Materiały do wykładów
Fizyka (Mechatronika - EEIiA 2011/12)
17 listopada 2011
©Mariusz KrasiÅ„ski 2011
Spis treści
VI DRGANIA 1
1 Drgania harmoniczne proste 2
1.1 Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Wychylenie, prędkość i przyspieszenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Dlaczego tylko ruch harmoniczny? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Energia ruchu drgającego (przypadek sprężyny) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Drgania a liczby zespolone 6
3 Drgania harmoniczne tłumione 7
3.1 Założenia modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Rozwiązanie równania dla drgań tłumionych* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Dyskusja możliwych postaci rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Energia oscylatora tłumionego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.5 Dobroć oscylatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.6 Dekrement logarytmiczny tłumienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Drgania harm. wymusz. z tłum. 11
4.1 Wymuszenie harmoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Rozwiązanie równania (4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 Rezonans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4 Ruch wymuszony na wykresie fazowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.5 Dynamiczny tłumik drgań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
UWAGA! Większość rysunków wymaga własnoręcznego dopisania oznaczeń!
Część VI
DRGANIA
Lektura uzupełniająca:
M. Krasiński,  Ruch drgający rozdział 10 (strony 233-266) w skrypcie pt.  Wstęp do analizy matematycznej i
wybranych działów fizyki , red. A. Just, Wyd. Polit. A
ódzkiej, A
ódz
2007.
1
1 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE
Przypominacz (?) matematyczny
d
(xn) = (xn) = n xn-1
dx
d
[sin(x)] = [sin(x)] = cos(x)
dx
d
[cos(x)] = [cos(x)] = - sin(x)
dx
d
(ex) = (ex) = ex
dx
d d
[sin(Ét + Ć)] = cos(Ét + Ć) (Ét + Ć) = cos(Ét + Ć) É
dt dt
d d
[cos(Ét + Ć)] = - sin(Ét + Ć) (Ét + Ć) = - sin(Ét + Ć) É
dt dt
d d
ei(Ét+Ć) = ei(Ét+Ć) [i(Ét + Ć)] = ei(Ét+Ć) iÉ
dt dx
1 Drgania harmoniczne proste
1.1 Definicje
Drgania harmoniczne (obiektu) to drgania, w których wychylenie obiektu spełnia zależność
x = A cos(Ét + Ć) (1.1)
(może być także sinus)
" É jest czÄ™stoÅ›ciÄ… (koÅ‚owÄ…) drgania
" Ét + Ć nazywamy FAZ
drgania
" Ć jest fazą początkową (czyli taką fazą, która występuje dla t=0 !)
" Okres drgań T to taki najmniejszy czas, po którym wychylenie (uwzględniając kierunek ruchu) jest takie
samo jak na początku (obserwacji) x(t) = x(t+T ). Można też powiedzieć, że okres drgania to najmniejszy
czas, po którym faza drgania zmieni się o 2Ą.
2Ä„
" czÄ™stość i okres powiÄ…zane sÄ… zależnoÅ›ciÄ… É =
T
1
" wielkość f = nazywamy częstotliwością
T
" czÄ™stość É i czÄ™stotliwość f powiÄ…zane sÄ… zależnoÅ›ciÄ… É = 2Ä„f
1.2 Zależność między wychyleniem, prędkością i przyspieszeniem
Jeśli wychylenie obiektu spełnia zależność
x = A cos(Ét + Ć) (1.2)
to prędkość obiektu wynosi wtedy
dx
v = vx = = -AÉ sin(Ét + Ć) (1.3)
dt
a przyspieszenie
©Mariusz KrasiÅ„ski 2011 2
1.2 Wychylenie, prędkość i przyspieszenie 1 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE
dvx d2x d dx d
a = = = = (-AÉ sin(Ét + Ć)) = -AÉ2 cos(Ét + Ć) = -É2x (1.4)
dt
dt2 dt dt dt
Z równania (1.4) wynika, że w ruchu harmonicznym musi być spełniona zależność
d2x
a = = -É2x (1.5)
dt2
albo po pomnożeniu obu stron przez masę drgającego ciała m
d2x
ma = m = F = -mÉ2x
dt2
Tak więc aby ciało drgało harmonicznie, siła działająca na nie musi być proporcjonalna do wychylenia lecz
przeciwnie do niego (wychylenia) skierowana.
