Ćwiczenie 3
Standaryzacja zmiennej:
Niech X ma rozkÅ‚ad normalny o redniej i odchyleniu standardowym Ã. X - N(µ, Ã).
Wtedy U=(X-µ à ma rozkÅ‚ad normalny standaryzowany N(0, 1). Zmienna o rozkÅ‚adzie
µ)/Ã
µ Ã
µ Ã
normalnym standaryzowanym jest oznaczana liter U (czasem: Z).
W ten sposób dowoln zmienn normaln X mo na przekształci w zmienn o rozkładzie
normalnym standaryzowanym U.
eby odstandaryzowa zmienn nale y skorzysta z przeksztaÅ‚cenia odwrotnego X=Uà µ.
Ã+µ
à µ
à µ
Uwaga. Standaryzacja nie zmienia kształtu rozkładu  je li X ma rozkład nie-normalny, to
(X-µ)/à równie ma rozkÅ‚ad nie-normalny.
Dystrybuanta:
Dystrybuanta rozkładu normalnego standaryzowanego (U) jest oznaczana liter .
Je li x jest pewn warto ci zmiennej losowej o rozkÅ‚adzie N µ,à , za u odpowiadaj c
( )
jej warto ci standaryzowan , to warto ci ich dystrybuanty s równe:
F x = Åš u
( ) ( )
Korzystamy z tego gdy chcemy znale prawdopodobie stwo przyj cia przez zmienn
normaln warto ci z pewnego przedziału, od x1 do x2 .
Pr x1 < X d" x2 = Pr u1 < U d" u2 = Åš u2 - Åš u1
( ) ( ) ( ) ( )
Rozkład normalny jest symetryczny wzgl dem redniej, wi c:
(u)= 1- (-u)
Kwantyle:
Dla zmiennej losowej X kwantyl rz du p to taka warto tej zmiennej (xp), dla której
prawdopodobie stwo, e zmienna losowa X przyjmie warto xp lub mniejsz wynosi p. Czyli
poni ej xp znajduje si 100% × p przypadków.
P (X d" xp) = p