugeruje [7, 8, 11], że jeżeli zarysowanie nie nastąpi wcześniej niż po 28
dniach wówczas jako minimalną należy przyjmować fct,eff = 3,0 MPa.
K. Flaga dyskutuje z tą sugestią w pracy [30], proponując przyjąć fct,eff = 2,0 MPa dla
betonów klas do B20, 2,5 MPa - dla betonów klas do B30 i 3,0 MPa - dla betonów klas
wyższych.
Wartość �s naprężeń w zbrojeniu rozciąganym można przyjąć równą fyk z tym, że z
uwagi na nieprzekroczenie granicznej szerokości rys - może być potrzebne obniżenie tego
naprężenia. Stosowny przykład będzie przytoczony w dalszej części niniejszej pracy.
W tablicy 9.1 podano wyniki analizy porównawczej stopnia zbrojenia
przeciwskurczowego �ss, obliczonego z wzorów (9.7), (9.8), (9.9), (9.11) i (9.13), dla 2 klas
betonu (B20 i B50) i 2 klas stali (A-I i A-III). Do obliczeń przyjęto fctm = 1,9 MPa i
3,5 MPa, fctk,0,95 = 2,5 MPa i 4,6 MPa, fctk = 1,3 MPa i 2,5 MPa, fct,eff = fctm e" 3,0 MPa,
fyk = 240 MPa i 410 MPa, ą = 1,2.
Tablica 9.1. Wartości minimalnego stopnia zbrojenia przeciwskurczowego �ss
Stal Klasa
min
�ss według wzoru
fyk betonu
Wartość
[MPa]
(9.7) (9.8) (9.9) (9.11)* (9.13)
średnia
B20 0,0104 0,0070 0,0100 0,0087 0,0100 0,0092
240
B50 0,0192 0,0131 0,0125 0,0160 0,0117 0,0145
B20 0,0070 0,0041 0,0055 0,0051 0,0059 0,0055
410
B50 0,0112 0,0077 0,0073 0,0094 0,0068 0,0085
* wartości obliczone ze wzoru �ss = 1,10 fctm/fyk.
min
Jak wynika z powyższej tablicy, różnice między wartościami �ss obliczone z
przytoczonych wzorów są dość znaczne, rzędu ą 25 % w stosunku do wartości średnich.
min
Wartości �ss zbliżone do powyższych wartości średnich można uzyskać jako średnią
arytmetyczną z wartości obliczonych według wzorów (9.11) i (9.13).
Reasumując można stwierdzić, że stopień zbrojenia przeciwskurczowego w
przypowierzchniowych strefach elementów konstrukcyjnych z betonu powinien wynosić dla
stali o fyk = 240 MPa - od 0,90 do 1,45 % dla betonu klas od B20 do B50 oraz dla stali o
fyk = 410 MPa - 0,55 do 0,85 % dla betonu klas jak wyżej.
Przykład VI. Belka mostowa o przekroju 600/3000 mm wykonana jest z betonu klasy
B30 o fctm = 2,6 MPa i zbrojona prętami ze stali 18G2 o fyk = 355 MPa. Należy określić ilość
zbrojenia przeciwskurczowego przy powierzchniach bocznych belki.
Moduł powierzchniowy:
uc 2 (0,60 + 3,00)
m = = = 4,0 m-1 > 2,0 m-1
vc 0,60 �" 3,00
< 15,0 m-1.
Jest to zatem element o średniej masywności wymagający zbrojenia przypowierzchniowego.
Grubość strefy rozciąganej: b1 = 0,185 �" 600 = 111 mm. Konieczny stopień zbrojenia
przeciwskurczowego:
- z wzoru (9.5)
2,60
�ss e" 1,10 = 0,0081
355
- z wzoru (9.7)
3,00
�ss e" 0,8 = 0,0068 .
355
Wartość średnia �ss = 0,0075.
