Model ciągły...
Modele matematyczne w biologii
wykład 2.
Marcin Zygmunt1
1
Wydział Matematyki Stosowanej
AGH
Kraków
e-mail:[e-mail]
semestr zimowy 2009/2010
Model ciągły...
Model logistyczny
Zakładamy, że środowisko jest zamknięte. Ewolucję układu
opisuje równanie:

dN N
= rN 1 - , r, K > 0
dt K

N
Współczynnik rozrodu per capita jest równy N 1 - .
K
Współczynnik K nazywany jest pojemnością środowiska.
RozwiÄ…zaniem jest funkcja
N0Kert
N(t) = .
K + N0(ert - 1)
Układ ewoluuje w kierunku stanu stacjonarnego N"(t) a" K, tj.
lim N(t) = K .
t+"
Model ciągły...
Model logistyczny
Postać bezwymiarowa
Postać bezwymiarowa, to postać równania, w której nie
występują jednostki miar.
ZALETY
1
Jednostki związane z poszczególnymi zmiennymi i
parametrami nie odgrywają żadnej roli  pojęcia  mały i
 duży mają znaczenie wyłącznie porównawcze
(relatywne);
2
W postaci bezwymiarowej zmniejsza siÄ™ liczba
parametrów  parametry modelu wyjściowego są
grupowane w celu otrzymania nowych, bezwymiarowych
parametrów. Owe parametry bezwymiarowe lepiej
określają dynamikę modelu.
Model ciągły...
Model logistyczny
Postać bezwymiarowa

du(Ä)
= u(Ä) 1 - u(Ä) ,
dÄ
gdzie
N(t)
u(Ä) = , Ä = r · t .
K
RozwiÄ…zaniem jest funkcja
u0eÄ
u(Ä) = .
u0eÄ + 1 - u0
Model ciągły...
Punkty stacjonarne
Rozwiązanie stałe w czasie, tj. u(t) = u" = Const(t),
nazywamy punktem stacjonarnym.
WARUNEK na istnienie punktu stacjonarnego
W modelu ogólnym

du(t)
= f u(t) ,
dÄ
rozwiązanie stacjonarne spełnia

f u" = 0 .
Model ciągły...
Stabilność punktów stacjonarnych
Rozwiązanie stacjonarne nazywamy stabilnym, jeśli małe
zaburzenia wygasajÄ… w czasie.
Tj. jeÅ›li u" jest rozwiÄ…zaniem stacjonarnym, a u(t) = u" + µ(t)


innym rozwiÄ…zaniem, przy czym µ(t) << 1, to stabilność u"
jest równoważna
lim µ(t) = 0 .
t+"
Model ciągły...
Stabilność punktów stacjonarnych
Interpretacja geometryczna
Wykres funkcji f(u) = u(1 - u)
Model ciągły...
Stabilność punktów stacjonarnych
Interpretacja geometryczna
Model ciągły...
Stabilność punktów stacjonarnych
Warunek algebraiczny
Linearyzacja modelu wokół punktu stacjonarnego.
Zakładamy, że f jest przynajmniej klasy C2. Rozwijamy f w
szereg Taylora wokół punktu stacjonarnego u"

df u"
f u" + µ = f u" + µ + o(µ)
du

= f u" µ + o(µ)
Model ciągły...
Stabilność punktów stacjonarnych
Zatem dla maÅ‚ych odchyleÅ„ µ(t) << 1 rozwiÄ…zanie
u(t) = u" + µ(t) możemy przybliżyć

du dµ
= H" f u" µ(t) ,
dt dt
co daje nam rozwiÄ…zanie


µ(t) H" O ef (u")t
Jeśli f (u") < 0, to rozwiązanie stacjonarne jest stabilne
(tj. µ(t) 0). JeÅ›li natomiast f (u") > 0, to rozwiÄ…zanie
stacjonarne nie jest stabilne. Przypadek f (u") = 0 należy
badać osobno  tutaj technika linearyzacji nie daje wiążącej
odpowiedzi.
Model ciągły...
Model logistyczny, cd.
punkty stacjonarne
W modelu logistycznym (w postaci bezwymiarowej)

du(t)
= u(t) 1 - u(t)
dt
mamy dwa punkty stacjonarne
u0 = 0 & u1 = 1
f (u) = 1 - 2u
stÄ…d rozwiÄ…zanie u0 jest niestabilne, a rozwiÄ…zanie u1 jest
stabilne, czyli rzeczywiście układ stabilizuje się wokół punktu
u1.
Model ciągły...
Model logistyczny w zastosowaniu
Gradacja owadów  choristineura fumiferana
Model rozwoju szkodnika drzew iglastych (głównie jodły
balsamicznej) z gatunku Choristineura fumiferana (Clemens)
Model ciągły...
Model logistyczny w zastosowaniu
Gradacja owadów  choristineura fumiferana
Model rozwoju szkodnika drzew iglastych (głównie jodły
balsamicznej) z gatunku Choristineura fumiferana (Clemens)
[za: D.Ludwig, D.D.Jones, C.S.Holling, Qualitative analysis of
insect outbreak systems: the spruce budworm and forest,
J. Anim. Ecol., 47, 1978, pp 315 332]

dN N BN2
= rBN 1 - - p(N), p(N) = ,
dt KB A2 + N2
gdzie pojemność środowiska KB wiąże się z zagęszczeniem
igieł na drzewach (czyli z dostępnością pożywienia), a funkcja p
opisuje drapieżnictwo głównie ze strony ptaków
Gradacją nazywa się w leśnictwie wystąpienie dużej liczby
owadów w danym sezonie.