Materiały do wykładów
Fizyka (Informatyka - EEIiA 2012/13)
11 listopada 2012
©Mariusz KrasiÅ„ski 2012
Spis treści
IV DRGANIA 1
1 Ruch drgający - wstęp 2
1.1 Ciało na sprężynie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Drgania harmoniczne proste 2
2.1 Wychylenie, prędkość i przyspieszenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Dlaczego tylko ruch harmoniczny? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Energia ruchu drgającego (przypadek sprężyny) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Drgania a liczby zespolone 6
UWAGA! Większość rysunków wymaga własnoręcznego dopisania oznaczeń!
Część IV
DRGANIA
Przypominacz (?) matematyczny
d
(xn) = (xn) = n xn-1
dx
d
[sin(x)] = [sin(x)] = cos(x)
dx
d
[cos(x)] = [cos(x)] = - sin(x)
dx
d
(ex) = (ex) = ex
dx
d d
[sin(Ét + Ć)] = cos(Ét + Ć) (Ét + Ć) = cos(Ét + Ć) É
dt dt
d d
[cos(Ét + Ć)] = - sin(Ét + Ć) (Ét + Ć) = - sin(Ét + Ć) É
dt dt
d d
ei(Ét+Ć) = ei(Ét+Ć) [i(Ét + Ć)] = ei(Ét+Ć) iÉ
dt dx
1
2 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE
1 Ruch drgający - wstęp
Lektura uzupełniająca:
M. Krasiński,  Ruch drgający rozdział 10 (strony 233-266) w skrypcie pt.  Wstęp do analizy matematycznej i
wybranych działów fizyki , red. A. Just, Wyd. Polit. A
ódzkiej, A
ódz
2007.
1.1 Ciało na sprężynie
Śą
F
spr
x
0
xmin xśątźą xmax
Rysunek 1: Siła sprężystości jest proporcjonalna do wydłużenia (skrócenia) sprężyny
ma = Fspr
ma = -kx
k
a = - x (1.1)
m
d2x k
= - x
dt2 m
2 Drgania harmoniczne proste
2.1 Zależność między wychyleniem, prędkością i przyspieszeniem
Drgania harmoniczne (obiektu) to drgania, w których wychylenie obiektu spełnia zależność
x = A cos(Ét + Ć) (2.1)
(może być także sinus)
Prędkość obiektu wynosi wtedy
dx
v = vx = = -AÉ sin(Ét + Ć) (2.2)
dt
a przyspieszenie
dvx d2x d dx d
a = = = = (-AÉ sin(Ét + Ć)) = -AÉ2 cos(Ét + Ć) = -É2x (2.3)
dt
dt2 dt dt dt
Z równania (2.3) wynika, że w ruchu harmonicznym musi być spełniona zależność
d2x
a = = -É2x (2.4)
dt2
albo po pomnożeniu obu stron przez masę drgającego ciała m
d2x
ma = m = F = -mÉ2x
dt2
©Mariusz KrasiÅ„ski 2012 2
2.1 Wychylenie, prędkość i przyspieszenie 2 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE
Tak więc aby ciało drgało harmonicznie, siła działająca na nie musi być proporcjonalna do wychylenia lecz
przeciwnie do niego (wychylenia) skierowana.
Rysunek poniżej przedstawia porównanie czasowego przebiegu wychylenia, prędkości i przyspieszenia ciała dr-
gajÄ…cego ruchem harmonicznym prostym
Rysunek 2: Porównanie czasowego przebiegu wychylenia, prędkości i przyspieszenia dla ciała drgającego ruchem
harmonicznym prostym. Zauważ, że wykresy są względem siebie przesunięte!
Drgania ciała na sprężynie jako przykład drgań harmonicznych prostych
W przypadku rozciągania lub ściskania sprężyny, siła sprężystości ma postać
F = -kx
Wychylenie musi więc spełniać równanie
ma = -kx
k
a = - x
m
albo w bardziej  matematycznej postaci
d2x
m = - kx
dt2
d2x k
= - x
m
dt2
Na podstawie równania (2.4) otrzymamy
k
É2 =
m
czyli zależność wychylenia od czasu ma ostateczną postać
k
x = A cos t + Ć
m
Generalnie równanie ruchu dla ciała o masie m drgającego ruchem harmonicznym prostym ma postać
d2x
ma = m = -kx
dt2
©Mariusz KrasiÅ„ski 2012 3
2.2 Definicje 2 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE
gdzie k nie musi być współczynnikiem sprężystości, ale może wynikać z innych własności układu wykonującego
drgania.
