Materiały do wykładów
Fizyka (Mechatronika - EEIiA 2011/12)
17 listopada 2011
�Mariusz Krasiński 2011
Spis treści
VI DRGANIA 1
1 Drgania harmoniczne proste 2
1.1 Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Wychylenie, prędkość i przyspieszenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Dlaczego tylko ruch harmoniczny? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Energia ruchu drgającego (przypadek sprężyny) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Drgania a liczby zespolone 6
3 Drgania harmoniczne tłumione 7
3.1 Założenia modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Rozwiązanie równania dla drgań tłumionych* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Dyskusja możliwych postaci rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Energia oscylatora tłumionego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.5 Dobroć oscylatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.6 Dekrement logarytmiczny tłumienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Drgania harm. wymusz. z tłum. 11
4.1 Wymuszenie harmoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Rozwiązanie równania (4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 Rezonans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4 Ruch wymuszony na wykresie fazowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.5 Dynamiczny tłumik drgań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
UWAGA! Większość rysunków wymaga własnoręcznego dopisania oznaczeń!
Część VI
DRGANIA
Lektura uzupełniająca:
M. Krasiński,  Ruch drgający rozdział 10 (strony 233-266) w skrypcie pt.  Wstęp do analizy matematycznej i
wybranych działów fizyki , red. A. Just, Wyd. Polit. A
ódzkiej, A
ódz
2007.
1
1 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE
Przypominacz (?) matematyczny
d
(xn) = (xn) = n xn-1
dx
d
[sin(x)] = [sin(x)] = cos(x)
dx
d
[cos(x)] = [cos(x)] = - sin(x)
dx
d
(ex) = (ex) = ex
dx
d d
[sin(�t + Ć)] = cos(�t + Ć) (�t + Ć) = cos(�t + Ć) �
dt dt
d d
[cos(�t + Ć)] = - sin(�t + Ć) (�t + Ć) = - sin(�t + Ć) �
dt dt
d d
ei(�t+Ć) = ei(�t+Ć) [i(�t + Ć)] = ei(�t+Ć) i�
dt dx
1 Drgania harmoniczne proste
1.1 Definicje
Drgania harmoniczne (obiektu) to drgania, w których wychylenie obiektu spełnia zależność
x = A cos(�t + Ć) (1.1)
(może być także sinus)
" � jest częstością (kołową) drgania
" �t + Ć nazywamy FAZ
drgania
" Ć jest fazą początkową (czyli taką fazą, która występuje dla t=0 !)
" Okres drgań T to taki najmniejszy czas, po którym wychylenie (uwzględniając kierunek ruchu) jest takie
samo jak na początku (obserwacji) x(t) = x(t+T ). Można też powiedzieć, że okres drgania to najmniejszy
czas, po którym faza drgania zmieni się o 2Ą.
2Ą
" częstość i okres powiązane są zależnością � =
T
1
" wielkość f = nazywamy częstotliwością
T
" częstość � i częstotliwość f powiązane są zależnością � = 2Ąf
1.2 Zależność między wychyleniem, prędkością i przyspieszeniem
Jeśli wychylenie obiektu spełnia zależność
x = A cos(�t + Ć) (1.2)
to prędkość obiektu wynosi wtedy
dx
v = vx = = -A� sin(�t + Ć) (1.3)
dt
a przyspieszenie
�Mariusz Krasiński 2011 2
1.2 Wychylenie, prędkość i przyspieszenie 1 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE
dvx d2x d dx d
a = = = = (-A� sin(�t + Ć)) = -A�2 cos(�t + Ć) = -�2x (1.4)
dt
dt2 dt dt dt
Z równania (1.4) wynika, że w ruchu harmonicznym musi być spełniona zależność
d2x
a = = -�2x (1.5)
dt2
albo po pomnożeniu obu stron przez masę drgającego ciała m
d2x
ma = m = F = -m�2x
dt2
Tak więc aby ciało drgało harmonicznie, siła działająca na nie musi być proporcjonalna do wychylenia lecz
przeciwnie do niego (wychylenia) skierowana.
Rysunek poniżej przedstawia porównanie czasowego przebiegu wychylenia, prędkości i przyspieszenia ciała dr-
gającego ruchem harmonicznym prostym
Rysunek 1: Porównanie czasowego przebiegu wychylenia, prędkości i przyspieszenia dla ciała drgającego ruchem
harmonicznym prostym. Zauważ, że wykresy są względem siebie przesunięte!