Konieczne pole przekroju zbrojenia przeciwskurczowego:
Ass = �ss �" b1 �" 1,0 �" 103 = 0,0075 �" 111 �" 1,0 �" 103 = 832,5 mm2 = 8,33 cm2/1 mb konturu
a więc na przykład Ć 14 co 185 mm o Ass = 8,32 cm2/1 mb.
Zbrojenie to powinno być umieszczone w pobliżu środka ciężkości bryły naprężeń
rozciągających w betonie i rozmieszczone równomiernie zarówno poziomo jak i pionowo, z
uwagi na podobny rozwój odkształceń i naprężeń skurczowych. Dużo większe
prawdopodobieństwo przekroczenia przez naprężenia �cs wartości fctm zachodzi dla kierunku
poziomego, gdyż sumują się tu naprężenia skurczowe wymuszone przez zbrojenie główne
II III
� z naprężeniami własnymi � - por. rys. 9.4. W kierunku pionowym występują tylko
ct ct
III II
naprężenia � , gdyż naprężenia wymuszone przez opór strzemion � są stosunkowo
ct ct
małe.
Stąd też obliczone powyżej zbrojenie Ass należy w pełni zastosować jako pręty podłużne
przy obu bocznych powierzchniach belki. W kierunku pionowym ilość tego zbrojenia może
być zredukowana maksimum do połowy (por. wzór 9.11), a według normy [5] (por. p. 2.5)
do 60 % ilości minimalnych. Ostatecznie przyjęto dla kierunku pionowego:
pion
Ass = 0,6 �" 8,33 = 5,00 cm2/1 mb
a więc na przykład Ć 14 co 300 mm, na całej długości belki. Na odcinkach ścinania powinny
to być pręty dodatkowe, w postaci np. dodatkowych strzemion [31]. Poza odcinkami
ścinania, rolę tę mogą pełnić pionowe ramiona strzemion stosowanych ze względów
konstrukcyjnych.
Przykład VII. Belka żelbetowa o przekroju 300/800 mm wykonana z analogicznych
materiałów jak w przykładzie VI.
2 (0,30 + 0,80)
m = = 12,2 m-1 > 2,0 m-1
0,30 �" 0,80
< 15,0 m-1
b1 = 0,185 �" 300 = 55,5 mm.
Element o średniej masywności, bliskiej elementów niemasywnych; małe
obl
prawdopodobieństwo osiągnięcia przez naprężenia � wartości porównywalnych z
cs
wytrzymałością fctm.
2,60
�ss e" 0,55 = 0,0040
355
Ass = 0,0040 �" 55,5 �" 1,0 �" 103 = 222 mm2 = 2,22 cm2/1 mb konturu
a więc na przykład Ć 10 co 350 mm o Ass = 2,26 cm2/1 mb.
Zbrojenie powyższe jest zgodne z wymogami Pr PN-B-03264 [6] w zakresie dodatkowego
zbrojenia podłużnego. Powinno być ono również uwzględnione w tej ilości przy
konstruowaniu pionowych ramion strzemion w tej belce.
II III
Rys. 9.4. Zmienność naprężeń skurczowych � i � , w przekroju belki mostowej o dużej
cs cs
wysokości (żelbetowej lub sprężonej)
W pracy [29] autorzy zestawili ilości przypowierzchniowego zbrojenia podłużnego,
wymaganego przez różne normy w belkach wysokich z betonu. Stopień tego zbrojenia
odniesiony do pola przekroju poprzecznego b �" h, przy każdej z powierzchni belek o
szerokości b = 400 mm wyniósł:
0,025 % (wg PN-56/B-03260), 0,031 % (wg PN-84/B-03264), 0,050 % (wg PN-76/B-
03264), 0,066 % (wg ACI), 0,100 % (wg SIA oraz DIN), 0,150 % (wg PN-91/S-10042).
Stosunek między wartościami skrajnymi wynosi tu 6 i dotyczy 2. polskich norm, starej z
1956 r. i nowej z 1991 r.
