INFORMATYKA
INFORMATYKA
Plan wykładu
Plan wykładu
ELEMENTY MECHANIKI KLASYCZNEJ
ELEMENTY MECHANIKI KLASYCZNEJ
Kinematyka  podstawowe definicje
Zasady dynamiki Newtona
Ruch po okręgu
Siły zachowawcze
Praca, moc, energia
Mechanika Mechanika
Mechanika
kwantowa relatywistyczna
klasyczna
Mechanika klasyczna lub Mechanika
Mechanika kwantowa
newtonowska  relatywistyczna lub
nie opisuje trajektorii
mechanika wyprowadzona einsteinowska 
mikrocząsteczek, a
z zasad dynamiki mechanika oparta
jedynie
Newtona; poprawnie na szczególnej teorii
prawdopodobieństwo
opisuje zjawiska, jeżeli względności;
znalezienia się
prędkości ciał są bardzo prędkości ciał są
cząstki w różnych
małe w porównaniu porównywalne z c H"
H"
H"
punktach przestrzeni H"
z c H" 300 000 km/s 300 000 km/s
H"
H"
H"
R nie Schr�dingera
R nie Newtona
Funkcja falowa �
�
�
�
Trajektoria r=r(t)
Mechanika klasyczna:
Kinematyka  opisuje ruch ciał bez analizowania jego przyczyn
Dynamika  zajmuje się warunkami i przyczynami ruchu ciał
Rodzaje ruchu
Rodzaje ruchu
Ruch ciała  zmiany jego położenia względem innych ciał, które
Ruch ciała
nazywamy układem odniesienia
Spoczynek  brak ruchu
Spoczynek
Nie ma ruchu absolutnego, ani spoczynku absolutnego: jest
tylko ruch względny i spoczynek względny
Rodzaje ruchu
Rodzaje ruchu
Postępowy i obrotowy
W ruchu postępowym wszystkie punkty ciała poruszają się
postępowym
po takich samych torach
W ruchu obrotowym tory poszczególnych punktów ciała są
obrotowym
okręgami współśrodkowymi
Prostoliniowy i krzywoliniowy
Ruchem prostoliniowym nazywamy ruch ciała (punktu materialnego)
po torze prostym
Ruch krzywoliniowy  ruch ciała po dowolnej krzywej
Ruch postępowy przedmiotu na płaszczyz
nie
Ruch postępowy przedmiotu na płaszczyz
nie
W czasie ruchu wszystkie punkty ciała doznają takiego samego
przemieszczenia. Możemy przyjąć, że ciało jest punktem, ponieważ
ciało jest punktem
opisując ruch jednego z jego punktów opisujemy jednocześnie
ruch wszystkich innych punktów, a więc i samego ciała jako całości
Punkt materialny  ciało obdarzone masą, którego rozmiary
można zaniedbać
Podstawowe wielkości kinematyczne
Podstawowe wielkości kinematyczne
Przemieszczenie r opisuje zmianę położenia punktu
Przemieszczenie r
materialnego podczas ruchu od punktu A do punktu B
Prędkość v punktu materialnego jest wielkością, która określa, jak
Prędkość v
szybko zmienia się położenie tego punktu w czasie
Przyspieszenie a punktu materialnego informuje o szybkości zmian
Przyspieszenie a
jego prędkości w czasie
def
dy "y
"
"
"
f'(x) a" = lim
a" =
a" =
a" =
Ruch prostoliniowy wzdłuż osi X
"x0
"
"
"
dx "x
"
"
"
"t = t2 - t1
" = -
" = -
" = -
Ruch punktu materialnego
poruszającego
się w prawo wzdłuż osi X
"x  droga przebyta w czasie "
" "
" "t
" "
Prędkość średnia:
Prędkość chwilowa:
"x
"
"
"
"x dx
"
"
"
dx
"x
"
"
"
x=x(t)
x=x(t)
v = lim =
v = lim =
vśr =
=
=
=
dt
"t dt
"
"
"
"t
"
"
"
"t 0
"
"t 0
"
"
"
"
"
"t
"
"
"
Przyspieszenie średnie:
Przyspieszenie chwilowe:
"v
"
"
"
