Wykres Smith a
i dopasowanie impedancji
7. Wykres Smith a 1
Wykres Smith a i dopasowanie impedancji
Wykres Smith a
Praca na wykresie Smith a
Dopasowanie impedancji  obwody o stałych
skupionych
Dopasowanie impedancji  obwody o stałych
rozłożonych
7. Wykres Smith a 2
Wykres Smith a (a)
Wprowadzimy pojęcia impedancji i admitancji znormalizowanych
w stosunku do impedancji charakterystycznej Z0:
ZL
zL = rL + jxL = ;
zL - 1 1 - yL
1 + �(l)
Z0
�L = = ; z() =
l
l
zL + 1 1 + yL 1 - �();
YL
yL = gL + jbL = ;
Y0
Równanie transformacji impedancji przybierze teraz postać:
zL + jtg�l
z() = ;
l
1 + jzLtg�l
7. Wykres Smith a 3
Wykres Smith a (b)
Wykres Smith a (b)
Funkcja homograficzna wiąże ze sobą dwie zmienne zespolone
w i z następująco (a, b, c i d są stałymi zespolonymi):
zL - 1 1 - yL
1 + �
az + b d
�L = = ;
z = ;
w = ; z `" - ;
zL + 1 1 + yL
1 - �
cz + d c
Odwzorowanie homograficzne - przyporządkowanie punktom na
płaszczyz
nie zespolonej z punktów na płaszczyz
nie zespolonej w,
opisane funkcją homograficzną.
Odwzorowanie homograficzne w(z) jest wzajemnie jednoznaczne,
Okrąg na płaszczyz
nie z transformuje się na okrąg na płaszczyz
nie w,
Zachowana zostaje ortogonalność okręgów.
7. Wykres Smith a 4
Wykres Smith a (c)
Wykres Smith a (c)
Wykres Smith a powstaje przez przetransformowanie siatki
prostych r = const. i x = const. z płaszczyzny impedancji z na
płaszczyznę współczynnika odbicia.
r + jx - 1
� = ;
r + jx + 1
Prosta r=const. na płaszczyz
nie z transformuje się na płaszczyznę
jako okrąg o promieniu 1/(r+1) i środku [r/(r+1),0].
Prosta x=const. transformuje się na okrąg o promieniu 1/|x| i
środku leżącym w punkcie o współrzędnych [1,1/x].
Obie rodziny okręgów są względem siebie ortogonalne.
7. Wykres Smith a 5
Wykres Smith a (d)
Wykres Smith a (d)
Transformujemy proste r = const. na płaszczyznę �.
jx
90
2j
135
45
j
3
0
2
1
0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
180
r
2 4
0.2 0.5 1
-j
225
315
-2j
270
r =0,0.2,0.5,1,2,4
7. Wykres Smith a 6
Wykres Smith a (e)
Wykres Smith a (e)
Transformujemy proste x = const. na płaszczyznę �.
jx
90
2j
1
0.5
135
45
2
j
0.2
4
3
0
2
1
0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
180
"
r
0
-4
-0.2
-j
-2
225
315
-0.5
-1
-2j
270
x =4,2,1,0.5,0.2,0,-0.2,-0.5,-1,-2,-4
7. Wykres Smith a 7
Wykres Smith a (f)
Wykres Smith a (f)
0,125
Siatka
współrzędnych
Do
1
2
Genera- 0.5
impedancyjnyc
tora
5
h wykresu
0.2
Smitha
0
0,25
0
0.2 5
0.5 1 2
Zwarcie
-0.2
-5
-0.5
-2
-1
Rozwarcie
0,375
7. Wykres Smith a 8
Wykres Smith a (g)
Wykres Smith a (g)
Wykres Smitha z siatką współrzędnych admitancyjnych
-1
-0.4
-2
A
uki stałej susceptancji
-4 -0.2
0.4
4 1 0.2 0
2
Okręgi stałej konduktancji
4
0.2
2
0.4
1
7. Wykres Smith a 9
"
Wykres Smith a (h)
Im{�}
0,5
-0,8 -1 -1,2
Siatka współrzędnych
impedancyjnych
1
-1,5
-0,5
wykresu Smitha dla
0,2
obciążeń aktywnych,
2
dla których r<0.
0 1 -2 -1,8
-0,2 -3
Re{�}
Lewa półpłaszczyzna
z transformuje się na
-2
zewnętrze okręgu
-0,2
jednostkowego.
