Granice ciągów i funkcji
Ciągłość funkcji


zad. 1 Obliczyć granice ciągów i funkcji:

11
1

1+++...+
x

2
2
33233
24
2

a) lim(x
+2x
-
x
-x
)Ä…) lim(x
+3x
-
x
+2)
b) lim


11
1

x›.


x›.


x›.

1+3
+9
+...+
x

3


1-
x
+1
x
+
xx2
-2x
+1

c) lim


ć) lim


d) lim3

x›0
xx›0


x›1
x
-x

x
1
221-cos2x

e) limxsin
Ä™) lim(x
+2x
-
x
-x
)
f) lim
2

x›.
x›.
x›0

xx
.x
cos2x
1

g) lim(x
-1)tg
h) lim
i) lim
sin
n


›
x
x
12
x›
.
sinx
-cosx
›.n


4


x+1
x+2

3·2
-3
nn
nn
2
n
4
n

j) lim
k) lim
10
+9
+8
l) lim
()
+()

33

x+2

x›.
n›.
n›.

3


22


1+2+3+...+n
.n2
+6.n
.n2
+2
.n


Å‚) lim
m) lim..
n) lim..

2
.2
..2
.

n›.
n›.
n›.

nn
2n
+1

..
..
1-cosx

Å„) lim
o) lim


ó) limn(ln(n
+1)-lnn)


x›0
xn›.


n›.

3cos2
2


n+3

.
n
.
nsinn!
cosn.

p) lim.1+
q) lim
r) lim

2
.
n

n›..
n
+n
.
n›.
n2
+1
n›.2
E(x)
.

1+2+3+...+n
(x
-3)(-1)
cosx
-cos

s) lim
Å›) lim
t) lim
4
n›.
n2
x›0
x2
-9
x›
.
sinx
-sin.
4


4


tg(x
-1)


arcsin(1-2x)1
x

u) lim
2
v) lim
2
w) lim(1-3x)

x›11
x›0

(x
-1)
x›
4x
-1


2



sin3x
sin5x

1-cosx
sinx
-
cosxe
-e

x) lim


z) lim
x›0
sinxx›
.
sin
x
-cosxx›0
x


y) lim


4


cosx
-1
tgx
-sinx
1


x
sin
x

ź) lim
2
ż) lim
3
Åš) lim(cos
)

x›0
x›0
x›0

xx
lnx
-1
sinx
-tgx


Åš) lim
Åš) lim
x›ex
-ex›02
x

4sin


2


22210+-nn

zad. 2 Zbadać ciągłość funkcji

..x

.cos
dla


x


.
1

f
(x)
=.
2
.


x
-1
dla


x


>
1

.


zad. 3 Dobrać parametry a,b,c
tak, aby funkcja była ciągła na R
.

.
1+
x
-1

.dla
x
.
0

a) f(x)
=.


x
.a
dla
x
=
0


.
.sinax


dla
x
<
0

.
.
x
3


.x
-1

b) f
(x)
=.
dla
0
.
x
<
1


x2
+
x
-
2

.
2

.
x
+
(b
-1)x
-
b


dla
x
>
1

.

.
x
-1


zad. 4 Znaleźć asymptoty funkcji:

x3
-1


.
1
.

a) y=
b) y=


c) y
=
x
ln.+
e.


x
-1
.
x
.
sinx

d) y
=xarctgx
e) y
=
2

x


12-x