Analiza matematyczna
1. CiÄ…gi
Definicja 1.1
Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczy-
wistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n
nazywamy n-tym wyrazem ciÄ…gu i oznaczamy a(n) = an. CiÄ…g liczbowy oznaczamy
przez {an}.
Definicja 1.2
Funkcję ą: N N odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb natural-
nych taką, że ą(n + 1) > ą(n) nazywamy podciągiem ciągu liczbowego.
Uwaga 1.1
Podciąg można traktować jako złożenie funkcji a z funkcją ą
(a ć% ą)(k) = a(ą(k)) = an(k) (n = ą(k))
Przykład 1.1
Niech {an} = 2n + 1, czyli {an} = (3, 5, 7, . . . , 2n + 1, . . .) i niech Ä…(k) = k2. Wtedy
(a ć% ą)(k) = 2k2 + 1, więc wyrazy podciągu to: (3, 9, 19, 33, . . .)
Definicja 1.3 (definicja granicy ciÄ…gu)
Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu {an}, gdy spełniony jest warunek

|an - g| < µ
n>p
µ>0 p"N
LiczbÄ™ g nazywamy granicÄ… ciÄ…gu {an}, jeÅ›li dla każdej liczby dodatniej µ można tak
dobrać liczbę naturalną p, że dla wszystkich wskaz
ników n > p wyrazy ciągu {an}
bÄ™dÄ… należeć do przedziaÅ‚u (g - µ, g + µ). Gdy g jest granicÄ… ciÄ…gu {an}, to piszemy
lim an = g
n"
Twierdzenie 1.1
Jeśli g jest granicą ciągu {an}, to g jest też granicą każdego podciągu an(k).
Dowód:
Z istnienia granicy ciÄ…gu {an} mamy:

|an - g| < µ
n>p
µ>0 p"N
Ponieważ k nk jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych, to istnieje liczba k" taka,
"
że k" > p. Gdy k > k", to nk > p (bo z własności podciągu nk > nk ). Stąd mamy

|an(k) - g| < µ Ò! lim an(k) = g
n"
µ>0 k""N k>k"
Twierdzenie 1.2
Każdy ciąg {an} niemalejący (an an+1) i ograniczony od góry jest zbieżny oraz
g = lim = sup{an}
n"
Dowód:
Korzystając z definicji kresu górnego mamy:

sup A - µ < x sup A
µ>0 x"A
Przyjmijmy g = sup{an}, wtedy

g - µ < ap g < g + µ Ô! (n > p Ò! |an - g| < µ)
µ>0 p"N µ>0 p"N
co oznacza, że granicą ciągu {an} jest liczba g.
Twierdzenie 1.3
Każdy ciąg zbieżny {an} jest ograniczony.
Dowód:
Ze zbieżności ciągu {an} mamy:

|an - g| < µ
n>p
µ>0 p"N
Ustalmy wiÄ™c µ, wtedy |an - g| < µ dla n > p. KorzystajÄ…c z wÅ‚asnoÅ›ci modu-
łów (|a| - |b| |a - b|) otrzymujemy |an| - |g| |an - g| < µ dla n > p, czyli
|an| < |g| + µ. Powyższa nierówność nie jest speÅ‚niona dla n = 1, . . . , p. Przyjmijmy
zatem M = max{|a1|, . . . , |ap|, |g| + µ}. Wtedy |an| < M dla wszystkich n.
Twierdzenie 1.4
JeÅ›li g = 0 jest granicÄ… {an}, to istniejÄ… liczby µ0, p takie, że: |an| > |g| - µ0 dla n > p

Dowód:
Ze zbieżności ciągu {an} mamy:

|an - g| < µ
n>p
µ>0 p"N
Ustalmy µ0. Wtedy |an - g| |an - g| < µ0 dla n > p. Z wÅ‚asnoÅ›ci modułów mamy:
|b|-|a| |b-a| = |a-b|, wiÄ™c |g|-|an| |an -g| < µ0, czyli |an| > |g|-µ0 dla n > p
Twierdzenie 1.5
Jeśli ciąg {an} ma granicę a i ciąg {bn} ma granicę b, to ciąg {an+bn} ma granicę a+b
Dowód:
Ze zbieżności ciągów {an} i {bn} mamy:

µ µ
|an - a| < |bn - b| <
2 2
n>s
µ>0 s"N µ>0 n>t
t"N
Niech p = max{s, t}. Wtedy dla n > p oba warunki są prawdziwe jednocześnie.
Więc:
µ µ
|(an + bn) - (a + b)| = |(an - a) + (bn - b)| |an - a| + |bn - b| < + = µ
2 2
Twierdzenie 1.6
Jeśli ciąg {an} ma granicę a i ciąg {bn} ma granicę b, to ciąg {an-bn} ma granicę a-b
Twierdzenie 1.7
Jeśli ciąg {an} ma granicę a i ciąg {bn} ma granicę b, to ciąg {anbn} ma granicę ab
Dowód:
Ze zbieżności ciągów {an} i {bn} oraz z (1.3) mamy:

|an - a| < µ |bn - b| < µ |an| < M
n>s
µ>0 s"N µ>0 n>t
t"N M
Niech p = max{s, t}. Wtedy dla n > p mamy: |an - a| < µ oraz |bn - b| < µ. WiÄ™c
dla n > p dostajemy:
|anbn - ab| |anbn - anb| + |anb - ab| = |an||bn - b| + |an - a||b| < Mµ + µ|b| = µ"
Twierdzenie 1.8
Jeśli ciągi {an} i {bn} mają granice a i b = 0, to ciąg {an}/{bn} ma granicę a/b

Dowód:
Ze zbieżności ciągów {an} i {bn} oraz z (1.4) mamy:

|an - a| < µ |bn - b| < µ |bn| > |b| - µ
n>s v
µ>0 s"N µ>0 n>t n>t
t"N
Niech p = max{s, t, v}. Wtedy dla n > p wszystkie warunki zachodzą jednocześnie.
Wówczas dla n > p mamy:



an a anb - abn |an - a||b| + |a||bn - b| µ(|b| + |a|)


- = < = µ"


bn b bnb c|b| c|b|
gdzie c = |b| - µ
Twierdzenie 1.9 (o trzech ciÄ…gach)
Jeśli g jest granicą ciągów {an} i {bn}, to

an xn bn Ò! lim xn = g
n"
n>v
v"N
Dowód:
Ze zbieżności ciągów {an} i {bn} mamy:

g - µ < an < g + µ g - µ < bn < g + µ
n>s
µ>0 s"N µ>0 n>t
t"N
Niech p = max{s, t, v}. Wtedy dla n > p mamy:
g - µ < an xn bn < g + µ Ò! g - µ < xn < g + µ Ò! lim xn = g
n"
Twierdzenie 1.10 (Weierstrassa)
Z każdego ograniczonego ciągu {an} można wybrać podciąg zbieżny.
Dowód:
Niech wyrazy ciągu {an} leżą w przedziału [a, b], a s1 niech będzie jego środkiem:
1
s1 = (a + b). Rozważmy przedziały [a, s1] i [s1, b].
2
Przynajmniej w jednym z nich leży nieskończenie wiele wyrazów {an}. Oznaczmy go
[l1, p1] i wez
my z niego pewien wyraz an(1), więc l1 an(1) p1.
Niech s2 będzie środkiem odcinka [l1, p1]. Rozważmy przedziały [l1, s2] i [s2, p1]. W
przynajmniej jednym z nich leży nieskończenie wiele wyrazów {an}. Oznaczmy ten
przedział [l2, p2] i wez
my z niego element an(2) tak, by n2 > n1 (warunek z def. pod-
ciÄ…gu). Mamy zatem l2 an(2) p2.
Powtarzając to postępowanie otrzymujemy podciąg an(1), an(2), . . . wyrazów ciągu
{an} taki, że an(k) " [lk, pk], gdzie każdy kolejny przedział [lk, pk] jest zawarty w po-
przednim, a długość przedziału [lk, pk] wynosi (b - a)/2k.
Zauważmy, że ciągi {lk},{pk} (lewych i prawych końców tych przedziałów) są ogra-
niczone ([lk, pk] ‚" [a, b]) i monotoniczne
(lk+1 = lk '" pk+1 pk) (" (lk+1 lk '" pk+1 = pk)
Ciąg {lk} jest niemalejący, a ciąg {pk} jest nierosnący, więc oba ciągi są zbieżne na
mocy (1.2). Stąd istnieją granice l i p tych ciągów, przy czym l k. Ponieważ zaś
b - a
0 pk - lk
2k
to na mocy tw. o trzech ciągach mamy, że {pk - lk} 0, czyli l = p = g.
Ponieważ lk an(k) pk i znów z tw. o trzech ciągach dostajemy {an(k)} g
Rozpatrzymy teraz istnienie granicy
n
1
lim 1 +
n"
n
Pokażemy, że powyższy ciąg jest niemalejący. Skorzystamy z nierówności Bernoul-
li ego: (1 + x)n > 1 + nx, n " N, n > 1, x > 1 podstawiajÄ…c x = -n-2. Wtedy
n n n
1 1 1 1 1
1 - 1 - Ô! 1 - 1 + 1 - Ô!
n2 n n n n
n -(n-1) n-1 n-1
1 1 n 1
Ô! 1 + 1 - = = 1 +
n n n - 1 n - 1
Ponadto ciąg ten jest też ograniczony