Dane te świadczą o wzrastającym w Polsce zrozumieniu dla przypowierzchniowego
zbrojenia przeciwskurczowego. Aby przeliczyć powyższe dane na wartości porównywalne z
b b
tablicą 9.1, należy je pomnożyć przez czynnik � = = = 5,4.
b1 0,185 b
Otrzymany wówczas �ss = 0,00135 (dla PN-56/B-03260), �ss = 0,0054 (dla SIA i DIN) i
�ss = 0,0081 (dla PN-91/S-10042). Dopiero wartości �ss wg norm SIA 162 [27], DIN 1075
min
[32] i PN-91/S-10042 [5] są porównywalne z wartościami �ss z tablicy 9.1.
Aktualny projekt Pr PN-B-03264 [6] wymaga w analizowanym przypadku tylko:
1 1000 1
min
�ss = n �" A1s �" �"� = �" 0,50 �"102 �" �" 5,4 = 0,0019 � �ss
b h 350 400 �"1000
z tablicy 9.1, a więc stanowczo za mało.
10. Średnica i rozstaw zbrojenia przeciwskurczowego
Zastosowanie zbrojenia przeciwskurczowego w ilości obliczonej według zasad podanych
w p. 9 nie wyczerpuje zagadnienia. Zapewnia ono jedynie to, że nieciągłość powstała w
strefie przypowierzchniowej na skutek zarysowania skurczowego zostaje  zszyta przez
zbrojenie przeciwskurczowe, w którym w momencie powstania rysy nie zostaje
przekroczona granica plastyczności fyk. Pozwala to na kontrolę szerokości powstałych rys
skurczowych wk. Szerokość ta przy naprężeniu w stali równym fyk może być za duża z
punktu widzenia trwałości elementu. Powstaje zatem kolejny problem, a to średnicy i
rozstawu zbrojenia przeciwskurczowego w ilości Ass, zapewniających odpowiednią
dopuszczalną morfologię rys skurczowych w strefach przypowierzchniowych elementu.
Według H. R�scha i D. Jungwirtha [20] zapewnienie warunku wk < wlim wymaga
zastosowania zbrojenia o średnicy Ćs spełniającej warunek:
3�1 �" wlim �" Es
Ćs d" (10.1)
2
f
yk
gdzie:
�1 - wytrzymałość na przyczepność betonu do stali zbrojeniowej; w przypadku
prętów zabetonowanych w pozycji poziomej można przyjąć �1 = 0,15 fcm,
fcm - średnia wytrzymałość betonu na ściskanie.
Dla rozpatrzonego w p. 9 przykładu VI otrzymalibyśmy, przy wlim = 0,3 mm i
fcm = 33 MPa:
3 �" 0,15 �" 0,33 �" 0,3 �" 200 �"103
Ćs d" = 7,1 mm.
3552
Dla większej średnicy zastosowanego zbrojenia przeciwskurczowego Ć należy zmniejszyć
naprężenie w stali do wartości:
3
� = f Ćs Ć (10.2)
s yk
oraz stosownie podnieść stopień zbrojenia przeciwskurczowego, z wartości �ss do wartości
�1ss.
W rozpatrywanym przykładzie VI prowadzi to do wartości:
3
� = 355 7,1 14 = 283,1 MPa
s
355
�1ss = �" 0,0075 = 0,0094
283,1
0,0094
A1ss = �" 8,33 = 10,45 cm2/1 mb konturu,
0,0075
a więc należy zastosować Ć 14 co 150 mm o A1ss = 10,27 cm2/1 mb.
Gdyby zastosować pręty o średnicy Ć = 18 mm, wówczas
3
� = 355 7,1 18 = 260,3 MPa
s
355
�1ss = �" 0,0075 = 0,0102
260,3
0,0102
A1ss = �" 8,33 = 11,36 cm2/1 mb konturu,
0,0075
a więc pręty Ć 18 co 225 mm o A1ss = 11,29 cm2/1 mb.
Ważnym zagadnieniem jest nie tylko właściwa średnica zbrojenia przeciwskurczowego,
ale również jego rozstaw. Rozstaw powinien być taki, aby korzystne oddziaływanie prętów
przeciwskurczowych obejmowało całą przypowierzchniową strefę rozciąganą betonu, a nie
tylko najbliższe okolice tych prętów.
