Kolokwium 1
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & . Warszawa ..................... r.
nr albumu . . Nazwisko i imię
grupa ..& & & ...
Całki krzywoliniowe i powierzchniowe C
1 2 3
Zadanie 1. Wyznacz masę m pręta w kształcie krzywej l o równaniu y =� sin( x)
w przedziale 0 Ł� x Ł� p�/2 , gdy jego gęstość liniowa l� =� 3y cos(x) .
l : y =� sin( x), �� y'=� cos(x)
Rozw. m =� =� dl =� cos(x) dl =�
��dm ��l� ��3y
dl =� 1+� y'2(x) ��dx =� 1+� cos2(x) ��dx
(l) (l) (l)
t =� 1+� cos2(x) ,
p� / 2
x 0 p� /2
=3 x) cos(x) 1+� cos2(x) dx =� t2 =� 1+� cos2(x) ,
��sin(
t 1
2
0
2t dt =� 2cos(x) ��(-�sin( x))dx,
1
1
3
ł�
= 3 ��(-�tdt) =� -� t3 =� -���13 -�(� 2)� =� 2 2 -�1.
��t
ę� ś�
2
�� ��
2
��
a
Zadanie 2. Oblicz pracę siły F =� [xy, -� x2] wzdłuż łuku krzywej l : y =�
x
w przedziale 1 Ł� x Ł� 4 .
��
�� ��
dl =� v dx
Rozw. dl =� = -� x2]o�[1, -� a / x2]dx =�
��Fo� ��[xy,
��
(l) ' (l)
v =� [1, y (x) ] =� [1, -� a /x2 ]
4 4
4
=� �� a/x , -� x2]o�[1, -� a / x2]dx =� +� a)dx =� 2a x1 =� 6a .
��[x ��(a
1 1
��
Zadanie 3. Oblicz strumień pola F =� [zx, zy, z2] przez powierzchnię S : z =� a2 -� x2 -� y2
zorientowaną do wewnątrz.
��
y
ś�z ś�z
Rozw. N =� -���-� ,-� ,1ł� =� -��� x , ,1ł� .
ę� ś� ę� ś�
ś�x ś�y z z
�� �� �� ��
0 Ł� j� Ł� 2p�
��
G : , dG =� r dr dj� .
��
0 Ł� r Ł� 2a
��
�� ��
y
��
x
[�zx, z y, z2]�o� , ,1ł� dG =�
����Fo� dS =� -� ����
ę� ś�
z z
�� ��
(S) (G)
y
��
x
= -� [�zx, z y, z2]�o� , ,1ł� dG =� -� (�x2 +� y2 +� z2)�dG =�
���� ����
ę� ś�
z z
�� ��
(G) (G)
=� -� dG =� -�a2 =� -�a2�� || G ||=� -�a2 ��p� a2 =� -�p� a4 .
����a2 ����dG
(G) (G)
Opracował i wykonał: Stanisław Zoń