-1
-0,5
7. Wykres Smith a 10
Praca na wykresie Smith a (a)
Praca na wykresie Smith a (a)
zL=rL+jxL
rL
zL
Umieszczamy punkt na wykresie
Smitha korzystając ze
xL
współrzędnych:
�,
1
z = r + jx,
y = g + jb.
gL
yL
bL
yL=gL+jbL
7. Wykres Smith a 11
L
z indukcyjny
L
z pojemno
ś
ciowy
Praca na wykresie Smith a (b)
Praca na wykresie Smith a (b)
zL=rL+jxL
zL+ jxS
Do impedancji zL
dodajemy 5
zL+ rS
różnych
elementów:
1
rezystancji i
reaktancji.
yL+ jbR
Notujemy ruch
punktu na
wykresie.
yL+ gR
7. Wykres Smith a 12
Praca na wykresie Smith a (c)
Praca na wykresie Smith a (c)
Z0
Z0
g =
Określenie położenia impedancji z(3)
b1 = -
R
�L1
obwodu czteroelementowego
z(1)
z(3) z(2)
z(1)
CS
L1
Z0 L2
R
1
1
z(3)
xS = -
�CSZ0
z(1)
z(3) z(2)
z(2)
jxS
Z0 jb2
jb1
g
Z0
b2 = -
�L2
7. Wykres Smith a 13
Praca na wykresie Smith a (d)
Praca na wykresie Smith a (d)
�l
Transformujemy
impedancję zL na
zL
Z0
odległość l.
Realizujemy
�L
transformację
współczynnika
1
odbicia.
-2�l
�(l)
�(l)=�Le-j2�l
7. Wykres Smith a 14
Praca na wykresie Smith a (e)
Praca na wykresie Smith a (e)
z(l)
zL=r>1
Z0
kZ0, �l
-2�l
Transformujemy
impedancję zL=r>1
k2/r
na odległość l
1
przez odcinek o
wartości kZ0.
Rozmiary okręgu
zależą od wartości k. k<1
Transformator
k = 1
ćwierćfalowy
r = �
transformuje r na k2r.
k > 1
7. Wykres Smith a 15
Praca na wykresie Smith a (f)
Praca na wykresie Smith a (f)
z(l)
zL=r<1
Z0
kZ0, �l
-2�l
Transformujemy
impedancję zL=r<1
r = 1/�
na odległość l
przez odcinek o
1
wartości kZ0.
Rozmiary okręgu
zależą od wartości k.
Transformator
ćwierćfalowy
k<1
transformuje r na
k2/r
k = 1
r = �
k > 1
7. Wykres Smith a 16
Dopasowanie &  Obwody o stałych skupionych (1)
" Problem: Co zrobić, aby moc fali biegnącej do jednowrotnika
wydzieliła się w nim w całości?
" Odpowiedz
. Umieścić między prowadnicą a jednowrotnikiem
bezstratny obwód dopasowujący.
" Proces konstruowania takiego obwodu nazywa się dopasowaniem.
Obwód
Jedno-
Z0
dopaso-
wrotnik
wujący
�L = 0
zL, yL, �L
zL = 1/yL = 1
Jednowrotnik z obwodem dopasowującym
7. Wykres Smith a 17
Dopasowanie &  Obwody o stałych skupionych (2)
Prowadnica falowa (tor mikrofalowy) o
1
ZL = ; ZL `" Z0
impedancji charakterystycznej Z0
YL
zakończona jest jednowrotnikiem
zL = rL + jxL =
opisanym:
1 1
= = ;
impedancją ZL , admitancją YL,
yL gL + jbL
impedancją zredukowaną zL,
admitancją zredukowaną yL,
1 > �L > 0;
współczynnikiem odbicia �L.
1
zL = = 0;
Warunki dopasowania można zapisać yL
następująco:
�L = 0;
7. Wykres Smith a 18
Dopasowanie& - Impedancja indukcyjna (a)
Impedancja indukcyjna (a)
zL=rL+jxL
Obiektem dopasowania jest
zL
impedancja ZL, o charakterze
indukcyjnym, której zredukowana
wartość zL jest równa:
g=1
A
1
zL = rL + jxL = ;
C
gL + jbL
1
Pierwszy sposób polega na
użyciu pojemności C, włączonej
szeregowo, bądz
równolegle, aby
D
r=1
znalez
ć się na okręgu:
B
r = 1 (p. C i D),
lub g = 1 (p. A i B).
zL
7. Wykres Smith a 19
L
z indukcyjny
Dopasowanie& - Impedancja indukcyjna (b)
Impedancja indukcyjna (b)
zL=rL+jxL
A. Pojemność CS przesuwa zL wzdłuż Cs
A
�we= 0
okręgu r = const. do punktu A,
gdzie g = 1, a pojemność Cr
Z0
zL
Cr
L
przesuwa ją do r = g = 1.