"
Pręty przeciwskurczowe zwiększają wydłużalność graniczną betonu do wartości �ct ,
określonej np. przez G.D. Ciskreliego [32] wzorem:
�ł �ł
�
" '
�ł �ł
� = �ct �ł1 + (10.3)
ct
�ł
Ć
�ł łł
gdzie:
� - stopień zbrojenia; w przypadku zbrojenia przeciwskurczowego � = �ss lub
� = �1ss ,
Ć - średnica zbrojenia (w m),
'
� - wydłużalność graniczna betonu niezbrojonego, przyjmowana najczęściej na
ct
poziomie 1 �" 10-4.
Odnosząc się do przykładu VI zastosowanie zbrojenia przeciwskurczowego z prętów
Ć 14 mm co 150 mm spowodowało wzrost wydłużalności granicznej betonu w rozciąganej
strefie przypowierzchniowej do wartości:
�ł 0,0094 �ł
"
� =1�"10-4 �ł1 + �ł = 1,67 �" 10-4
ct
�ł �ł
0,014
�ł łł
a więc o 67 %. Wzrost ten dotyczy najbliższej okolicy prętów przeciwskurczowych, w
dalszej od nich odległości maleje do zera.
' "
Wzrost � do wartości � oznacza, że w okolicy prętów przeciwskurczowych nie
ct ct
dochodzi z chwilą osiągnięcia przez naprężenia skurczowe wartości �cs = fctm do nagłego
zarysowania, ale - z uwagi na kinematyczny charakter obciążenia - dochodzi do dekompresji
w betonie spowodowanej degradacją struktury betonu na skutek mikrozarysowań. Struktura
ta jest jednak  zszyta przez zbrojenie i ujawnienie się rys skurczowych zachodzi dopiero po
"
osiągnięciu przez odkształcenie skurczowe wartości �cs e" �ct (rys. 10.1).
Rys. 10.1. Diagram �ct - �ct betonu rozciąganego przy obciążeniu typu kinematycznego
(np. skurczem betonu)
Według G.D. Ciskreliego [33], oddziaływanie prętów zbrojeniowych na rozciągany
beton sięga na odległość e = 6 Ć przy Ć d" 3 mm i e = 3 Ć przy średnicach większych,
według F. Leonhardta [26] - na odległość e = 7 Ć poza lico pręta, według normy [5] - na
odległość e = 7,5 Ć od osi pręta. Wariant najbardziej optymistyczny e = 7,5 Ć od osi pręta
wskazuje, że osiowa odległość prętów zbrojenia przeciwskurczowego nie powinna być
większa niż s = 2e = 15 Ć . Rozstawy prętów z przykładu VI odpowiadają temu warunkowi,
podczas gdy rozstaw s = 350 mm dla prętów Ć 10 z przykładu VII warunku tego nie spełnia
i zbrojenie to nie będzie efektywne.
Na zakończenie należy zwrócić uwagę na fakt, że naprężenia skurczowe są zmienne w
I II III
czasie, jedne (� ,� ) rosną z czasem, inne (� ) z czasem maleją. Stąd też jeżeli ilość
cs cs ct
zbrojenia przeciwskurczowego w strefach przypowierzchniowych jest podyktowana
III
naprężeniami własnymi � , wówczas należy spodziewać się z biegiem czasu zamykania
ct
III
się rys skurczowych (o ile powstaną) i zmniejszenia się naprężeń � w zbrojeniu
ss
przeciwskurczowym. Pręty tego zbrojenia mogą być wówczas przydatne do innych celów,
jak np. do współpracy z betonem przy przenoszeniu obciążeń zewnętrznych i innych
oddziaływań (np. termicznych).
