Analiza matematyczna 1/Wykład 3: Odległość i ciągi - Studia Informatyczne

/**/






/**/











Analiza matematyczna 1/Wykład 3: Odległość i ciągi

From Studia Informatyczne
< Analiza matematyczna 1

Spis treści [schowaj]

1 Odległość i ciągi
2 Odległość
3 Ciągi
4 Ciągi Cauchy'ego

if (window.showTocToggle) { var tocShowText = "pokaż"; var tocHideText = "schowaj"; showTocToggle(); }
[Edytuj]Odległość i ciągi
Na tym wykładzie dowiadujemy sie w jaki sposób można mierzyć
odległość w .
Wprowadzamy pojęcie odległości (metryki) w
oraz zdefiniujemy kule dla różnych metryk.
Definiujemy ciągi o wyrazach wektorowych, pojecie granicy ciągu.
Podajemy własności granic oraz wprowadzamy pojęcie ciągu
Cauchy'ego.

[Edytuj]Odległość
Euklides (365-300 p.n.e.)Zobacz biografię
W szkole spotkaliśmy się już z pojęciem odległości na przykład
liczb na osi rzeczywistej
lub punktów na płaszczyźnie
(odległość euklidesowa).
Okazuje się, że odległość można mierzyć na wiele różnych
sposobów.
Umówiono się, że funkcja przyporządkowująca parze
punktów zbioru
liczbę, którą nazwiemy ich odległością,
musi spełniać kilka warunków.
Tę funkcję będziemy nazywać metryką, a
warunki precyzuje poniższa definicja.
Definicja 3.1. [metryka]


Metryką w nazywamy dowolną
funkcję

spełniającą następujące warunki:
(1)
;
(2)

(warunek symetrii);

(3) (warunek trójkąta).
Dla dowolnych
liczbę nazywamy
odległością
punktów i
oraz mówimy, że punkty i są
oddalone od siebie o



Metryka

Zwróćmy uwagę, że warunki w powyższej definicji są dość
naturalnymi warunkami jakie powinna spełniać odległość.
Mówią one, że odległość dwóch punktów wynosi zero tylko wtedy, gdy punkty się
pokrywają.
Odległość od punktu do punktu jest równa odległości od
punktu do punktu .
Trzeci warunek mówi, że odległość od do nie może być
większa, od sumy odległości od do i od do ,
co także jest naturalnym żądaniem.
Jeśli potrafimy już mierzyć odległość, to możemy zdefiniować
kulę o promieniu , czyli zbiór punktów, których odległość od
wybranego punktu (zwanego środkiem kuli) jest mniejsza niż .
Definicja 3.2. [kula, kula domknięta]


Niech
oraz
Kulą o środku w punkcie i promieniu
nazywamy zbiór:



Kulą domkniętą o środku w punkcie i promieniu
nazywamy zbiór:





Z powyższej definicji wynika, iż kulą o środku i promieniu
nazywamy zbiór punktów przestrzeni których odległość
od środka jest mniejsza od
Analogicznie kulą domkniętą o środku i promieniu
nazywamy zbiór punktów przestrzeni których odległość
od środka nie jest większa od
Zanim przejdziemy do przykładów przestrzeni metrycznych oraz
kul,
podamy pewne własności kul.

Uwaga 3.3. [własności kul]

Niech
(1)
Jeśli to
(2)
Jeśli to
(3)
Jeśli to


Powyższa uwaga
(wynikająca w oczywisty sposób z definicji kuli) mówi, że:
(1) środek zawsze należy do kuli (o ile promień jest dodatni);
(2) kula jest zbiorem niepustym wtedy i tylko wtedy, gdy promień
jest dodatni;
(3) jeśli dwie kule mają ten sam środek, to kula o mniejszym
promieniu zawiera się w kuli o większym promieniu.
Podamy teraz przykłady metryk w oraz
powiemy jak wyglądają kule w tych
metrykach.
Pierwszy przykład wprowadza naturalną metrykę w
Z tym sposobem mierzenia odległości między punktami prostej
spotkaliśmy się już w szkole.



