Wydział WiLiŚ, Budownictwo i Transport, sem.1
dr Jolanta Dymkowska
CiÄ…gi liczbowe
Zad.1 Zbadaj ograniczoność ciągu o wyrazie ogólnym

n+1 1 nĄ
1.1 an = 1.2 an = (-1)n + 1.3 an = cos
n2 n 5
3
1.4 an = tg
n
Zad.2 Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym
3n 3n2+5n-3
2.1 an = 2.2 an = 3n + n2 2.3 an =
n+1 n2+2n
5n Ä„n
2.4 an = 2.5 an =
n2 (2n)!
Zad.3 Zbadaj monotoniczność i ograniczoność ciągu o wyrazie ogólnym an , a następnie, odpowiedz czy ciąg {an}
jest zbieżny.
n 1 1 1 1
3.1 an = + 3.2 an = + . . . + 3.3 an = cos nĄ
n+1 n n+1 n+n n
3.4 an = n3 + 3n
Zad.4 Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym
5
(n+2)(n-3) (2n-1)3
3n-1
4.1 an = 4.2 an = 4.3 an =
7n2-5 4n-2 (4n-1)2(1-5n)

7n7+1 6n5-2n n-1
3
4.4 an = 4.5 an = 4.6 an =
n5 3 n6+1 8n+10
+4n +2n
(n+1)3 - (n-1)3
9n2+1 n
"
4.7 an = 4.8 an = 4.9 an =
3
n2+4 (n+1)3 + (n-1)3
8n3-n
"
1 n
" "
4.10 an = n2 + n - n 4.11 an = 4.12 an =
3
4n2+7n - 2n 27n3-n - 3n
" " "
" "
4.13 an = 2n + 5 - 2n + 3 4.14 an = n n + 1 - n
3n + (-3)n
5·32n - 1 1+3n+5n
4.15 an = 4.16 an = 4.17 an =
4·9n + 7 4n + 1 6n-2n
2n+1 - 3n+2 8n1
4.18 an = 4.19 an = -
3n + 2 7n+1
" " "
n
n n
4.20 an = Ä„n + en 4.21 an = 7n + 8n + 2 · 9n 4.22 an = 10 + n3
"
n
cos n!+3 sin n2
4.23 an = 2n + n2 4.24 an =
2n-sin 2n
1 1
" "
4.25 an = + . . . +
n2+1 n2+n
2
n
n -n+3
2 4 n2+6
4.26 an = 1 + 4.27 an = 1 - 4.28 an =
n n n2+2
3 3
n 3n -4
2n3-5 n3+15
4.29 an = 4.30 an = 4.31 an = n [ ln(n + 3) - ln n ]
2n3+1 n3+7
1
1 1
1+ +···+
1+2+···+n
3 3n
4.32 an = 4.33 an =
1 1
n2
1+ +···+
e en
1+3+···+(2n-1)
1 1 1
4.34 an = 4.35 an = + + . . . +
2n2+3 1·2 2·3 n·(n+1)
n sin(n3)
1 3n
4.36 an = cos(n!) - 4.37 an =
2n 6n+1 3n2+1

n (-1)n
1+2+···+n 2n nÄ„ n
4.38 an = cos n 4.39 an = sin -
n3+3 2n2-1 2 1-2n n2-1
2n n2+1
4.40 an = cos
2n2-1 2n-1
an+1
Zad.5 Oblicz granicę lim , jeżeli
an
n"
(3n)!
2n·32n 8log2 n
5.1 an = 5.2 an = 5.3 an =
n! n3n 2n
2