Wyklad 1. Twierdzenie Moivre a
W zastosowanich prawdopodobieÅ„stwem, które spotyka si¸ najcz¸Å›ciej, jest to że ilość
e e
skucesów w Schemacie Bernoulliego n-prób nie przekroczy zadanego poziomu. Jak dobrze
wiadomo, już od czasów Pascala (1623-1662), Fermata (1601-1667), wyraża si¸ ono wzorem
e


n
P (Sn d" t) = pkqn-k
k
kd"t
gdzie p = 1 - q prawdopodobieśntwo sukcesu w pojedynczej próbie. Przy dużych n,
co cz¸ zdarza si¸ w zastosowaniach, wzór ten nie nadaje si¸ do obliczeÅ„. Pi¸ i
esto e e eknym
podstawowym rezultatatem, atkach lo
n uzyskanym w pocz¸ teorii prawdopodobieÅ„stwa by za-
uważenie, że ciag p(k) := pkqn-k zinterpolowany do funkcji nieujemnej, niemalej¸ na
¸ acej
k
(-", np] i nierosn¸ na [np, +"), swym ksztaltem, wraz ze wzrostem n, upodabnia si¸
acej e
2
coraz bardziej do funkcji e-x odpowiednio przeskalowanej. I co o wiele ważniejsze może
pos do przybliżonego wyliczania P (Sn d" t) , w którym, praktycznie niewykonalne
lużyć
2
sumowanie zamienia si¸ na ca l¸ lug¸
e lkowanie funkcji e-x . Prawie ca a tego zas e należy przyp-
isać Moivre owi (1667- 1754). Kompletny dowód tego faktu poda w 1733r. Jego integraln¸
l a
cz¸Å›cia jest dowód wzoru na przybliżenie n!, który obecnie, niezbyt s
e ¸ lusznie, przypisywany
jest Stirlingowi. Przedstawimy ten dowód, różniacy si¸ od orgina w niewielkim stopniu.
¸ e lu
Jest on ca elementarny, co jest jego znaczn¸ zalet¸ ca
lkiem a a. lkowicie elemntarny.
Zaczniemy od sprecyzowania idei przybliżania rozk dysktretnego przez ciag
ladu ¸ ly.
Niech S zm. los. o wartościach w Z-zbiorze liczb ca
lkowitych, p(k) = P (S = k), k " Z
f : R R+ ca aca aca
lkowalna, niemalej¸ na (-", 0] i nierosn¸ na [0, +"), a " R, h > 0.
Wówczas funkcja x hf(h(x - a)) jest przeskalowaniem f i wykresy obu tych funkcji s¸
a
podobne podobieństwem i(x, y) = (h(x - a)), hy). Oznaczmy xk := h(k - a) dla k " Z.
Za óżmy, że dla pewnego 0 < %EÅ‚, ´ < 1 i przedzia I = [-b, b] spe s¸ warunki
l lu lnione a
(1.1) e-%EÅ‚p(k) d" hf(xk) d" e%EÅ‚p(k) dla k t.z. xk " I


(1.2) f(x)dx < ´, oraz p(k) < ´
R\I
k:xk"I
/
Niech X = h(S - a). WartoÅ›ciami jej s¸ liczby xk, k " Z oraz dla dowlnego B ‚" Z jest
a
P (S " B) = P (X " C) gdzie C = {xk : k " B}. I jeszcze na koniec oznaczmy dla C ‚" R
i s > 0 przez Cs = {x " R : istn. c " C t.z. 0 > c d" x < c + s lub 0 d" c e" x > c - s}.
Lemat 1.1 Przy powyższych za
lożeniach i oznaczeniach dla każdego borelowskiego C ‚" R

P (X " C) d" e%EÅ‚( f(x)dx + hf(0)) + ´,
Ch

f(x)dx d" e%EÅ‚P (X " Ch) + hf(0) + ´
C
1
Dowód. Z przyj¸ za o funkcji f wynika że dla dowolnego k " Z
etych lożeń

hf(xk-1) d" f(s)ds d" hf(xk) jesli xk d" 0,
[xk-1,xk]

hf(xk-1) e" f(s)ds e" hf(xk) jesli xk-1 e" 0,
[xk-1,xk]

hf(xk-1) + hf(xk) d" f(s)ds + hf(0) d" 2hf(0) jesli xk-1 d" 0 d" xk.
[xl-1,xl]
St¸
ad

P (X " C) = p(k) + p(k) d"
k:xk"C)"I k:xk"C)"(R\I)


(1 - %EÅ‚)-1hf(xk) + ´ d" e%EÅ‚( f(s)ds + hf(0)) + ´.
Ch
k:xk"C
Podobnie


f(s)ds d" f(s)ds + ´ d" f(s)ds + ´ d"
C C)"I [xk-1,xk]
k:[xk-1,xk])"C)"I="


hf(xk) + hf(0) + ´ d" e%EÅ‚ p(k) + hf(0) + ´ d" e%EÅ‚P (X " Ch) + hf(0) + ´.
k:xk"Ch)"I k:xk" Ch)"I
"
"
1
Wzór Moivre a-Stirling a: n! = 2Ä„nne-n ne¸(n) gdzie 0 < ¸(n) d" .
12n
Dowód. Latwo sprawdzamy, że