Kula i kula domknięta w metryce euklidesowej na prostej

Przykład 3.4. [metryka euklidesowa na prostej]


Niech .
Definiujemy


Funkcję nazywamy
metryką euklidesową w

Kule są przedziałami otwartymi i ograniczonymi w a kule domknięte są przedziałami domkniętymi i ograniczonymi w
Zauważmy, że już w powyższym przykładzie kula nie przypomina
tego co potocznie uważa się za kulę.
Za chwilę zobaczymy, że
(w zależności od sposobu mierzenia odległości)
kula na płaszczyźnie może wyglądać inaczej niż by to wynikało z
naszych przyzwyczajeń.
Trzy kolejne przykłady podają naturalne metryki jakie można
wprowadzić w





Odległość maksimowa w



Odległość maksimowa w


Przykład 3.5. [metryka maksimowa]


Niech

gdzie oraz
Tak zdefiniowana funkcja jest metryką
(dowód tego faktu pozostawiony jest na ćwiczenia;
patrz ćwiczenie 3.1.).
Nazywamy ją
metryką maksimową w

Poniższe rysunki przedstawiają kule w metryce maksimowej.




Kula w metryce maksimowej w



Kula w metryce maksimowej w



Przykład 3.6. [metryka taksówkowa]


Definiujemy


Tak zdefiniowana funkcja jest metryką
(dowód tego faktu pozostawiony jest na ćwiczenia;
patrz ćwiczenie 3.1.).
Nazywamy ją

metryką taksówkową w .




Odległość taksówkowa w



Odległość taksówkowa w






Kula w metryce taksówkowej w



Kula w metryce taksówkowej w


Metryka taksówkowa jest naturalnym sposobem mierzenia odległości w niektórych miastach (patrz mapa Turynu).
Jeśli mieszkamy w Turynie przy Corso Vittorio Emanuele II, a nasz
przyjaciel przy Corso Galileo Ferraris, to odległość jaką musimy
przejechać taksówką by go odwiedzić, to będzie długość drogi od naszego
domu do skrzyżowania obu ulic (czyli wartość bezwzględna różnicy
współrzędnych na jednej osi) oraz długość drogi od skrzyżowania do domu
przyjaciela (czyli wartość bezwzględna różnicy współrzędnych na drugiej
osi).
Przykład 3.7. [metryka euklidesowa]


Zdefiniujmy


Tak zdefiniowana funkcja jest metryką.
Nazywamy ją
metryką euklidesową w .
Ten sposób mierzenia odległości między punktami

lub jest nam znany ze szkoły.




Odległość eukidesowa w



Odległość eukidesowa w






Kula w metryce eukidesowej w



Kula w metryce eukidesowej w


Wykażemy teraz, że spełnia warunki definicji metryki.
Dowód dwóch pierwszych warunków
zostawiamy jako proste ćwiczenie.
W dowodzie nierówności trójkąta dla metryki wykorzystamy
następującą nierówność Cauchy'ego.
Lemat 3.8. [nierówność Cauchy'ego]




Dowód 3.8.


Ustalmy dowolne .
Rozważmy następujący trójmian kwadratowy zmiennej
:


Grupując składniki w powyższym wielomianie dostajemy


a zatem dla dowolnego
Skoro trójmian kwadratowy jest stale nieujemny,
to jego wyróżnik jest niedodatni, czyli


skąd dostajemy


co należało dowieść.



Możemy teraz przystąpić do dowodu nierówności trójkąta dla
Lemat 3.9. [nierówność trójkąta dla metryki euklidesowej]




Dowód 3.9.


Ustalmy dowolne Liczymy



Korzystając z nierówności Cauchy'ego (patrz lemat 3.8.), mamy


Zatem pokazaliśmy, że





Uwaga 3.10.

Zauważmy, że w przypadku metryki
euklidesowa, taksówkowa i maksimowa pokrywają się,
to znaczy
Kulami w tych metrykach są przedziały otwarte.


Zdefiniujemy teraz pewne pojęcia związane z
metrykami.



Zbiór otwarty

Definicja 3.11.


Niech
,
oraz ustalmy pewną metrykę w .
(1)
Zbiór nazywamy otwartym
(w metryce ), jeśli
każdy punkt tego zbioru zawiera się w tym zbiorze wraz z pewną kulą
o środku w tym punkcie
(i dodatnim promieniu), czyli



(2)
Mówimy, że punkt jest
punktem skupienia zbioru jeśli
każda kula o środku w punkcie
(i dodatnim promieniu) zawiera przynajmniej jeden punkt
zbioru różny od
(3)
Mówimy, że punkt jest
punktem izolowanym zbioru , jeśli
oraz nie jest punktem skupienia zbioru .
(4)
Zbiór nazywamy domkniętym,
jeśli każdy punkt skupienia zbioru należy do
(5) Zbiór nazywamy ograniczonym, jeśli jest zawarty w pewnej kuli, to znaczy




Zauważmy, że pojęcia występujące w powyższej definicji



AM1.M03.W.R17

(zbiór otwarty, domknięty, punkt skupienia,
punkt izolowany, zbiór ograniczony) są związane nie tylko
ze zbiorem , ale także z wybraną w nim metryką
. W definicji wszystkich tych pojęć używamy bowiem pojęcia
kuli.



