Materiały do wykładów
Fizyka (Informatyka - EEIiA 2011/12)
7 stycznia 2012
©Mariusz KrasiÅ„ski 2012
Spis treści
X ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ 1
1 Postulaty mechaniki kwantowej 1
1.1 Postulat I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Zasada nieoznaczoności (Heisenberga) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Postulat II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Postulat III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Postulat IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Nieskończona studnia potencjału 4
3 Szczególne rozw. równania Schrödingera 5
3.1 Skok potencjału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Efekt tunelowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Skaningowy mikroskop tunelowy - STM 7
5 Mikroskop sił atomowych - AFM 8
UWAGA! Większość rysunków wymaga własnoręcznego dopisania oznaczeń! Wyliczenia zamieszczone
w ramkach stanowią materiał uzupełniający.
Część X
ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ
1 Postulaty mechaniki kwantowej
1.1 Postulat I
Postulat I
Stan czÄ…stki okreÅ›lony jest przez funkcjÄ™ falowÄ… ¨(x, y, z, t)
1.1.1 Sens fizyczny funkcji ¨(x, t) (przypadek 1D)
|¨(x, t)|2 = ¨ (x, t)¨(x, t)
jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie x w chwili t.
1
1.2 Zasada nieoznaczoności (Heisenberga) 1 POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ
W takim razie wyrażenie:
dP(x) = |¨(x, t)|2 dx (1.1)
jest prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w pobliżu punktu x (dokładniej pomiędzy x i x + dx) w chwili t.
Aby określić prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w obszarze od x1 do x2 musimy skorzystać z zależności
x2
P(x1, x2, t) = |¨(x, t)|2 dx (1.2)
x1
pod warunkiem, że funkcja falowa ¨(x, t) bÄ™dzie unormowana czyli speÅ‚niony bÄ™dzie warunek:
+"
|¨(x)|2 dx = 1 (1.3)
-"
1.1.2 Uwagi na temat funkcji falowej
JeÅ›li rozpatrujemy przypadek trójwymiarowy wtedy funkcjÄ™ falowÄ… zapisujemy jako ¨(r,t)
Funkcja falowa ¨(r,t) może mieć wartoÅ›ci zespolone ¨(r,t) " C
Funkcja falowa ¨(r,t) musi speÅ‚niać okreÅ›lone warunki. Musi wiÄ™c być:
" jednowartościowa
" ciągła
" gładka
" ¨(x) 0 gdy x Ä…"
" całkowalna z kwadratem
|¨(r,t)|2 d3r < "
V
albo jednowymiarowo i stacjonarnie
+"
|¨(x)|2 dx < "
-"
1.2 Zasada nieoznaczoności (Heisenberga)
h
"x "p
2Ä„
Fundamentalny sens zasady Heisenberga
Rysunek 1: Zasada nieoznaczoności wynika z potraktowania cząstki jako paczki falowej.
1.3 Postulat II
Postulat II
Wielkości mechaniczne opisujące cząstkę (np. energia, pęd) reprezentowane są
przez operatory liniowe działające na przestrzeni funkcji falowych.
©Mariusz KrasiÅ„ski 2012 2
1.4 Postulat III 1 POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ
Zapis ¨ oznacza, że operator  dziaÅ‚a na funkcjÄ™ ¨. Wynikiem bÄ™dzie inna funkcja. (Przypomnij sobie, że
używaliśmy już operatora " (nabla))
Operator nazywamy liniowym jeśli spełniona jest zależność
Â(c1¨1 + c2¨2) = c1¨1 + c2¨2
wielkość operator
położenie xf = xf
Ć
df
pęd (składowa x) pxf = -i
Ć
dx
2
Ćf
Energia kinetyczna T = - "2f
2m
Ć
Energia potencjalna V f = V (x)f
Ć Ć
Energia całkowita (Hamiltonian) $
= T + V
1.4 Postulat III
Postulat III
Ewolucja w czasie stanu czÄ…stki, reprezentowanej przez funkcjÄ™ falowÄ… ¨(x, t)
okreÅ›lona jest równaniem Schrödingera zależnym od czasu
"¨(x ,t)
$
¨(x ,t) = i
"t
W przypadku jednowymiarowym powyższe równanie przyjmuje postać:
2
"2¨ "¨
- + V ¨ = i
2m "x2 "t
JeÅ›li Hamiltonian nie zależy od czasu wtedy speÅ‚nione musi być równanie Schrödingera niezależne od czasu:
$
¨(x) = E¨(x) (1.4)
czyli
2
- "2¨ + V ¨ = E¨
2m
2
"2¨ "2¨ "2¨
- + + + V ¨ = E¨
2m "x2 "y2 "z2
W przypadku jednowymiarowym
2
"2¨
- + V ¨ = E¨ (1.5)
2m "x2
1.5 Postulat IV
Postulat IV
Wynikiem pojedynczego pomiaru wielkości A może być tylko wartość własna
ak operatora  odpowiadajÄ…ca funkcji wÅ‚asnej ¨k(x) speÅ‚niajÄ…ca równanie
¨k = ak¨k
Tak więc wynikiem pomiaru energii cząstki musi być wartość Ek będąca rozwiązaniem równania
ʨk = Ek¨k
©Mariusz KrasiÅ„ski 2012 3
2 NIESKOC
CZONA STUDNIA POTENCJAA
U
2 Nieskończona studnia potencjału
Ten przykład nie ma właściwie sensu fizycznego ale stanowi dobry (bo łatwy) trening w rozwiązywaniu równania
Schrödingera. DokÅ‚adniejsze komentarze podane zostanÄ… na wykÅ‚adzie.