Rysunek poniżej przedstawia porównanie czasowego przebiegu wychylenia, prędkości i przyspieszenia ciała dr-
gajÄ…cego ruchem harmonicznym prostym
Rysunek 1: Porównanie czasowego przebiegu wychylenia, prędkości i przyspieszenia dla ciała drgającego ruchem
harmonicznym prostym. Zauważ, że wykresy są względem siebie przesunięte!
©Mariusz KrasiÅ„ski 2011 3
1.3 Dlaczego tylko ruch harmoniczny? 1 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE
Drgania ciała na sprężynie jako przykład drgań harmonicznych prostych
Śą
F
spr
x
0
xmin xśątźą xmax
Rysunek 2: Siła sprężystości jest proporcjonalna do wydłużenia (skrócenia) sprężyny
W przypadku rozciągania lub ściskania sprężyny, siła sprężystości ma postać
F = -kx
Wychylenie musi więc spełniać równanie
ma = -kx
k
a = - x
m
albo w bardziej  matematycznej postaci
d2x
m = - kx
dt2
d2x k
= - x
dt2 m
Na podstawie równania (1.5) otrzymamy
k
É2 =
m
czyli zależność wychylenia od czasu ma ostateczną postać
k
x = A cos t + Ć
m
Generalnie równanie ruchu dla ciała o masie m drgającego ruchem harmonicznym prostym ma postać
d2x
ma = m = -kx
dt2
gdzie k nie musi być współczynnikiem sprężystości, ale może wynikać z innych własności układu wykonującego
drgania.
1.3 Dlaczego tylko ruch harmoniczny?
To drganie z pewnością nie jest harmoniczne
©Mariusz KrasiÅ„ski 2011 4
1.4 Energia ruchu drgającego (przypadek sprężyny) 1 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE
Rysunek 3: Dopisz oznaczenia na osiach!
A oto przepis matematyczny jak rozłożyć takie drganie na drgania harmoniczne
"
1 1 1
y = A sin x + sin 3x + sin 5x + ... = A sin [(2N + 1)x]
3 5 2N + 1
N=0
Poniżej widmo powyższego drgania
Rysunek 4: Widmo drgania przedstawionego na rysunku 3
1.4 Energia ruchu drgającego (przypadek sprężyny)
mv2 kx2
E = + (1.6)
2 2
Jeśli wykorzystamy zależności (1.2) i (1.3) otrzymamy
m k
E = A2É2 sin2(Ét + Ć) + A2 cos2(Ét + Ć) (1.7)
2 2
Ponieważ w ruchu harmonicznym prostym
k
É =
m
to
k = mÉ2 (1.8)
Wykorzystując zależność (1.8) w równaniu (1.7) otrzymamy, że energia całkowita układu drgającego zależy od
amplitudy A i stałej sprężystości k
k k kA2 kA2
E = A2 sin2(Ét + Ć) + A2 cos2(Ét + Ć) = sin2(Ét + Ć) + cos2(Ét + Ć) = (1.9)
2 2 2 2
©Mariusz KrasiÅ„ski 2011 5
1.5 Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej 2 DRGANIA A LICZBY ZESPOLONE
1.5 Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej
Jeśli wychylenie drgającego ciała opisuje zależność
x = A cos(Ét + Ć) (1.10)
to prędkość ciała opisana jest zależnością
v = -AÉ sin(Ét + Ć) (1.11)
KorzystajÄ…c z  jedynki trygonometrycznej
cos2(Ét + Ć) + sin2(Ét + Ć) = 1
oraz równań (1.10) i (1.11) otrzymamy
x2 v2
+ = 1
A2 A2É2
Powyższe równanie przedstawia elipsę w tak zwanej przestrzeni fazowej. Dalsze wyjaśnienia na wykładzie.