Zbiór

Przykład 3.12.


Rozważmy z metryką euklidesową oraz zbiór .
Punktami skupienia zbioru są punkty przedziału

Jedynym punktem izolowanym zbioru jest
A nie jest zbiorem domkniętym, bo
punkt jest jego punktem skupienia, który do niego nie należy.
Zbiór jest ograniczony, gdyż na przykład




Przedział otwarty

Przykład 3.13.


(1) Przedziały otwarte w
przestrzeni euklidesowej są zbiorami otwartymi.
Dla dowodu weźmy przedział
() oraz dowolny . Niech
Wówczas
(2) Kule są zawsze zbiorami otwartymi, a kule domknięte są zbiorami domkniętymi (fakt ten udowodnimy na wykładzie z Analizy matematycznej 2).


W kolejnym twierdzeniu zebrano szereg własności zbiorów w
z ustaloną metryką
(twierdzenie pozostawiamy bez dowodu).
Poniżej podamy jedynie pewne
komentarze i wnioski wynikające z tego twierdzenia.


Twierdzenie 3.14. [zbiory związane z metryką]


Jeśli
jest metryką w ,
to
(1)
Zbiór jest otwarty, wtedy i tylko wtedy, gdy
(dopełnienie zbioru ) jest zbiorem domkniętym.
(2)
Kule są zbiorami otwartymi, a kule domknięte są zbiorami domkniętymi.
(3) Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest
zbiorem otwartym.
(4) Przecięcie (część wspólna) skończonej ilości
zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
(5) Przecięcie (część wspólna) dowolnej ilości
zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
(6) Suma skończonej ilości
zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.





Zbiór

Przykład 3.15.


Rozważmy z metryką euklidesową .
Podamy przykłady ilustrujące powyższe twierdzenie.
(1)
Zbiór jest zbiorem domkniętym
(jako uzupełnienie kuli , która
jest zbiorem otwartym).
(2)
Przedział jest zbiorem domkniętym,
gdyż jest to kula domknięta .
Zatem jej uzupełnienie
jest zbiorem otwartym.
(3)
Zbiory jednopunktowe są domknięte, gdyż są to kule
domknięte o promieniu .
(4)
Ponieważ przedziały dla są otwarte,
więc ich suma (przeliczalna) jest także zbiorem otwartym.
Zauważmy, że uzupełnieniem tej sumy jest zbiór liczb
całkowitych
. Zatem pokazaliśmy, że jest zbiorem domkniętym.
(5)
Powyższe twierdzenie mówi, że przecięcie skończonej ilości
zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
Okazuje się, że dla nieskończonej ilości zbiorów otwartych nie
musi być to prawdą.
Podobnie suma nieskończenie wielu zbiorów domkniętych nie musi
być zbiorem domkniętym (patrz ćwiczenie 3.5.)
(6)
Zbiory skończone są domknięte

(jako sumy skończonej ilości zbiorów jednoelementowych, które są zbiorami domkniętymi).


[Edytuj]Ciągi
W szkole średniej poznaliśmy ciągi o wyrazach
rzeczywistych (to znaczy funkcje ).
W praktyce często spotykamy sie z ciągami o wyrazach innych niż
liczby rzeczywiste.
Na przykład, gdy mierzymy co sekundę prędkość i położenie w
przestrzeni () jakiegoś obiektu, dostajemy ciąg, który
każdemu przypisuje cztery wartości, czyli element z
Nasz ciąg możemy zatem zapisać

gdzie jest prędkością w chwili
natomiast
określają położenie punktu w
przestrzeni.
Naszym celem teraz jest wprowadzenie pojęcia ciągu i pojęcia
granicy tego ciągu. W matematyce te pojęcia można zdefiniować
dla dowolnie wybranej metryki (aby zdefiniować granicę
musimy móc mierzyć odległość). My jednak ograniczymy nasze
rozumowania do
przestrzeni z metryką
, gdzie jest jedną z wyżej wprowadzonych metryk: , , lub .
Definicja 3.16. [ciąg]