�Mariusz Krasiński 2011 3
1.3 Dlaczego tylko ruch harmoniczny? 1 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE
Drgania ciała na sprężynie jako przykład drgań harmonicznych prostych
Śą
F
spr
x
0
xmin xśątźą xmax
Rysunek 2: Siła sprężystości jest proporcjonalna do wydłużenia (skrócenia) sprężyny
W przypadku rozciągania lub ściskania sprężyny, siła sprężystości ma postać
F = -kx
Wychylenie musi więc spełniać równanie
ma = -kx
k
a = - x
m
albo w bardziej  matematycznej postaci
d2x
m = - kx
dt2
d2x k
= - x
dt2 m
Na podstawie równania (1.5) otrzymamy
k
�2 =
m
czyli zależność wychylenia od czasu ma ostateczną postać
k
x = A cos t + Ć
m
Generalnie równanie ruchu dla ciała o masie m drgającego ruchem harmonicznym prostym ma postać
d2x
ma = m = -kx
dt2
gdzie k nie musi być współczynnikiem sprężystości, ale może wynikać z innych własności układu wykonującego
drgania.
1.3 Dlaczego tylko ruch harmoniczny?
To drganie z pewnością nie jest harmoniczne
�Mariusz Krasiński 2011 4
1.4 Energia ruchu drgającego (przypadek sprężyny) 1 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE
Rysunek 3: Dopisz oznaczenia na osiach!
A oto przepis matematyczny jak rozłożyć takie drganie na drgania harmoniczne
"
1 1 1
y = A sin x + sin 3x + sin 5x + ... = A sin [(2N + 1)x]
3 5 2N + 1
N=0
Poniżej widmo powyższego drgania
Rysunek 4: Widmo drgania przedstawionego na rysunku 3
1.4 Energia ruchu drgającego (przypadek sprężyny)
mv2 kx2
E = + (1.6)
2 2
Jeśli wykorzystamy zależności (1.2) i (1.3) otrzymamy
m k
E = A2�2 sin2(�t + Ć) + A2 cos2(�t + Ć) (1.7)
2 2
Ponieważ w ruchu harmonicznym prostym
k
� =
m
to
k = m�2 (1.8)
Wykorzystując zależność (1.8) w równaniu (1.7) otrzymamy, że energia całkowita układu drgającego zależy od
amplitudy A i stałej sprężystości k
k k kA2 kA2
E = A2 sin2(�t + Ć) + A2 cos2(�t + Ć) = sin2(�t + Ć) + cos2(�t + Ć) = (1.9)
2 2 2 2
�Mariusz Krasiński 2011 5
1.5 Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej 2 DRGANIA A LICZBY ZESPOLONE
1.5 Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej
Jeśli wychylenie drgającego ciała opisuje zależność
x = A cos(�t + Ć) (1.10)
to prędkość ciała opisana jest zależnością
v = -A� sin(�t + Ć) (1.11)
Korzystając z  jedynki trygonometrycznej
cos2(�t + Ć) + sin2(�t + Ć) = 1
oraz równań (1.10) i (1.11) otrzymamy
x2 v2
+ = 1
A2 A2�2
Powyższe równanie przedstawia elipsę w tak zwanej przestrzeni fazowej. Dalsze wyjaśnienia na wykładzie.
Rysunek 5: Dopisz komentarze na wykładzie
2 Drgania a liczby zespolone
Ogólna postać liczby zespolonej
z = X + iY
gdzie
i = (-1)
Trygonometryczna postać liczby zespolonej
z = R[cos(Ć) + i sin(Ć)]
Wykładnicza postać liczby zespolonej
z = ReiĆ = R[cos(Ć) + i sin(Ć)]
Drganie harmoniczne można więc przedstawić w postaci:
x = Aei(�t+Ć)
�Mariusz Krasiński 2011 6
3 DRGANIA HARMONICZNE TA
UMIONE
Obliczmy, korzystając z zapisu przy pomocy liczb zespolonych, prędkość i przyspieszenie w
ruchu harmonicznym
dx d
v = = Aei(�t+Ć) = -A�ei(�t+Ć)
dt dt
d2x d dx d
a = = = -A�ei(�t+Ć) =
dt2 dt dt dt
= -A�2ei(�t+Ć) = -�2x
Otrzymaliśmy więc identyczną jak na poprzednim wykładzie zależność pomiędzy
przyspieszeniem i wychyleniem ciała drgającego ruchem harmonicznym prostym
d2x
= -�2x
dt2
3 Drgania harmoniczne tłumione
3.1 Założenia modelu
Rozpatrzymy jedynie przypadek gdy siła oporu (tłumienia) jest proporcjonalna do prędkości.