Rysunek 5: Dopisz komentarze na wykładzie
2 Drgania a liczby zespolone
Ogólna postać liczby zespolonej
z = X + iY
gdzie
i = (-1)
Trygonometryczna postać liczby zespolonej
z = R[cos(Ć) + i sin(Ć)]
Wykładnicza postać liczby zespolonej
z = ReiĆ = R[cos(Ć) + i sin(Ć)]
Drganie harmoniczne można więc przedstawić w postaci:
x = Aei(Ét+Ć)
©Mariusz KrasiÅ„ski 2011 6
3 DRGANIA HARMONICZNE TA
UMIONE
Obliczmy, korzystając z zapisu przy pomocy liczb zespolonych, prędkość i przyspieszenie w
ruchu harmonicznym
dx d
v = = Aei(Ét+Ć) = -AÉei(Ét+Ć)
dt dt
d2x d dx d
a = = = -AÉei(Ét+Ć) =
dt2 dt dt dt
= -AÉ2ei(Ét+Ć) = -É2x
Otrzymaliśmy więc identyczną jak na poprzednim wykładzie zależność pomiędzy
przyspieszeniem i wychyleniem ciała drgającego ruchem harmonicznym prostym
d2x
= -É2x
dt2
3 Drgania harmoniczne tłumione
3.1 Założenia modelu
Rozpatrzymy jedynie przypadek gdy siła oporu (tłumienia) jest proporcjonalna do prędkości.
Fop = -²v (3.1)
(!! Kiedy wolno tak napisać?)
Równanie ruchu drgającego z tłumieniem przyjmie wtedy postać
d2x
m = -kx - ²v
dt2
czyli
d2x ² dx k
+ + x = 0 (3.2)
m dt m
dt2
k
albo po wprowadzeniu oznaczenia = Éo2 (dlaczego tak? )
m
d2x ² dx
2
+ + Éox = 0 (3.3)
dt2 m dt
3.2 Rozwiązanie równania dla drgań tłumionych*
Postulujemy, że rozwiązanie równania (3.3) ma postać (czyli zakładamy, że będzie to drganie harmoniczne)
x = BeiÉt (3.4)
Odpowiednie pochodne wyrażenia (3.4) wynoszą
dx
= BiÉeiÉt = iÉx (3.5)
dt
©Mariusz KrasiÅ„ski 2011 7
3.3 Dyskusja możliwych postaci rozwiązania 3 DRGANIA HARMONICZNE TA
UMIONE
d2x d dx
= = (iÉ)2BeiÉt = -É2x (3.6)
dt2 dt dt
Podstawiając (3.5) i (3.6) do równania (3.3) otrzymujemy
²
-É2x + iÉx + Éo2x = 0
m
czyli
i²
É2 - É - Éo2 = 0 (3.7)
m
Równanie (3.7) jest zwykÅ‚ym równaniem kwadratowym, z którego można wyliczyć É
 Delta dla tego równania wynosi
2 2
i² ²
2 2
" = + 4Éo = 4Éo -
m m
a rozwiązania równania (3.7) mają postać
2
² ²
2
i Ä… 4Éo - 2
m m
² ²
2
É1,2 = = i Ä… Éo - (3.8)
2 2m 2m
Ponieważ zapostulowaliśmy, że rozwiązanie równania (3.3) ma postać jak w równaniu (3.4) więc ogólna postać
rozwiązania równania (3.3) jest
1 2
x = AeiÉ t + BeiÉ t (3.9)
gdzie A, B sÄ… staÅ‚ymi zaÅ› É1, É2 możemy wziąć z równania (3.8)
2 2
² ² ² ²
2 2
i i + Éo - ( )
t i i - Éo - ( )
t
2m 2m 2m 2m
x = Ae + Be (3.10)
3.3 Dyskusja możliwych postaci rozwiązania
3.3.1 Przypadek 1 (małe tłumienie)
