Własności granic ciągów ostatnia aktualizacja: 4 grudnia 2011 r.
Adam Gregosiewicz
Twierdzenie 1. Jeżeli ciąg (an)n"N jest zbieżny do liczby rzeczywistej a, a ciąg (bn)n"N jest zbieżny
do liczby rzeczywistej b, to
a) ciąg (an ą bn)n"N jest zbieżny do a ą b,
b) ciÄ…g (an · bn)n"N jest zbieżny do a · b,
a
c) ciąg (an )n"N jest zbieżny do , o ile wyrazy ciągu (bn)n"N są różne od zera oraz jego granica b
bn b
jest różna od zera.
Wyrażenia nieoznaczone. Każde z wyrażeń
0 "
, , " - ", 0 · ", 00, 1", "0
0 "
jest symbolem nieoznaczonym.
Wyrażenia oznaczone. Każde z wyrażeń
1 "
" + " = ", 1 + " = ", 1 - " = -", = 0, = "
" 1
jest symbolem oznaczonym.
Twierdzenie 2 (O zbieżności ciągów monotonicznych). Jeżeli ciąg (an)n"N jest monotoniczny, to jest
zbieżny. Jeżeli jest on ograniczony, to jest zbieżny do granicy właściwej, natomiast jeżeli jest nieogra-
niczony, to jest zbieżny do granicy niewłaściwej.
Lemat 1. Niech a będzie liczbą rzeczywistą. Jeżeli |a| < 1, to
lim an = 0.
n"
Jeżeli natomiast a > 1, to
lim an = ".
n"
Lemat 2. Niech (an)n"N będzie ciągiem zbieżnym do zera, a ciąg (bn)n"N będzie ciągiem ograniczonym.
Wtedy ciÄ…g (an · bn)n"N jest zbieżny oraz
lim anbn = 0.
n"
Lemat 3 (Twierdzenie d Alemberta). Niech dla ciÄ…gu (an)n"N istnieje granica


an+1

lim = q.

n"
an
a) Jeżeli q < 1, to limn" an = 0.
b) Jeżeli q > 1, to limn" |an| = ".
Lemat 4 (Twierdzenie Cauchy ego). Niech dla ciÄ…gu (an)n"N istnieje granica

n
lim |an| = q.
n"
a) Jeżeli q < 1, to limn" an = 0.
b) Jeżeli q > 1, to limn" |an| = ".
Lemat 5. Jeżeli (an)n"N jest ciągiem o wyrazach dodatnich, takim że
an+1
lim = a,
n"
an
to
"
n
lim an = a.
n"
1
2
Twierdzenie 3 (Twierdzenie o trzech ciągach). Jeżeli dla ciągów (an)n"N, (bn)n"N oraz (cn)n"N mamy
lim an = lim cn = g
n" n"
oraz
an bn cn n = 1, 2, . . . ,
to
lim bn = g.
n"
Definicja 1. GranicÄ™ ciÄ…gu
n
1
1 +
n
nazywamy liczbÄ… Eulera i oznaczamy przez e.
Lemat 6. Niech limn" an = 0 oraz limn" bn = ". Wtedy
lim (1 + an)bn = elimn" anbn.
n"
Twierdzenie 4 (Twierdzenie Stolza, dyskretna wersja reguły de l Hospitala). Jeżeli ciąg (bn)n"N jest
ściśle rosnący oraz limn" bn = ", a dla ciągu (an)n"N mamy
an+1 - an
lim = g,
n"
bn+1 - bn
to
an
lim = g.
n"
bn
(ag)