Fop = -�v (3.1)
(!! Kiedy wolno tak napisać?)
Równanie ruchu drgającego z tłumieniem przyjmie wtedy postać
d2x
m = -kx - �v
dt2
czyli
d2x � dx k
+ + x = 0 (3.2)
m dt m
dt2
k
albo po wprowadzeniu oznaczenia = �o2 (dlaczego tak? )
m
d2x � dx
2
+ + �ox = 0 (3.3)
dt2 m dt
3.2 Rozwiązanie równania dla drgań tłumionych*
Postulujemy, że rozwiązanie równania (3.3) ma postać (czyli zakładamy, że będzie to drganie harmoniczne)
x = Bei�t (3.4)
Odpowiednie pochodne wyrażenia (3.4) wynoszą
dx
= Bi�ei�t = i�x (3.5)
dt
�Mariusz Krasiński 2011 7
3.3 Dyskusja możliwych postaci rozwiązania 3 DRGANIA HARMONICZNE TA
UMIONE
d2x d dx
= = (i�)2Bei�t = -�2x (3.6)
dt2 dt dt
Podstawiając (3.5) i (3.6) do równania (3.3) otrzymujemy
�
-�2x + i�x + �o2x = 0
m
czyli
i�
�2 - � - �o2 = 0 (3.7)
m
Równanie (3.7) jest zwykłym równaniem kwadratowym, z którego można wyliczyć �
 Delta dla tego równania wynosi
2 2
i� �
2 2
" = + 4�o = 4�o -
m m
a rozwiązania równania (3.7) mają postać
2
� �
2
i ą 4�o - 2
m m
� �
2
�1,2 = = i ą �o - (3.8)
2 2m 2m
Ponieważ zapostulowaliśmy, że rozwiązanie równania (3.3) ma postać jak w równaniu (3.4) więc ogólna postać
rozwiązania równania (3.3) jest
1 2
x = Aei� t + Bei� t (3.9)
gdzie A, B są stałymi zaś �1, �2 możemy wziąć z równania (3.8)
2 2
� � � �
2 2
i i + �o - ( )
t i i - �o - ( )
t
2m 2m 2m 2m
x = Ae + Be (3.10)
3.3 Dyskusja możliwych postaci rozwiązania
3.3.1 Przypadek 1 (małe tłumienie)
Kiedy spełniony jest warunek
2
�
2
�o - > 0
2m
rozwiązanie równania (3.3) ma postać
�ł �ł
2
�
�
2
2m �ł
x = Ae- t cos �o - tłł (3.11)
2m
�Mariusz Krasiński 2011 8
3.3 Dyskusja możliwych postaci rozwiązania 3 DRGANIA HARMONICZNE TA
UMIONE
Uzasadnienie zależności (3.11)*
Oznaczając
2
�
2
� = �o - > 0
2m
i podstawiając do równania (3.10) otrzymujemy (przy założeniu A = B = C)
� � �
2m 2m 2m
x = Ce- tei� t + Ce- te-i� t = Ce- t[ei� t ą e-i� t)] =
�
2m
= Ce- t {[cos(� t) + i sin(� t)] + [cos(� t) - i sin(� t)]} =
� �
2m 2m
= Ce- t [2 cos(� t)] = 2Ce- t cos(� t)
Ponieważ amplituda drgań zależy od warunków początkowych a nie od parametrów
układu więc możemy oznaczyć sobie
Amp = 2C
a wtedy rozwiązanie ma postać
�ł �ł
2
�
�
2
2m �ł
x = Amp e- t cos �o - tłł (3.12)
2m
Wykres zależności (3.11) przedstawiono poniżej
Rysunek 6: Zależność wychylenia od czasu dla drgań tłumionych przy małym tłumieniu.
Rysunek 7: Drgania harmoniczne tłumione w przestrzeni fazowej.
3.3.2 Przypadek 2 (tłumienie krytyczne)
Kiedy spełniony jest warunek
2
�
2
�o - = 0 (3.13)
2m
wtedy rozwiązanie równania (3.3) ma postać
�
b
2m
x = A - B t e- t (3.14)
2m
�Mariusz Krasiński 2011 9
3.3 Dyskusja możliwych postaci rozwiązania 3 DRGANIA HARMONICZNE TA
UMIONE
i przedstawia ruch aperiodyczny. Tłumienie odpowiadające warunkowi (3.13) nazywamy tłumieniem kryty-
cznym.
