CI
GI LICZBOWE
1. Zapisać kolejne wartości liczbowe określone następującym wzorem na n-tą wartość.
Przedstawić je graficznie.
n n 8cosn 2nsinn
2 2
a) an b) an ( 1)n c) an d) an
n 1 n 1 n 4 n 1
1
e) an ( 1)n (2n 1) f) an ( 1)n 1 g) an 1 ( )n
2
2n
2. Napisać wzór na n-ty wyraz ciągu
1 1 1 1
a) { 2,2, 2,2, 2,Kð} b) c) {2,4,6,8,10,Kð}
{1 , , , , ,Kð}
2 4 8 16 32
2 3 4 5
d) e) {8,6,8,6,8,Kð}
{1 , , , , ,Kð}
2 3 4 5 6
3. Obliczyć, korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach właściwych ciągów
1 2 8 1
1 (6 )2
n
n2 n5 2n 3
n2 1
a) b) ( ) c) d)
lim 1 2 lim lim 2 7 lim
n2
3 4 1 2n
n n n n
n2 n2 n3
n
3 1
2 4 1
n
n2 n2 6
2n 1 2n 4
e) f) g) h) ( )2
lim lim lim lim 7n 1
n 7
1 5
3n 2
3
n 8 3 n n
n2 n n
(n 1)(n 3)
32n 1 7
8n4 n 2 2n 5
i) j) k) l)
lim lim lim lim
7n2 1
2n4 n3 1 3n2 5
n
n n n
9n 4
23n 2n 1 5 4n 1 3 2n 1 5n 2
m) n) o)
lim lim lim 1 1
n n n
8n 7 3 22n 3 1 3 5n 3n
4. Znalez
ć granice ciągów, korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów
1
(3 )2
(0,4)n
3n 5 n
2n 4
a) b) c) d)
lim lim lim lim
5
4n 2 2n 5 n 1
n n n n
n3 3n 2
e) lim ( 2n3 n2 3n 13) f) g) ( 4n 3 2 n)
lim lim
6n2 2n 1
n
n
n
h) ( n2 1 n) i) ( n3 2n 1 n) j) ( 9n 7 3 n)
lim lim lim
n
n n
4
k) ( 2n 3 n 1) l) ( n2 5n n2 n 2) m) lim (1 )n
lim lim
n
n
n n
2
2
5n
2 1
n) (nn1)3n o) (1 )n 5 p) (1 ) r) (nn22)3n 2
n n
lim lim lim lim
n n n n
1 1 3 n
3n
s) 3n 2 t) 2
lim lim
n n
Odpowiedzi.
1 1
2. a) an ( 1)n 2 an 2n an ( )n c) an 2n d) an nn1
b) lub
2
e) an 7 ( 1)n 1
3 2
1
3. a) b) 0 c) 9 d) 1 e) f) 2
3
5
1 4 1
g) h) i) 4 j) 0 k) l) 3
3 49 3
5 5
m) 1 n) o)
6 3
4 a) b), c), d) 0 e) f), g) h) 0 i) j) 0 k)
3 2 5 6 3
3
l) 2 m) e4 n) e o) e p) e r) s) t) 2
e