Droga L-A-1
A
1
+ jbr(Cr) = 1;
zL + jxS(CS)
1
B. Pojemność CS przesuwa zL do
punktu B (g = 1), a indukcyjność Lr
przesuwa ją do r = g = 1.
Droga L-B-1
B
1
Cs
�we= 0
B
+ jbr(Lr ) = 1;
zL + jxS(CS)
Z0
zL
Lr
Okrąg zaciemniony nie można dopasować.
7. Wykres Smith a 20
Dopasowanie& - Impedancja indukcyjna (c)
Impedancja indukcyjna (c)
�we= 0
Cs
zL=rL+jxL
C
C. Impedancja w p. C ma charakter
indukcyjny. Dodanie pojemności
zL
Z0
Cr
szeregowej CS daje stan L
dopasowania.
Droga L-C-1.
C
1
+ jxs = 1;
yL + jbr(Cr)
1
D. W p. D impedancja ma charakter
pojemnościowy. Dopasowanie po
D
dodaniu indukcyjności LS.
Droga L-D-1
�we= 0
Ls
D
zL
Z0
Cr
Okrąg zaciemniony nie można dopasować.
7. Wykres Smith a 21
Dopasowanie& - Impedancja pojemnościowa (a)
Impedancja pojemnościowa (a)
�we= 0
Ls
F
E. Indukcyjność szeregowa LS przesuwa
punkt L, bez zmiany rL, do punktu E
zL
Z0
Cr
na okręgu g =1. Indukcyjność Lr
prowadzi do stanu dopasowania.
Droga: L-E-1
F
1
+ jbr = 1;
zL + jxS(LS)
1
F. LS przesuwa punkt L do punktu F
E
na okręgu g = 1. Susceptancja
�we= 0
br(Cr) dopasowuje.
Ls
E
L
Droga: L-F-1
Lr
zL
Z0
Okrąg zaciemniony nie można dopasować.
zL=rL+jxL
7. Wykres Smith a 22
Dopasowanie& - Impedancja pojemnościowa (b)
Impedancja pojemnościowa (b)
G. Indukcyjność Lr przesuwa punkt L
�we= 0
Ls
H
wzdłuż gL = const. do punktu G na
okręgu r = 1. Indukcyjność LS kończy
zL
Z0
Lr
proces dopasowania.
H
Droga: L-G-1
1
+ jxs = 1;
yL + jbr(Lr)
1
H. Indukcyjność Lr przesuwa punkt L
wzdłuż gL = const. do punktu H na
okręgu r = 1. Indukcyjność LS
kończy proces dopasowania.
G
�we= 0
Ls
G
Droga: L-H-1
L
zL
Z0
Lr
Okrąg zaciemniony nie można dopasować.
7. Wykres Smith a 23
Dopasowanie& - Obwody z odcinkami prowadnic (a)
(a)
z(�l)
�l
�lI
zL
Z0
Z0
I Transformacja do z(�lI)
na okrąg r = 1.
L
K Transformacja do z(�lK)
�lR
I
N
na okrąg r = 1.
M Transformacja na okrąg
g = 1.
N Transformacja na okrąg
1
R
S
g = 1.
R Transformacja na prostą
x = 0, do z(�lR) = �.
S Transformacja na prostą
K
M
x = 0, do z(�lS) = 1/�.
7. Wykres Smith a 24
Dopasowanie& - Obwody z odcinkami prowadnic (b)
(b)
�lI
Odcinki prowadnic
Z=1 I1
�lI
Cs
zwartych, lub
rozwartych realizują zL
Z0
Z0
L
pojemności i
I
indukcyjności.
I2
Z=1
�lZ
Z0
1
zL
�lI
Z0
Z' 2ĄlZ
0
xs(Z' ,lZ) = tg ;
I3
0
Z=1
�lZ
Z0 
Z0
zL
Z' 2ĄlR
�lI
Z0
0
xs(Z' ,lR) = - ctg ;
0
Z0 
7. Wykres Smith a 25
Dopasowanie& - Obwody z odcinkami prowadnic (c)
(c)
M1
Odcinki prowadnic zwartych, lub rozwartych,
Z=1
włączonych równolegle,
zL
�lM
Z0
realizują pojemności
Ls
i indukcyjności.
