Imię i nazwisko (czytelnie) Kierunek Grupa dziek. No indeksu Data
16.01.2014
Kolokwium nr 2 z Przetwarzania Sygnałów
Ocena
1. Narysuj strukturę 2D (schemat blokowy) lub strukturę 2D transponowaną dla systemu dyskretnego o
3 1 4
algorytmie y[n] = y[n -1] + y[n - 2] + x[n] + x[n -1] - x[n - 2] z minimalną liczbą elementów
4 4 3
opóz
niających. Oznacz strzałkami kierunki przepływu sygnału w gałęziach struktury. Nanieś
współczynniki mnożenia. Sprawdz
algorytm na podstawie struktury. Ile elementów opóz
niających
z-1 , elementów mnożących i 2-wejściowych sumatorów liczy ta struktura?
2. Oblicz i narysuj charakterystyki: amplitudową i fazową, systemu dyskretnego o odpowiedzi
3
impulsowej {h[n]} = {1, 0, ,0 ,-1} korzystając z DTFT, a następnie z 4-punktowej DFT. Jakie są
n=0
Ą 2Ą
wartości charakterystyki amplitudowej dla pulsacji � = 0, ą ; ą , ą Ą ?
3 3
1
3. Ile wynosi odpowiedz
y[n] systemu DLS o algorytmie y[n] = x[n] + y[n -1] na pobudzenie
2
1, n e" 0
ńł
x[n] = u[n] - u[n - 3] , u[n] =
�ł0, n < 0 , n = 0, ą1, ą 2,L ?
ół
Imię i nazwisko (czytelnie) Kierunek Grupa dziek. No indeksu Data
16.01.2014
Kolokwium nr 2 z Przetwarzania Sygnałów
Ocena
1. Narysuj strukturę 2D (schemat blokowy) lub strukturę 2D transponowaną dla systemu dyskretnego o
3 1 4
algorytmie y[n] = y[n -1] + y[n - 2] + x[n] + x[n -1] - x[n - 2] z minimalną liczbą elementów
4 4 3
opóz
niających. Oznacz strzałkami kierunki przepływu sygnału w gałęziach struktury. Nanieś
współczynniki mnożenia. Sprawdz
algorytm na podstawie struktury. Ile elementów opóz
niających
z-1 , elementów mnożących i 2-wejściowych sumatorów liczy ta struktura?
2. Oblicz i narysuj charakterystyki: amplitudową i fazową, systemu dyskretnego o odpowiedzi
3
impulsowej {h[n]} = {1, 0, ,0 ,-1} korzystając z DTFT, a następnie z 4-punktowej DFT. Jakie są
n=0
Ą 2Ą
wartości charakterystyki amplitudowej dla pulsacji � = 0, ą ; ą , ą Ą ?
3 3
1
3. Ile wynosi odpowiedz
y[n] systemu DLS o algorytmie y[n] = x[n] + y[n -1] na pobudzenie
2
1, n e" 0
ńł
x[n] = u[n] - u[n - 3] , u[n] =
�ł0, n < 0 , n = 0, ą1, ą 2,L ?
ół
 2
Zad.1. Narysuj strukturę 2D (schemat blokowy) lub strukturę 2D transponowaną dla systemu dyskretnego o
3 1 4
algorytmie y[n] = y[n -1] + y[n - 2] + x[n] + x[n -1] - x[n - 2] z minimalną liczbą elementów
4 4 3
opóz
niających. Oznacz strzałkami kierunki przepływu sygnału w gałęziach struktury. Nanieś współczynniki
mnożenia. Sprawdz
algorytm na podstawie struktury. Ile elementów opóz
niających z-1 , elementów
mnożących i 2-wejściowych sumatorów liczy ta struktura?
Struktura bezpośrednia 2D (ang. direct form 2) rzędu 2 i jej algorytm
b0
w[n]
x[n] y[n]
w[n] = x[n] - a1w[n -1] - a2w[n - 2]
"
Ł Ł
y[n] = b0w[n] + b1w[n -1] + b2w[n - 2]
-1
b0 + b1z-1 + b2 z-2 Y (z)
- a1 z b1
H (z) = =
1+ a1z-1 + a2 z-2 X (z)
Ł
"
Ł
X (z)(b0 + b1z-1 + b2 z-2 ) = Y (z)(1+ a1z-1 + a2 z-2 )
-1
z
Y (z) = Y (z)(-a1z-1 - a2 z-2 ) + X (z)(b0 + b1z-1 + b2 z-2 )
- a2
b2
"
y[n] = -a1 y[n -1] - a2 y[n - 2] + x[n]b0 + x[n -1]b1 + x[n - 2]b2
3 1 4
y[n] = y[n -1] + y[n - 2] + x[n] + x[n -1] - x[n - 2]
4 4 3
3 1 4
Współczynniki: a1 = - , a2 = - , b0 = 1, b1 = , b2 = -1.