Aby zrozumieć skąd wzięła się taka postać rozwiązania równania (3.3) w przypadku (3.13) trzeba niestety wiedzieć
trochę więcej o równaniach różniczkowych.
3.3.3 Przypadek 3 (układ przetłumiony)
Kiedy tłumienie jest duże i spełniony jest warunek
2
�
2
�o - < 0
2m
wtedy rozwiązanie równania (3.3) przyjmuje postać
�
2m
x = Ae- teą� t (3.15)
i to także nie jest równanie ruchu periodycznego (dyskusja wykład). Układ, którego zachowanie może być
opisane równaniem (3.15) nazywamy układem przetłumionym.
Uzasadnienie zależności (3.15)*
Ponieważ wyrażenie
2
�
2
�o - < 0
2m
jest ujemne więc możemy je przekształcić w następujący sposób
2 2 2
"
� � �
2 2 2
�o - = -1 - �o = -1 - �o = i�
2m 2m 2m
(3.16)
gdzie
2
�
2
� = - �o
2m
jest wielkością dodatnią.
Podstawiając (3.16) do (3.9) otrzymujemy
� �
2m 2m
x = Aei( i"i� )t = Ae- teą� t (3.17)
3.3.4 Porównanie
Rysunek poniżej przedstawia na jednym wykresie zachowanie układu tłumionego, układu z tłumieniem kryty-
cznym oraz układu przetłumionego.
Rysunek 8: Zależność wychylenia od czasu dla ciała wykonującego drgania harmoniczne, tłumione. Wykresy
odpowiadają różnym współczynnikom tłumienia. Uzupełnij opisy na wykładzie.
W dalszym ciągu zajmiemy się tylko przypadkiem 1 czyli ruchem drgającym (periodycznym)
�Mariusz Krasiński 2011 10
3.4 Energia oscylatora tłumionego 4 DRGANIA HARM. WYMUSZ. Z TA
UM.
3.4 Energia oscylatora tłumionego
Korzystając z równania na energię oscylatora harmonicznego oraz z postaci zależności wychylenia od czasu,
dla ruchu tłumionego w przypadku małego tłumienia (3.11), możemy zapisać, że całkowita energia oscylatora
tłumionego wynosi
2
� �
1 1 1 1 t
2m m �
E = k(Amplituda)2 = k Ae- t = kA2e- t = kA2e- (3.18)
2 2 2 2
m
gdzie � = jest czasem relaksacji
�
3.4.1 Szybkość zmian energii
Na podstawie równania (3.18) możemy obliczyć szybkość zmian energii w ruchu harmonicznym tłumionym.
dE d 1 t 1 1 t 1
� �
= kA2e- = kA2 - e- = - E (3.19)
dt dt 2 2 � �
3.5 Dobroć oscylatora
Dobrocią oscylatora nazywamy wielkość zdefiniowaną jako
energia zmagazynowana
Q = 2Ą
energia tracona w jednym okresie
Biorąc pod uwagę definicję dobroci oraz zależność (3.19) możemy zapisać
E E 2Ą
Q = 2Ą = 2Ą = � = � �
dE 1
T ET T
dt �
3.6 Dekrement logarytmiczny tłumienia
Dekrementem logarytmicznym tłumienia nazywamy wielkość będącą logarytmem stosunku amplitudy występu-
jącej w dowolnej chwili t podczas drgania tłumionego do amplitudy w chwili t + T . Wielkość ta wynosi więc
�
t
�
An Ae- 2m
�
T
2m
� = ln = ln = ln e = T
�
(t+T )
An+1 2m
Ae- 2m
i jest niezależna od czasu.
4 Drgania harmoniczne wymuszone z tłumieniem
4.1 Wymuszenie harmoniczne
Rozpatrzymy najprostszy przypadek gdy siła wymuszająca jest harmoniczna czyli ma postać
F = F0 cos(�t)
lub stosując zapis przy pomocy liczb zespolonych
F = F0ei�t
Równanie ruchu będzie miało wtedy postać:
d2x dx
m + � + kx = F0ei�t (4.1)
dt
dt2
�Mariusz Krasiński 2011 11
4.2 Rozwiązanie równania (4.1) 4 DRGANIA HARM. WYMUSZ. Z TA
UM.