2.2 Definicje
k
" t + Ć = Ét + Ć nazywamy FAZ
drgania
m
" Ć jest fazą początkową (czyli taką fazą, która występuje dla t=0 !)
k
" É = jest czÄ™stoÅ›ciÄ… drgania
m
" Okres drgań T to taki najmniejszy czas, po którym wychylenie (uwzględniając kierunek ruchu) jest takie
samo jak na początku (obserwacji) x(t) = x(t+T ). Można też powiedzieć, że okres drgania to najmniejszy
czas, po którym faza drgania zmieni się o 2Ą.
2Ä„
" czÄ™stość i okres powiÄ…zane sÄ… zależnoÅ›ciÄ… É =
T
1
" wielkość f = nazywamy częstotliwością
T
" czÄ™stość É i czÄ™stotliwość f powiÄ…zane sÄ… zależnoÅ›ciÄ… É = 2Ä„f
2.3 Dlaczego tylko ruch harmoniczny?
To drganie z pewnością nie jest harmoniczne
Rysunek 3: Dopisz oznaczenia na osiach!
A oto przepis matematyczny jak rozłożyć takie drganie na drgania harmoniczne
"
1 1 1
y = A sin x + sin 3x + sin 5x + ... = A sin [(2N + 1)x]
3 5 2N + 1
N=0
Poniżej widmo powyższego drgania
Rysunek 4: Widmo drgania przedstawionego na rysunku 3
©Mariusz KrasiÅ„ski 2012 4
2.4 Energia ruchu drgającego (przypadek sprężyny) 2 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE
2.4 Energia ruchu drgającego (przypadek sprężyny)
mv2 kx2
E = + (2.5)
2 2
Jeśli wykorzystamy zależności (2.1) i (2.2) otrzymamy
m k
E = A2É2 sin2(Ét + Ć) + A2 cos2(Ét + Ć) (2.6)
2 2
Ponieważ w ruchu harmonicznym prostym
k
É =
m
to
k = mÉ2 (2.7)
Wykorzystując zależność (2.7) w równaniu (2.6) otrzymamy, że energia całkowita układu drgającego zależy od
amplitudy A i stałej sprężystości k
k k kA2 kA2
E = A2 sin2(Ét + Ć) + A2 cos2(Ét + Ć) = sin2(Ét + Ć) + cos2(Ét + Ć) = (2.8)
2 2 2 2
2.5 Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej
Jeśli wychylenie drgającego ciała opisuje zależność
x = A cos(Ét + Ć) (2.9)
to prędkość ciała opisana jest zależnością
v = -AÉ sin(Ét + Ć) (2.10)
KorzystajÄ…c z  jedynki trygonometrycznej
cos2(Ét + Ć) + sin2(Ét + Ć) = 1
oraz równań (2.9) i (2.10) otrzymamy
x2 v2
+ = 1
A2 A2É2
Powyższe równanie przedstawia elipsę w tak zwanej przestrzeni fazowej. Dalsze wyjaśnienia na wykładzie.
Rysunek 5: Dopisz komentarze na wykładzie
©Mariusz KrasiÅ„ski 2012 5
3 DRGANIA A LICZBY ZESPOLONE
3 Drgania a liczby zespolone
Ogólna postać liczby zespolonej
z = X + iY
gdzie
i = (-1)
Trygonometryczna postać liczby zespolonej
z = R[cos(Ć) + i sin(Ć)]
Wykładnicza postać liczby zespolonej
z = ReiĆ = R[cos(Ć) + i sin(Ć)]
Drganie harmoniczne można więc przedstawić w postaci:
x = Aei(Ét+Ć)
Obliczmy, korzystając z zapisu przy pomocy liczb zespolonych, prędkość i przyspieszenie w ruchu
harmonicznym
dx d
v = = Aei(Ét+Ć) = -AÉei(Ét+Ć)
dt dt
d2x d dx d
a = = = -AÉei(Ét+Ć) = -AÉ2ei(Ét+Ć) = -É2x
dt dt dt
dt2
Otrzymaliśmy więc identyczną jak na poprzednim wykładzie zależność pomiędzy przyspieszeniem i
wychyleniem ciała drgającego ruchem harmonicznym prostym
d2x
= -É2x
dt2
©Mariusz KrasiÅ„ski 2012 6