Kiedy spełniony jest warunek
2
²
2
Éo - > 0
2m
rozwiązanie równania (3.3) ma postać
ëÅ‚ öÅ‚
2
²
²
2
2m íÅ‚
x = Ae- t cos Éo - tÅ‚Å‚ (3.11)
2m
©Mariusz KrasiÅ„ski 2011 8
3.3 Dyskusja możliwych postaci rozwiązania 3 DRGANIA HARMONICZNE TA
UMIONE
Uzasadnienie zależności (3.11)*
OznaczajÄ…c
2
²
2
É = Éo - > 0
2m
i podstawiając do równania (3.10) otrzymujemy (przy założeniu A = B = C)
² ² ²
2m 2m 2m
x = Ce- teiÉ t + Ce- te-iÉ t = Ce- t[eiÉ t Ä… e-iÉ t)] =
²
2m
= Ce- t {[cos(É t) + i sin(É t)] + [cos(É t) - i sin(É t)]} =
² ²
2m 2m
= Ce- t [2 cos(É t)] = 2Ce- t cos(É t)
Ponieważ amplituda drgań zależy od warunków początkowych a nie od parametrów
układu więc możemy oznaczyć sobie
Amp = 2C
a wtedy rozwiązanie ma postać
ëÅ‚ öÅ‚
2
²
²
2
2m íÅ‚
x = Amp e- t cos Éo - tÅ‚Å‚ (3.12)
2m
Wykres zależności (3.11) przedstawiono poniżej
Rysunek 6: Zależność wychylenia od czasu dla drgań tłumionych przy małym tłumieniu.
Rysunek 7: Drgania harmoniczne tłumione w przestrzeni fazowej.
3.3.2 Przypadek 2 (tłumienie krytyczne)
Kiedy spełniony jest warunek
2
²
2
Éo - = 0 (3.13)
2m
wtedy rozwiązanie równania (3.3) ma postać
²
b
2m
x = A - B t e- t (3.14)
2m
©Mariusz KrasiÅ„ski 2011 9
3.3 Dyskusja możliwych postaci rozwiązania 3 DRGANIA HARMONICZNE TA
UMIONE
i przedstawia ruch aperiodyczny. Tłumienie odpowiadające warunkowi (3.13) nazywamy tłumieniem kryty-
cznym.
Aby zrozumieć skąd wzięła się taka postać rozwiązania równania (3.3) w przypadku (3.13) trzeba niestety wiedzieć
trochę więcej o równaniach różniczkowych.
3.3.3 Przypadek 3 (układ przetłumiony)
Kiedy tłumienie jest duże i spełniony jest warunek
2
²
2
Éo - < 0
2m
wtedy rozwiązanie równania (3.3) przyjmuje postać
²
2m
x = Ae- teÄ…É t (3.15)
i to także nie jest równanie ruchu periodycznego (dyskusja wykład). Układ, którego zachowanie może być
opisane równaniem (3.15) nazywamy układem przetłumionym.
Uzasadnienie zależności (3.15)*
Ponieważ wyrażenie
2
²
2
Éo - < 0
2m
jest ujemne więc możemy je przekształcić w następujący sposób
2 2 2
"
² ² ²
2 2 2
Éo - = -1 - Éo = -1 - Éo = iÉ
2m 2m 2m
(3.16)
gdzie
2
²
2
É = - Éo
2m
jest wielkością dodatnią.
PodstawiajÄ…c (3.16) do (3.9) otrzymujemy
² ²
2m 2m
x = Aei( i"iÉ )t = Ae- teÄ…É t (3.17)
3.3.4 Porównanie
Rysunek poniżej przedstawia na jednym wykresie zachowanie układu tłumionego, układu z tłumieniem kryty-
cznym oraz układu przetłumionego.