1 1 1 1 1
1 = (1 + )-1 . . . (1 + )-1n oraz n! = (1 + )-1(1 + )-2 . . . (1 + )n-1nn,
1 n - 1 1 2 n - 1
n-1

n-1
1 1
e 1 1 1
2 k
2 2 2
k=1
n! = e nn+ e-n = nn+ e-ne1+ (1-(k+ ) ln(1+ )) = cnn+ e-ne¸(n)
1
1
2
(1 + )k+
k=1 k
"

"
1 1
1 1
2 k
k=1
gdzie c = e1+ (1-(k+ ) ln(1+ )) oraz ¸(n) = ((k + ) ln(1 + ) - 1).
2 k
k=n
Zbieżność powyższych szeregów i oszacowanie na ¸(n) dostajemy z nierównoÅ›ci
1 1 1 1 1
0 d" (k + ) ln(1 + ) - 1 d" ( - ) dla k " N.
2 k 12 k k + 1
1
Po podstawwieniu x = s¸ one równoważne nierównoÅ›ciom
a
k

x
2x s2
0 d" ln(1 + x) - = ds
x + 2 (s + 1)(s + 2)2
0
oraz

x
2x x3 s4
ln(1 + x) - - = - ds d" 0.
x + 2 6(x + 1)(x + 2) 6(s + 1)2(s + 2)2
0
"
To że c = 2Ä„ pokażemy w dowodzie nast¸ twierdzenia.
epnego
2
Zastosujemy Lemat 1 i to co by udowodnione dotychczas we wzorze Moivre a-
lo
Stirlinga do zmiennej losowej S = Sn- ilości sukcesów w n niezależnych próbach, z praw-
dopodobieństwem sukcesu w jednej próbie równym p = 1 - q.
Sn-np
"
Twierdzenie Moivre a Niech Xn = , G -zmienna losowa o rozk N(0, 1),
ladzie
npq
1
"
hn = wówczas dla dowolnego zbioru borelowskiego C ‚" R oraz n " N zachodzi
npq
3 3
n n
P (Xn " C) d" P (G " Ch ) + , P (G " C) d" P (Xn " Ch ) + .
" "
5 5
npq npq
Dowód. Dla ustalonego n zastosujemy Lemat 1 do S = Sn, X = Xn, a = np, h = hn
x2
2
i funkcji f(x) = ce- , gdzie c sta z dowodu wzoru Moivre a -Stirlinga. Wówczas z
la
k-np
"
definicji xk = wynika, że
npq
xk xk k n - k
k = np + , n - k = nq - , = 1 + hqxk, = 1 - hpxk.
h h np nq
St¸ i ze wzoru Moivre a- Stirlinga otrzymujemy że
ad
n! h np 1 nq 1
2 2
p(k) = pkqn-k = ( )n-k+ ( )k+ e¸(n)-¸(k)-¸(n-k) =
k!(n - k)! c k n - k
xk 1 xk 1
h h
h 2 h 2
(1 + hqxk)-(np+ + )(1 - hpxk)-(nq- + )e¸(n)-¸(k)-¸(n-k) = eW +T ,
c c
gdzie T = ¸(n) - ¸(k) - ¸(n - k) oraz
xk 1 xk 1
W = -(np + + ) ln((1 + hqxk) - (nq - + ) ln((1 - hpxk).
h 2 h 2
"
Korzystajac z rozwin¸ logarytmu, ln(1 + x) = (-1)i+1 xi , dla |x| < 1, dostajemy
ecia
i=1
i
"

xk 1 xk 1 (hxk)i
W = [((-q)i(np + + ) + pi(nq - + )] dla k t.z. |hxk| < 1.
h 2 h 2 i
i=1
Suma trzech pierwszych wyrazów tego szeregu jest równa
x2 p - q 1 - pq h 1 - 2pq 1 - 3pq -x2
k k
- + (hxk - (1 - h2) x3 + h2x2 - h2x4 = + V.
k k k
2 2 3 3 4 3 2
1
Latwo sprawdzamy, że jeśli n e" , t.j. h d" 1, wówczas

pq
|p - q| |xk|3 x2 x4
k k
|V | < h max{|xk|, } + h2 max{ , }.
2 3 4 3
1
Suma pozosta wyrazów szeregu - R, dla k t.ż. |hxk| < , |h| < 1 szacuje si¸ tak:
lych e
2
3
xk xk xk 1 xk 1
ec
Ponieważ np + , nq - e" 0 wi¸ |(-q)i(np + + ) + pi(nq - + )| d"
h h h 2 h 2
|(p-q)xk|
xk 1 xk 1 1 1 1
q2(np + + ) + p2(nq - + ) d" + + , dla i e" 4. I wobec |hxk| d"
h 2 h 2 h2 h 2 2