Ciągiem w nazywamy dowolną
funkcję .
Ciąg ten oznaczamy


gdzie






Ciąg w



Ciąg w


Powiemy teraz co to znaczy, że punkt jest granicą
ciągu .
Intuicyjnie oznacza to, że wyrazy są
"coraz bliżej" granicy w miarę wzrostu .
Formalnie podaje to poniższa definicja.
Definicja 3.17. [granica ciągu]


Niech
będzie ciągiem oraz niech
Mówimy, że jest
granicą ciągu
jeśli


i piszemy


Mówimy, że ciąg jest
zbieżny, jeśli ma granicę, czyli






Granica ciągu w



Granica ciągu w




Uwaga 3.18.

Warunek


w powyższej definicji
mówi, że dla dowolnego
(dowolnie małego) wyrazy ciągu
są od pewnego miejsca (od ) oddalone od
o mniej niż
Warunek ten
jest
równoważny warunkowi


który mówi, że
dla dowolnego
(dowolnie małego) wyrazy ciągu
od pewnego miejsca (od )
leżą w kuli
Wynika to wprost z definicji kuli, gdyż
należy do kuli
dokładnie wtedy, gdy
odległość od jest mniejsza niż
to znaczy





Ciąg stały "od pewnego miejsca"


Definicja 3.19. [ciąg ograniczony]


Ciąg nazywamy
ograniczonym, jeśli zbiór jego wartości
jest ograniczony w
to znaczy zawarty w pewnej kuli.
Innymi słowy ciąg jest ograniczony, gdy



Przykład 3.20.


Jeśli ciąg jest stały od pewnego
miejsca, czyli istnieje takie, że

to wówczas


Oznacza to, że ciąg stały od pewnego miejsca jest zbieżny.


Ciąg

Przykład 3.21.


Niech będzie ciągiem danym przez
dla Wówczas

Aby to pokazać ustalmy dowolne
Wówczas istnieje liczba naturalna ,
która jest większa od
(gdyż dla każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba naturalna
od niej większa), czyli

Zatem dla dowolnego mamy

zatem pokazaliśmy, że


Przykład 3.22. [ciąg geometryczny]


Niech oraz dla Wówczas

Dowód podobny do dowodu w przykładzie 3.21.,
pozostawiamy jako ćwiczenie.
Ciąg jest
ciągiem geometrycznym o ilorazie
(patrz definicja 1.8.).


Kolejne twierdzenie podaje związek między zbieżnością ciągu punktów,
a zbieżnością ciągu liczbowego odległości jego wyrazów od
granicy.
Mówi ono, że ciąg jest zbieżny do granicy w
dokładnie wtedy, gdy ciąg
odległości
od jest zbieżny do w
Dowód wynika wprost z definicji.


Twierdzenie 3.23.


Niech będzie ciągiem
oraz Wówczas





Powiemy teraz co to jest podciąg danego ciągu
Nieformalnie mówiąc, podciąg powstaje z ciągu przez skreślenie
z niego pewnej liczby wyrazów (tak aby nadal pozostała
nieskończona ich ilość):



Formalna definicja podana jest poniżej.



Granica ciągu w iloczynie kartezjańskim

Kartezjusz (1596-1650)Zobacz biografię
Definicja 3.24. [podciąg]


Niech będzie
ciągiem.
Niech będzie funkcją
silnie rosnącą.
Ciąg

nazywamy podciągiem ciągu
i oznaczamy



gdzie dla


W kolejnym twierdzeniu zebrane są własności granic.
Niektóre z nich udowodnimy na ćwiczeniach
(patrz ćwiczenie 3.3. i
ćwiczenie 3.4.).


Twierdzenie 3.25. [własności granic]


Jeśli
jest ciągiem,
to
(1)
Istnieje co najwyżej jedna granica ciągu
to znaczy



(2)
Jeśli ciąg jest zbieżny, to jest
ograniczony.
(3)
Jeśli oraz
jest dowolnym podciągiem ciągu
to



(4)
Jeśli jest ciągiem zbieżnym oraz
jest jego dowolnym podciągiem takim,
że

to także


(5)
Jeśli dla dowolnego podciągu
ciągu
istnieje jego "dalszy" podciąg
taki, że

to




Jeśli jest ciągiem w to jego
wyrazy mają współrzędne:
dla
Kolejne twierdzenie podaje związek między zbieżnością ciągu
w
a zbieżnością ciągów na
poszczególnych współrzędnych

Dzięki temu twierdzeniu liczenie granic ciągów w
sprowadza się do liczenia granic ciągów w
(dowód pomijamy).