4 4 3
Struktura 2D transponowana rzędu 2 i jej algorytm
3 1 4
Te same współczynniki: a1 = - , a2 = - , b0 = 1, b1 = , b2 = -1. Ta sama
4 4 3
transmitancja. Ale inny algorytm. Jest on 3-wierszowy. Jednak sprowadza się on
do tych samych równań różnicowych. Liczba elementów podobna  tu jest jeden
sumator 3-wejściowy i 2 2-wejściowe, a w 2D bez transpozycji mieliśmy 4
sumatory 2-wejściowe.
b0
x[n] y[n]
" "
Ł
y[n] = b0x[n] + v[n -1]
v[n] = b1x[n]- a1y[n] + u[n -1]
-1
z
u[n] = b2x[n] - a2 y[n]
b1 v[n] a1
b0 + b1z-1 + b2z-2
-
H (z) =
"
Ł " 1+ a1z-1 + a2z-2
3 1 4
y[n] = y[n -1] + y[n - 2] + x[n] + x[n -1] - x[n - 2]
-1
z
4 4 3
b2 u[n]
- a2
y[n] = -a1 y[n -1] - a2 y[n - 2] + x[n]b0 + x[n -1]b1 + x[n - 2]b2
Ł
 3
Zad. 2. Oblicz i narysuj charakterystyki: amplitudową i fazową, systemu dyskretnego o odpowiedzi
3
impulsowej {h[n]} = {1, 0, ,0 ,-1} korzystając z DTFT, a następnie z 4-punktowej DFT. Jakie są
n=0
Ą 2Ą
wartości charakterystyki amplitudowej dla pulsacji � = 0, ą ; ą , ą Ą ?
3 3
DTFT z h[n]
Zad. 2. Oblicz i narysuj charakterystyki: amplitudową i fazową, systemu dyskretnego o odpowiedzi
3
impulsowej {h[n]} = {1, 0, ,0 ,-1} korzystając z DTFT, a następnie z 4-punktowej DFT. Jakie są
n=0
Ą 2Ą
wartości charakterystyki amplitudowej dla pulsacji � = 0, ą ; ą , ą Ą ?
3 3
DTFT z h[n]
3 3
"
- j � - j �
(e- j�3/ 2 - e- j�3/ 2)2 j = j2e sin�ł 3
�ł
j� - j� n j3� j3�
2 2
H (e ) = = = �
�ł �ł
"h[n]e = 1+ (-1)e- 1- e- e
2 j 2
�ł łł
n=-"
Stąd
3 Ą 3
j� j�
H (e ) = 2 sin � , - Ą d" � < Ą arg H (e ) = - �, 0 < � < Ą
2 2 2
Ą 2Ą
ą j ą j
Ą 2Ą
j0
3 3
Dla � = 0, ą ; ą , ą Ą otrzymujemy H (e ) = 0 , H (e ) = 2 , H (e ) = 0 ,
3 3
H (eą jĄ ) = 2 .
Natomiast 4-punktowa DFT (dla N=4) to
2Ą 2Ą Ą 3Ą
N -1 3
- j nk - j nk - j 3k - j k
H[k] =
"h[n]e N = "h[n]e 4 = 1e- j0 + (-1)e 2 = 1- e 2
n=0 n=0
3Ą
- j 0
2
Dla k=0 mamy H[0] = 1- e = 1-1 = 0 a faza jest nieokreślona.
3Ą Ą
- j 1 - j
2 4
Dla k=1 mamy H[1] = 1- e = 1- j = 2e- j arctan1 = 2e = 2e- j45o .
3Ą
- j 2
j0
2
Dla k=2 mamy H[2] = 1- e = 1- e- j3Ą = 2 = 2 .
3Ą 9Ą Ą
- j 3 - j j
j arctan1 j45o
2 2 4
Dla k=3 mamy H[3] = 1- e = 1- e = 1+ j = 2e = 2e = 2e .
To są właśnie wartości DFT (0, 1, 0, 1) dla k=0, 1, 2, 3.
 4
1
Zad. 3. Ile wynosi odpowiedz
y[n] systemu DLS o algorytmie y[n] = x[n] + y[n -1] na pobudzenie
2
1, n e" 0
ńł
x[n] = u[n] - u[n - 3] , u[n] =
�ł0, n < 0 , n = 0, ą1, ą 2,L ?
ół
1 1
y[n] = x[n] + y[n -1] �! Y (z) = X (z) + z-1Y (z)
2 2
1 Y (z) 1 1
Y (z)(1- z-1) = X (z) �! H (z) = = , z >
1
2 X (z) 2
1- z-1
2
1
Z tablicy �! anu[n], z > a
1- az-1
n
1
�ł �ł
A zatem h[n] = u[n]
�ł �ł
2
�ł łł
Ponieważ h[n]�[n - b] = h[n - b]
n n-1 n-2
1 1 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
to y[n] = x[n]* h[n] = u[n] + u[n u[n
�ł �ł �ł �ł -1] +
�ł �ł - 2]
2 2 2
�ł łł �ł łł �ł łł
Lub
X (z) = 1+ z-1 + z-2
i
1+ z-1 + z-2
Y (z) = X (z)H (z) =
1
1- z-1
2
n n-1 n-2
1 1 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
co daje ten sam wynik y[n] = u[n] + u[n u[n
�ł �ł �ł �ł -1] +
�ł �ł - 2] jak wyżej.
2 2 2
�ł łł �ł łł �ł łł