KOLOKWIUM 2 1
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & . Warszawa & & & & ...
nr albumu . Nazwisko i imię student(a/ki)
grupa ..& & & ... godz. rozp. & & ..
Analiza matematyczna II
1 2 3 4 5 6
Uwaga. 1) Praca bez danych wskazanych w wykropkowanych polach  nie będzie oceniana.
Dane te trzeba wpisać zaraz po otrzymaniu tej karty z zadaniami.
2) Oddając pracę nauczycielowi należy okazać swój dokument ze zdjęciem.
3) Nie wolno używać: kalkulatorów, komórek, komputerów itp. urządzeń elektronicznych.
Na kolokwium urządzenia te muszą być wyłączone i schowane.
Zad. 1. Wyznaczyć funkcję holomorficzną f (z) =� u(x, y) +� i v(x, y)
gdy dana jest funkcja u(x, y) =� ........ (lub funkcja v(x, y) =� .........)
sin(i z)
eiz -� e-�iz
Zad. 2. Wyznaczyć residuum funkcji w punkcie z = 1 (wskazówka sin( z) =� ).
2i
z2 -�1
sin(i z) sin(i)
i e -� e-�1 i
Odp. res1 =� =� �� =� ��sh(1)
2 2 2 2
z2 -�1
sin(i z)dz
Zad. 3. Obliczyć całkę , gdzie C jest ujemnie zorientowanym okręgiem |z| = 2.
��
z2 -�1
C
Odp. -�p� ��sh(1)
Zad. 4. Wyznaczyć transformatę Laplace a funkcji przedstawionej na rysunku
A
Rozw. f (t) =� ��t ��[�H (t) -� H (t -� a)]�+� A�� H (t -� a)
a
A
=� ��[�t �� H (t) -� (t -� a) �� H (t -� a)]�.
a
A 1
F(s) =� ��ć� 1 -� e-� sa ��
�� ��
a
Ł� s2 s2 ł�
Zad. 5. Wyznaczyć transformatę Laplace a oryginału g(t) =� t ��sh(at) (sh  sinus hiperboliczny).
a
Rozw. Funkcja f (t) =� sh(at) ma transformatę .
s2 -� a2
2as
d a
Funkcja g(t) =� t �� f (t) =� t ��sh(at) ma transformatę -� =� .
2
ds
s2 -� a2
(�s2 -� a2)�
s +� 7
Zad. 6. Wyznaczyć oryginał f(t) którego transformata Laplace a F(s) =� ��e-�3s .
s2 +� 2s +� 5
s +� 7 s 7 2
=� +� �� ,
s2 +� 2s +� 5 (s +�1)2 +� 22 2 (s +�1)2 +� 22
s 7 2 7
transformata +� ��
ma oryginał [cos(2t) +� ��sin(2t)]�� H (t) , więc
2
s2 +� 22 2 s2 +� 22
s +� 7 s 7 2 7
=� +� �� ma oryginał e-�t ��[cos(2t) +� ��sin(2t)]�� H (t)
2
s2 +� 2s +� 5 (s +�1)2 +� 22 2 (s +�1)2 +� 22
s +� 7
7
zatem F(s) =� ��e-�3s ma oryginał e-�(t-�3) ��{�cos[2(t -� 3)]+� ��sin[2(t -� 3)]}��� H (t -� 3) .
2
s2 +� 2s +� 5
1/1