Twierdzenie 3.26. [granica ciągu w iloczynie kartezjańskim]


Jeśli
jest ciągiem, czyli
dla
oraz
to

wtedy i tylko wtedy, gdy

dla



[Edytuj]Ciągi Cauchy'ego
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)Zobacz biografię
Obok ciągów zbieżnych,
ważną rolę odgrywają także tak zwane ciągi Cauchy'ego.
Ciągi Cauchy'ego to takie ciągi, dla których odległości między wyrazami
zmierzają do zera. Okazuje się, że w
z metryką euklidesową,
ciągi Cauchy'ego są dokładnie ciągami zbieżnymi.
Jednak nie dla każdej przestrzeni z metryką tak jest
(patrz uwaga 3.31).

Definicja 3.27. [warunek Cauchy'ego]


Niech
będzie ciągiem. Mówimy, że ciąg spełnia warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli





Warunek Cauchy'ego dla ciągu oznacza, że dla dowolnie
wybranej liczby
począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu
są oddalone od siebie o mniej niż
Zacznijmy od prostych faktów.
Stwierdzenie 3.28.


Jeśli jest ciągiem Cauchy'ego,
to jest ograniczony.


Dowód 3.28.


Weźmy . Wtedy istnieje , takie, że dla wszystkich
mamy , w szczególności dla każdego
, . Weźmy



Wtedy wszystkie wyrazy ciągu zawierają się w kuli ,
a więc ciąg jest ograniczony.


Stwierdzenie 3.29.


Jeśli podciąg
ciągu Cauchy'ego ma granicę , to ciąg ma
granicę .


Dowód 3.29.


Ustalmy . Skoro , to istnieje
, takie,
że dla każdego mamy . Skoro zaś
jest ciągiem Cauchy'ego, to istnieje takie,
że dla wszystkich mamy .
Biorąc , mamy dla wszystkich



a zatem jest granicą ciągu .


Kolejne twierdzenie mówi, że w
ciągi są zbieżne dokładnie wtedy, gdy spełniają
warunek Cauchy'ego.


Twierdzenie 3.30. [zbieżność ciągu a warunek Cauchy'ego]


Ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy,
gdy spełnia warunek Cauchy'ego.



Dowód 3.30.


""
Wykażemy, że jeśli ciąg jest zbieżny, to
spełnia warunek Cauchy'ego. Ustalmy . Skoro ciąg jest
zbieżny do granicy , to jego wyrazy są od pewnego miejsca
odległe od o mniej niż , czyli



Weźmy teraz dowolne . Wtedy


a zatem ciąg spełnia warunek Cauchy'ego.

""
Ta część dowodu będzie przeprowadzona później,
po wprowadzeniu pojęcia zwartości.




Uwaga 3.31.

Dla dowolnie wybranego zbioru z metryką zachodzi tylko jedna
implikacja w powyższym twierdzeniu, a mianowicie
każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego.
Aby pokazać, że przeciwna implikacja nie jest prawdziwa,
rozważmy
przedział otwarty
z metryką euklidesową
(czyli dla ich odległość
wynosi ).
Ciąg
zadany wzorem
dla
nie jest zbieżny w
(dlaczego?), ale spełnia warunek Cauchy'ego.
Aby to pokazać, ustalmy dowolne
Wówczas


Wówczas dla dowolnych mamy


Pokazaliśmy zatem, że ciąg spełnia warunek Cauchy'ego.





Źródło: "http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_3:_Odleg%C5%82o%C5%9B%C4%87_i_ci%C4%85gi"







if (window.isMSIE55) fixalpha();

Nawigacja


Strona główna
Przedmioty
Uczelnie
O nas
MIMINF
MIMMAT





Szukaj



 



Napisz do nas

[e-mail]






Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 19:19, 12 wrz 2006; Tę stronę obejrzano 23659 razy; O Wikipedii Disclaimers





_uacct = "UA-321791-4";
urchinTracker();