Rysunek 2: Nieskończona studnia potencjału. Wykres energetyczny.
Funkcja opisująca energię potencjalną w tym zagadnieniu ma postać
" V = 0 dla 0 < x < L
" V = " dla x d" 0 lub x e" L
Cząstka może przebywać tylko w obszarze pomiędzy ścianami (dlaczego?) więc:
dla x d" 0
¨(x) = 0 (2.1)
dla x e" L
¨(x) = 0 (2.2)
Równanie Schrödingera dla obszaru pomiÄ™dzy Å›cianami możemy zapisać w postaci:
2
- "2¨
= E¨
2m "x2
czyli
"2¨ 2mE
= - ¨ (2.3)
"x2 2
Wprowadz
my oznaczenie:
2mE
k2 = (2.4)
2
Równanie (2.3) przyjmie wtedy postać:
"2¨
= -k2¨ (2.5)
"x2
Jest to równanie identyczne z równaniem ruchu harmonicznego prostego
"2x
= -const x
"t2
W takim razie, przez analogię, rozwiązanie równania (2.5) ma postać
¨ = A sin(kx) (2.6)
Zastosujemy teraz warunki ciągłości.
" Pierwszy warunek ¨(0) = 0 jest oczywiÅ›cie zawsze speÅ‚niony.
©Mariusz KrasiÅ„ski 2012 4
3 SZCZEGÓLNE ROZW. RÓWNANIA SCHRÖDINGERA
" Sprawdz
my teraz warunek ¨(L) = 0
¨(L) = A sin(kL) = 0
co jest równoważne
kL = nĄ (2.7)
Podstawiając wartość k (wzór 2.4) do warunku (2.7) możemy wyliczyć energię cząstki uwięzionej w studni
potencjału
"
2mE
L = nĄ
a stÄ…d
2
Ä„2
E = n2 (2.8)
2mL2
Ostateczną postać funkcji falowej znajdujemy wykorzystując (2.6) i (2.4)
"
2mE
¨(x) = A sin(kx) = A sin x
Wartość współczynnika A możemy znalez
ć wykorzystując warunek unormowania funkcji falowej
" 2
L
2mE
A sin
x dx = 1
0
czyli
1
A =
"
L
sin2 2mE x dx
0
Ponieważ sens fizyczny ma dopiero kwadrat modułu funkcji falowej, więc
"
2mE
|¨(x ,t)|2 = A2 sin2 x
Interpretacja, wykresy..... na wykładzie
3 Szczególne przypadki rozwiÄ…zaÅ„ równania Schrödingera
3.1 Skok potencjału
Rysunek 3: Skok potencjału. Wykres energetyczny.