Rysunek 8: Zależność wychylenia od czasu dla ciała wykonującego drgania harmoniczne, tłumione. Wykresy
odpowiadają różnym współczynnikom tłumienia. Uzupełnij opisy na wykładzie.
W dalszym ciÄ…gu zajmiemy siÄ™ tylko przypadkiem 1 czyli ruchem drgajÄ…cym (periodycznym)
©Mariusz KrasiÅ„ski 2011 10
3.4 Energia oscylatora tłumionego 4 DRGANIA HARM. WYMUSZ. Z TA
UM.
3.4 Energia oscylatora tłumionego
Korzystając z równania na energię oscylatora harmonicznego oraz z postaci zależności wychylenia od czasu,
dla ruchu tłumionego w przypadku małego tłumienia (3.11), możemy zapisać, że całkowita energia oscylatora
tłumionego wynosi
2
² ²
1 1 1 1 t
2m m Ä
E = k(Amplituda)2 = k Ae- t = kA2e- t = kA2e- (3.18)
2 2 2 2
m
gdzie Ä = jest czasem relaksacji
²
3.4.1 Szybkość zmian energii
Na podstawie równania (3.18) możemy obliczyć szybkość zmian energii w ruchu harmonicznym tłumionym.
dE d 1 t 1 1 t 1
Ä Ä
= kA2e- = kA2 - e- = - E (3.19)
dt dt 2 2 Ä Ä
3.5 Dobroć oscylatora
Dobrocią oscylatora nazywamy wielkość zdefiniowaną jako
energia zmagazynowana
Q = 2Ä„
energia tracona w jednym okresie
Biorąc pod uwagę definicję dobroci oraz zależność (3.19) możemy zapisać
E E 2Ä„
Q = 2Ä„ = 2Ä„ = Ä = É Ä
dE 1
T ET T
dt Ä
3.6 Dekrement logarytmiczny tłumienia
Dekrementem logarytmicznym tłumienia nazywamy wielkość będącą logarytmem stosunku amplitudy występu-
jącej w dowolnej chwili t podczas drgania tłumionego do amplitudy w chwili t + T . Wielkość ta wynosi więc
²
t
²
An Ae- 2m
²
T
2m
› = ln = ln = ln e = T
²
(t+T )
An+1 2m
Ae- 2m
i jest niezależna od czasu.
4 Drgania harmoniczne wymuszone z tłumieniem
4.1 Wymuszenie harmoniczne
Rozpatrzymy najprostszy przypadek gdy siła wymuszająca jest harmoniczna czyli ma postać
F = F0 cos(Ét)
lub stosujÄ…c zapis przy pomocy liczb zespolonych
F = F0eiÉt
Równanie ruchu będzie miało wtedy postać:
d2x dx
m + ² + kx = F0eiÉt (4.1)
dt
dt2
©Mariusz KrasiÅ„ski 2011 11
4.2 Rozwiązanie równania (4.1) 4 DRGANIA HARM. WYMUSZ. Z TA
UM.
4.2 Rozwiązanie równania (4.1)
4.2.1 Sposób rozwiązania*
Postulujemy rozwiÄ…zanie postaci:
x = CeiÉt dlaczego? (4.2)
Licząc podobnie jak w przypadku ruchu tłumionego odpowiednie pochodne położenia (zależność (4.2)) otrzy-
mamy:
dx
= CiÉeiÉt = iÉx (4.3)
dt
d2x d dx
= = (iÉ)2CeiÉt = -É2x (4.4)
dt2 dt dt
Po podstawieniu zależności (4.3) i (4.4) do równania głównego (4.1) otrzymamy:
x
-mÉ2x + ²iÉx + kx = F0
C
a stÄ…d
F0 F0
C = = (4.5)
k
m(É02 - É2) + iɲ
m - É2 + iɲ
m
Mianownik zależności (4.5) jest liczbą zespoloną i ma postać X + iY . Można go więc zapisać w inny sposób
jako
2
mianownik = X2 + Y eiĆ = m2(É02 - É2)2 + É2²2 eiĆ (4.6)
Y
gdzie tgĆ = (rysunek 9)
X
Rysunek 9: Trygonometryczna postać liczby zespolonej.