Jeśli natomiast ilość zbrojenia przeciwskurczowego jest podyktowana sumowaniem się
III I II
naprężeń � z naprężeniami � i � (rys. 8.4), wówczas powstałe rysy skurczowe mogą
cs cs cs
w czasie nawet się rozszerzyć, i stąd należy dużą wagę przywiązać zarówno do ilości jak i
średnicy oraz rozstawu prętów zbrojenia przypowierzchniowego. Dotyczy to np. dolnych
stref ścian bocznych wysokich belek żelbetowych i sprężonych, gdzie naprężenia skurczowe
II III
� i � sumują się w przęsłach z naprężeniami rozciągającymi od pracy belek na
bs bs
zginanie. W takich przypadkach np. norma [5] zaleca stopniowanie podłużnych prętów przy
obu powierzchniach bocznych - gęściej od strony rozciąganych prętów głównych.
F. Leonhardt [34] wręcz zaleca stopniowanie tych prętów wg rysunku 10.2.
Rys. 10.2. Rozkład poziomych prętów przypowierzchniowych dla wysokiej belki mostowej
11. Uwagi końcowe
Praca niniejsza, mimo swojej obszerności, nie wyczerpuje całości zagadnienia. Nie
można bowiem zagadnienia naprężeń skurczowych rozpatrywać w oderwaniu od naprężeń
termicznych [35], wywołanych w konstrukcji bądz
przez wpływy wewnętrzne (ciepło
hydratacji cementu) bądz
przez wpływy zewnętrzne (zmiany temperatury otoczenia,
insolacja itp.). W elementach niemasywnych i o średniej masywności rzędu m e" 10 m-1
dominują naprężenia skurczowe wymuszone, w elementach masywnych i o średniej
masywności m < 10 m-1 - naprężenia skurczowe plus naprężenia termiczne, własne i
wymuszone. I tu, każdy przypadek należy rozpatrywać oddzielnie.
Oddziaływanie naprężeń termicznych i skurczowych jest w zasadzie podobne, z tym, że
odkształcenia skurczowe są ujemne, termiczne mogą być dodatnie (np. podczas rozgrzewu
elementu przez ciepło hydratacji cementu) lub ujemne (np. podczas stygnięcia tego
elementu). Ponadto ekstremalne wartości odkształceń termicznych i skurczowych mogą
występować w różnym czasie. Stąd też podanie ogólnych reguł postępowania nastręcza
duże trudności.
Klasycznym przykładem mogą tu być zagadnienia związane z połączeniem ścian z
fundamentami, np. bardzo dużych trzonów z płytami fundamentowymi znacznej grubości,
ścian zbiorników i basenów z fundamentami. Zazwyczaj jest tak, że ściany te wykonujemy z
dużym opóz
nieniem w stosunku do realizacji płyt fundamentowych. W płytach tych doszło
już do stabilizacji termicznej oraz w dużym stopniu zaistniały już odkształcenia skurczowe.
Nowo zabetonowana ściana (najczęściej o średniej masywności, np. dla h = 0,4 m,
m = 5,0 m-1) najpierw rozszerza się termicznie pod wpływem ciepła hydratacji cementu.
Tzw. szok termiczny zachodzi w pierwszych 50-80 godzinach dojrzewania [25], gdy beton
jest najpierw ciałem o cechach cieczy lepkiej, a póz
niej ciałem pseudo stałym, o małym
zaawansowaniu cech sprężystych. Z biegiem czasu beton w ścianie twardnieje i zaczyna się
wychładzać, kurcząc się termicznie. Do skurczu tego dodaje się skurcz fizyczny. Temu
łącznemu odkształceniu termiczno-skurczowemu stawia opór wcześniej wykonany
fundament, który dla rozpatrywanej ściany jest więzem zewnętrznym o dużej sztywności.
Na skutek istnienia tego więzu dochodzi do zaistnienia dużych sił w strefie stykowej tych
dwóch elementów; ściana jest mimośrodowo rozciągana, a fundament mimośrodowo
ściskany. Prowadzi to najczęściej do znaczących zarysowań skrośnych w dolnej części
ściany (rys. 11.1).
Rys. 11.1.