Kształt potencjału
" V (x) = 0 dla x < 0
" V (x) = V dla x > 0
a postaci równania Schrödingera w obu obszarach
©Mariusz KrasiÅ„ski 2012 5
3.1 Skok potencjaÅ‚u 3 SZCZEGÓLNE ROZW. RÓWNANIA SCHRÖDINGERA
" lewy obszar x < 0
2
"2¨L
- = E¨L (3.1)
2m "x2
" Prawy obszar x > 0
2
"2¨R
- + V ¨R = E¨R (3.2)
2m "x2
Charakter rozwiązania zależy od relacji pomiędzy energią całkowitą E a energią potencjalną V w prawym
obszarze. Rozpatrzmy kolejno dwa możliwe przypadki
Przypadek I E > V
Rysunek 4: Skok potencjału. Energia cząstki E > V
Rozwiązania równań (3.1) i (3.2) mają w tym przypadku postać:
" dla x < 0
kL - kR x
L L
¨L = eik x + e-ik
kL + kR
" dla x > 0
2kL x
R
¨R = eik
kL + kR
gdzie
2m(E) 2m(E - V )
2 2
kL = kR = (3.3)
2 2
Dyskusja rozwiązania na wykładzie!
Przypadek II E < V
Rysunek 5: Skok potencjału. Energia cząstki E < V
Równania Schrödingera przyjmujÄ… postaci:
" dla x < 0
"2¨L 2
+ kL¨L = 0
"x2
" dla x > 0
©Mariusz KrasiÅ„ski 2012 6
3.2 Efekt tunelowy 4 SKANINGOWY MIKROSKOP TUNELOWY - STM
"2¨R 2
- kR¨R = 0
"x2
a rozwiązania w poszczególnych obszarach
kL - ikR x
L L
¨L = eik x + e-ik (3.4)
kL + ikR
2kL x
R
¨R = e-k (3.5)
kL + ikR
gdzie kLi kR znajdujemy ponownie z zależności (3.3)
Zajmijmy się rozwiązaniem (3.5), dotyczącym prawej strony (x > 0) . Gęstość prawdopodobieństwa  spotkania
elektronu w tym obszarze wynosi
2
2kL x 2kL x 4kL
R R R
à = ¨(x)¨ (x) = e-k e-k = e-2k x (3.6)
2 2
kL + ikR kL - ikR kL + kR
i maleje wraz z odległością od bariery x.
3.2 Efekt tunelowy
Rysunek 6: Bariera potencjału.
Jakie jest prawdopodobieństwo  przebicia się elektronu przez warstwę o skończonej grubości b?
Zdefiniujmy współczynnik transmisji przez warstwę o grubości b jako:
Ã(b)
T =
Ã(0)
Na podstawie (3.6) otrzymamy więc
2
4kL Rb
e-2k
2 2
Ã(b) kL+kR
R
T = = = e-2k b
2
4kL R0
Ã(0)
e-2k
2 2
kL+kR
Podstawiając do powyższego równania wartość współczynnika kR z równania (3.3) otrzymamy
"
2m 8m
2 2
T = e-2 V -E b = e- (V -E) b (3.7)
(Analiza jak zwykle na wykładzie)
4 Skaningowy mikroskop tunelowy - STM
Zgodnie z wzorem (3.7) prąd tunelowy zależy od grubości bariery b oraz niedoboru energii V - E0. Można
wykorzystać tę zależność do pomiaru kształtu powierzchni na poziomie atomowym.
©Mariusz KrasiÅ„ski 2012 7
5 MIKROSKOP SIA
ATOMOWYCH - AFM
Rysunek 7: Zasada działania Skaningowego Mikroskopu Tunelowego.
W przypadku STM prąd tunelowy zależy od przyłożonego napięcia (regulowanego przez użytkownika) oraz
odległości ostrza od powierzchni próbki. Nierówności na powierzchni powodują więc zmianę prądu tunelowego.
Rozdzielczość pionowa STM jest wystarczająca aby bez problemu obserwować pojedyncze warstwy atomowe.
Opis działania mikroskopu - na wykładzie.
5 Mikroskop sił atomowych - AFM
W mikroskopie AFM wykorzystujemy odpychanie pomiędzy ostrzem zamocowanym na elastycznym ramieniu
oraz powierzchnią próbki. Odkształcenia ramienia rejestrowane są przez układ wykorzystujący odbicie promienia
lasera od ramienia (dokładnie tak jak podczas puszczania  zajączków przy pomocy lusterka). Dokładniejszy
opis działania na wykładzie.
Rysunek 8: Mikroskop sił atomowych. Najważniejsze elementy.
Poniżej dodatkowe rysunki, które będą wykorzystane podczas omawiania zasady działania AFM.
Rysunek 9: Zasada działania AFM
©Mariusz KrasiÅ„ski 2012 8