"v
"
"
"
"v dv
"
"
"
dv d2x
d2x
aśr =
=
=
=
a = lim = = v=v(t)
a = lim = = v=v(t)
dt
"t "t dt dt2
" "
" " dt2
" "
"t
"
"
"
"t 0
"
"t 0
"
"
"
"
"
Druga pochodna to pochodna pierwszej pochodnej danej funkcji
różniczkowanie różniczkowanie
f(x) f (x) f (x)
dv d dx d2x
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
a = = =
= = =
= = =
= = =
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
dt dt dt dt2
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
Ruch prostoliniowy jednostajny
Ruch prostoliniowy jednostajny
t t
dx
Z definicji mamy:
v = �! dx = vdt �! "x = = vdt
= �! = �! " = =
= �! = �! " = =
= �! = �! " =
+"dx =+"
+" +"
+" +"
+" +"
dt
0 0
t t
v= const
"x = vdt = v = �! - =
" = = = �! - =
" = = = �! - =
" = =
+" +"dt = vt �! x - x0 = vt
+" +"
+" +"
+" +"
0 0
= +
= +
= +
droga x: x = x0 + vt
droga x:
prędkość v: v = const
=
=
prędkość v: =
a = 0
=
=
=
przyspieszenie a:
przyspieszenie a:
Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny
Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny
t
dv
Z definicji mamy:
a = �! dv = adt �! "v =
= �! = �! " =
= �! = �! " =
= �! = �! " =
+"adt
+"
+"
+"
dt
0
przyspieszenie a:
przyspieszenie a:
a = const
=
=
=
t t
"v = = =
" = = =
" =
a= const " = = =
"v = v - v0 �! v - v0 = at
" = - �! - =
" = - �! - =
" = - �! - =
+"adt = a+"dt = at
+" +"
+" +"
+" +"
0 0
prędkość v:
prędkość v:
v = v0 + at
= +
= +
= +
t
dx
v = �! dx = vdt �! "x = vdt
= �! = �! " =
= �! = �! " =
= �! = �! " =
+"
+"
+"
+"
dt
0
t
t t t t t
t2 t2
t
"x = + = v0dt + = + = + = - + -
" = + = + = + = + = - + -
" = + = + = + = + = - + -
" = +
0
+"(v + at)dt = +" +"atdt = v0+"dt + a+"
+" +" +" +" +"tdt = v0t + a 2 = v0t - 0 + a 2 - 0
+" +" +" +" +"
+" +" +" +" +"
0
0 0 0 0 0
0
t2 t2
"x = v0t + a �! x - x0 = v0t + a
" = + �! - = +
" = + �! - = +
" = + �! - = +
2 2
t2
droga x:
droga x: x = x0 + v0t + a
= + +
= + +
= + +
2
Graficzne przedstawienie ruchu
Graficzne przedstawienie ruchu
Graficznie ruch przedstawiamy w postaci wykresów funkcji
s=s(t), v=v(t) , a=a(t)
Ruch jednowymiarowy. Przyspieszenie zmienne
Ruch jednowymiarowy. Przyspieszenie zmienne
X
Sześć kolejnych  zdjęć migawkowych
punktu materialnego poruszającego
się wzdłuż osi x ze zmiennym
przyspieszeniem
- chwilowa prędkość
- chwilowe przyspieszenie
Ruch krzywoliniowy
Ruch krzywoliniowy
Wektor wodzący r i tor punktu P we
współrzędnych kartezjańskich
Położenie opisane przez wektor r
r
x, y, z > 0
x, y, z > 0
r = r(t)
r r tor lub trajektoria ruchu punktu P
tor trajektoria
x = x(t), y = y(t), z = z(t)
Ruch krzywoliniowy
Ruch krzywoliniowy
Określenie wektora prędkości w ruchu krzywoliniowym: gdy ciąg
punktów Q1, Q2, ....Qn zmierza do punktu P, to przyrosty wektora
wodzącego " "r2... " dążą do zera, ale wektor " "t dąży do
"r1, " "rn "rn/ "
" " " " "
" " " " "
wektora prędkości stycznego do toru w punkcie P
Prędkość średnia:
r
"r
"
"
"
vśr =
=
=
=
"t
"
"
"
Prędkość chwilowa:
r r r r r
"r1 "r2 "r3 "rn dr
" " " "
" " " "
" " " "
; ; ... �!
�!
�!
�!