4.2 Rozwiązanie równania (4.1)
4.2.1 Sposób rozwiązania*
Postulujemy rozwiązanie postaci:
x = Cei�t dlaczego? (4.2)
Licząc podobnie jak w przypadku ruchu tłumionego odpowiednie pochodne położenia (zależność (4.2)) otrzy-
mamy:
dx
= Ci�ei�t = i�x (4.3)
dt
d2x d dx
= = (i�)2Cei�t = -�2x (4.4)
dt2 dt dt
Po podstawieniu zależności (4.3) i (4.4) do równania głównego (4.1) otrzymamy:
x
-m�2x + �i�x + kx = F0
C
a stąd
F0 F0
C = = (4.5)
k
m(�02 - �2) + i��
m - �2 + i��
m
Mianownik zależności (4.5) jest liczbą zespoloną i ma postać X + iY . Można go więc zapisać w inny sposób
jako
2
mianownik = X2 + Y eiĆ = m2(�02 - �2)2 + �2�2 eiĆ (4.6)
Y
gdzie tgĆ = (rysunek 9)
X
Rysunek 9: Trygonometryczna postać liczby zespolonej.
Korzystając z zależności (4.6) możemy równanie (4.5) przepisać w postaci:
F0
C = (4.7)
m2(�02 - �2)2 + �2�2 eiĆ
Podstawiając B wyliczone z równania (4.7) do ogólnej postaci rozwiązania (4.2) otrzymamy ostateczne
F0 F0
x = Cei�t = e-iĆei�t = ei(�t-Ć) (4.8)
m2(�02 - �2)2 + �2�2 m2(�02 - �2)2 + �2�2
�Mariusz Krasiński 2011 12
4.3 Rezonans 4 DRGANIA HARM. WYMUSZ. Z TA
UM.
4.2.2 Postać rozwiązania
Ostatecznie, rozwiązanie równania (4.1) ma postać
F0
x = cos(�t + Ć) (4.9)
m2(�02 - �2)2 + �2�2
gdzie
F0
Awym = (4.10)
m2(�02 - �2)2 + �2�2
jest po prostu amplitudą drgań wymuszonych.
4.3 Rezonans
Amplituda drgań przedstawionych przy pomocy równania (4.10) będzie największa gdy wyrażenie pod pier-
wiastkiem będzie najmniejsze. A
atwo policzyć, że nastąpi to dla częstotliwości (rezonansowej) drgań spełniającej
zależność
�2
2 2
�rez = �0 -
2m2
W przypadku małego tłumienia (małe �) otrzymamy
�rez2 H" �02
Amplituda drgań będzie wynosić wtedy
F0
(Amplituda)max =
��
Wielkość ta może przyjmować bardzo duże wartości, często niemożliwe z uwagi na ograniczoną wytrzymałość
obiektu drgającego (10).
Porównując wzory dla siły wymuszającej
F = F0ei�t
i wychylenia
x = x0ei(�t-Ć)
zauważyć można, iż drgania układu są przesunięte w fazie względem siły wymuszającej o Ć
��
tgĆ =
m(�02 - �2)
Zobacz rysunek 10.
Rysunek 10: Rezonans. Amplituda oraz przesunięcie fazowe pomiędzy siłą wymuszającą i wychyleniem. (dopisz
oznaczenia! )
�Mariusz Krasiński 2011 13
4.4 Ruch wymuszony na wykresie fazowym 4 DRGANIA HARM. WYMUSZ. Z TA
UM.
4.4 Ruch wymuszony na wykresie fazowym
Rysunek 11: Typowy portret fazowy drgania wymuszonego z tłumieniem. Dopisz samodzielnie oznaczenia osi!
4.5 Dynamiczny tłumik drgań
Opis dynamicznego tłumika drgań zostanie przedstawiony na wykładzie.
Rysunek 12: Siły działające na układ dwóch mas drgających. Ilustracja do opisu dynamicznego tłumika drgań.
Równania ruchu dla układu powyżej mają postać:
m1a1 = -k1x1 + k2(x2 - x1) + F0 cos(�t) (4.11)
m2a2 = -k2(x2 - x1) (4.12)
Rozwiązanie układu równań (4.11), (4.12) przedstawiono poniżej
�Mariusz Krasiński 2011 14
4.5 Dynamiczny tłumik drgań 4 DRGANIA HARM. WYMUSZ. Z TA
UM.
Rysunek 13: Rozwiązanie układu równań (4.11), (4.12). Dodaj opisy na wykładzie.
Symulację pt.  Dynamiczny tłumik drgań , przedstawiającą jak zachowuje się układ przedstawiony na rysunku
12 można znalez
ć na stroniehttp://cmf.p.lodz.pl/markras/fizyka.
�Mariusz Krasiński 2011 15