Korzystając z zależności (4.6) możemy równanie (4.5) przepisać w postaci:
F0
C = (4.7)
m2(É02 - É2)2 + É2²2 eiĆ
Podstawiając B wyliczone z równania (4.7) do ogólnej postaci rozwiązania (4.2) otrzymamy ostateczne
F0 F0
x = CeiÉt = e-iĆeiÉt = ei(Ét-Ć) (4.8)
m2(É02 - É2)2 + É2²2 m2(É02 - É2)2 + É2²2
©Mariusz KrasiÅ„ski 2011 12
4.3 Rezonans 4 DRGANIA HARM. WYMUSZ. Z TA
UM.
4.2.2 Postać rozwiązania
Ostatecznie, rozwiązanie równania (4.1) ma postać
F0
x = cos(Ét + Ć) (4.9)
m2(É02 - É2)2 + É2²2
gdzie
F0
Awym = (4.10)
m2(É02 - É2)2 + É2²2
jest po prostu amplitudą drgań wymuszonych.
4.3 Rezonans
Amplituda drgań przedstawionych przy pomocy równania (4.10) będzie największa gdy wyrażenie pod pier-
wiastkiem będzie najmniejsze. A
atwo policzyć, że nastąpi to dla częstotliwości (rezonansowej) drgań spełniającej
zależność
²2
2 2
Érez = É0 -
2m2
W przypadku maÅ‚ego tÅ‚umienia (maÅ‚e ²) otrzymamy
Érez2 H" É02
Amplituda drgań będzie wynosić wtedy
F0
(Amplituda)max =
ɲ
Wielkość ta może przyjmować bardzo duże wartości, często niemożliwe z uwagi na ograniczoną wytrzymałość
obiektu drgajÄ…cego (10).
Porównując wzory dla siły wymuszającej
F = F0eiÉt
i wychylenia
x = x0ei(Ét-Ć)
zauważyć można, iż drgania układu są przesunięte w fazie względem siły wymuszającej o Ć
ɲ
tgĆ =
m(É02 - É2)
Zobacz rysunek 10.
Rysunek 10: Rezonans. Amplituda oraz przesunięcie fazowe pomiędzy siłą wymuszającą i wychyleniem. (dopisz
oznaczenia! )
©Mariusz KrasiÅ„ski 2011 13
4.4 Ruch wymuszony na wykresie fazowym 4 DRGANIA HARM. WYMUSZ. Z TA
UM.
4.4 Ruch wymuszony na wykresie fazowym
Rysunek 11: Typowy portret fazowy drgania wymuszonego z tłumieniem. Dopisz samodzielnie oznaczenia osi!
4.5 Dynamiczny tłumik drgań
Opis dynamicznego tłumika drgań zostanie przedstawiony na wykładzie.
Rysunek 12: Siły działające na układ dwóch mas drgających. Ilustracja do opisu dynamicznego tłumika drgań.
Równania ruchu dla układu powyżej mają postać:
m1a1 = -k1x1 + k2(x2 - x1) + F0 cos(Ét) (4.11)
m2a2 = -k2(x2 - x1) (4.12)
Rozwiązanie układu równań (4.11), (4.12) przedstawiono poniżej
©Mariusz KrasiÅ„ski 2011 14
4.5 Dynamiczny tłumik drgań 4 DRGANIA HARM. WYMUSZ. Z TA
UM.
Rysunek 13: Rozwiązanie układu równań (4.11), (4.12). Dodaj opisy na wykładzie.
Symulację pt.  Dynamiczny tłumik drgań , przedstawiającą jak zachowuje się układ przedstawiony na rysunku
12 można znalez
ć na stroniehttp://cmf.p.lodz.pl/markras/fizyka.
©Mariusz KrasiÅ„ski 2011 15