Zapobiec im można układając w ścianie dodatkowe zbrojenie poziome obliczone przy
założeniu, że ściana jest rozciągana na całej grubości  h , tzn. Acs = h �" 1,0 m, na podstawie
analogicznych wzorów, jak przypowierzchniowe zbrojenie przeciwskurczowe (por. pkt 9).
Na przykład (przykład VIII) dodatkowe zbrojenie poziome ściany dla przeniesienia
rozciągających naprężeń termiczno-skurczowych, dla betonu klasy B20, stali 34GS o
fyk = 410 MPa i grubości ściany h = 400 mm, zgodnie z tablicą 9.1 powinno wynosić:
�ss = 0,0055
Ass = �ss �" h �" 1,0 �" 103 = 0,0055 �" 400 �" 1,0 �" 103 = 2200 mm2 = 22,0 cm2/1 mb
wysokości.
Dano zbrojenie poziome w 3 warstwach na grubości ściany z prętów Ć 14 co 150 mm o
A1ss = 30,8 m2/ Ass = 22,0 cm2/1 mb, z uwagi na ograniczenie szerokości rys do
wk d" wlim = 0,3 mm.
W kierunku pionowym należy, z uwagi na skurczowe naprężenia własne, zastosować
zbrojenie:
- w 2. warstwach zewnętrznych
�ss = 0,0055
Ass = 0,0055 �" 0,185 �" 400 �" 1,0 �" 103 = 407,0 mm2 = 4,07 cm2/1 mb szerokości,
a więc np. pręty Ć 10 co 150 mm o A1ss = 5,27 cm2/1 mb z uwagi na ograniczenie
szerokości rys do wk d" wlim = 0,3 mm.
- w warstwie wewnętrznej
zbrojenie konstrukcyjne w ilości 20 % zbrojenia poziomego:
30,8
A1ss = 0,20 �" = 2,05 cm2/1 mb szerokości, a więc np. pręty Ć 8 co 250 mm o
3
A1ss = 2,00 cm2 na 1 mb.
Sposób zbrojenia przedmiotowej ściany dla zabezpieczenia przed skutkami naprężeń
termiczno-skurczowych przedstawiono na rys. 11.2.
Rys. 11.2.
Piśmiennictwo
[1] PN-56/B-03260. Konstrukcje żelbetowe. Obliczenia statyczne i projektowanie.
[2] PN-66/B-03320. Konstrukcje z betonu sprężonego. Obliczenia statyczne i
projektowanie.
[3] PN-76/B-03264. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i
projektowanie.
[4] PN-84/B-03264. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i
projektowanie.
[5] PN-914/S-10042. Obiekty mostowe. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone.
Projektowanie.
[6] Pr PN-B-03264. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i
projektowanie.
[7] Eurokod 2. Projektowanie konstrukcji z betonu.
Część 1. Reguły ogólne i reguły dla budynków.
Tom I. Wersja polska ENV 1992-1-1:1991, ITB Warszawa 1992.
[8] Eurokod 2. Projektowanie konstrukcji z betonu.
Część 1. Reguły ogólne i reguły dla budynków.
Tom II. Postanowienia krajowe do ENV 1992-1-1:1991. 2-ga wersja. ITB Warszawa
1993.
[9] PN-B-03264:1999: Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i
projektowanie.
[10] Praca zbiorowa: Podstawy projektowania konstrukcji żelbetowych i sprężonych według
Eurokodu 2.Trzy tomowe opracowanie dla KBN, Warszawa 1997.
[11] Eurokode 2: Design of concrete structures - Part 1: General rules and rules for
buildings. Wersja angielska EN 1992-1 (1st draft), July 1999.
[12] Eurokode 2: Design of concrete structures - Part 1-1: General rules and rules for
buildings. Wersja angielska EN 1992-1-1 (1st draft), October 2001.
[13] Comit� Euro - International du Beton: CEB-FIP Model Code 1990. Design Code. CEB
Bulletin No 213/214. Thomas Telford Services Ltd. London 1993.
[14] Raszka H.: Skurcz betonu - geneza, objawy i przebieg w czasie. Inżynieria i
Budownictwo, nr 2/1995.