"t1 "t2 "t3 "tn dt
" " " "
" " " "
" " " "
"r
"
"
"
dr
v = lim =
r r r r
v v
dt
"t
"
"
"
"t 0
"
"
"
r1 = r + "r1 "r1 = r1 - r
= + " " = -
= + " " = -
= + " " = -
r
r dr dx dy dz
v = �! vx = oraz vy = oraz vz =
= �! = = =
= �! = = =
= �! = = =
dt dt dt dt
t
s
e
j
i
c
ś
o
k
d
ę
r
p
r
!
o
t
u
r
k
o
e
t
W
o
d
y
n
z
c
y
t
s
Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym
Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym
Przyrost prędkości "
"v podzielony
"
"
przez przyrost czasu "
"t dąży
"
"
do wektora przyspieszenia, gdy
punkt P1 dąży do punktu P2
r r r
"v = v2 -v1
" = -
" = -
" = -
r r r r
r "v dv d dr d2r
"
"
"
a = lim = = =
= = = =
= = = =
= = = =
"t 0
"
"
"
"t dt dt dt dt2
"
"
"
dvy d2y
r dvx d2x dvz d2z
a �! ax = = oraz ay = = oraz az = =
�! = = = = = =
�! = = = = = =
�! = = = = = =
dt dt2 dt dt2 dt dt2
def
d�
�
�
�
Ruch krzywoliniowy płaski: ruch po okręgu
Ruch krzywoliniowy płaski: ruch po okręgu � =
� =
� =
� =
dt
Wektor wodzący r obraca się, zachowując stałą
długość
ds d(� �"r) d�
��" �
� �" �
��" �
s = � �"r = = = r = r�
= ��" = = �
= � �" v = = = = �
= ��" = = = = �
= =
v = �r
= �
= �
= �
dt dt dt
W ruchu jednostajnym po okręgu (�
�=const):
�
�
t t
d�
�
�
�
� = �! d� = �dt "� = � �! "� = �
� = �! � = � "� = � �! "� =
� = �! � = � "� = � �! "� = �
� = �! � = � "� =
+"d� �! "� = +"
+" +"�dt
+" +"
+" +"�
dt
0 0
�=const
�
�
�
t t
t
"� = � = � = �t = �t �! � - �0 = �t
"� = = � = � �! � - � = �
"� = � = � = � = � �! � - � = �
"� =
+" +"
+"�dt = �+"dt = � = � �! � - � = �
+" +"
+"� = �+"
0
0 0
s-droga liniowa
Jeśli t0=0 i ciało startuje w początku układu to:
v-prędkość liniowa
�-droga kątowa
�
�
�
� = �t
� �
� �
� �
�-prędkość kątowa
�
�
�
ą-przyspieszenie
ą
ą
ą
kątowe
d� d2�
� �
� �
� �
Przyspieszenie kątowe ą ą = =
ą: ą = =
ą ą = =
ą ą = =
dt dt2
T - okres ruchu, czas potrzebny na przebycie drogi kątowej � Ą
�=2Ą
� Ą
� Ą
2Ą
Ą
Ą
Ą
� = �t oraz � = 2Ą i t = T �! 2Ą = �T �! T =
� = � � = Ą = �! Ą = � �! =
� = � � = Ą = �! Ą = � �! =
� = � � = Ą = �! Ą = � �! =
�
�
�
�
def
Przyspieszenie w ruchu po okręgu
Przyspieszenie w ruchu po okręgu
d�
�
�
�
� =
� =
� =
� =
dt
Równanie x = r cos �(t)
= �
= �
= �
def
parametryczne
{
d�
�
�
�
y = r sin �(t)
= �
= �
= �
ą =
ą =
ą =
ą =
okręgu:
dt
dx d�
�
�
�
vx = = -r sin �(t)�" = -r�sin �(t)
= = - � �" = - � �
= = - � �" = - � �
= = - � �" = - � �
dt dt
dy d�
�
�
�
vy = = r cos �(t) = r�cos �(t)
= = � = � �
= = � = � �
= = � = � �
r
dt dt
y
�
�
�
�
x
dvx d� d�
� �
� �
� �
ax = = -r �" �(t) - r��" � �"
= = - �"sin � - ��"cos�(t)�"
= = - �" � - ��" � �"
= = - �" � - ��" � �"
dt dt dt
Przyspieszenie normalne
normalne
r r
ą
ą
ą
ą
an = -�2r = -rą �"sin � - r�2 cos� = vx - �2x
= -� = - ą�" � - � � = - �
= -� = - ą �" � - � � = - �
= -� = - ą�" � - � � = - �
�
�
�
�
skierowane do środka koła
skierowane do środka koła
dvy
d� d�
� �
� �
� �
ay = = +r �" � - r��" �(t)�"
= = + �"cos�(t) - ��"sin � �"
= = + �" � - ��" � �"
= = + �" � - ��" � �"
Przyspieszenie styczne
styczne
dt dt dt
r ą r
ą
ą
ą
at = v ą
= ą
= ą
= ą
= rą �"cos� - r�2 sin � = vy - �2y
= ą �" � - � � = - �
= ą �" � - � � = - �
= ą �" � - � � = - �
�
�
�
�
�
�
�
�
równoległe lub antyrównoległe
do wektora prędkości v,
r ą r r
ą
ą
ą
= - �
= - �
= - �
zatem styczne do toru a = v - �2r
�
�
�
�
Pochodna iloczynu dwóch lub kilku funkcji jest równa:
Pochodna iloczynu
(uv) =u v+uv gdzie u i v są dowolnymi funkcjami x
Stały czynnik można wynosić przed znak pochodnej: (cu) = cu
Stały czynnik
dy
Pochodna funkcji złożonej: jeżeli y=f(u) i u=�
�(x), to:
�
Pochodna funkcji złożonej �
= f'(u)�'(x)
= �
= �
= �
dx
def
x = r cos w i w = �(t)
= = �
= = �
= = �
x = r cos�(t)
= �
= �
= �
d�
�
�
�
x i y są złożonymi
� =
� =
� =
� =
funkcjami t
y = r sin �(t) dt
= �
= �
= �
y = r sin z i z = �(t)
= = �
= = �
= = �
dx d� d� d�
� � �
� � �
� � �
vx = = (r cos w)'�"w'= r(cos w)'�" = -r sin w �" = -r sin �(t) = -r�sin(�) =
= = �" = �" = - �" = - � = - � � =
= = �" = �" = - �" = - � = - � � =
= = �" = �" = - �" = - � = - � � =
dt dt dt dt
gdzie: u(t) = �(t) oraz v(t) = sin �(t)
= � = �
= � = �
= � = �
= -r �"[u(t)�" v(t)]
= - �" �"
= - �" �"
= - �" �"
dy d� d� d�
� � �
� � �
� � �
vy = = (r sin z)'�"z'= r(sin z)'�" = r cos z �" = � = � � =
= = �" = �" = �" = r cos �(t) = r�cos �(t) =
= = �" = �" = �" = � = � � =
= = �" = �" = �" = � = � � =
dt dt dt dt
= r �"[u(t)�" gdzie: = � = �
= �" �"s(t)] = � = �
= �" �" u(t) = �(t) oraz s(t) = cos�(t)
= �" �" = � = �
dvx du dv d� d d�
� �
� �
� �
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł
ax = = -r �" v + u �" = -r �" � + ��" sin �(t)�ł = -r �" � -
= = - �" + �" = - �" � + ��" � = - �"sin � -
�" + �" = �"sin � + ��" � = - �" � -
= = - �ł �ł - �ł �ł - �" � -
= = - �ł �ł �ł �ł
�" + �" = �" � + ��" � =
�ł �ł - �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
dt dt dt dt dt dt
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
d� d�
� �
� �
� �
Podobnie obliczamy ay
- r��" � �" = -r �"sin � - r�2 cos�
- ��"cos� �" = - �" � - � �
- ��" ��" = - �" � - � �
- ��" ��" = - �" � - � �
dt dt
W
Z
O
R
Y
Ruch jednostajny po okręgu
Ruch jednostajny po okręgu
Przyspieszenie styczne at = 0
Prędkość kątowa � = const
�
�
�
Przyspieszenie normalne (lub
dośrodkowe):
an = - �2r = v2/r
- �
- �
- �
skierowane do środka koła
skierowane do środka koła
Punkt materialny obiega okrąg ze
stałą prędkością co do wartości
bezwzględnej, ale ze zmiennym
kierunkiem wektora v
Przyspieszenie a jest zawsze skierowane do środka okręgu,
a
a więc jest prostopadłe do prędkości v
v