Zadania z geometrii
ZESTAW 4
Zadania 1 - 23 dotyczą przestrzeni afinicznej E(R2) ze zwykłym iloczynem skalarnym.
1. Dane są równania boków trójkąta AB : 2X -Y +2 = 0, BC : X -Y = 0, AC : X +Y -2 = 0. Wyznacz współrzędne
wierzchołków.
2. Wyznacz równania boków trójkąta o wierzchołkach: A = (1,-1), B = (3,5), C = (-1,11).
3. Dane są równania dwóch boków równoległoboku: 8X + 3Y + 1 = 0, 2X + Y - 1 = 0 i równanie jednej z jego
przekątnych 3X + 2Y + 3 = 0. Wyznacz wierzchołki tego równoległoboku.
4. Dane są dwa boki równoległoboku: 2X -Y = 0, X -3Y = 0 i punkt przecięcia się przekątnych P = (2,3). Wyznacz
równania przekątnych.
-
5. W trójkącie ABC dane są: wierzchołek A = (0,-3), środek S = (8,-1) boku AB i wektor BC= [-7,8]. Wyznacz
równanie prostej AC.
6. Przez punkt A = (2,1) poprowadzić prostą tak, by punkt A był środkiem odcinka zawartego między prostymi
2X +Y = 0, X -Y - 2 = 0.
7. W trójkącie ABC dane są: wierzchołek A = (2,-4) i równania trzech jego środkowych: 4X +Y - 6 = 0,
2X +Y - 2 = 0, X - 2 = 0. Wyznacz równania boków tego trójkąta.
8. Dane są równania dwóch środkowych trójkąta 4X + 5Y = 0, X - 3Y = 0 i wierzchołek (2,-5). Wyznacz równania
boków i pozostałe wierzchołki.
9. Dane są wierzchołki trójkąta A = (1,1), B = (3,5), C = (-1,3). Napisz równanie prostej przechodzącej przez
środek boku AB i równoległej do boku BC.
10. Dla jakiej wartości parametru m proste (m-1)X +mY -5 = 0, mX +(2m-1)Y -10 = 0 przecinają się w punkcie
leżącym na osi OX?
11. Przez punkt przecięcia się prostych 2X - 7Y - 8 = 0, 3X + 2Y + 5 = 0 poprowadz
prostą równoległą do prostej
2X + 3Y - 7 = 0.
12. Dane są dwie proste 2X -3Y +5 = 0, X = 1. Dla jakich wartości parametrów a, b prosta aX +bY +1 = 0 przechodzi
przez punkt przecięcia się tych prostych?
13. Dla jakich wartości parametrów a,b " R proste aX - 4Y + b = 0, 4X - aY + 1 = 0 są prostopadłe?
- -
14. W trójkącie ABC dane są: wierzchołek B = (0,5) i wektory AB= [4,12], CB= [-8,7]. Wyznacz równanie wysoko-
ści tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.
15. Wyznacz równania boków trójkąta znając jeden wierzchołek A = (3,-4) i równania dwóch wysokości
7X - 2Y - 1 = 0, 2X - 7Y - 6 = 0.
16. Wykaż, że wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
17. Dane są dwa wierzchołki trójkąta A = (-4,4), B = (4,0) i punkt przecięcia się wysokości H = (3,4). Wyznacz
współrzędne trzeciego wierzchołka.
18. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt przecięcia się prostych 4X - 3Y + 1 = 0, 7X + 2Y - 22 = 0 i
prostopadłej do prostej 3X - 5Y = 1.
19. Wyznacz taki punkt, że jego odległości od punktów (2,3),(4,2),(-1,0) są równe.
20. Na prostej 4X + 3Y - 12 = 0 wyznacz punkt równoodległy od punktów (-1,-2),(1,4).
21. Dwa boki równoległoboku leżą na prostych X +Y = 1, 3X -Y = 4, a przekątne przecinają się w punkcie (3,3).
Wyznacz równania prostych na których leżą dwa pozostałe boki tego równoległoboku.
22. Punkty (2,1),(2,5) są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Wyznacz trzeci wierzchołek.
23. Wyznacz długości boków i miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, jeśli: A = (2,1), B = (3,1), C = (1,2);
Zadania 24 - 47 dotyczą przestrzeni afinicznej E(R3) ze zwykłym iloczynem skalarnym.
24. Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty: (0,0,2), (4,0,1), (2,1,2).
25. Dla jakich wartości parametrów m, k płaszczyzny 4X - 3Y + 6kZ - 8 = 0, 2mX +Y - 4Z + 4 = 0 są równoległe?
26. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (-1,5,7) i równoległej do płaszczyzny
2X -Y + 5Z - 1 = 0.