L
�lZ
M2
Z=1
Z0
zL
�lM
Z0
1
�lR
M3
M
Z=1
Z0
zL
�lM
Z0
7. Wykres Smith a 26
Dopasowanie& - Obwody z odcinkami prowadnic (d)
(d)
Z=1
�l
R
zL
Z0
Z0
kZ0, /4
L
�lR
Pierwszy odcinek prowadnicy
falowej transformuje impedancję
zL do wartości rzeczywistej
Z = �Z0.
R
1
Dopasowanie przez dobór
impedancji charakterystycznej
Z01 transformatora
k2
Z01 = kZ0 = Z0 �;
= 1;
�
7. Wykres Smith a 27
Dopasowanie& - Obwody z odcinkami prowadnic (d)
(d)
S
Z=1
�l
zL
Z0
Z0
kZ0, /4
L
W punkcie S impedancja
Z0
zredukowana równa jest 1/�.
Z02 = ;
�
Impedancja Z02 transformatora
1
S
ćwierćfalowego ma inną
wartość:
Z0
Z02 =
k2� = 1
�
�lS
7. Wykres Smith a 28
Dopasowanie& - Obwody z odcinkami prowadnic (d)
(d)
"
2
1 4
0.2 0.5
0
zL
kZ0
Z0
Każda impedancja leżąca
wewnątrz okręgu r = 1,
bądz
g = 1 może być
k2
1
przetransformowana do
k2
punktu r = g = 1 jednym
odcinkiem o impedancji
charakterystycznej kZ0.
Skala WFS - �
7. Wykres Smith a 29
Dopasowanie& - Obwody z odcinkami prowadnic (d)
(d)
Impedancja leży wewnątrz okręgu
zL
kZ0
Z0
r = 1, współczynnik odbicia |�|ej�.
Średnica okręgu D:
�
D = ;
cos�
cos� + �
1+ D
� = = ;
1- D cos� - �
D
1
�
k = �;
|�|
L
Transformacja odcinkiem
prowadnicy o impedancji
charakterystycznej kZ0.
7. Wykres Smith a 30
Dopasowanie& - Zadanie 3.1
Zadanie 3.1
Zadanie 3.1. Na rysunku pokazano na wykresie Smith a drogę r-A-B-1 dopasowania
rezystancji r<1. Jaki obwód realizuje takie dopasowanie?
Odcinek drogi r-A po okręgu r=const.,
pierwszym element - szeregowa CS!.
Odcinek A-B - okrąg g=const., drugi
element równoległa indukcyjność LR.
Odcinek B-1 po okręgu r=const.,
dodano szeregową indukcyjność LS2.
1
r
LS2
CS1
B
LR
r<1
A
7. Wykres Smith a 31
Dopasowanie& - Zadanie 3.2
Zadanie 3.2
Zadanie 3.2 Na rysunku pokazano układ typu T z dwiema zmiennymi pojemnościami,
realizowanymi za pomocą waraktorów (diody o zmiennej pojemności). Reaktancje
waraktorów są zmienne w granicach pokazanych na rysunku. Z jakiego obszaru na
wykresie Smitha impedancje mogą być dopasowane tym obwodem?
x1
x1=-0,25...-4
Z0
zL
b1
b1= 0,25...4
�L = 0
A
x1 B
Na rysunku oznaczymy 2
płaszczyzny A-A i B-B, rozpatrzymy
Z0 b1
zL
zmiany impedancji w tych 2
płaszczyznach.
�L = 0
B
A
7. Wykres Smith a 32
Dopasowanie& - Zadanie 3.2 cd.
Zadanie 3.2 cd.
Susceptancja b1 może dopasować admitancje impedancje z łuku A1-A2 na okręgu
g = 1. W punkcie A1 - yA1=1 - j0.25, w punkcie A2 - yA2= 1  j4.
1
Z jakiego zbioru impedancji
2
0.5
dodanie reaktancji x1 sprowadzi
B2
je na łuk A1-A2?
Impedancje te znajdować się w
C2
4
0.2
krzywoliniowym trapezie
C1 8
A2
B1
B1-B2-C1-C2.
A1
2 4
0 0.2 0.5 1
1
zB1-C1 = + jx1;
-8
yA1
-0.2
-4
1
zB2-C2 = + jx1;
yA2
-2
-0.5
x1
-1
7. Wykres Smith a 33
Dopasowanie& - Zadanie 3.3
Zadanie 3.3
Dopasowanie dwoma
stroikami równoległymi,
oddalonymi o /4.
Z0=50&!,
Z0=50&!,
l/f=0,158
l/f=0,133
Z0=70&!, ZL=(16+j65)&!
l/f=0,25
7. Wykres Smith a 34