n
1 n n 1 n 1 n 1 n 1
1 + = + + + . . . + + =
n 0 1 n 2 n2 n - 1 nn-1 n nn
n(n - 1) 1 n(n - 1) . . . 3 · 2 1 n(n - 1) . . . 3 · 2 · 1 1
= 2 + · + . . . + · + ·
n2 2! nn-1 (n - 1)! nn n!
Ponieważ wszystkie ułamki są mniejsze od jedności to
n
1 1 1 1
1 + 2 + + . . . + + < 3
n 2! (n - 1)! n!
Pokazaliśmy, że badany ciąg jest monotoniczny i ograniczony, a zatem jest zbieżny.
Granica tego ciÄ…gu jest nazywana liczbÄ… Eulera i oznaczana literÄ… e.

1
lim 1 + = e
n"
n
Definicja 1.4
Mówimy, że ciąg {an} spełnia warunek Cauchy ego, jeśli

|an - am| < µ
n,m>p
µ>0 p"N
Twierdzenie 1.11
Jeśli ciąg {an} spełnia warunek Cauchy ego, to jest ograniczony.
Dowód:
Ustalmy µ0. Wtedy

|an - am| < µ0
n,m>p
p"N
Ustalmy m0 " N. Wówczas |an - am(0)| < µ0 dla n > p. Z wÅ‚asnoÅ›ci modułów mamy
|an| - |am(0)| |an - am(0)| < µ0 Ô! |an| - |am(0)| < µ0 Ò! |an| < |am(0)| + µ0
Powyższej nierówności nie spełniają wyrazy a1, . . . ap. Przyjmijmy więc
M = max{|a1|, . . . |ap|, |am(0)| + µ0}
Wówczas dla wszystkich n " N mamy |an| < M.
Twierdzenie 1.12
Jeśli ciąg {an} spełnia warunek Cauchy ego, to jest zbieżny.
Dowód:
Z założenia twierdzenia oraz z twierdzenia (1.11) mamy

|an - am| < µ |an| < M
n,m>p
µ>0 p"N M"N
Ciąg {an} jest ograniczony. Wybierzmy z niego podciąg zbieżny do pewnej liczby
a " R

|an(k) - a| < µ (")
µ>0 p"N k>p
Pokażemy, że {an} a. Niech n > p i k > p. Wtedy nk > p. Niech m = nk. Wtedy
|an - an(k)| < µ oraz |an(k) - a| < µ, dla n, k > p. Wówczas
|an - a| < |an - an(k)| + |an(k) - a| < 2µ = µ Ò! lim an = a
n"
Copyright © Grzegorz GierlasiÅ„ski