27. Dany jest czworościan o wierzchołkach A = (5,1,3), B = (1,6,2), C = (5,0,4), D = (4,0,6). Napisz równanie
płaszczyzny przechodzącej przez krawędz
AB i równoległej do krawędzi CD.
1
28. Dane są równania trzech ścian równoległościanu: X - 3Y + 4Z - 12 = 0, Y + 2Z - 5 = 0, X + 4 = 0 i jeden z jego
wierzchołków (4,-3,2). Wyznacz równania pozostałych ścian i równania krawędzi.
29. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (0,0,0) i przez wspólną krawędz
płaszczyzn:
X + 3Y - Z + 1 = 0, 2X -Y + 2Z + 5 = 0.
30. Przez wspólną krawędz
płaszczyzn 6X -Y + Z = 0, 5X + 3Z - 10 = 0 poprowadz
płaszczyznę równoległą do osi
OX.
31. Napisz równanie kanoniczne prostej przechodzącej przez punkt (2,1,-2) i równoległej do prostej
(1,0,1) + lin([-1,2,1]).
32. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A = (1,3,-2) mając dany wektor prostopadły do tej
płaszczyzny ą = [3,-1,2].
33. Znajdz
równanie płaszczyzny przechodzącej przez krawędz
wspólną płaszczyzn X - 2Y + Z = 1, X - Z = 2 i pro-
stopadłej do prostej af((0,1,2),(1,3,1)).
34. Znajdz
równanie kanoniczne prostej przechodzącej przez punkt (1,0,1), równoległej do płaszczyzny
X - 2Y + Z = 1 i prostopadłej do prostej af((1,2,0),(2,2,1)).
35. Znajdz
równanie kanoniczne prostej przechodzącej przez punkt (1,0,0), leżącej w płaszczyz
nie X -Y + Z = 1 i
prostopadłej do prostej af((1,1,1),(2,1,0)).
36. Dla jakich wartości parametru m " R płaszczyzny 7X - 2Y - Z = 0, mX +Y - 3Z = 1 są wzajemnie prostopadłe?
37. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (2,-1,1) prostopadłej do płaszczyzn
2X - Z = -1, Y = 0.
38. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty (2,-1,4), (1,-1,5) i prostopadłej do płaszczyzny
X - 2Y + Z = 1.
39. Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A = (2,-1,1) i prostopadłej do prostej
X - 2Y + Z - 3 = 0
.
X +Y - Z + 2 = 0
40. Dane są trzy punkty A = (4,1,-2), B = (2,0,0), C = (-2,3,8). Wyznacz równanie kanoniczne prostej przecho-
dzÄ…cej przez punkt B i przecinajÄ…cej prostÄ… AC pod kÄ…tem prostym.
41. Wyznacz równanie kanoniczne prostej przecinającej proste af((1,1,2),(2,3,3)), af((0,1,9),(2,2,10)) pod kątem
prostym.
X Y +4 Z-3 X-1 Y +3 Z-4
42. Wyznacz równanie kanoniczne prostej przecinającej proste = = , = = i prostopadłej do
1 1 -1 2 -1 5
płaszczyzny Y = 0.
43. Wyznacz miarÄ™ kÄ…ta:
(a) pomiędzy prostymi af((1,2,-4),(4,0,-10)) oraz af((2,6,-2),(-2,6,8));
3X - 4Y - 2Z = 0 4X +Y - 6Z = 2
(b) pomiędzy prostymi L1 = Sol( ) oraz L2 = Sol( );
2X +Y - 2Z = 0 Y - 3Z = -2
(c) pomiędzy prostą af((5,1,2),(11,-2,3)) a płaszczyzną Sol(7X + 2Y - 3Z = -5);
X +Y - Z = 0
(d) pomiędzy prostą Sol( ), a płaszczyzną af((1,-1,0),(-2,0,-1),(-1,1,1));
2X - 3Y + Z = 0
" "
(e) pomiędzy płaszczyznami Sol(X - 2Y + Z = 1) oraz Sol(X + 2Y - Z = 3);
(f) pomiędzy każdą parą spośród płaszczyzn af((1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)), af((2,0,0),(0,2,0),(0,0,0)),
af((-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,1)).
44. Oblicz kąt pomiędzy ścianą a przekątną sześcianu oraz kąt pomiędzy krawędzią a przekątną sześcianu.
45. Wyznacz:
(a) równanie płaszczyzny zawierającej prostą (0,0,0) + lin([1,0,0]) i tworzącej z płaszczyzną
Ä„
Sol(X -Y = 0) kÄ…t o mierze ;
3
(b) równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (0,0,0), prostopadłej do płaszczyzny
Ä„
Sol(5X - 2Y + 5Z = 10) i tworzącej z płaszczyzną Sol(X - 4Y - 8Z = -12) kąt o mierze .