1 |(p - q)xk| 1 (hxk)4 " 1 h2x4 h4x4 h2x2
k k k
|R| d" ( + + ) ( )i-4 d" + + |p - q| .
h2 h 2 4 2 2 4 4
i=4
h2 1
Pozostaje oszacować T . Pokażemy że |T | d" dla k t.ż. |hxk| < . Rzeczywiście
6 2
h2 1 n h2 h2
e" e" T e" - = - e" - .
6 12n 12k(n - k) 12(1 + hqxk)(1 - hpxk) 6
1
Sumuj¸ dostajemy, że dla k t. ż. |hxk| d" jest
ac
2
|p - q| |xk|3 h2x2 x2 x4 h2x4 h4x4 h2
k k k k k
|V |+|R|+|T | d" h(max{|xk|, }+ )+h2 max{ , }+ + +
2 3 2 4 3 2 4 6
Pokazaliśmy tzw. lokalne twierdzenie Moivre a
4b2 1
Jeśli, 1 < b, n e" , wtedy hb d" , h > 1, oraz dla k t.ż. xk " I = [-b, b]
pq 2
5
(1.3). p(k) = hf(xk)e%EÅ‚(k), gdzie |%EÅ‚(k)| d" hb3
4
1 "
6
10
5 "5
Wynika st¸ że jeÅ›li po to dla n > , co pociaga
ad, lożymy b = h- = npq, %EÅ‚n = ¸
5
4 npq pq
1
bh < , to spe jest za (1.1) Lematu 1.
lnione lożenie
2
Zajmiemy si¸ warunkiem (1.2) Lematu 1. Niech G zm. los. o rozk N(0, 1). Mamy
e ladzie

Sn - np D2(Sn) 1
p(k) = P (| | > b) d" = .
" "
5
npq npqb2 npq
k:xk"I
/
" " "

2Ä„ 2Ä„ D2(G) 2Ä„ 1
f(x)dx = P (|G| e" b) d" = .
"
5
c c b2 c npq
R\I
"
2Ä„
"1
co oznacza, że spe jest warunk (1.2) z ´n = max{1, } .
lniony
5
c npq
6
Zachodzi wi¸ taza Lematu 1. JeÅ›li zastosujemy j¸ do c = R dla n otrzymamy
ec a
npq

1 1
n n
1 d" e%EÅ‚ ( f(x)dx + ) + ´n, f(x)dx d" e%EÅ‚ + + ´n.
" "
npqc npqc
R R
"

2Ä„
Ciagi (´n) s¸ zbieżne do zera, wynika z tego że f(x)dx = = 1 czyli
¸
R c
"(%EÅ‚n), a
c = 2Ą i dowód wzoru Moivre a - Stirling a jest kompletny.
Otrzymujemy st¸ że f jest g¸ ¸ G. I jeszcze raz na mocy Lematu 1 dostajemy, że
ad, estościa
4
1
n n
P (Xn " C) d" e%EÅ‚ (P (G " Ch ) + " ) + ´n d"
2Ä„npq
n
e%EÅ‚ 3
n n n
P (G " Ch ) + e%EÅ‚ - 1 + " + ´n d" P (G " Ch ) + .
"
5
2Ä„npq npq
Podobnie dowodzimy drug¸ nierówność Twierdzenia Moivre a.
a
6
"3
Dla n d" sta e
la > 1 i twierdzenie staje si¸ trywialne. c.b.d.o.
5
pq npq
Ponieważ dla zbiorów C postaci(-", t] lub (-t, +") , t e" 0 jest Cs = C z Twierdzenia
wynika nast¸ acy wniosek o dystrubuantach
epuj¸
Wniosek 2.1 Moivre a- Laplace e
3
|FX (t) - FG(t)| d" , dla n " N t " R.
"
n
5
npq
Uwaga 1.1 W powyższych nierównoÅ›ciach sta 3 i rz¸ pierwiastka nietrudno jest popra-
le ad
wić na lepszy. Ich wybór by powodowany obaw¸ przed zbytnia komplikacj¸ rachunków.
l a ¸ a
Szacuj¸ ´n nie przy pomocy nierownoÅ›ci Czebyszewa ale przy pomocy Bernsteina (tw
ac
2 rozdz 7.4 -Bia Ksi¸ można, nietrudno, doprowadzic do oszacowania lewych stron
lej egi),
C(Ä…)
nierownoći w Twierdzeniu i Wniosku przez dla dowlnego ą < 1/2. W przypadku
(npq)Ä…
symetrycznym p = q, również dla ą = 1/2. Znacznie bardziej subtelne metody pozwalaja
¸
1
"
udowdnić, że w Wniosek spe jest z praw¸ stron¸ nierównoÅ›ci równ¸ . Informacje
lniony a a a
npq
o jeszcze lepsze oszacowania można znalez
ć na web:
http://mathworld.wolfram.com/deMoivre-LaplaceTheorem.html
1
"
Ponieważ dystrybuanta Xn ma skoki, w pobliżu 0 rz¸ (co wynika z lokalnego
edu
2Ä„npq
Twierdzenia Moivre a) prawa strona nierównoÅ›ci we Wniosku nie może być zast¸
apiona
C(Ä…)
1 1
"
przez z d > 8 ani też gdy ą > a C(ą) sta
la.
(npq)Ä… 2
dĄnpq
5