[15] Raszka H.: Uogólnione metody obliczania przewidywanych odkształceń skurczowych
elementów betonowych. Inżynieria i Budownictwo, nr 1/1990.
[16] Flaga K.: Wpływ pól wilgotnościowych na zarysowanie i nośność konstrukcji
żelbetowych. Księga Referatów I Ogólnopolskiego Sympozjum  Wpływy środowiskowe
na budowle i ludzi . Lublin, XII. 1994.
[17] Flaga K., Furtak K., Jargiełło J.: Zastosowanie zmodyfikowanej teorii starzenia do
oceny relaksacji naprężeń skurczowych w elementach żelbetowych. Archiwum Inżynierii
Lądowej, tom XXX, z. 4/1984.
[18] Flaga K.: Skurcz betonu a trwałość mostów betonowych. Inżynieria i Budownictwo, nr
7-8/1988.
[19] Flaga K.: Praca zbrojenia przeciwskurczowego w wysokich belkach żelbetowych.
Księga Referatów XXVIII Konferencji Naukowej KILiW PAN i KN PZITB. Warszawa-
Krynica, IX. 1982.
[20] R�sch, Jungwirth D.: Skurcz i pełzanie w konstrukcjach betonowych. Arkady,
Warszawa 1979.
[21] Aleksandrowskij S.W.: Rascziot bietonnych i żelezobietonnych konstrukcij na
temperaturnyje i włażnostnyje wozdiejstwia. Strojizdat, Moskwa 1966.
[22] Flaga K., Andreasik M.: Naprężenia termiczno-skurczowe w masywnych elementach
betonowych. Księga Referatów XXXIII Konferencji Naukowej KILiW PAN i KN
PZITB. Gliwice-Krynica, IX. 1987.
[23] Flaga K., Wilczyński T.: Odkształcenia skurczowe w pryzmatycznych elementach
betonowych obciążonych niejednorodnym polem wilgoci. Zeszyt Naukowy Komisji
Budownictwa O/K PAN. Ossolineum, Wrocław 1982.
[24] Flaga K.: Wpływ czasu na mosty żelbetowe i z betonu sprężonego. Inżynieria i
Budownictwo, nr 6/1997.
[25] Flaga K.: Naprężenia własne termiczne  makro w elementach i konstrukcjach z
betonu. Cement, Wapno, Gips, nr 4-5/1991.
[26] Leonhardt F.: Cracks and Crack Control at Concrete Structures. IABSE Periodica, nr
1/1987.
[27] SIA Norme 162. Ouvrages en b�ton. Societe Suisse des Ingenieurs et des Architectes.
Z�rich 1989.
[28] Flaga K., Wilczyński T.: O obliczaniu przypowierzchniowego zbrojenia
przeciwskurczowego w elementach z betonu. Inżynieria i Budownictwo, nr 11-12/1983.
[29] Flaga K., Furtak K.: Projektowanie konstrukcyjnego zbrojenia przeciwskurczowego w
elementach żelbetowych. Księga Referatów XXXVIII Konferencji Naukowej KILiW
PAN i KN PZITB, A
ódz
-Krynica, IX.1992.
[30] Flaga K. Minimalne zbrojenie ze względu na stan graniczny zarysowania. Inżynieria i
Budownictwo, nr 2/1995.
[31] Holst K.H.: Br�cken aus Stahlbeton und Spannbeton. Ernst und Sohn, Berlin 1985.
[32] DIN 1075: Betonbr�cken, Bemessung und Ausf�hrung.
[33] Ciskreli G.D.: O rastiażimosti armirowanych bietonow. Bieton i Żelezobieton, nr
19/1964.
[34] Leonhardt F.: Podstawy budowy mostów betonowych. Przekład z niemieckiego Józef
Głomb i Feliks Lipski. WKiA
, Warszawa 1982.
[35] Andreasik M.: Naprężenia termiczno-skurczowe w masywach betonowych. Praca
doktorska, Kraków 1982.