4
46. Wyznacz:
(a) odległość punktu (1,0,1) od prostej af((-1,2,1),(1,5,7)),
(b) odległość punku (1,1,1) od płaszczyzny af((-1,2,0),(-2,5,-1),(0,3,-3)),
X-2 Y +1 Z X Y -1 Z-2
(c) odległość pomiędzy każdą parą spośród prostych = = , X = Y = Z, = = .
3 4 2 1 2 -1
47. Wyznacz odległość G od H jeśli G = af((7,8,9),(8,8,10)), H = af((9,7,7),(10,9,7)).
                                 
2
48. W przestrzeni euklidesowej (E(R2),¾), gdzie q¾([x,y]) = x2 - 4xy + 5y2 wyznacz pole równolegÅ‚oboku rozpiÄ™tego
na wektorach [1,1], [2,1] i zaczepionego w punkcie (1,1).
49. W przestrzeni euklidesowej (E(R2),¾), gdzie q¾([x,y,z]) = x2 + 2y2 + 3z2 wyznacz pole równolegÅ‚oboku rozpiÄ™-
tego na wektorach [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1] i zaczepionego w punkcie (0,0,0) oraz pole trójkąta o wierzchołkach
(1,0), (2,1), (3,3).
50. W przestrzeni euklidesowej (E(R3),¾), gdzie q¾([x,y,z]) = x2 + 2xy + 3y2 + z2 wyznacz:
(a) odległość punktu (1,1,1) od prostej af(1,2,1),(2,2,1),
(b) odległość punktu (1,1,1) od płaszczyzny Sol(2X -Y - Z = 1),
2X1 + X2 + 3X3 = 5 X1 + X2 - 2X3 = 2
(c) odległość prostych L1 = Sol( ), L2 = Sol( ).
3X1 + 2X2 + X3 = 4 5X1 + 3X2 + 4X3 = 8
51. W przestrzeni euklidesowej E(R5) ze zwykłym iloczynem skalarnym oblicz długości boków trójkąta o wierzchoł-
kach (2,4,2,4,2),(6,4,4,4,6),(5,7,5,7,2).
52. W przestrzeni euklidesowej E(R5) ze zwykłym iloczynem skalarnym wyznacz długości boków i miary kątów
wewnętrznych trójkąta ABC, jeśli:
(a) A = (2,4,2,4,2), B = (6,4,4,4,6), C = (5,7,5,"
7,2);
" " " "
5 5 10 5 5
(b) A = (1,2,3,2,1), B = (3,4,0,4,3), C = (1 + 78, 2 + 78, 3 + 78, 2 + 78, 1 + 78).
26 13 13 13 26
53. W przestrzeni euklidesowej E dane sÄ… proste L1 = P+lin(Ä…) oraz L2 = Q+lin(²). Wykaż, że cosinus kÄ…ta pomiÄ™dzy
tymi prostymi jest równy
|< Ä…,² >|
cos( "{L1,L2}) = .
Ä… · ²
54. W przestrzeni euklidesowej E dane sÄ… hiperpÅ‚aszczyzny H1 = P + Ä…Ä„" oraz H2 = Q + ²Ä„". Wykaż, że cosinus kÄ…ta
pomiędzy tymi hiperpłaszczyznami jest równy
|< Ä…,² >|
cos( "{H1,H2}) = .
Ä… · ²
55. W przestrzeni euklidesowej E dana jest prosta L = P + lin(Ä…) oraz hiperpÅ‚aszczyzna H = Q + ²Ä„". Wykaż, że miara
kąta pomiędzy pomiędzy prostą L a płaszczyzną H jest równa
Ä„ |< Ä…,² >|
| "{L,H} |= - Õ, gdzie cosÕ = .
2 Ä… ²
56. W przestrzeni euklidesowej E(R4) ze zwykłym iloczynem skalarnym oblicz odległość punktu P od podprzestrzeni
H :
2X1 + 2X2 + X3 + X4 = 0
(a) P = (2,4,0,-1), H = Sol( ),
2X1 + 4X2 + 2X3 + 4X4 = 0
(b) P = (3,3,-1,-1), H = Sol(2X1 + 2X2 + 3X3 - 2X4 = 0).
57. W przestrzeni euklidesowej E(R4) ze zwykłym iloczynem skalarnym oblicz odległość G od H jeśli:
G = af((3,4,10,6),(5,6,12,8)), H = af((5,4,12,7),(3,6,10,8)).
58. W przestrzeni euklidesowej E(R4) ze zwykłym iloczynem skalarnym przekątne af(P,R) i af(Q,S) przecinają się w
- -
-68 70 470 310 30 874 576 -101 18 582 384
punkcie T = ( , , , ), zaś PR= [-147 , , , ], QS= [ , , , ]. Oblicz pole równoległoboku
11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
PQRS.
3